数列基础填空30道练习

　空 数列基础填空 30 道练习

　 一、填空题 1．已知  na 是首项为 1 的等比数列，数列  nb 满足12 b  ，25 b  ，且 1 1 n n n na b b a   ，则数列  nb 的前 n 项和为nS  _____. 2．若实数列 1，a，b，c，4 是等比数列，则 b 的值为________. 3．已知等比数列  na 的首项为 1，公比为 2，则  na 的前 n 项和为_________． 4．若nS 是等差数列  na 的前 n 项和，2 1122 S S   ，则13S  ______． 5．等比数列  na 的前 n 项和为nS ，416 a   ，3 14 S a   ，则公比 q 为______. 6．等差数列  na 中，nS 为  na 的前 n 项和，若936SS，则1ad _________. 7．数列 { }na 的前 n 项和28nS n n   ，则该数列的通项公式为__________． 8．已知13 2a ，13 2b ，则 a、b 的等差中项是________. 9．已知等比数列  na 的公比14q   ，则1 4 7 102 5 8 11a a a aa a a a    等于______. 10．在各项均为正数的等比数列  na 中，若2 2 2 8log log 1 a a   ，则3 7a a  

　 ． 11．某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第 7 排有 20 个座位，则该报告厅前 13排的座位总数是__________． 12．在等差数列  na 中，若1 24 a a   ，5 66 a a   ，则9 10a a   _________. 13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10 个三角形数是______.

　14．若等差数列的第 1，2，3 项依次为11 x，56x，1x，则这个等差数列的第 101 项为______. 15．已知数列  na 中，21 2 3 na a a a n      ，*n N  ，则 5a  ____________.

　试卷第 2 页，总 2 页 16．在数列  na 中，1 12, 3n na a a  ，求na  _________. 17．数列 { }na 中，11 a  ，13n na a  ，则 { }na 的前 21 项和21S =_________． 18．已知数列  na 满足1 11, 2 1,( N )n na a a n    ，则数列  na 的通项公式为___________. 19．已知数列  na 中，12 a  ，且点1( , )n na a在抛物线24 x y  上，则数列  na 的前4 项和是__. 20．已知数列  na 为等比数列，若1 3 2 45, 10 a a a a     ，则公比 q ____________. 21．设等差数列  na 的前 n 项和为nS ，若3 94 a a   ，则11S  _________. 22．已知数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =a n +2n，则 a 20 =________. 23．已知数列 { }na 满足12 a  ，1( 1) nn n na a a   （*nN ），则42aa的值为________ 24．数列  na 中，1 12, 2 1,n na a a n    则1 2 2....na a a     _____. 25．数列  na 中11 a  ，13n na a ， * n N  .若其前 k 项和为 40，则 k  __________. 26．求1 1 1 11 2 2 3 3 4 2019 2020       ____________. 27．等差数列  na 中，1 2 981 a a a    ，且2 3 10171 a a a    ，则公差d  _______. 28．设数列  na 是首项为 1 ，公比为 2  的等比数列，则1 2 3 4a a a a    

　. 29．若等比数列  na 满足2 412a a  ，则21 3 5aa a ＝_____ 30．已知等差数列 { }na 的前 n 项和为nS ，3 15 67 a a a    ，则23S  __________．

　 答案第 1 页，总 12 页 参考答案 1．232n n  【分析】

　由已知条件可求得等比数列  na 的公比，可得知数列  nb 是以 3 为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式可求得答案. 【详解】

　在等式  1 1 n n n na b b a   中，令 1 n  ，可得  1 2 1 2a b b a   ，则22 113ab ba  ， 由于数列  na 是等比数列，所以，数列  na 的公比为213aqa ， 所以，113nn nnab b qa   ，则数列  nb 是以公差为 3 的等差数列， 因此，数列  nb 的前 n 项和为 21 3 322 2nn n n nS n     . 故答案为：232n n . 【点睛】

　方法点睛：数列求和的常用方法：

　（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于  n na b 型数列，其中  na 是等差数列，  nb 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于  n na b  型数列，利用分组求和法； （4）对于11n na a   型数列，其中  na 是公差为   0 d d  的等差数列，利用裂项相消法求和. 2．2 【分析】

　由等比数列的性质可得公比 q 满足的条件，再由21 b q   即可得解. 【详解】

　 答案第 2 页，总 12 页 设该等比数列的公比为 q ， 则4441q   ，所以22 q  （负值舍去）， 所以21 2 b q    . 故答案为：2. 3． 2 1n 【分析】

　由等比数列的前前 n 项和的公式可得答案. 【详解】

　等比数列  na 的首项为 1，公比为 2 所以  na 的前 n项和为 1 1 22 11 2nnnS   

　故答案为：

　21n 4．0 【分析】

　根据题意，利用等差数列的前 n 项和公式列方程组，求得首项和公差，再利用等差数列的前n 项和公式即可得解． 【详解】

　设  na 的公差为 d ，则由2 1122 S S   ，得112 22,11 55 22,a da d     ，解得112,2,ad   故  1313 13 113 12 2 02S       ． 故答案为：

　0 5． 2 

　【分析】

　由条件可得2 34   a a ，即可得 2131416a q qa q   ，从而可得出答案. 【详解】

　因为3 14 S a   ，即3 1 2 3 14 S a a a a      所以2 34   a a ，

　 答案第 3 页，总 12 页 所以 2131416a q qa q   ，解得 2 q   . 故答案为：

　2 

　6．2 【分析】

　直接利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】

　因为9 13 19 3663 3S a dS a d ， 所以12 a d  ， 所以12ad . 故答案为：2. 7． 29na n  

　【分析】

　先由28nS n n   求出  12 9 2n n na S S n n     ，再求1a ，进行验证，即可得出结果. 【详解】

　因为28nS n n   ， 所以      2218 1 8 1 2 9 2n n na S S n n n n n n           ， 又1 11 8 7 a S     也满足上式， 所以 2 9na n   . 故答案为：

　2 9na n  

　8． 3

　【分析】

　将数 , a b 进行有理化，再代入公式2a b ，即可得答案； 【详解】

　 答案第 4 页，总 12 页 1 13 2, 3 23 2 3 2a b       ， 23a b  ， 故答案为：3 . 9． 4 

　【分析】

　根据等比数列的定义计算． 【详解】

　{ }na 是等比数列，14q   ，则1 4 7 102 5 8 11a a a aa a a a    1 4 7 101 4 7 1014a a a aa q a q a q a q q       ． 故答案为：

　4  ． 10．2 【解析】

　试题分析：由2 2 2 8 2 2 8 2 8log log 1 log 1 2 a a a a a a        

　，又数列  na 是等比数列，所以3 7 2 82 a a a a    

　考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算 点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质 11．260 【分析】

　将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前 n 项和公式，求得所求的坐标总数. 【详解】

　因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数na 构成等差数列  na . 因为720 a  ，所以1 13 713 713( ) 13 213 2602 2a a aS a     . 故答案为：

　260

　【点睛】

　 答案第 5 页，总 12 页 本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题. 12． 8

　【分析】

　根据等差数列的性质可得9 10a a  的值. 【详解】

　因为9 10a a    5 1 6 212 2 a a a a     ，故9 108 a a   ， 故答案为：8. 【点睛】

　本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题. 13．55 【分析】

　观察规律得第 10 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ，计算即得解. 【详解】

　由题得第 1个三角形数是 1，第 2 个三角形数是 1 +2 ，第 3 个三角形数是 1 +2 3  ， ， 所以第 10 个三角形数是101+2+3+4+5+6+7+8+9+10= (1 10) 552  . 故答案为：55 【点睛】

　本题主要考查数学归纳和等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．263 【分析】

　由题意可得5 1 126 1 x x x  ，求出 x 的值，从而可得到等差数列的通项公式，由此可得结果 【详解】

　解：因为等差数列的第 1，2，3 项依次为11 x，56x，1x， 所以5 1 126 1 x x x  ，解得 2 x  ， 所以1 21 5,3 12a a   ，所以2 15 1 112 3 12d a a      ，

　 答案第 6 页，总 12 页 所以101 11 1 26100 1003 12 3a a d       ， 故答案为：263 【点睛】

　此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题 15．2516 【分析】

　先将 4 n  和 5 n  代入条件，然后两式相除，可得答案. 【详解】

　当 5 n  时，有1 2 3 4 525 a a a a a     

　 ① 当 4 n  时，有1 2 3 416 a a a a    

　 ② 由①÷②，可得52516a 

　则答案为：2516 【点睛】

　本题考查根据数列的前 n 项的积，求数列中的项，属于基础题. 16．12 3 n  【分析】

　根据等比数列的通项公式直接求得结果. 【详解】

　因为13n na a 且12 a  ，所以13nnaa，所以数列 { }na 是首项为 2，公比为 3的等比数列， 所以12 3 nna  . 故答案为：12 3 n . 【点睛】

　本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题. 17．651 【分析】

　 答案第 7 页，总 12 页 由题意可得数列 { }na 是等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可 【详解】

　解：因为数列 { }na 中，11 a  ，13n na a  ， 所以数列 { }na 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列， 所以2121 2021 1 3 6512S     ， 故答案为：651 【点睛】

　此题考查等差数列的前 n 项和公式的应用，属于基础题 18． 2 1nna  

　【分析】

　证明数列   1na  是一个以11 2 a   为首项，以 2 为公比的等比数列，即得解. 【详解】

　因为12 1,( N )n na a n   ， 所以11 2( 1)n na a   ， 所以1121nnaa， 所以数列   1na  是一个以11 2 a   为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以11 2 2 2 , 2 1n n nn na a       . 所以数列  na 的通项公式为 2 1nna   . 故答案为：

　2 1nna  

　【点睛】

　本题主要考查数列的通项的求法，考查等比数列的判定和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．20964 【分析】

　 答案第 8 页，总 12 页 由题得2+14n na a  ，利用递推公式求出数列  na 的前 4 项，即得解. 【详解】

　由题得2+14n na a  ， 当 1 n  时，21 2 24 , 1 a a a    ； 当 2 n  时，22 3 3144a a a    ， ； 当 3 n  时，23 4 41464a a a    ， . 所以数列  na 的前 4 项和是1 1 192+16 1 2092+1+ + =4 64 64 64 . 故答案为：20964 【点睛】

　本题主要考查递推公式求数列的各项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．2 【解析】

　试题分析：因为，列  na 为等比数列，且1 3 2 45, 10 a a a a     ，所以，由等比数列的通项公式可得，2 21 2(1 ) 5,......(1) (1 ) 10......(2) a q a q     ，两式两边分别相除，得公比2 q= ，故答案为 2. 考点：等比数列的通项公式 21．22 【分析】

　根据等差数列的下标和性质，以及nS 的性质，即可容易求得结果. 【详解】

　因为数列  na 是等差数列，又3 94 a a   ， 故可得62 4 a  ，解得62 a  ； 又11 611 22 S a   . 故答案为：

　22 . 【点睛】

　 答案第 9 页，总 12 页 本题考查等差数列的下标和性质以及前 n 项和性质，属综合基础题. 22．381 【分析】

　利用累加法和等差数列求和公式，即可得答案； 【详解】

　2 12 1 a a    ，3 22 2 a a    ， ，20 192 19 a a    ， 20 119 2022a a   ， 20381 a   ， 故答案为：381. 【点睛】

　本题考查累加法和等差数列求和公式，考查运算求解能力，属于基础题. 23．43 【分析】

　根据递推公式，逐项计算，求出2a ，4a ，即可得出结果. 【详解】

　因为12 a  ，1( 1) nn n na a a   （*nN ）， 所以121 112aa  ， 则 23211 3 aa   ，因此 3341 1 21 13 3aa     ， 所以4243aa. 故答案为：43. 【点睛】

　本题主要考查由递推公式求数列中的项，属于基础题型. 24．22n n  【分析】

　 答案第 10 页，总 12 页 利用递推关系式12 1  n na a n ，可得 1 2 3 4 5 6 2 1 23, 7, 11, , 4 1n na a a a a a a a n         L ，将其相加，即可求出结果. 【详解】

　若数列 { }na 中，12 a  ，12 1,n na a n   ， 可得1 2 3 4 5 6 2 1 23, 7, 11, , 4 1n na a a a a a a a n         L ， 相加可得21 2 3 2(3 4 1)3 7 11 (4 1) 22nn na a a a n n n              . 故答案为：22n n . 【点睛】

　本题主要考了数列递推关系的应用，属于基础题. 25．4 【分析】

　根据等比数列的定义可知数列  na 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，根据等比数列前 n 项和公式即可求出结果. 【详解】

　因为数列  na 中11 a  ，13n na a ，所以数列  na 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列； 所以 1 1 3401 3kkS  ，所以 3 =81k，所以 4 k  . 故答案为：

　4 . 【点睛】

　本题主要考查了等比数列的定义和前 n 项和公式的应用，属于基础题. 26．20192020 【分析】

　利用裂项相消法1 1 1( 1) 1 n n n n  可得. 【详解】

　1 1 1 11 2 2 3 3 4 2019 2020      

　 答案第 11 页，总 12 页 1 1 1 1 1 1 1 1 20191 12 2 3 3 4 2019 2020 2020 2020            ， 故答案为：20192020. 【点睛】

　此题考裂项相消法求数列的和，属于简单题. 27．10 【分析】

　利用等差数列的定义即可求解. 【详解】

　由1 2 981 a a a    ，① 2 3 10171 a a a    ，② ②  ①可得      2 3 1 1 2 0 9171 81 a a a a a a         ， 解得 9 90 d  ，所以 10 d  . 故答案为：10 【点睛】

　本题考查了等差数列的定义，考查了基本运算能力，属于基础题. 28． 15

　【解析】

　试题分析：因为数列  na 是首项为 1 ，公比为 2  的等比数列，所以  1112nnna a q   ，1 2 3 4+ + + =1+2+4+8=15 a a a a . 考点：等比数列通项公式. 【方法点晴】本题主要考查了等比数列的定义和通项公式的应用 ，属于基础题，解答时先根据给出的首项和公比求出  na 的通项公式.求数列各项绝对值的和解答的关键是判断出各项的符号，本题中公比为 2  ，显然，显然第一项、第三项为正数，第二项、第四项项为负数，求和时就都变成了正数，求和就容易了. 29．14 【分析】

　根据等比数列的性质求得结果.

　 答案第 12 页，总 12 页 【详解】

　依题意22 4 312a a a    ， 所以22 41 3 5 31 12 4a a a a       . 故答案为：14. 【点睛】

　本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题. 30．161 【分析】

　由等差数列的性质可得3 15 6 12a a a a    ，即可求出127 a  ，又1 2 32 3 1 22 3 ( )232a aS a  ，带入数据，即可求解． 【详解】

　由等差数列的性质可得3 15 6 12a a a a    =67 a  ，所以127 a  ，又由等差数列前 n 项和公式得1 23 12 1223 1223( ) 23( )23 1612 2a a a aS a    

　【点睛】

　本题考查等差数列的性质及前 n 项和公式，属基础题．