椭圆基础测试题

　椭圆基础测试题

　 一、单选题 1．椭圆2 214 3x y  的离心率为（

　）

　A．72 B．12 C．32 D．14 2．椭圆2 2116 4x y 的长轴长为（

　）

　A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知椭圆2 23 6 0 mx y m    的一个焦点为 (0 )2 ， ，则 m 的值为（

　）. A． 2

　B． 3

　C． 4

　D． 5

　4．已知椭圆方程为2 24 2 1 x y   ，则椭圆的焦点坐标为（

　）

　A．12,02F    ，22,02F     B．11,02F   ，21,02F    C．110,2F   ，210,2F    D．120,2F    ，220,2F     5．若点   ,1 P a 在椭圆2 212 3x y  的外部，则 a 的取值范围为（

　）

　A．2 3 2 3,3 3    

　B．2 3 2 3, ,3 3                C．4,3   

　D．4,3     6．椭圆225x＋216y＝1 的一个焦点坐标为（

　）

　A．(－3 ，0) B．(－4，0 ) C．(－5，0 ) D．(9，0) 7．已知椭圆2 219 4x y  的左右焦点为1F ，2F ， P 是椭圆上的点，且12  PF ，则2PF 

　试卷第 2 页，总 4 页 （

　）

　A．1 B．2 C．3 D．4 8．椭圆2212xy   右焦点的坐标为（

　）

　A．   1,0

　B． ( 2,0)

　C． ( 3,0)

　D． (2,0)

　9．在 ABC 中，已知  1,0 A  ，   1,0 C ，且 BC ， CA ， AB 成等差数列，则顶点 B 的轨迹方程是（

　）

　A．2 214 3x y 

　B． 2 21 33 4x yx    

　C．2 214 3x y 

　D．  2 2=1 24 3x yx   

　10．已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yE a ba b    的长轴长为 8，短半轴长为 2，则椭圆的方程为（

　）

　A．2 2164 4x y 

　B．22116xy   C．22164xy  

　D．2 2116 4x y  11．已知方程2 211 2x ym m  表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是（

　）

　A． ( ,2) 

　B． ( ,1) 

　C．3(1, )2 D．3( , )2

　12．关于 x ， y 的方程  2 22 1 1 ax a y    表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为（

　）

　A．12a 

　B． 1 a 

　C．12a  且 1 a 

　D．12a  或 0 a 

　二、填空题 13．椭圆2213yx   的离心率为__________． 14．已知焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 12，离心率为1,3则该椭圆的标准方程是_______. 15．若方程2 213 2x yk k  表示椭圆，则 k 的取值范围是_______.

　16．以1F 、2F 为焦点作椭圆，椭圆上一点1P 到1F 、2F 的距离之和为 10，椭圆上另一点2P 满足2 1 2 2PF PF  ，则2 1PF  ______．

　三、解答题 17．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）离心率是23，长轴长是 6. （2）过点6, 33A    和2 2,13B    . 18．已知椭圆 C 的长轴长为 10 ，两焦点1 2, F F 的坐标分别为   3,0  和   3,0 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）若 P 为椭圆 C 上一点，2PF x  轴，求1 2FPF  的面积． 19．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为   2 3,0 F  ，且长轴长是短轴长的 2倍，求该椭圆的标准方程； （2）已知双曲线焦点在 y 轴上，焦距为 10，双曲线的渐近线方程为 2 0 x y   ，求双曲线的方程． 20．在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 ：

　经过点 ，其中一条近线的方程为 ，椭圆 ：

　与双曲线 有相同的焦点椭圆 的左焦点，左顶点和上顶点分别为 F，A，B，且点 F 到直线 AB 的距离为 ． 求双曲线 的方程； 求椭圆 的方程． 21．已知离心率为 的椭圆

　经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）若不过点 的直线 交椭圆 于 两点，求 面积的最大值. 22．极坐标系中椭圆 C 的方程为 以极点为原点，极轴为 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.

　试卷第 4 页，总 4 页 （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为 ，求 的取值范围； （Ⅱ）若椭圆的两条弦 交于点 ，且直线 与 的倾斜角互补， 求证:.

　 答案第 1 页，总 11 页 参考答案 1．B 【分析】

　由椭圆方程得到 , a b 的值，然后由2 2 2a b c  求得 c 的值，进而求得离心率. 【详解】

　根据椭圆标准方程，得 2, 3 a b   ，故2 21 c a b   ，所以椭圆的离心率为12ca . 故选：B. 2．C 【分析】

　由椭圆标准方程求出 a ，根据长轴的定义可求解. 【详解】

　由2 2116 4x y 知216 a ， 所以 4 a  ，所以长轴长为 2 8 a  . 故选：C 3．D 【分析】

　将椭圆的方程化成标准形式，再利用方程中 a,b,c的关系，即可得答案； 【详解】

　方程变形为2 216 2x ym  ， ∵焦点在 y 轴上，∴ 2 6 m  ，解得 3 m  ， 又 2 c  ，∴22 6 2 m  ，解得则 5 m  ， 故选：D. 4．C 【分析】

　根据椭圆方程，判断椭圆的焦点位置，求出半焦距 c ，进而可得焦点坐标. 【详解】

　 答案第 2 页，总 11 页 由2 24 2 1 x y   可得2 211 14 2x y ， 所以焦点在 y 轴上，且半焦距为1 1 12 4 2c    ， 则椭圆的焦点坐标为110,2F   ，210,2F   . 故选：C. 5．B 【分析】

　根据题中条件，得到2 2112 3a  ，求解，即可得出结果. 【详解】

　因为点   ,1 P a 在椭圆2 212 3x y  的外部， 所以2 2112 3a  ，即243a  ，解得2 33a 或2 33a  . 故选：B. 6．A 【分析】

　由标准方程即可求出焦点所在轴以及焦点坐标. 【详解】

　因为 25>16，所以焦点在 x 轴上，又 a 2 ＝c 2

　+b 2 ，∴c 2 ＝9， 所以焦点坐标为（-3，0）或（3，0）， 故选:A. 7．D 【分析】

　利用椭圆的定义，由1 22 PF PF a   即可求解. 【详解】

　 答案第 3 页，总 11 页 由椭圆2 219 4x y  ，则 3 a  ， 所以1 22 6 PF PF a    ， 所以26 2 4 PF    . 故选：D 8．A 【分析】

　利用椭圆的标准方程求解即可. 【详解】

　由题意：22 a ，21 b  ，

　2 21 c a b   ，  椭圆右焦点坐标为   1,0 ； 故选：A. 9．D 【分析】

　根据题意可知 + 2 4 BC BA AC   ，利用椭圆的定义求解即可. 【详解】

　∵ BC ， CA ， AB 成等差数列， ∴ + 2 4 BC BA AC   ， 根据椭圆的定义可知，点 B 的轨迹是以 , A C 为焦点，长轴 2 4 a  的椭圆， 又 B 是三角形的顶点， , , A B C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为  2 21 24 3x yx     . 故选：D 【点睛】

　本题考查利用定义法求解动点的轨迹方程，求解时，还要注意看轨迹是否为完整的椭圆，如

　 答案第 4 页，总 11 页 果不是完整的椭圆，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制. 10．D 【分析】

　直接利用已知条件，求出 a ， b ，然后得到椭圆方程. 【详解】

　因为椭圆2 22 2: 1( 0)x yE a ba b    的长轴长为 8，短半轴长为 2， 可得 4 a  ， 2 b  ，所以椭圆的方程为2 2116 4x y . 故选：D. 11．C 【分析】

　根据椭圆的标准方程以及性质即可求解. 【详解】

　2 211 2x ym m  表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 2 1 0 m m     ， 解得312m   . 所以实数 m 的取值范围是3(1, )2. 故选：C 12．B 【分析】

　根据椭圆的方程可得02 1 02 1aaa a   ，求出 a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】

　若方程  2 22 1 1 ax a y    表示的曲线为椭圆，

　 答案第 5 页，总 11 页 则有02 1 02 1aaa a   ，所以12a  且 1 a  ， 故选项 A 和 D非充分条件，选项 C 为充要条件，选项 B 为充分不必要条件， 故选：B. 13．63 【分析】

　求出 a 、 b 、 c 的值，进而可求得椭圆2213yx   的离心率的值. 【详解】

　在椭圆2213yx   中， 3 a  ， 1 b  ，2 22 c a b   ， 所以，椭圆2213yx   的离心率为2 63 3cea   . 故答案为：63. 14．2 2136 32x y 

　【分析】

　根据椭圆的性质求出 , a b ，即可得出该椭圆的标准方程. 【详解】

　由题意可知2 1213aca ，解得2 2 26, 2, 36 4 32 a c b a c       

　则该椭圆的标准方程为2 2136 32x y 

　故答案为：2 2136 32x y 

　15．1 13, ,22 2             【分析】

　 答案第 6 页，总 11 页 根据方程的形式可得关于 k 的不等式组，从而可得 k 的取值范围. 【详解】

　由题设可得3 02 03 2kkk k     ，解得1 13, ,22 2k             . 故答案为：1 1( 3, ) ( ,2)2 2    . 16．5 【分析】

　根据椭圆的定义得出线段之间的长度关系，由此可得出答案． 【详解】

　因为点 P 在椭圆上，所以2 1 2 2+ 10 PF PF  ，又2 1 2 2PF PF  ，所以2 15 PF  ， 故答案为：5． 17．（1）2 219 5x y  ；2 219 5y x  ；（2）2219yx  

　【分析】

　（1）计算 , , a b c ，然后根据焦点的位置可得椭圆的标准方程. （2）假设椭圆的一般方程，代值计算，可得结果. 【详解】

　（1）由题可知：2,2 63ce aa  

　所以可知 3, 2 a c   ，又2 2 2a b c  

　所以25 b  当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为2 219 5x y 

　当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为2 219 5y x 

　（2）设椭圆的方程为  2 21 0, 0, mx ny m n m n     

　 答案第 7 页，总 11 页 由椭圆过点6, 33A    和2 2,13B     所以 22263 11312 2913m nmnm n                    所以椭圆的方程为：2219yx  

　【点睛】

　本题主要考查椭圆方程的求法，第（2）问中，难点在于假设椭圆的一般方程，把握细节，审清题干，细心计算，属基础题. 18．（1）2 2125 16x y  （2）485 【分析】

　（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得, a c .由椭圆中满足2 2 2a b c  ,即可求得2b,进而得椭圆的标准方程. （2）根据2PF x  ,可得 P 点坐标,即可求得1 2FPF  的面积． 【详解】

　（1）椭圆 C 的长轴长为 10 ,两焦点1 2, F F 的坐标分别为   3,0  和   3,0

　则 2 10, 3 a c   ,且2 2 2a b c  

　解得25, 16 a b  

　所以椭圆的标准方程为2 2125 16x y 

　（2）

　P 为椭圆 C 上一点,2PF x  轴 所以点 P 的横坐标为 3 x  ,代入椭圆方程可求得点 P 的纵坐标为165y  

　 不妨设点 P 在 x 轴上方,则163,5P   

　 答案第 8 页，总 11 页 所以1 21 212F PF PS F F y  

　16 1 485 562   

　【点睛】

　本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题. 19．(1)2 2116 4x y (2) 2 215 20y x 

　【分析】

　（1）根据椭圆的几何性质列出方程组，解出即可； （2）根据双曲线的几何性质列出方程组，解出即可． 【详解】

　解：（1）由题意，该椭圆的焦点在 x 轴，设椭圆的标准方程为2 22 21( 0)x ya ba b    ， ∴ 22 22 2 22 3a ba b   ，解得42ab ， ∴该椭圆的标准方程为2 2116 4x y  ； （2）由题意，设双曲线的标准方程为2 22 21( 0, 0)y xa ba b    ，设焦距为 2c， ∴2 2 2122 10a b cabc   ，解得52 55abc ， ∴该双曲线的方程为2 215 20y x  ． 【点睛】

　本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质的应用，是对圆锥曲线基础知识的考查，属于基础题．

　 答案第 9 页，总 11 页 20．（1）

　（2）

　【解析】

　【分析】

　由双曲线经过点 ，可得 m；再由渐近线方程可得 m，n 的方程，求得 n，即可得到所求双曲线的方程； 由椭圆的 a，b，c 的关系式，求得 F，A，B 的坐标，可得直线 AB 的方程，由点到直线的距离公式，可得 a，b的关系式，解方程可得 a，b，进而得到所求椭圆方程． 【详解】

　解：

　双曲线 ：

　经过点 ， 可得 ， 其中一条近线的方程为 ，可得 ， 解得 ， ， 即有双曲线 的方程为 ； 椭圆 ：

　与双曲线 有相同的焦点， 可得 ，

　椭圆 的左焦点，左顶点和上顶点分别为 ， ， ， 由点 F 到直线 AB：

　的距离为 ，可得 ，化为 ，

　由 解得 ， ， 则椭圆 的方程为 ． 【点睛】

　本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题． 21．（1）

　，（2）

　【解析】

　 答案第 10 页，总 11 页 试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为 ，可得 ,可设椭圆方程为 ，再代入点 的坐标得代入设出的椭圆的方程，即可得椭圆 的方程 （Ⅱ）先设点 ， 的坐标分别为 ， ，将直线方程与椭圆的方程联立：消去一个元，得到一个一元二次方程.再求解判别式 ：写出根与系数的关系.计算点 到直线 的距离，得到用 表示 的面积，利用基本不等式求出 面积的最大值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ,所以设 ， ，则 ，椭圆 的方程为 . 代入点 的坐标得 ， ，所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）设点 ， 的坐标分别为 ， ， 由 得 ，即 ， ，

　， .

　 ， 点 到直线 的距离 ， 的面积

　，当且仅当 ，即 时等号成立. 所以当 时， 面积的最大值为 . 考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题.

　 答案第 11 页，总 11 页 【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式 ：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 22．（Ⅰ）

　（Ⅱ）详见解析 【解析】

　试题分析：将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果. 试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为 ， 2 分 设 ，

　所以 的取值范围是 4 分 （Ⅱ）设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，

　则直线 的参数方程为 （ 为参数），（5 分）

　代入 得：

　即 7 分 同理 9 分 所以 （10 分）

　考点：极坐标、参数方程，换元法应用.