北师大版八年级下册数学全册教案设计

北师大版数学八年级下册 全册教案设计 清风染绿叶 第一章　三角形的证明 1　等腰三角形 第1课时　全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论． 重点 掌握等腰三角形的性质定理及推论． 难点 证明等腰三角形的相关性质． 一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
(1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

(2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

(3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

(4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

(5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质． 二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理 问题1：什么是等腰三角形？ 问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来． 问题3：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质． 引导学生得出等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；
方法二：过点A作AD⊥BC于点D；
方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C. 证法二：作∠BAC的平分线AD交BC于点D. ⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C. 归纳等腰三角形的性质定理：等边对等角． 用几何语言描述为：
在△ABC中， ∵AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. 2．等腰三角形性质定理的推论 师：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 处理方式：引导学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论． 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合． 简称为等腰三角形的“三线合一”． 三、举例分析 例　在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 处理方式：引导学生分析求解方法，学生动手求解并写出过程． 解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC , ∠A＝∠ABD. 设∠A＝x，则∠BDC＝∠A ＋∠ABD＝2x， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x. ∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°， 解得 x＝36°.∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 四、练习巩固 1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为(　　) A．2　　　　　B．3　　　　　C．4　　　　　D．5 2．在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件：①AB＝DE；
②BC＝EF；
③AC＝DF；
④∠A＝∠D；
⑤∠B＝∠E；
⑥∠C＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是(　　) A．①②⑤　　　　　　B．①②③ C．①④⑥ D．②③④ 3．如图，已知AC＝EF，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．
　,第4题图) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． 求证：(1)△ABD≌△ACD；

(2)BE＝CE. 五、课堂小结 1．等腰三角形的性质定理是什么？ 2．等腰三角形性质定理的推论是什么？ 六、课外作业 1．教材第3～4页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第4～5页习题1.1第1～6题． 本节课根据学生已有活动经验，经历“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，使学生自主探究，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果．当然，在探索等腰三角形的性质的活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整． 第2课时　等边三角形的性质 1．了解等腰三角形中线、高线和角平分线的性质． 2．掌握等边三角形的性质． 3．经历等腰三角形的中线、高线、角平分线的性质探索过程，体会性质证明的严谨性． 重点 掌握等边三角形的性质定理． 难点 用等边三角形、等腰三角形的有关性质解决问题． 一、复习导入 在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？ 二、探究新知 1．等腰三角形中线、高线和角平分线的性质 (1)引导学生在等腰三角形中自主画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．注意给予适度的引导，如可以依次提出问题：
①你可能得到哪些相等的线段？ ②你如何验证你的猜测？ ③你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

④还可以有哪些证明方法？ 学生通过自主探究和同伴的交流，一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：
①等腰三角形两底角的平分线相等；

②等腰三角形腰上的高相等；

③等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明，如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线． 求证：BD＝CE. 证法1：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)． ∵∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB， ∴∠1＝∠2. 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2， ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴ BD＝CE(全等三角形的对应边相等) . 证法2：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD，CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠3＝∠4. 在△ABD和△ACE中， ∵∠3 ＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)． (2)请学生思考：除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？ 课件出示教材第5～6页“议一议”． 说明：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的． 2．等边三角形的性质 课件出示教材第6页“想一想”． 引导学生得出：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC. 求证：∠A＝∠B＝∠C ＝60°. 证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)． 同理：∠C＝∠A，∴∠A＝∠B＝ ∠C(等量代换)． 又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 三、练习巩固 1．如图，已知△ABC 和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD. 2．教材第6页“随堂练习”第1、2题． 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、课外作业 教材第7页习题1.2第1～4题． 本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些学生而言，完成全部这些学习任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少“议一议”一些变式内容，将角的多等分线内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开． 第3课时　等腰三角形的判定 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用． 4．培养学生的逆向思维能力． 重点 掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 难点 理解和掌握反证法的证明方法． 一、复习导入 问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2：我们是如何证明上述定理的？ 问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？ 二、探究新知 1．等腰三角形的判定定理 师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流． 处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；
小组之间探究讨论多种证明方法． 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC ， ∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ， ∴ △ABD≌△ACD (AAS)． ∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)． 证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD, ∴ △ABD≌△ACD (AAS) . ∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)． (教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．) 师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的． 引导学生归纳等腰三角形的判定定理：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 简述为：等角对等边． 2．反证法 课件出示：
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论． 师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示) 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此 AB≠AC. 师：你能理解他的推理过程吗？ 师出示“反证法”的定义：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 三、举例分析 例1　已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ， ∴△ABD≌△DCA. ∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)． ∴AE＝DE(等角对等边)． ∴△AED是等腰三角形． 例2　(课件出示教材第9页例3) 处理方法：学生独立完成，教师点评． 四、练习巩固 1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是(　　) A．钝角三角形　　B．直角三角形 C．等腰三角形　　D．等边三角形 2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形(　　) A．6个　　B．5个　　C．4个　　D．3个 ,第2题图)　　　,第3题图) 3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4 cm，AE＝5 cm，则AC等于(　　) A．5 cm　　B．4 cm　　C．9 cm　　D．1 cm 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第9页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第9～10页习题1.3第1～4题． 本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一． 第4课时　等边三角形的判定 1．理解等边三角形的两个判定定理及其证明． 2．理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明． 3．能利用等边三角形的两个判定定理解决一些简单的问题． 重点 等边三角形判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 难点 含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 一、复习导入 1．等腰三角形的性质有哪些？ 2．等腰三角形的判定定理是什么？ 师：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？如何判定一个三角形是等边三角形呢？ 二、探究新知 1．等边三角形的判定定理 师：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 处理方式：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：
性质 判定的条件 等边三 角形 等边对等角 “三线合一”即等边 三角形顶角平分 线、底边上的中 线、高线互相重合 等边三角形三个角都 相等，且每个角都是60° 有一个角是60°的 等腰三角形 三个角都相等的三角 形是等边三角形
2.含30°角的直角三角形的性质定理 师：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形——含30°角的直角三角形． 师：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？并说明理由． 解：能拼出一个等边三角形． 方法1：∵△ABD≌ACD，∴AB＝AC.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ABD＝60°，∴三角形ABC是等边三角形． 方法2：∵∠B＝∠C＝60，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC是等边三角形． 师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系？有哪些线段存在倍数关系？你能得到什么结论？说说你的理由． 处理方式：如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论．然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°. 求证：BC＝AB. 分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. 证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD(如图所示)． ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°. ∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC＝BD＝AB. 三、举例分析 例　等腰△ABC的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长． 分析：在Rt△ADC中，AC＝2a，观察图形可以发现∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD. 解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°， ∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∴CD＝AC＝×2a＝ a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)． 四、练习巩固 1．下列命题：①有两个角相等的三角形是等边三角形；
②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角都相等的三角形是等边三角形；
④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有________．(填序号) 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求AB，BC的长． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第12页“随堂练习”． 2．教材第12～13页习题1.4第1～5题． 本节课的难点在于探究直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得了较好的效果． 2　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定 1．掌握直角三角形的性质定理及判定定理． 2．掌握勾股定理及其逆定理． 3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题． 重点 掌握直角三角形的性质定理及判定定理，勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理． 难点 勾股定理及其逆定理的证明． 一、情境导入 师：下图是2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？ 师：本节课就让我们继续学习与直角三角形有关的知识． 二、探究新知 1．直角三角形的性质 师：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 引导学生得出：
(1)直角三角形的两锐角互余． (2)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 师：上节课我们已经证明了定理3，那么你知道定理1、2是如何证明的吗？ 师：实际上，我们利用基本事实和已有定理也能够证明勾股定理，请同学们打开教材第16页，阅读“读一读”，了解利用基本事实和推导出的定理，证明勾股定理的方法． 师：(学生阅读完毕后)目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，课下请同学们搜集一下勾股定理证明的方法. 2．直角三角形的判定 问题1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请说明理由. 问题2：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个学生同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个学生分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结．你知道这样做的理由吗？你能证明此命题吗？ 3．命题的互逆关系 (1)师：观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 师：你能给它们下一个确切的定义吗？ (2)想一想：你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？如果一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？ 师：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们把这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理． 师：你还能举一些互逆定理的例子吗？ 三、举例分析 例　如图，BA⊥DA于点A，AD ＝ 12，DC ＝ 9，CA ＝ 15，求证：BA∥DC. 分析：利用勾股定理的逆定理，证明∠D是直角，再根据同旁内角互补，两直线平行解决． 四、练习巩固 1．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26.则四边形ABCD的面积为________． 3.在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9. (1)求DC的长；

(2)求AB的长；

(3)求证：△ABC是直角三角形． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第16页“随堂练习”第1～3题． 2．教材第17～18页习题1.5第1～5题． 本节课学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不太准确，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导．使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距．所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导． 第2课时　直角三角形全等的判定 1．掌握并利用 “HL”定理解决实际问题． 2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形． 3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性． 重点 直角三角形“HL”判定定理的理解及运用． 难点 证明“HL”定理的思路的探究和分析． 一、复习导入 1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？ 2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？ 3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？ 师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形． 二、探究新知 1．猜想 师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等． 2．探究 课件出示教材第18页“做一做”． 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形． 已知：如图，线段a，c(a<c)，直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c. 画图过程展示：
(1)作∠MCN＝∠α＝90°；

(2)在射线CM截取CB＝a；

(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；

(4)连接AB，得到Rt△ABC. 思考：通过刚才的画图，你有什么发现？ 3．总结 师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？ 板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等． 4．证明 师：你能证明这个命题是真命题吗？ 处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程． 证明过程展示：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， ∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)． 同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)． ∵AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)． 师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”． 三、举例分析 例　(课件出示教材第20页例题) 处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程． 分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系． 解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． ∴∠B＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠F＝90°， ∴∠B＋∠F＝90°. 四、练习巩固 1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．
2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第20页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第21页习题1.6第1～5题． 本节课讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力.3　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定 1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理． 2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力． 重点 线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的理解及应用． 难点 线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的证明和应用． 一、情境导入 课件出示：
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成． 二、探究新知 1．线段的垂直平分线的性质 师：你能用公理或学过的定理证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”吗？ 处理方式：引导学生分析并写出已知、求证的内容． 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点． 求证：PA＝PB. 分析：要证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 2．线段的垂直平分线的判定 师：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 处理方式：引导学生分析证明过程，有如下三种证法． 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上． 证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC.∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC. 即点P在AB的垂直平分线上． 证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝∠90°，即PC⊥AB. ∴点P在AB的垂直平分线上． 证法三：过点P作∠APB的角平分线． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 师：从刚才的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段垂直平分线的判定定理． 归纳：
(1)线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合． (2)到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此只需作出这样的两个点即可作出线段的垂直平分线． 三、举例分析 例　已知：如图，在 △ABC 中，AB ＝ AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB ＝ OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC. 证明：∵ AB ＝ AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)． 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上． ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线)． 说明：学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法，并给出完整的证明过程． 四、练习巩固 1．如果平面内的点C，D，E到线段AB的两端点的距离相等，则点C，D，E均在线段AB的________． 2．设l是线段AB的垂直平分线，且CA ＝ CB，则点C一定________． 五、课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 六、课外作业 1．教材第23页“随堂练习”． 2．教材第23～24页习题1.7第1～4题． 在本节课的教学中，教师要善于引导学生从问题出发，根据观察：
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴，先得出猜想：线段的垂直平分线与河边所在直线的交点就是码头所在位置，然后再证明码头到线段的两个端点的距离相等即可．讲解时注意要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透． 第2课时　三角形三边垂直平分线的性质 1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论． 2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形． 重点 掌握三角形三边垂直平分线的性质． 难点 会用所学知识按要求作图． 一、复习导入 活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线． 师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程) 引导学生得出：
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论． 二、探究新知 1．三角形三边垂直平分线的性质 (1)教师引导学生分析，寻找证明方法． 师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示． 通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可． (2)师生共同分析，完成证明． 处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性． 已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP. 求证：点P在AC的垂直平分线上． 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． 同理PB＝PC. ∴PA＝PC. ∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P. 师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？ (交点P到三角形三个顶点的距离相等) (3)多媒体演示我们得出的结论：
定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 2．按要求作图 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？ 处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论． 解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个． 已知：三角形的一条边a和这边上的高h， 求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h. 从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；
然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等． (2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除． (3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h. 作法：①作BC＝a；

②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；

③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；

④连接AB，AC. ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)． 三、练习巩固 1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是(　　) A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形　　　B．直角三角形 C．钝角三角形　　　D．不能确定 3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________． 4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法) 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、课外作业 1．教材第26页“随堂练习”． 2．教材第26～27页习题1.8第1～4题． 本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好． 4　角平分线 第1课时　角平分线的性质定理及逆定理 1．会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． 3．经历探索、猜想、证明的过程使学生掌握研究解决问题的方法． 重点 会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 难点 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明． 一、复习导入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，从折纸过程中，我们可以得出：角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗？ 二、探究新知 1．角平分线的性质定理 师：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP， ∠PDO＝∠PEO＝90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． 说明：教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导． 2．角平分线性质定理的逆定理 师：你能写出这个定理的逆命题吗？ 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 师：它是真命题吗？ 你能证明它吗？ 强调：没有加“在角的内部”时，是假命题． 处理方式：由学生自己独立思考完成，再全班讨论交流，对困难学生可个别辅导． 证明如下：
已知：如图，在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，且PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠ PEO＝90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中， OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)． ∴∠POD＝∠POE(全等三角形的对应角相等)． 师：逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理． 三、举例分析 例　如图， 在 △ABC 中， ∠ BAC ＝60°， 点 D 在 BC上， AD＝10，DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为 E, F, 且DE＝DF, 求DE的长． 处理方式：师生共同分析，写出证明过程． 解：
∵DE⊥AB, DF⊥AC, 且 DE＝DF， ∴ AD平分∠BAC. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠ BAD ＝ 30° . 在Rt△ADE中， ∠AED＝90°， AD＝10, ∴ DE＝AD ＝× 10 ＝ 5. 四、练习巩固 1．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AD＝4 cm，则DE的长为(　　) A．2 cm　　B．3 cm　　C．4 cm　　D．8 cm 2．如图，AP平分∠BAC，∠C＝90°，若PC＝2 cm ，则点P到AB边的距离是________cm. 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DM⊥AB，DN⊥AC，求证：BM＝CN. 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第29页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第30页习题1.9第1～4题． 教学时，采用“实验—猜想—验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意． 第2课时　角平分线性质定理及判定定理的应用 1．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． 2．培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． 重点 综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题． 难点 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用． 一、情境导入 1．通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 2．能证明自己发现的结论一定正确吗？ 学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明． 二、探究新知 1．课件出示：
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P. 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE. 同理：PE＝PF. ∴PD＝PF. ∴点P在∠BAC的平分线上． 师：在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？ (PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．) 2．比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角 形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点 交于三角形 内一点 交点性质 到三角形三个顶点的 距离相等 到三角形三边的 距离相等
三、举例分析 例　如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB＝AC＋CD. (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4 cm. ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC. ∵∠C＝90°， ∴∠B＝×90°＝45°. ∴∠BDE＝90°－45°＝45°. ∴BE＝DE. 在等腰直角三角形BDE中 BD＝＝ 4 cm(勾股定理)， ∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4 ) cm. (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)， ∴AC＝AE. ∵BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 四、练习巩固 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2则点D到线段AB的距离为________． 2.如图，已知AD⊥OB于点D，BC⊥OA于点C，AD，BC相交于点E，且EA＝EB.求证：EO为∠AOB的平分线． 3．如图，直线 l1，l2，l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 五、课堂小结 谈谈你这节课有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第31页“随堂练习”． 2．教材第32页习题1.10第1～4题． 本节课对学生能力的要求很高，教师要善于利用教材中的典型例题加以发挥，使例题的以点带线、以线带面功能得以体现，达到举一反三的功效．如果课堂时间允许，还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解． 第二章　一元一次不等式与一元一次不等式组 1　不等关系 1．理解不等式的意义． 2．能根据条件列出不等式． 3．通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与生活的密切联系，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣． 重点 用不等关系解决实际问题． 难点 正确理解题意列出不等式． 一、情境导入 问题1：根据图片你能目测东方明珠和金茂大厦哪一个高吗？ 问题2：换个角度看看呢？ (1)结论：东方明珠高．(2)结论：金茂大厦高． 师：因为东方明珠高468米，金茂大厦高 420.5米，所以东方明珠比金茂大厦高 . 由此可见目测会得出错误结果，只能根据它们的实际高度比较高低． 师：比较两个实数的大小的依据是什么呢？ 二、探究新知 师：既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，那么，如何用式子表示不等关系呢？ 课件出示：
如图， 用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆． (1)如果要使正方形的面积不大于 25 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ (2)如果要使圆的面积不小于 100 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ (3)当 l＝8 时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12 呢？改变 l 的取值再试一试．由此你能得到什么猜想？ 处理方式：师生共同分析，解答问题． 解：(1)根据题意可知，所围成的正方形的面积可以表示为()2 ，要使正方形的面积不大于 25 cm2，则l 满足关系式()2≤25，即 ≤25. (2)根据题意可知，圆的面积可以表示为π()2.要使圆的面积不小于 100 cm2，则 l 满足关系式 π()2 ≥100，即 ≥100. (3)当 l＝8 时，S正方形<S圆， 当l＝12时，S正方形<S圆． 我们可以猜想，正方形的周长和圆的周长均为 l cm时，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积． 三、举例分析 例1　铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：
每件行李的长、宽、高之和不得超过 160 cm.设行李的长、宽、高分别为 a cm, b cm, c cm, 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式． 处理方式：学生分析题意，自主完成． 分析：题目中不等关系：长＋宽＋高不超过 160 cm. 解：根据题意，得a＋b ＋c ≤160. 例2　通过测量一棵树的树围(树干的周长) 可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m的地方为测量部位．某树栽种时的树围为6 cm, 以后10年内每年增加约3 cm，设经过x年后这棵树的树围超过30 cm，请你列出x满足的关系式． 处理方式：学生分析题意，自主完成． 分析：题目中不等关系：栽种时树围＋x年增长树围>30 cm. 解：依题意得，6＋3x＞30. 师：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ 师生共同分析，归纳总结：
一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式． 归纳：
第一类——明显的不等关系 关键词语 大于 超过 比……大 小于 低于 比……小 不大于 不超过 至多 不小于 不低于 至少 大于或 小于 不等号 ＞0 ＜0 ≤0 ≥0 ≠ 第二类——隐含的不等关系 关键词语 正数 负数 非负数 非正数 不等号 ＞0 ＜0 ≥0 ≤0
四、练习巩固 1．下面给出了5个式子：①3＞0；
②4x＋3y＞0；
③x＝3；
④x－1；
⑤x＋2≤3，其中不等式有(　　) A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 2.用适当的符号表示下列关系：
(1)a与b的差是非负数；

(2)三角形两边之和大于第三边． 3．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：
原料 甲种原料 乙种原料 维生素C含量/(单位：千克) 600 100
现在用这两种原料10千克配制这种饮料，要求至少含有4 200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式． 五、课堂小结 谈谈你这节课有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第38页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第38～39页习题2.1第1～4题． 本节课利用相等关系的知识作基础，学生已经知道用等号连接表示相等关系的式子叫等式，不难给出不等式的定义，从而培养学生总结归纳的能力．借助问题向学生渗透“类比”的数学思想，为以后学习不等式的其他知识奠定思想方法基础． 2　不等式的基本性质 1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同． 2．掌握不等式的基本性质． 重点 掌握不等式的基本性质，并能运用性质将不等式变形． 难点 能正确运用不等式的性质将不等式变形． 一、复习导入 1．观察下面这几个式子，回答什么是等式． x＋2y＝3，m2－2n＝0，x＋2＝y. 2．等式有哪些性质？ 3．从上面的回忆可知，等式有两条基本性质，那么不等式有没有类似的性质呢？ 师：我们今天的主要任务就是研究不等式有哪些性质． 二、探究新知 1．探讨不等式的性质1 仿照下表，分组探讨，找出规律：
不等式 不等式的两边 都加(或减) 同一个数 结果 与原不等式比 较不等号的方向 是否改变了 7＞4 加5 12＞9 没有改变 －3＜4 减7 －10＜－3 没有改变 … … … …
通过上面的探讨，我们可以得出不等式的性质1：
不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变． 这个性质可以用数学语言表示为：
如果a＜b，那么a±c＜b±c；

如果a＞b，那么a±c＞b±c. 2．探讨不等式的性质2 仿照下表，分组探讨，找出规律：
不等式 不等式的两边 都乘(或除以) 同一个正数 结果 与原不等式比 较不等号的方向 是否改变了 7＞4 乘5 35＞20 没有改变 －8＜4 除以4 －2＜1 没有改变 … … … …
通过上面的探讨，我们可以得出不等式的性质2：
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 这个性质可以用数学语言表示为：
如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc；
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc. 3．探讨不等式的性质3 仿照下表，分组探讨，找出规律：
不等式 不等式的两边 都乘(或除以 )同一个负数 结果 与原不等式比 较不等号的方向 是否改变了 7＞4 乘－5 －35＜－20 不等号的方向 改变了 －8＜4 除以－4 2＞－1 不等号的方向 改变了 … … … …
通过上面的探讨，我们可以得出不等式的性质3：
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 这个性质可以用数学语言表示为：
如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. 三、举例分析 例　a是任意有理数，试比较5a与3a的大小． 解：当a＞0时，5a＞3a；

当a＝0时，5a＝3a；

当a＜0时，5a＜3a. 四、练习巩固 1．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件(　　) A．a>0　　B．a<0　　C．a＝0　　D．a≥0 2．若a>b，且m为非负数，则am________bm. 3．根据不等式的基本性质，把不等式2x＋5<4x－1变为x>a或x<a的形式． 4．如图，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，盘子仍然像原来那样倾斜吗？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第41页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第42页习题2.2第1～4题． 本节课教学中问题串的设置均与等式的基本性质相联系，引导学生一步步从类比中自己先猜想不等式基本性质的雏形，再通过具体数值验算性质，最后自己总结归纳完善不等式的性质并能用字母表示出来．在讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，在整个教学过程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引导，学生对于由自己推导出不等式的性质感到非常有成就感． 3　不等式的解集 1．理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义． 2．经历求不等式的解集的过程，会在数轴上表示不等式的解集． 重点 掌握不等式中的相关概念，不等式的解集及其表示方法． 难点 掌握不等式的解集在数轴上的表示方法． 一、复习导入 1．什么叫不等式？什么叫方程？什么叫方程的解？ 2．用不等式表示：
(1)x的3倍大于1；

(2)y与5的差大于零；

(3)x与3的和小于6; (4)x的小于2. 3．当x取下列数值时，不等式x＋3＜6是否成立？ －4，3.5，－2.5，3，0，2.9. 4．在某次数学竞赛中，教师对优秀学生给予奖励，花了30元买了3个笔记本和若干支笔，已知笔记本每本4元，笔每支2元，问最多能买多少支笔？ 二、探究新知 1．课件出示：
燃放某种烟花时，为了确保安全，人在点燃引火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域．已知引火线的燃烧速度为0.02 m/s，燃放者离开的速度为4 m/s，那么引火线的长度应为多少厘米？ 分析：设引火线长度为x cm，燃放者转移到安全区域需要的时间最少为(s)，引火线燃烧的时间为s ，要使燃放者转移到安全地带，必须有＞ . 解：设引火线的长度为x cm，则 ＞. 根据不等式的基本性质，可得x＞5. 2．课件出示：
(1)x＝－2，1，5，6，8是不等式x＞5的解吗？ (2)你还能说出几个不等式x＞5的解吗？你认为不等式x＞5的解有多少个？它们有什么特点？ (3)不等式x2≤0的解有哪些？不等式x2≤－2呢？ 解：(1)x＝6，8是不等式x＞5的解．x＝－2，1，5不是不等式x＞5 的解． (2)不等式x＞5的解有无数个．它们都比5大． (3)不等式x2≤0的解是x＝0；
不等式x2≤－2无解． 在此问题的基础上，给出不等式的解、不等式的解集和解不等式的定义：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式． 三、举例分析 例　请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式 x－5≤ －1的解集分别表示在数轴上． 解：不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如图) ，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示 5 不在这个解集内. 不等式x－5≤ －1 的解集x≤4 可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如图) ，在数轴上表示 4 的点的位置上画实心圆点，表示 4 在这个解集内. 说明：将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：
①指示线的方向，“>”向右，“<”向左． ②有“＝”用实心点，没有“＝”用空心圈． 四、练习巩固 1．根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上：
(1)x－2≥－4；
(2)2x≤8；
(3)－2x－2＞－10. 2．不等式x < 6有多少个解？请找出几个，有多少个正整数解？请找出来． 五、课堂小结 1．如何区别不等式的解、不等式的解集及解不等式这几个概念？ 2．在数轴上表示不等式解集时应注意什么？ 六、课外作业 1．教材第44页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第44～45页习题2.3第1～4题． 本节课从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体会数学活动充满着探索与创造性，学生积极主动，学习效果较好． 4　 一元一次不等式 第1课时　一元一次不等式的解法 1．经历一元一次不等式的形成过程，理解一元一次不等式的概念． 2．通过类比理解一元一次不等式的解法，解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集． 重点 掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来． 难点 掌握一元一次不等式的解法． 一、复习导入 问题1：某次知识竞赛中共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，若某同学得分80分． (1)如果设他答对了x道题，请写出x所满足的关系式？ (2)这个关系式我们称之为什么？ (3)什么叫一元一次方程？ 问题2：如果把某同学得分80分改成至少得80分，其他条件不变． (1)你又得出什么关系式？ (2)这个关系式叫做什么？ 处理方式：问题1让学生列出一元一次方程后，口答出一元一次方程的定义．问题2得出一元一次不等式，学生可能回答出是一元一次不等式．什么是一元一次不等式呢？如何去解一元一次不等式呢？此时告诉学生为了更好地针对这两问题进行进一步的探究，从而引入新课． 二、探究新知 1．一元一次不等式的定义 问题1：你能找出一元一次方程10x－5(20－x)＝80与10x－5(20－x)≥80之间的相同点和不同点吗？ 问题2：类比一元一次方程的定义，你能给出一元一次不等式的定义吗？ 处理方式：通过对比一元一次方程与一元一次不等式的相同点与不同点，类比一元一次方程的定义，让学生得出一元一次不等式的定义：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2．一元一次不等式的解法 问题1：不等式的三条基本性质是什么？ 问题2：运用不等式的基本性质把下列不等式化成x>a或x<a的形式． ①x－4<6x；
　　　②2x >x－5. 问题3：一元一次方程10x－5(20－x)＝80的解是多少？ 问题4：解一元一次方程的步骤是什么？ 问题5：试一试，求出一元一次不等式10x－5(20－x)≥80的解． 问题6：能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？ 处理方式：学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并归纳一元一次不等式的解法，大致要分五个步骤进行：(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)系数化1. 三、举例分析 例1　解不等式≥，并把它的解集表示在数轴上． 处理方式：通过师生共同探讨，经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的过程． 例2　求不等式 (3x＋4)－3≤7的非负整数解． 处理方式：学生独立完成，教师巡视，适时点拨．引导学生注意：0既不是正数，也不是负数，但是整数． 四、练习巩固 1．下列各式中是一元一次不等式的为(　　) A．3x＋5y≥0　　　B．x2－3x－2＜0 C.－2＞0 D.＜－5 2．若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为________． 3．求不等式3x＋1≤7的正整数解． 4．解不等式－1≤x－，并把它的解集表示在数轴上． 五、课堂小结 1．一元一次不等式的定义是什么？ 2．解一元一次不等式时应注意什么？ 六、课外作业 1．教材第47页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第48页习题2.4第1～3题． 本节课开始前设置的课堂导航，给学生起到引领作用，让学生带着问题去学习、思考，激发了学生的学习兴趣，效果明显，学生掌握了一元一次不等式的定义并能快速识别一元一次不等式，并且能熟练地解一元一次不等式，并把其解集表示在数轴上，较好地完成了教学任务． 第2课时　一元一次不等式的实际应用 1．进一步熟练掌握解一元一次不等式． 2．利用一元一次不等式解决简单的实际问题． 重点 一元一次不等式的解法及应用． 难点 将实际问题转化成一元一次不等式的数量关系． 一、复习导入 问题1：什么是一元一次不等式？解一元一次不等式有哪些步骤？ 问题2：解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：
(1)－＜1 ；
(2)≥3＋. 二、探究新知 1．课件出示：
某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折售货，但其利润率不能少于5%.请你帮助销售员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 处理方式：学生分组讨论，教师巡回指导． 解：设此种商品可以按x折销售，则此商品的售价为(300×)元． 根据题意，得300×－200≥200×5%. 解得x≥7. 所以这种商品最多可以按七折销售． 2．课件出示：
一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少答对了几道题？ 处理方式：小组讨论后，教师引导分析，并板演． 分析：关系式应为4×答对题数－1×答错题数≥85. 解：设小明答对了x道题，依题意得4x－(25－x) ≥85，解得 x≥22. 所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题． 3．回忆列一元一次方程解应用题的步骤，对照列一元一次不等式解应用题的过程，尝试总结一下两者的不同，你能给出解一元一次不等式应用题的一般步骤吗？ 第一步：审题，找不等关系；

第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；

第三步：列不等式；

第四步：解不等式；

第五步：根据实际情况写出答案． 三、举例分析 例1　某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打几折？ 例2　小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他最多还能买多少根火腿肠？ 处理方式：学生独立完成，两位学生黑板板演，教师巡视点评矫正． 四、练习巩固 1．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 2．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元． (1)符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由；

(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1 500元，那么应选择以上哪种购买方案？ 五、课堂小结 通过今天的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 教材第49页习题2.5第1～4题． 本节课主要让学生理解并掌握如何用一元一次不等式解相应的应用题，建立相应的数学模型，体会数学在生活中的运用．本节课设置了丰富的实际情境，如打折销售问题、环保竞赛得分问题．研究这些问题，可以使学生体会到现实世界中不等关系的一种数学表示形式． 5　 一元一次不等式与一次函数 第1课时　一元一次不等式与一次函数 1．理解一次函数图象与一元一次不等式的关系． 2．能够用图象法解一元一次不等式． 3．会选择适当的方法解一元一次不等式． 重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系． 难点 能根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来解决问题． 一、复习导入 上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其他解法． 二、探究新知 1．课件出示：
作出函数y＝2x－5的图象，观察图象回答下列问题：
(1)x取何值时，2x－5＝0? (2)x取哪些值时，2x－5＞0? (3)x取哪些值时，2x－5＜0? (4)x取哪些值时，2x－5＞1? 处理方式：学生先独立思考5分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充3分钟． 解：(1)当y＝0时，2x－5＝0. ∴x＝.∴当x＝ 时，2x－5＝0. (2)要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y＝0时，则有x＝.当x＞ 时，由图象可知 y＞0. (3)同理可知，当x＜ 时，有2x－5＜0. (4)要使2x－5＞1，也就是y＝2x－5中的y大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y＝2x－5相交于点B(3，1)，则当x＞3时，有2x－5＞1. 2．课件出示：
如果y＝－2x－5，那么当x取何值时，y＞0? 处理方式：学生先独立思考3分钟，再小组内交流不同的方法2分钟，展示、评价和补充2分钟． 解：首先要画出函数y＝－2x－5的图象，如图：
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，所以当x＜－2.5时，y＞0. 也可因为－2x－5＞0，解不等式即得x＜－2.5. 三、举例分析 例　兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1)何时哥哥追上弟弟？ (2)何时弟弟跑在哥哥前面？ (3)何时哥哥跑在弟弟前面？ (4)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m? 解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒．哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得 y1＝4x，y2＝3x＋9. 函数图象如图：
从图象上来看：
(1)12 s时哥哥追上弟弟． (2)当0＜x＜12时，弟弟跑在哥哥前面． (3)当x＞12时，哥哥跑在弟弟前面． (4)弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m. 四、练习巩固 1．如下图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y<2时，x的取值范围是(　　) A．x<1　　B．x>1　　C．x<3　　D．x>3 2．已知y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流． 3. 作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，并观察图象回答下列问题：
(1)x取何值时，2x－4＞0? (2)x取何值时，－2x＋8＞0? (3)x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？ (4)你能求出函数y1＝2x－4，y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第50页“随堂练习”． 2．教材第51页习题2.6第1～4题． 本节课在教学过程中应注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想．教学过程中要为学生提供展示自己的平台，教师要善于发现学生分析问题、解决问题的独到见解和策略的多样性，以及思维的误区，及时给予激励性评价，帮助学生形成积极主动的求知态度． 第2课时　一元一次不等式与一次函数的实际应用 1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题． 2．通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系． 重点 会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题． 难点 找出题中的等量或不等关系． 一、复习导入 1．若y1＝－ 2x－2，y2＝3x＋3，试确定当x取何值时，y1<y2. 2．若某商品原价60元，现优惠25%，则现价是________元． 3．若某商品原价200元，现打七五折，则现价是________元． 二、探究新知 1．课件出示：
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3 元；
乙种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4 元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 解：设顾客每月通话时长为x min，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知y1＝10＋0.3x，y2＝0.4x. 由y1＝ y2，得10＋0.3x＝0.4x，解得x＝100；

由y1>y2，得10＋0.3x>0.4x，解得x<100；

由y1< y2，得10＋0.3x<0.4x，解得x>100. 所以当顾客每个月的通话时长等于100 min时，选择甲、乙两种业务一样合算；
如果通话时长大于100 min，选择甲种业务比较合算；
如果通话时长小于100 min，选择乙种业务比较合算． 2．课件出示：
某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；
乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 处理方式：学生先独立思考5分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充4分钟．根据学生交流、展示、评价及补充情况，教师适时点拨思路和给出规范解答过程 . 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需费用为y2元，则 y1＝200×0.75x＝150x， y2＝200×0.8(x－1)＝160x－160. 当y1＝y2时，150x＝160x－160，解得x＝16；

当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16；

当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16. 因为参加旅游的人数为10～25人，所以当x＝16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；
当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少． 三、举例分析 例　某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6 000元，并且多买都有一定的优惠． 甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.那么甲商场的收费y1(元)与所买的电脑台数x之间的关系是________． 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.则乙商场的收费y2(元)与所买的电脑台数x之间的关系是________． (1)什么情况下到甲商场购买更优惠？ (2)什么情况下到乙商场购买更优惠？ (3)什么情况下两家商场的收费相同？ 处理方式：学生先独立思考4分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充4分钟．根据学生展示、评价及补充情况，教师适时点拨思路和给出规范解答过程． 解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用为y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元．则有 y1＝6 000＋(1－25%)(x－1)×6 000＝4 500x＋1 500， y2＝80%×6 000x＝4 800x. (1)当y1＜y2时，有4 500x＋1 500＜4 800x， 解得x＞5. 即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠． (2)当y1＞y2时，有4 500x＋1 500＞4 800x. 解得x＜5. 即当所购买电脑少于5台时，到乙商场购买更优惠． (3)当y1＝y2时，即4 500x＋1 500＝4 800x. 解得x＝5. 即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同． 四、练习巩固 1．红枫湖门票是每位45元，20人以上(包含20人)的团体票七五折优惠，现在有18位游客买20人的团体票． (1)比买普通票总共便宜多少钱？ (2)不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？ 2．某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元(包括空白光盘带)；
若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元(包括空白光盘带)，问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由． 3．红星公司要招聘A，B两个工种的工人150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为600元和1 000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第52页“随堂练习”． 2．教材第53页习题2.7第1、3题． 在一元一次方程的应用中，学生虽然已经接触过一些和例题相类似的应用问题，但在本节需要借助函数关系建立不等式，这类问题对学生来说可能会有一定难度，教学时要引导学生如何分析此类问题，教给学生方法，渗透数形结合的思想．教学过程中要充分展示学生的思维，及时发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，适时引导．通过小组合作学习与评价，帮助学生形成积极主动的求知态度． 6　一元一次不等式组 第1课时　解一元一次不等式组 1．理解一元一次不等式组、一元一次不等式的解集、解不等式组的概念． 2．初步感知利用数轴求一元一次不等式组的解集． 3．总结解一元一次不等式组的步骤． 重点 会解一元一次不等式组，并会用数轴确定解集． 难点 在数轴上确定一元一次不等式组的解集． 一、情境导入 多媒体展示一组雾霾天气图片：
问题1：同学们从图片中看到了什么？ 问题2：大家是否知道消除雾霾天气的方法？ 处理方式：学生自由回答，在学生回答的结果出现煤炭使用的时候出示引例． 下面我们来看一道与节能环保有关的实际问题：(多媒体出示) 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月，如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；
如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．若该校计划每月烧煤x t，则x满足怎样的关系式？ 二、探究新知 1．一元一次不等式组的概念 问题1：如果设该校计划每月烧煤x吨，你能列出一元一次不等式吗？能列出几个？ 问题2：未知数x仅满足一个条件，是否可以？ 处理方式：学生积极思考，在练习本上书写问题1的答案．然后点出：既然两个条件必须同时满足，就把这两个不等式合在一起，用大括号连接，就组成一个一元一次不等式组．(板书) 师：什么叫一元一次不等式组？ 处理方式：对于学生的回答，不断补充纠正，让学生领会一元一次不等式组的内涵，最后得出概念：(展示投影) 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 2．一元一次不等式组的解集 问题1：你能尝试找出符合一元一次不等式组 的未知数的值吗？ 处理方式：学生以小组为单位展开讨论，教师走下讲台，参与小组讨论之中．随时了解各个小组讨论的情况．师生共同总结符合一元一次不等式组 的未知数的值很多，它们都是一元一次不等式的解，一元一次不等式组的所有解组成了它的解集． 问题2：一元一次不等式组的解集和每个一元一次不等式的解集之间是否存在某种关系？ 教师可适时点拨：能否类比二元一次方程组的解与每个方程的解之间的关系，来理解一元一次不等式组的解集呢？ 出示定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 三、举例分析 例　解不等式组：
处理方式：学生尝试解题，然后叙述解题思路，教师适当点拨． 解：解不等式①，得x＞. 解不等式②，得x＜6. 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图． 所以，原不等式组的解集为＜x＜6. 师：通过学习，你认为解一元一次不等式组的步骤是什么？ 处理方式：学生讨论交流总结，教师提炼． 其步骤通常为：
(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；

(2)在同一数轴上把它们的解集表示出来；

(3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集． 四、练习巩固 1．不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 2.在平面直角坐标系内，点P(2x－6，x－5)在第四象限，则x的取值范围为(　　) A．3＜x＜5　　　　　B．－3＜x＜5 C．－5＜x＜3 D．－5＜x＜－3 3．不等式组的解集是________． 4．若不等式组无解，则m的取值范围是________． 5．现有若干个苹果分给一些小朋友，每人分4个余7个，每人分5个有一位小朋友分到的不足3个．问小朋友和苹果各多少？ 五、课堂小结 通过学习，你认为解一元一次不等式组的步骤是什么？ 六、课外作业 1．教材第55页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第56页习题2.8第1～4题． 本课时教学鼓励学生利用类比思想和数形结合思想自主探究、合作交流、大胆表述，满足学生多样化的学习要求．此外，二元一次方程组与一元一次不等式组两者既有联系又有差异，因此，在教学中一要注重类比，做好从方程组到不等式组的迁移；
二要重视化归、数形结合等数学思想方法的渗透． 第2课时　一元一次不等式组的应用 1．能够解稍复杂的一元一次不等式组． 2．能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，从而解决简单的问题． 重点 稍复杂一元一次不等式组的解法及用一元一次不等式组的知识去解决实际问题． 难点 审题，根据具体信息列出不等式组． 一、情境导入 现有两根木条a和b，a长7 cm，b长3 cm，如果要再找一根木条x，用这三根木条钉成一个三角形木框，请动手试一试：
①当x是14 cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？ ②当x是9 cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？ ③当x是4 cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？ ④在什么条件下，长度为3 cm，7 cm，x cm的三条线段可以围成三角形？ 处理方式：引导学生进行试验、观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，让学生亲自动手，亲身体验，加深学生理解x并不是可以取任意值，要钉成三角形，x的取值有一定的范围，让学生深刻感受到数学是与实际生活密不可分的． 二、探究新知 课件出示：
解下列不等式组：
(1)　　　(2) (3)　　　　　(4) 师：请大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？ 通过学生之间的交流和讨论，对照各组解的情况如下：
(1)由得x＜.　(2)由 得x≥4. (3)由 得，无解．(4) 由 得－4<x<1. 此时，教师让学生说说自己组的讨论结果，并代表本组作总结性的发言．最后教师引导学生得出以下结论：
由(2)得，两个不等式的解集中是“＞”或“≥”，在数字和4中取大数4，不等号取“≥”；

由(1)得，两个不等式的解集中都是“＜”，在不等式组的解集中不等号的方向取“＜”，而数字取比较小的数字；

由(4)得，两个不等式的解集中有“＞”也有“＜”，数字－4＜1，并且是x＞－4，x<1，最后的结果中是x取大于小数而小于大数，即－4＜x<1；

由(3)得，两个不等式的解集中有“＞”也有“＜”，并且是x＞6，x＜2，因为6＞2，即x应取大于6而小于2的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集为无解． 最后，教师利用课件将此结论理论化，并用课件展示出来：
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形：
设a＜b，那么 (1)不等式组的解集是x＞b；

(2)不等式组的解集是x＜a；

(3)不等式组的解集是a＜x＜b；

(4)不等式组的解集是无解． 用语言简单表述为：
同大取大；
同小取小；
大小小大取中间；
大大小小题无解． 三、举例分析 例　解下列不等式组：
(1) 解：解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x＞3. 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图：
所以，原不等式组无解． (2) 解：解不等式①，得x＞2， 解不等式②，得x＞3. 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图：
所以，原不等式组的解集为x＞3. 四、练习巩固 解下列不等式组：
(1)　　　( 2) 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 教材第59～60页习题2.9第1～4题． 本节课在教学过程中注意引导学生紧密联系不等式来研究不等式组，让学生理解组成不等式组的每个不等式的地位相同，缺一不可；
引导学生充分应用“数形结合”的思想解决不等式组的问题．课堂上让学生独立思考，通过观察、探讨引导学生去发现与归纳不等式解集的特点，为学生后续的学习奠定了良好基础． 第三章　图形的平移与旋转 1　图形的平移 第1课时　图形平移的概念与性质 1．经历探索图形平移基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识． 2．通过具体实例认识平移，理解平移的基本概念，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质． 重点 探索图形平移的主要特征和基本性质． 难点 探索平移的基本性质及性质的应用． 一、情境导入 教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例：
(1)箱子在传送带上移动的过程． (2)手扶电梯上人的移动的过程． 学生观察多媒体展示的图片，教师提问：
①你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在平移前后什么没有改变，什么发生了改变吗？ ②在传送带上，若箱子的某一按键向前移动了 80 cm，那么箱子的其他部位向什么方向移动？移动了多少距离？ ③如果把移动前后的同一箱子看成长方体，那么它的形状、大小是否相同？ 引导学生得出：平移前后两个图形的形状和大小没有改变，位置发生了改变． 二、探究新知 1．平移的定义 师：根据上述分析，你能说明什么样的图形运动称为平移？ 在学生发现和归纳的基础上板书：
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移三要素：
几何图形，运动方向，运动距离． 2．探究平移的性质 (1)课件出示：
如图，△ABC 经过平移得到△DEF，点A，B，C分别平移到了点D, E，F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角． ①线段AD，CF，BE有怎样的位置关系？ ②图中每对对应线段之间有怎样的位置关系？ ③图中有哪些相等的线段、相等的角？ 处理方式：学生分成四人一组，共同探讨平移的性质． 学生归纳总结：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． (2)课件出示：
将下图所示的四边形硬纸片按某一方向平移一定距离．请画出平移前的四边形ABCD和平移后的四边形 EFGH. (1)在所画的图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系？ (2)在所画的图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？ (3)线段AE，BF，CG，DH分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎样的关系？ 改变硬纸片的形状，再试一试，并与同伴交流． 结论：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；
对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等． 三、举例分析 例　如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D. (1)指出平移的方向和平移的距离；

(2)画出平移后的三角形． 解：(1)如图，连接AD，平移的方向是点A 到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度． (2)如图，过点B，C分别作线段BE，CF，使得它们与线段AD平行且相等，连接DE，DF，EF，△DEF就是△ABC平移后的图形． 四、练习巩固 1．下列现象：(1)电风扇的转动；
(2)打气筒打气时，活塞的运动；
(3)钟摆的摆动；
(4)传送带上瓶装饮料的移动．其中属于平移的是________． 2．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为________． 3.如图所示，一张白色正方形纸片的边长是10 cm，被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分，请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积． 4.如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和是多少？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第67页“随堂练习”． 2．教材第67～68页习题3.1第1～5题． 对于本节课，学生对“一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行且相等；
对应线段平行且相等，对应角相等”这一结论得出比较顺利，但“对应点所连的线段和对应线段在一条直线上”这一结论理解较困难．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性． 第2课时　坐标系中的平移 通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系． 重点 认识图形变换的特点． 难点 认识图形变换与坐标之间的内在联系． 一、情境导入 课件出示：
如图的“鱼”是将坐标为(0，0) ，(5，4) , (3，0) , (5，1) , (5，－1) , (3，0) ，(4，－2) , (0，0)的点用线段依次连接而成的．将这条“鱼”向右平移 5 个单位长度． (1)画出平移后的新“鱼” . (2)在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表：
原来的“鱼” (　，　) (　，　) (　，　) … 向右平移5个 单位长度后 的新“鱼” (　，　) (　，　) (　，　) …
(3)你发现对应点的坐标之间有什么关系？ 二、探究新知 活动：探求坐标系中的平移变换 (1)如果将上图中的“鱼”向上平移 3 个单位长度，那么平移前后的两条“鱼”中，对应点的坐标之间有什么关系？ 横坐标不变，纵坐标增加3个单位长度． (2)如果将上图中的“鱼”向下平移 2 个单位长度呢？ 横坐标不变，纵坐标减小2个单位长度． (3)将上图中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，从而画出一条新“鱼” ，这条新“鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化？ 向右平移3个单位长度． (4)如果纵坐标保持不变，横坐标分别减2呢？ 向左平移2个单位长度． (5)将上图中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3，所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比又有什么变化？ 如果横坐标保持不变，纵坐标分别减 2 呢？ 三、举例分析 例　在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向平移 a(a > 0)个单位长度后的图形与原图形对应点的坐标之间有什么关系？如果图形沿y轴方向平移 a(a > 0)个单位长度呢？与同伴交流． 归纳总结如下：
(1)一个图形沿x轴方向平移a(a＞0)个单位长度：
(x，y)向右平移a个单位长度后得到(x＋a，y)；

(x，y)向左平移a个单位长度后得到(x－a，y)． (2)一个图形沿y轴方向平移a(a＞0)个单位长度：
(x，y)向上平移a个单位长度后得到(x，y＋a)；

(x，y)向下平移a个单位长度后得到(x，y－a)． 四、练习巩固 1．在直角坐标系中，某三角形三个顶点的横坐标不变，纵坐标都增加2个单位长度，则所得三角形与原三角形相比(　　) A．形状不变，面积扩大2倍 B．形状不变，位置向上平移2个单位长度 C．形状不变，位置向右平移2个单位长度 D．形状被纵向拉伸为原来的2倍 2．点M(3，－1)经过平移到达点N，N的坐标为(2，1)，那么平移方式是(　　) A．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第70页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第70～71页习题3.2第1～4题． 本节课在课堂上对学生的活动方式、活动时间的设计是充分的，学生也很好地参与了图形沿x轴和y轴的平移的研究活动，并在其中获得了发展．但在探究图形沿两个坐标轴移动规律的活动环节还不是很充分，主要体现在活动时分工不够明确、出错较多等．以后对学生学习小组的指导还要进一步加强． 第3课时　图形的两次平移 1．通过具体实例认识图形的两次平移变换，探索它的基本性质． 2．能按要求画出平面图形两次平移后的图形，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力． 重点 探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点． 难点 按要求画出平面图形两次平移后的图形． 一、复习导入 1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿着________移动________的距离，这样的图形运动叫平移．平移不改变图形的________和________，改变的是位置． 2．在平面直角坐标系中，向右平移a个单位长度，________坐标加a；
向左平移a个单位长度，________坐标减a；
向上平移a个单位长度，________坐标加a；
向下平移a个单位长度，________坐标减a. 二、探究新知 1．课件出示：
先将下图中的“鱼”F向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到新“鱼”F′. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出“鱼”F ′ . (2)能否将“鱼”F′ 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离，并与同伴交流． (3)在“鱼”F和“鱼”F′中，对应点的坐标之间有什么关系？ 2．课件出示：
先将上图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标不变，得到“鱼”G；
再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3，横坐标不变，得到“鱼”H. “鱼”H与原来的“鱼”F 相比有什么变化？能否将“鱼”H 看成是原来的“鱼”F 经过一次平移得到的？与同伴交流． 如果横坐标分别加 2、纵坐标分别减 3 呢？ 3．课件出示：
一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？ 引导学生得出：一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 三、举例分析 例　(课件出示教材第72页例2) 解：
(1)四边形 A′B′C′D′ 与四边形 ABCD 相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了 3；
A′ (1，8) ，B′ (0，6) ，C′ (3，4) ，D′ (3，7) . (2)如图，连接AA′，由图可知AA′＝＝5, 因此，如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到A′的方向，平移距离是5个单位长度． 四、练习巩固 1．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为(　　) A．(4，2)　　B．(5，2)　　C．(6，2)　　D．(5，3) 2.在△ABC中，A(－2，2)，B(－4，－2)，C(1，0)，把三角形平移后，三角形某一边上的点P(x，y)对应点为P′(x＋4，y－2)，求平移后所得三角形各顶点的坐标． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第73页“随堂练习”． 2．教材第73～74页习题3.3第1～5题． 本节课通过具体事例探究既有横向又有纵向的平移以及平移前后坐标的变化规律，通过交流活动归纳总结一般情况．这种既有横向又有纵向的平移操作性强又富有挑战性，对于学生的进一步学习产生了一定的困难，但同时也激发了学生学习的兴趣，对平移的基本内涵和基本性质这两个重点，学生掌握得比较好．但是在利用已有知识主动进行新知探究方面还不理想． 2　图形的旋转 第1课时　图形旋转的概念及性质 1．通过具体实例认识旋转，理解旋转的概念及性质． 2．能利用旋转中的不变因素解决简单数学问题，增强数学的应用意识． 重点 理解旋转的基本性质． 难点 探索旋转的基本性质． 一、复习导入 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形． 2．如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′. 3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的轴对称图形吗？ 二、探究新知 1．旋转的概念 问题1：请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？绕什么点旋转呢？从现在到下课，时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ 问题2：再看我自制的风车玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？ 问题3：问题1和问题2有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，在平面内，把一个图形绕着某一定点O按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念解决一些问题． 课件出示：
如图，如果把钟表的指针看作△OAB，它绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？ 解：(1)旋转中心是点O，∠AOE，∠BOF都是旋转角． (2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 2．旋转的性质 课件出示：
如图，在硬纸板上，挖出一个△ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△DEF)，移开硬纸板． (1)请指出旋转中心和各对应点，哪一个角是旋转角？ (2)从我们看到的旋转现象以及你所完成的试验中，你认为旋转的主要因素是什么？ (3)在图形的旋转过程中，哪些发生了改变？哪些没有发生改变？ (4)线段OA与线段OD有怎样的关系(这里包括数量关系和位置关系)？线段OB和OE，OC和OF呢？AB与DE呢？ (5)你能通过度量角的方法得出旋转角度吗？你准备度量哪个角？ 引导学生探索得出下列性质：
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
对应线段相等，对应角相等． 三、举例分析 例　如图，四边形ABCD，四边形EFGH都是边长为1的正方形． (1)这个图案可以看作是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心和旋转角． (3)指出经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？ 解：(1)可以看作是由基本图案正方形ABCD通过旋转而得到的． (2)画图略． (3)点A，B，C，D移到的位置是点E，F，G，H. 强调：这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的． 四、练习巩固 1．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，将△CDE逆时针旋转后得到△CBM.连接EM，那么△CEM是怎样的三角形？ 2.如图，P是等边△ABC内的一点，把△ABP通过旋转分别得到△BQC和△ACR. (1)指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？ (2)△ACR是否可以直接通过把△BQC旋转得到？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第77页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第77～78页习题3.4第1～5题． 本书设计力图以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；
遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；
遵循特殊到一般，具体到抽象，由浅入深，由易到难的认知规律．旋转概念的形成过程及旋转性质得到的过程是本节课的重点，所以本节突出概念形成过程和性质探究过程的教学，首先列举学生熟悉的例子，从生活问题中抽象出数学本质，引导学生观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，再引导学生运用概念并及时反馈．同时在概念的形成过程中，着意培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，引导学生从运动、变化的角度看问题，向学生渗透辨证唯物主义观点． 第2课时　旋转图形的作法 1．掌握简单平面图形旋转后的图形的作法． 2．确定一个三角形旋转后的位置，通过画图，进一步培养学生的动手操作能力和审美观念． 重点 简单平面图形旋转后的图形的作法． 难点 按旋转角相等作图． 一、复习导入 1．下列一组图形变换属于旋转变换的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 2．大家来看一面小旗(出示小旗，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？ 二、探究新知 1．点、线段的旋转 (1)试着找一找如图点A绕点O顺时针旋转60°后所在的位置A′. 处理方式：通过观察让学生尝试叙述作图的过程． (2)画出线段AB绕着端点A顺时针旋转60°后的线段． 处理方式：通过观察让学生尝试叙述作图的过程． 解：①如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX＝60°. ②在射线AX上取点B′，使得AB′＝AB. 线段AB′就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段． (3)试着画一画线段AB绕点O顺时针旋转90°后所得的线段(点O在线段外)． 2.三角形的旋转 (1)如图，试着画△ABC绕点O顺时针旋转60°后所得的三角形． 处理方式：学生先独立动手画图，然后教师借助几何画板演示完成． (2)如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形． 解：①连接OA，OD，OB，OC. ②如下图，分别以OB，OC为一边作∠BOE，∠COF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD. ③分别在射线OE，OF上截取OE＝OB，OF＝OC. ④连接EF，ED，FD. △DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形． 想一想：确定一个三角形旋转后的位置需要哪些条件？ 学生思考、回答，教师总结：
①三角形原来的位置. ②旋转中心. ③旋转角． 三、举例分析 例　你能对下图中的甲图案进行适当的运动变化，使它与乙图案重合吗？写出你的操作过程． 处理方式：学生讨论交流，先把甲“树”绕A点旋转，得到与地面垂直的图形，再作轴对称变换． 四、练习巩固 1．如图为旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为(　　) A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 2．将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示)．你知道旋转角是多少吗？连接BB′，△ABB′有什么特征？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第79页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第79～80页习题3.5第1～4题． 这节课学生对图形旋转的三要素掌握得比较好，也体会到了旋转后位置变了，形状和大小没有变．但课堂教学教师并没有进一步地引领学生深入研究，这也是因为课前没有做好充分的预设，特别是对“图形旋转后的图形上的每一个点都相应地旋转了”这一知识点，学生不仅在直观上没有形象地感受，思维更没有得到提升，感觉到这节课学生对于旋转的理解比较浅显．从课内大部分学生学习的情况来看，让学生更深入地理解旋转的意义是可行的，而且是很必要的．学生的动手能力，自我总结能力还是欠缺，今后还得多给学生思考的空间，动手的空间． 3　中心对称 1．了解中心对称、中心对称图形的概念． 2．掌握中心对称图形的性质． 重点 理解中心对称、中心对称图形的有关概念和性质． 难点 中心对称与轴对称、中心对称图形与轴对称图形的区别． 一、情境导入 观察发现：下图中，左侧的图形经过怎样的运动变化就可以和右侧图重合？ 二、探究新知 1．中心对称的概念 在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它的对称中心． 强调：“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”． 2．成中心对称的两个图形的性质 如图，把△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′，分别连接对称点AA′，BB′，CC′.点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？△ABC与△A′B′C′有什么关系？ 归纳中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． (2)成中心对称的两个图形是全等形． 3．中心对称图形的概念 (1)观察下图，这些图形有什么共同特征？ 总结：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 想一想：一个图形满足哪些条件时才是中心对称图形？ 师生共同分析得出以下三条：①在同一平面内；
②一个图形绕一点旋转180°；
③旋转前后的图形互相重合． (2)你所学过的平面图形中，哪些图形是中心对称图形？对称中心又在哪里？ (3)中心对称和中心对称图形有什么区别和联系？ 区别：
中心对称指两个全等图形的相互位置关系，中心对称图形指一个图形本身成中心对称． 联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形．如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称． (4)轴对称图形和中心对称图形有什么区别？ 轴对称图形 中心对称图形 至少有一条对称轴——直线 只有一个对称中心——点 沿对称轴翻折180° 绕对称中心旋转180° 翻折后对称轴两侧 的图形互相重合 旋转前、后的图形互相重合
三、举例分析 例　如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形． 解：连接BO并延长至B′使得OB′＝OB；
连接CO并延长至C′使得OC′＝OC；
连接DO并延长至D′，使得OD′＝OD；
顺次连接A，D′，C′，B′，E.图形AD′C′B′E就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称图形． 四、练习巩固 1．我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案．下列我国四大银行的标志，是中心对称图形的有________．(填序号)
　①　　　　②　　　　③　　　　④ 2．在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第83页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第84页习题3.6第1～4题． 中心对称是在学习了平移与旋转后的基础上进行教学的，它实际上是旋转的一种特殊情况，特殊就在于它的旋转角固定在180°，所以这节课，我尝试运用类比方法去教，应该说这节课的教学效果与我设计的预期效果差不多．学生的配合度比较高，师生的研究学习互动的氛围比较活跃． 4　简单的图案设计 1．了解图案最常见的构图方式：轴对称、平移、旋转． 2．理解简单图案设计的意图． 3．经历对典型图案设计意图的分析，进一步发展学生的空间观念，增强审美意识，培养学生积极进取的生活态度． 重点 灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计． 难点 灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计． 一、情境导入 下列这些图案是怎样设计得到的呢？ 你能用平移、旋转或轴对称分析图中各个图案的形成过程吗？ 二、探究新知 课件出示：
你能用平移、旋转或轴对称分析如图中各个图案的形成过程吗？你是怎样分析的？与同伴交流． 处理方式：对教材给出的六个图案通过观察、分析进行讨论交流，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法，为学生自己设计图案指明方向．其中图(1)(2)(3)(4)(5)(6)都可以看作是由“基本图案”通过旋转合适角度形成(可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置)，另外图(2)(3)(5)也可以看作是由“基本图案”通过轴对称变换形成(可以让学生指出对称轴及对称轴的条数)，图(2)还可以看作是由“基本图案”通过平移形成． 三、举例分析 例　观察下面两幅图案，指出图案中的“基本图案”，说明整个图案是怎样形成的，你能设计出类似的图案吗？
　　　图①　　　　　　图② 解：图①是由一个“树 ”形图案通过三次平移形成的；

图②是由图形的四分之一，即三根形为“基本图案”，绕图形中心向同一方向旋转90°，180°，270°而形成的. 四、练习巩固 枣庄的文化底蕴深厚，人民的生活健康向上，下面的四幅简笔画是从枣庄的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是(　　) 　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 教材第86页习题3.7第1～3题． 让学生在总结的过程中对本节课所学的知识有一个更清晰的认识，对运用平移、旋转与轴对称设计图案有一个新的感悟，本节课学生动手操作较多，还应注意学生对于参与活动感受的总结，培养学生严谨的学习习惯． 第四章　因式分解 1　因式分解 1．理解因式分解的概念和意义． 2．认识因式分解与整式乘法的相互关系． 重点 理解因式分解的概念． 难点 理解因式分解与整式乘法的相互关系． 一、复习导入 出示问题：漂亮的长兴龙山公园有许多漂亮的花坛，其中有一块如图所示，你能用不同的方法求出花坛的面积吗？ 学生讨论回答：
花坛的面积S＝a(m＋n)或S＝am＋an. 由此可知：①a(m＋n)＝am＋an；

②am＋an＝a(m＋n)． 引导学生分析这两个等式的不同：
①等式的左边是整式的积，右边是多项式 (整式乘法)． ②等式的左边是多项式，右边是整式的积． 二、探究新知 1．探究因式分解的定义 (1)课件出示：
想一想：993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流． 小明是这样做的：
993－99 ＝99×992－99 ×1 ＝99×(992－1) ＝99×(99＋1)×(99－1) ＝ 99×100×98. 所以， 993－99能被100整除． ①小明在判断993－99能否被100整除时是怎么做的？ ②993－99还能被哪些正整数整除？ 解：①小明将993－99通过分解因数的方法，说明993－99是100的倍数，故993－99能被100整除． ②还能被98，99，49，11等正整数整除． 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数的积的形式． (2)课件出示：
现在你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流． 处理方式：鼓励学生类比数的分解将a3－a分解．学生分组讨论，解决问题． 解：a3－a ＝a×a2－a×1 ＝a(a2－1) ＝a(a＋1)(a－1)． (3)课件出示：
观察下面拼图过程，写出相应的关系式. ① ② 处理方式：学生仔细观察拼图，自主完成． 解：①ma＋mb＋mc＝ m(a＋b＋c)． ②x2＋x＋x＋1 ＝(x＋1)(x＋1) (4)引导学生分析993－99＝ 99×100×98，a3－a＝a(a＋1)(a－1)，ma＋mb＋mc＝ m(a＋b＋c)，x2＋x＋x＋1 ＝(x＋1)(x＋1) 的共同之处，归纳出因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式． 2．探究因式分解与整式乘法的关系 课件出示：
第一组：计算下列各式：
(1)(m＋4)(m－4)＝________；

(2)(y－3)2＝________；

(3)3x(x－1)＝________；

(4)m(a＋b＋c)＝________． 第二组：根据上面的算式填空：
(1)3x2－3x＝(　　)(　　)；

(2)m2－16＝(　　)(　　)；

(3)ma＋mb＋mc＝(　　)(　　)；

(4)y2－6y＋9＝(　　)(　　)． 师：通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？ 第一组是把多项式乘多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个因式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系． 三、举例分析 例　多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝________，n＝________． 处理方式：学生思考，小组讨论试着去发现解题的方法．教师巡视，收集学生解题思路，对有困难的小组给予指导． 四、练习巩固 1．计算：872＋87×13的值． 2．若x＝101，y＝99，求x2－2xy＋y2的值． 3．根据下图，写出一个因式分解的等式． 五、课堂小结 通过这节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第93页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第94页习题4.1第1～5题． 本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透、螺旋式类比的方法进行教学．在概念引入时，先从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识． 2　提公因式法 第1课时　公因式为单项式的因式分解 1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式． 2．在具体问题中，能确定多项式中各项的公因式． 重点 掌握因式分解的概念及提公因式法分解因式． 难点 正确找出多项式中各项的公因式． 一、复习导入 1．什么是因式分解？ 2．计算×15－×9＋×2 采用什么方法？依据是什么？ 二、探究新知 1．提公因式法的概念 (1)多项式 ab＋ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？ (2)教师利用多媒体动画深入讲解公因式、提公因式法因式分解有关概念． 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法，叫做提公因式法． 2．提公因式的方法 多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y＋6x3y2中各项的公因式又是什么？ 结论：(1)各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式． 三、举例分析 例　将下列各式分解因式：
(1)3x＋x3；
　　　(2)7x3－21x2；

(3)8a3b2－12ab3c＋ab；

(4)－24x3＋12x2－28x. 处理方式：教师板书示范第(1)题，然后选3名代表板演，其余同学做在练习本上；
然后师生共同纠错；
最后教师展示解题过程． 想一想：
①提公因式法因式分解有哪些步骤？ ②用提公因式法因式分解应注意哪些问题？ ③提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？ 引导学生得出：
①提公因式法因式分解的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式；
第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式． ②用提公因式法因式分解应注意的问题：
公因式要提尽；
小心勿漏项；
多项式的首项取正号． ③提公因式法因式分解与单项式乘多项式之间是互逆过程． 四、练习巩固 1．多项式6ab2＋18a2b2－12a3b2c的公因式是(　　) A. 6ab2c　　B．ab2　　C. 6ab2　　D. 6a3b2c 2．分解－4x3＋8x2＋16x的结果是(　　) A．－x(4x2－8x＋16)　　B. x(－4x2＋8x－16) C．4(－x3＋2x2－4x)　　D．－4x(x2－2x－4) 3．把下列各式因式分解：
(1)3x2y－6xy ；
　　(2)－4m3＋16m2－26m . 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第96页“随堂练习”． 2．教材第96～97页习题4.2第1～3题． 由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识．因此应该注重因式分解的概念和方法的教学．本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握. 第2课时　公因式为多项式的因式分解 1．进一步理解公因式和提公因式法的意义，掌握确定公因式的方法． 2．掌握公因式为多项式的因式分解． 3．渗透类比、化归思想，培养学生的观察能力和类比推理能力． 重点 掌握公因式为多项式的因式分解． 难点 准确找出公因式，并能正确进行因式分解． 一、复习导入 问题1：什么是多项式的公因式？如何确定公因式？ 问题2：什么是提公因式法？其依据是什么？用提公因式法因式分解的步骤有哪些？ 问题3：把下列各式因式分解：
(1)2am－3m；
(2)m2n＋mn2－mn；

(3)－2x2y＋4xy2－2xy. 问题4：如何利用提公因式法对多项式a(x－3)＋2b(x－3)进行因式分解呢？ 二、探究新知 1．课件出示教材第97页例2. 处理方式：教师引导学生小组讨论，类比公因式为单项式的多项式因式分解方法，分析如何对其进行因式分解，学生代表说出分析过程，教师点评并书写解题过程． 解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)． (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)] ＝y(x＋1)(xy＋y＋1)． 注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出；
写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面；
提取公因式后，如果多项式中有同类项，要合并同类项． 2．课件出示：
如何利用提公因式法对多项式a(x－y)＋b(y－x)进行因式分解？ 处理方式：引导学生观察多项式的特点，类比例2在小组间展开讨论，教师参与小组讨论，小组代表分析解题过程并在黑板上板书，教师针对学生的回答及时点评． 解：
a(x－y)＋b(y－x)＝ a(x－y)－b(x－y) ＝ (x－y)(a－b)． 3．课件出示：
把下列各式因式分解：
(1)2(a－3)2－a＋3；

(2)6(m－n)3－12(n－m)2. 处理方式：进一步引导学生分析，教师针对学生的分析及时点评，板书解题过程． 解：(1)2(a－3)2－a＋3＝2(a－3)2－(a－3) ＝(a－3)[2(a－3)－1] ＝(a－3)(2a－6－1)＝(a－3)(2a－7)． (2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2 ＝6(m－n)3－12(m－n)2 ＝6(m－n)2(m－n－2) . 三、举例分析 例　请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立：
(1)2－a＝____(a－2)；
(2)b＋a＝____(a＋b)；

(3)(b－a)2＝____(a－b)2；

(4)－m－n＝____(m＋n)；

(5)－s2＋ t2＝____(s2－ t2)；

(6)(p－q)3＝____(q－p)3；

师：通过练习你有什么发现？ 处理方法：学生自主完成，完成后同桌之间相互交流，比较异同，学生代表发言，教师点评矫正． 归纳总结：(1)n为整数，(y＋x)n＝(x＋y)n. (2)当n为偶数时，(y－x)n＝(x－y)n；
当n为奇数时， (y－x)n＝－(x－y)n. (3)当n为偶数时，(－y－x)n＝(x＋y)n；
当n为奇数时， (－y－x)n＝－(x＋y)n. 四、练习巩固 1．说出下列各多项式中各项的公因式：
(1)3m(x－y)－9m2(y－x)2；

(2)8(a－b)2＋6(b－a)3；

(3)5m(x－y)2－10m2(y－x)2；

(4)12a3(m－n)3＋10a2(n－m)3. 2．把下列各式因式分解：
(1) 2m(a－b)－3n(a－b)；

(2)x(a＋3)－y(a＋3)；

(3)7q(p－q)－2p(p－q)；

(4)x(a＋b)－y(a＋b)＋z(a＋b); (5)p(a2＋b2)＋q(a2＋b2)－r(a2＋b2)；

(6)2a(x＋y－z)－3b(x＋y－z)－5c(x＋y－z)． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第98页“随堂练习”． 2．教材第98页习题4.3第1～3题． 在本节课的教学中，我发现学生对“分解因式”的基本知识的掌握并不像我所想象的那么好，所以课堂上我采用“低起点、多归纳、勤练习、快反馈”的教学方法．讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现，这样既调节了学生的注意力，又使学生大量参与课堂学习活动，教学效果显著． 3　公式法 第1课时　利用平方差公式因式分解 1．理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式． 2．经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力． 重点 应用平方差公式分解因式． 难点 准确理解和掌握公式的结构特征，灵活应用公式法和提取公因式法分解因式． 一、复习导入 问题1：看谁算得又快又准：
(1)642－362 ＝________；

(2)2 0152－2 0142＝________． 问题2：能说一下你的方法吗？ 师：逆用平方差公式可以帮助我们简便运算，那么能否帮助我们进行分解因式呢？ 二、探究新知 1．课件出示：
(1)观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同特征？ (2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流． 师生共同分析：
多项式x2－25和9x2－y2都可以写成两个式子的平方差的形式：x2－25＝x2－52, 9x2－y2 ＝(3x)2－y2. 把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，就得到a2－b2＝(a＋b)(a－b)，于是有：
x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)， 9x2－y2 ＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)． 归纳总结：
a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b)． 特点：
(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式) ★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成(　)2－(　)2的形式． (2) 公式右边：(是分解因式的结果) ★分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式． 2．课件出示：
判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式？ ① x2－1; ②x2＋y2 ; ③－x2＋ y2；
④－x2－y2；

⑤ m2－4n2；
⑥ (a＋b)2－(c＋d)2. 处理方式：学生观察、思考，并总结运用平方差公式分解因式的前提条件． 3．课件出示教材第99页例1. 处理方式：学生对比公式，明确公式中的a与b在此例中分别是什么，从而直接利用平方差公式因式分解．(1)(2)两道题目较简单，考查学生对公式的直接应用能力，为后面公式的灵活应用做铺垫． 三、举例分析 例　把下列各式分解因式：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2; (2)2x3－8x . 处理方式：学生积极动手尝试分解因式，并小组交流，然后展示． 注意：在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，同时向学生渗透换元的思想方法；
使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． 归纳：公式中的a，b无论表示数、单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解． 四、练习巩固 1．判断下列分解因式是否正确：
(1)－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(－2a－3b)；

(2)9－25a2＝(3＋25a)(3－25a)；

(3)(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2；

(4)a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)(a2－1)． 2．把下列各式分解因式：
(1)a2b2－m2; (2)－ 4a2 ＋1；

(3)(m－a)2－(n＋b)2 ; (4)3x3y－12xy. 五、课堂小结 这节课我们主要学习了什么知识？ 六、课外作业 1．教材第100页“随堂练习”第1、3题． 2．教材第100～101页习题4.4第1、2、3题． 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程，并能用符号合理地表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性．在教学中充分发挥小组之间的互助作用和教学评价的导向作用，以学习评价促进学生的发展． 第2课时　利用完全平方公式因式分解 1．能够正确识别符合用公式法分解的多项式，会运用完全平方公式分解因式． 2．经历探索运用完全平方公式因式分解的过程，体会逆向思维在数学中的应用，同时了解换元的思想方法． 3．探索多项式因式分解的步骤与方法，体会化归思想的应用． 重点 用完全平方公式进行分解因式． 难点 根据多项式的特点，恰当地安排步骤，灵活地选用不同方法进行因式分解． 一、复习导入 问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？ 问题2：把下列各式分解因式：
(1)ax4－9ay2; (2)x4－16. 问题3：整式乘法中，我们除了学过平方差公式外，还学过了哪个乘法公式？ 师：我们能够利用平方差公式分解因式，那么能不能用完全平方公式分解因式呢？本节课我们就一起探究这个问题． 二、探究新知 1．课件出示：
类比利用平方差公式因式分解，把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 请结合a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，完成以下探究问题：
(1)完全平方公式的特点：
左边：________；
　　　右边：
________． (2)形如a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2的式子我们称为________． 处理方式：类比利用平方差公式分解因式，让学生以小组讨论、合作交流的方式探讨完全平方公式的特点及完全平方式的概念，小组展示结论，教师依据学生回答中出现的问题点评并强调公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2与a2－2ab＋b2＝(a－b)2叫做因式分解的完全平方公式；
a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2叫做完全平方式． 师：通过对a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2和a2－b2＝(a＋b)(a－b)的学习，结合整式乘法，你能说说什么是因式分解的公式法吗？ 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，我们可以利用乘法公式把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 2．课件出示：
把下列完全平方式分解因式：
(1) x2＋14x＋49; (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 处理方式：让学生观察例题两式的特点，引导学生对照完全平方公式，明确公式中的a，b在x2＋14x＋49与(m＋n)2－6(m＋n)＋9中分别是什么(a，b可以是单项式，也可以是多项式)，并尝试用语言表述加以理解，如x2＋2×7×x＋72是x与7两数的平方和加上这两数积的2倍．小组讨论后由学生分别口述解题过程，教师借助多媒体展示解题过程，让学生进一步理解并规范如何使用完全平方公式进行因式分解． 解：(1) x2＋14x＋49＝x2＋ 2×x×7＋ 72＝ (x ＋ 7)2.
　　　　　　　↓ ↓ ↓ ↓ 　↓　 ↓　↓
　　　　　　　a2 ＋2×a×b＋ b2＝(a ＋ b)2. (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9 ＝(m＋n)2－2·(m＋n)×3＋32 ＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2. 三、举例分析 例　把下列各式分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2; (2)－x2－4y2＋4xy. 处理方式：让学生观察题目特点，展开小组讨论，教师引导学生体会在因式分解中，多项式有公因式要先提公因式，再进一步因式分解；
当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数．学生口述解题过程，教师及时点评并多媒体展示解题过程． 思考：通过你所学的因式分解的知识，想一想对于一个多项式，你如何对它进行因式分解呢？ 处理方式：引导学生展开小组讨论，学生代表展示，教师多媒体总结． 归纳总结：因式分解的一般步骤：
(1)如果多项式各项含有公因式，应先提公因式；

(2)如果多项式各项不含有公因式，可以尝试用公式法因式分解；

(3)如果上述方法都不能因式分解，可以尝试整理多项式，然后分解；

(4)因式分解必须分解到每一个因式都不能分解为止． 四、练习巩固 1．下列各式：①－x2－16y2；
②－a＋9b2；
③m2－4n2；
④－x4＋y4；
⑤x2＋y2＋2xy；
⑥－ a2－2ab＋b2；
⑦m2－4mn＋4n2；
⑧4a2－2a＋1.其中，能用公式法因式分解的个数是(　　) A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 2．把下列各式分解因式：
(1)x2y2－2xy＋1；
(2)4－12(x－y)＋9(x－y)2. 3．把下列各式分解因式：
(1)－2xy－x2－y2；
(2)2mx2－4mx＋2m. 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第102页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第103页习题4.5第1～4题． 本节课教学中要进一步强调因式分解与整式乘法的互逆关系，进一步体会数学美，体会公式法的奥妙所在，让学生的数学思维插上飞跃的翅膀． 同时针对“一提二套”的题型可适当增加，培养学生的综合能力． 第五章　分式与分式方程 1　认识分式 第1课时　认识分式 1．理解分式的概念，明确分式和整式的区别． 2．理解分式有意义、无意义、值为0的条件． 重点 理解分式的概念，分式有意义的条件． 难点 对分式有意义、无意义、值为0的条件的理解． 一、情境导入 问题情境1：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 hm2，结果提前完成原计划的任务．如果设原计划每月固沙造林 x hm2，那么原计划完成造林任务需要________个月，实际完成造林任务用了________个月． 问题情境2：2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后b天日均参观人数45万人，这(a＋b)天日均参观人数为多少万人？ 问题情境3：新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元．降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？ 参考答案：1. ，.2..3. . 处理方式：学生独立思考，小组讨论得出结果．小组互相矫正． 二、探究新知 1．分式的概念 (1)思考：
对前面出现的代数式 ，，，，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ 整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果整式B中含有字母，那么称为分式．其中A叫做分式的分子，B为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． (2)剖析分式的概念：
形式：与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成． 内容：分数的分子、分母都是整数，分式的分子、分母都是整式． 要求：分式的分母中必须含有字母；
分子中可以含字母，也可以不含字母． (3)课件出示：
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ x－1，，，，(x＋y)，，，. 处理方式：让学生小组内交流探讨，对照分式的概念作出正确的判断．讨论交流的过程中，对学生产生的困惑和疑问，教师及时地作出解释． 2．分式有意义、无意义、值为0的条件 课件出示：
(1)当a＝1，2，－1时，分别求分式的值；

(2)当a取何值时，分式有意义？ 处理方式：由学生独立完成后，再分小组讨论、交流，进一步明确解题方法． 解：(1)当 a＝1时，＝＝2；

当 a＝2时，＝＝1；

当 a＝－1时，＝＝0. (2)当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义. 由分母2a－1＝0，得a＝， 所以，当a≠ 时，分式都有意义． 三、举例分析 例　什么条件下，下列分式的值为零？ (1)；

(2) . 处理方式：教师指导，示范说明当分子为零且分母不为零时的值为零． 解：根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0. 所以，(1)x＝0.(2)由x2－1＝0 ，解得x＝±1 .又因为x＋1≠0，即x≠－1 .所以x＝1 . 四、练习巩固 1．代数式：①；
②；
③；
④ 中，是分式的有(　　) A．①②　　　　　　　B．③④ C．①③ D．①②③④ 2．当x＝________时，分式无意义． 3．当x取什么值时，下列分式值为0? (1) ；

(2) . 五、课堂小结 这节课你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第109页“随堂练习”第1、2、3题． 2．教材第109～110页习题5.1第1～5题． 本节课在教学分式概念时，是让学生通过观察、归纳、总结整式与分式的异同，从而得出分式的概念．新课标注重学生探索、创新、合作能力的培养，本课时观察分式与整式的异同时，就是采取学生自主探索、合作交流的形式． 第2课时　分式的基本性质 1．熟练掌握分式的基本性质． 2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形． 3．了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法． 重点 掌握分式的基本性质． 难点 利用分式的基本性质约分． 一、复习导入 1．什么叫单项式？什么叫多项式？什么叫整式？ 2．分数的基本性质是什么？ 3．什么叫分式？ 二、探究新知 1．探究分式的基本性质 问题1：你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流． 问题2：据此你能总结出分式的性质吗？ 处理方式：学生分组讨论，归纳分析回答． 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 用式子表示为：·＝，÷＝·＝. 注意：性质中是同时乘(或除以)同一个不为零的整式． 2．分式的约分 (1)课件出示：
下列等式的右边是怎样从左边得到的？ ① ＝ (y≠0)；
②＝ . 处理方式：学生自主完成解题过程． 解：①因为y≠0，所以 ＝ ＝. ②因为x≠0，所以＝ ＝ . (2)课件出示：
化简下列分式：
① ；
② . 处理方式：师生共同完成化简过程． 解：①中a2bc可分解为ac·(ab)，分母中也含有因式ab，因此利用分式的基本性质：
＝ ＝＝ac. ②＝ ＝ . 说明：在①中相当于分子、分母同时约去了整式ab ；
在②中相当于分子、分母同时约去了整式x－1.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 三、举例分析 例1　化简下列分式：
(1) ；
(2) . 处理方式：学生自主完成化简过程． 解：(1) ＝ ＝ . (2)＝. 例2　在化简时，小颖与小明出现了分歧． 小颖是这样做的：＝， 小明是这样做的：＝＝. 提出问题：你对他们两人的做法有何看法？与同伴交流． 归纳：如果化简成，说明化简的结果中分子与分母已没有公因式，这种分式称为最简分式．化简分式时，我们通常要使结果成为最简分式或者整式． 四、练习巩固 1．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ (1) ；

(2) ；

(3) ；
(4) . 2．已知分式. (1) 当x为何值时，分式无意义？ (2) 当x为何值时，分式有意义？ 3．化简下列分式：
(1)；
(2) . 五、课堂小结 通过今天的学习，同学们有何收获和感想？ 六、课外作业 1．教材第112页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第113页习题5.2第1～4题． 在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从而掩盖了其他学生的疑问和错误．教师应对学生的讨论给予引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，使小组合作学习更具实效性．找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好． 2　分式的乘除法 1．类比分数的乘除运算法则，探究分式的乘除法法则，研究分式的运算算理． 2．会利用分式的乘除法运算法则，进行简单的分式的乘除法运算． 3．提升学生的思维迁移能力，发展符号运算水平． 重点 会进行简单的分式的乘除法运算． 难点 解决一些与分式有关的简单的实际问题． 一、情境导入 有一次，鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子．鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法． 上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？今天我们研究“分式的乘除法”．(板书课题) 二、探究新知 1．探究分式的乘法法则 (1)计算，并说出分数的乘法法则：
①×；
　　　②×. 分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． (2)猜一猜：×＝________． 你能总结分式的乘法法则吗？与同伴交流． ×＝. 分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． 2．探究分式的除法法则 (1)计算，并说出分数的除法法则． ①÷；
　　　②÷. 分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘． (2)猜一猜：÷＝________． 你能总结分式的除法法则吗？与同伴交流． ÷＝×＝. 分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 三、举例分析 例1　计算：
(1) ·；

(2) ·. 处理方式：师生共同完成解题过程． 解：(1) ·＝＝. (2)·＝＝. 注意：①分子、分母有多项式的，一般是分子和分母先分解因式，并在运算过程中约分；
②运算结果要化成最简分式． 例2　计算：
(1) 3xy2÷；

处理方式：学生自主完成计算过程． 解：3xy2÷＝3xy2·＝＝x2. 提出问题：就计算过程谈谈你的想法？ 引导学生得出计算分式除法的步骤：
① 除法变乘法；

②再按乘法法则运算；
③结果为最简分式． (2) ÷. 处理方式：师生共同完成计算过程． 解：原式＝·＝ ＝ ＝. 注意：①分式的分子和分母是多项式，先要对分子和分母进行因式分解；
②结果要化为最简分式或整式． 四、练习巩固 1．计算：
(1)·；
(2)·()2. 2．购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，已知球的体积公式为V＝πR3 (其中R为球的半径)．那么 (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？ (3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴交流． 3．对于a÷b· ，小明是这样计算的：a÷b· ＝ a÷1＝a.他的计算过程正确吗？为什么？ 五、课堂小结 通过这节课的学习，你学到了哪些知识？要注意什么问题？ 六、课外作业 1．教材第115页“随堂练习”． 2．教材第116页习题5.3第1、2、4题． 本节课中的运算法则的运用不难，但有的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项式、单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差．另外，部分学生在结果的化简上存在问题，化简意识不够，因此在本节课的教学中应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约分类比分式的约分，加强化简意识．还有些学生因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关联的，所以课前有必要巩固分式的约分和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练习． 3　分式的加减法 第1课时　同分母分式的加减法 1．类比同分母分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则． 2．理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算． 重点 分式的加减法的运算法则及其应用． 难点 简单的异分母的分式的加减． 一、复习导入 问题1：计算：
(1)＋＝________；
(2)－＝________；

(3)＋＝________；
(4)－＝________． 处理方式：让学生回答，使学生很快进入状态又不觉得困难，而后两个小题运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案．老师强调：约分是分数的必要步骤． 问题2：同分母的分数相加减的法则是什么？ 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减． 二、探究新知 1．探究同分母分式相加减的法则 课件出示：
(1)＋＝________；
(2)－＝________；

(3)＋＝________；
(4)－＝________． 思考：同分母的分式应该如何加减？ 运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为：±＝. 2．同分母分式相加减法则的运用 课件出示：
(1)－ ；
(2)－ ；

(3)－ ；
(4)＋－. 处理方式：先选四名学生板书，其余学生在练习本上完成后小组内进行交流，小组长对本组学生出现的答案进行汇总并尽可能通过交流达到统一；
教师结合学生的板书情况对做题的格式进行规范和强调，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题． 注意：(1)若分子是多项式的，分子要先加括号，再去括号后合并同类项；
(2)运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式． 三、举例分析 例　计算：
(1)＋；
(2)－ . 处理方式：先引导学生思考两个问题：(1)这两个题目与我们前面做的题目有什么不同点？(2)能不能化成同分母的分式加减法？然后两名学生板书，其余学生在练习本上完成．待学生全部完成后教师进行强调：分母互为相反数时，改变一下运算符号即可变为同分母． 注意：第二小题有意增加难度，利于学生能力的提高．解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算．旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，为下节课一般的异分母加减的学习做好准备． 四、练习巩固 1．计算：
(1)＋；
(2)＋；

(3)－. 2．计算：
(1)＋；
(2)－；

(3)＋－；
(4)－. 五、课堂小结 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？ 六、课外作业 1．教材第118页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第118～119页习题5.4第3、4题． 本节课的内容充分挖掘教材中的素材，把它们转化成本节课的实质内容，并能渗透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用．鼓励学生通过与分数类比，得出分式加减运算法则后，应该先讲例1，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导．毕竟课堂时间有限，课后还是应该多练，扎实基本功． 第2课时　异分母分式的加减法 1．类比分数的加减，理解异分母分式的加减法法则． 2．能通过通分把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，能熟练地进行分式的混合运算，同时能运用分式的运算解决生活中的实际问题． 3．经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力． 重点 掌握分式的通分及异分母分式的加减运算． 难点 分式的混合运算． 一、复习导入 1．异分母的分数如何加减？如：＋应如何计算？ 2.你认为异分母的分式应该如何加减？比如＋应如何计算？ 处理方式：小组讨论交流，完成上述问题．引导学生思考：在进行上述运算时，首先进行了怎样的变形呢？ 二、探究新知 1．探究异分母的分式加减法法则 课件出示教材第119页“议一议”． 总结：为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的公分母．所以说通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 提出问题：你们能仿照小学学习的异分母分数的加减运算法则总结出异分母分式的加减运算法则吗？ 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 这一法则用字母表示为：
±＝±＝. 2．通分 课件出示：
将下列各式通分：
(1) ， ，；
(2)，；

(3) ，；
(4) ，. 问题1：你能找出各个小题的最简公分母吗？ 问题2：我们找出它们的最简公分母后该怎么通分呢？ 找最简公分母：首先将分式的分母能写成乘积的形式，一定要写成乘积的形式，也就是将分母分解因式．然后按照以下步骤：
①找系数：各分母系数的最小公倍数；

②找字母(或式子)：各分母中出现的字母(或式子)；

③找次数：相同字母(或式子)最高的次数． 三、举例分析 例1　计算：
(1)＋ ；
(2)－ ；

(3)－. 解：(1)＋＝＋ ＝＝ ＝ . (2)－＝－ ＝＝. (3)－＝－ ＝＝ ＝ . 例2　小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽走的是平路，骑车速度为2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么 (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？ 处理方式：以问题串的形式引导学生思考：①小刚上坡路需要的时间是多少？②小刚下坡路需要的时间是多少？③小丽走平路需要的时间是多少？……(通过小组合作，学生间相互提问找出解决问题的办法) 四、练习巩固 1．化简－ 可得(　　) A.　　　　　B．－ C. D. 2．化简＋的结果是(　　) A. B. C. D. 3.化简：(－)÷ ＝________． 4．化简(1－)(m＋1) 的结果是________． 5.计算：＋. 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第121页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第121～122页习题5.5第1～5题． 本节课中异分母分式加减法的例题和习题采取梯度设置，有助于学生循序渐进地获得知识，对知识的掌握更容易且更牢靠，教学效果很好．异分母分式加减法的法则的讨论让学生更明确其理所在，容易接受；
演练让老师能更好地发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式．实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识得到增强，数学思想得到提升． 第3课时　分式的加减混合运算 1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算． 2．提高学生对代数式化简变形的能力． 3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值． 4．会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意识． 重点 异分母分式的加减法运算及分式的应用． 难点 异分母分式的加减法运算及分式的化简求值． 一、复习导入 问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？ 问题2：异分母分式是如何进行加减运算的？ 问题3：计算：
(1)＋ ；
(2)－ ；
(3)－ . 思考：请同学们观察这三道题，总结一下做这类题的关键是什么？ 进行异分母的分式加减法关键是：如何确定合适的最简公分母．本节课就让我们继续探索这方面的知识． 二、探究新知 1．课件出示教材第122页例5. 解：(1) ＋＝＋ ＝＋……(通分) ＝……(同分母分式相加减) ＝……(分子相加，分母不变)． (2)－x＋1 ＝－(x－1)……(整式看作一个整体) ＝－……(通分) ＝……(同分母分式相加减) ＝……(分子相加减) ＝……(最简分式)． (3)＋－ ＝＋－……(通分) ＝……(同分母分式相加减) ＝……(最简分式)． 2．课件出示教材第123页例6. 解：－－ ＝＝. 因为＝2，即x＝2y， 所以，原式＝＝＝. 思考：还有其他解法吗？ －－＝－－. 根据 ＝2，变形得＝ ，然后将它们代入计算． 师：你认为哪种方法更好？ 生：还是先化简，再代入求值的方法更好． 三、举例分析 例　根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1 120 m 的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期．假设原计划每天修建盲道x m，那么 (1)原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？ (2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？ 处理方式：学生独立思考，老师适时指导点拨． 四、练习巩固 计算：
(1)1－x＋；
(2)＋ －. 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第123～124页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第124页习题5.6第1～5题． 本节课是对异分母分式加减法的进一步学习和运用，在例题的讲解和习题训练中出现了如：分子添括号、结果约分等问题，今后在课下需要加强辅导与巩固练习．另外实际问题解决取决于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升． 4　分式方程 第1课时　分式方程的概念 1．通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型． 2．能利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义． 重点 理解分式方程的概念． 难点 根据实际问题建立分式方程的数学模型． 一、情境导入 在这一章的第一节中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题． 面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2，结果提前4个月完成原计划的任务．那么原计划每月固沙造林多少公顷呢？ 当时，我们设原计划每月固沙造林x hm2，那么原计划完成任务需要个月，实际完成任务用了个月．根据题意，可得方程－＝4 . －＝4 中，， 是不同于整式的代数式，我们称之为分式．像－＝4这样的方程我们称之为分式方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．今天我们共同来研究分式方程． 二、探究新知 1．路程问题 甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． (1) 你能找出这一问题中有哪些等量关系吗？ (2) 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ (3) 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？ 解：(1) 等量关系：
乘高铁列车所用的时间＋9 h＝乘特快列车所用的时间． 高铁列车的速度＝特快列车的速度×2.8. 乘高铁列车所用的时间＝. 乘特快列车所用的时间＝ . (2)x 满足方程：－＝9 . (3)y 满足方程：＝2.8×. 2．捐款问题 我国是世界上自然灾害种类最多的国家，自然灾害也给一些地区造成重创(播放图片)，每当这时全国人民都会纷纷伸出友谊之手，捐出自己的一份爱． 课件出示教材第125页“做一做”． 处理方式：学生独立思考，然后组织讨论、交流，教师巡视，给予必要的指导． 解：设七年级捐款人数为x人，根据题意，可得方程＝. 3．总结分式方程的概念 师：上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼？ 特点：这些方程都有分式，分母中都含有未知数． 强调分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程． 判断分式方程的条件：①方程；
②分母中含有未知数． 思考：整式方程与分式方程有什么区别？ 整式方程的分母中不含有未知数，分式方程的分母中含有未知数． 三、举例分析 例　有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量． 问题1：在这个问题中涉及哪几个基本量？它们的关系如何？ 解：涉及三个基本量：总产量、每公顷试验田的产量、试验田的面积．其中总产量＝每公顷试验田的产量×试验田的面积． 第一块试验田的面积＝第二块试验田的面积；
(a) 第一块试验田每公顷的产量＋3 000 kg＝第二块试验田每公顷的产量．(b) 问题2：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？ 解：方法1：根据等量关系(b)，可知第二块试验田每公顷的产量是(x＋3 000)kg. 根据题意，利用等量关系(a)，可得方程：＝. 方法2：根据等量关系(a)，我们可以设两块试验田的面积都为x hm2，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量．根据等量关系(b)，可列出方程：＋3 000＝. 四、练习巩固 1．下列各式中，是分式方程的是(　　) A．x＋y＝5　　　　　　B.＝ C. D.＝0 2．“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共69 000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3.设退耕还林的面积为x hm2，那么x满足怎样的分式方程？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？ 六、课外作业 1．教材125～126页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第126页习题5.7第1～3题． 本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，较好地完成了教学目标．在本节课堂教学中，学生在掌握了列分式和分式计算式的基础上，结合过去学过的列一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式(组)、一次函数解应用题等知识，能够很快列出分式方程．而且，本节课在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法， 激活学生的思维，营造良好的课堂氛围． 第2课时　分式方程的解法 1．探索分式方程的解法，体会解分式方程的必要步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2．知道增根的意义，了解增根产生的原因，会检验方程的根是不是增根． 3．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程． 重点 掌握分式方程的解法． 难点 知道增根的意义，了解增根产生的原因，会检验方程的根是不是增根． 一、复习导入 问题1：什么叫分式方程？ 问题2：下列方程中，哪些是分式方程？并给出理由． (1)＝；
(2)2x＋＝10；

(3)＝ ；
(4)＝. 问题3：解一元一次方程有哪些步骤？如何解一元一次方程＋＝？ 二、探究新知 1．解分式方程的基本思想 问题：什么是方程的解？你能设法求出分式方程－＝9的解吗？ 解法1：－＝9，＝9，x＝100.(中的1 400与2.8约分后，与变成同分母，再根据分式的基本性质求解) 解法2：1 400×2.8－1 400＝2.8x×9，2.8×9x＝1 400×1.8，x＝100.(根据分式基本性质，两边同时乘2.8x，去分母后变成一元一次方程，然后求解) 解分式方程的基本思想：把分式方程化为整式方程求解． 2．解分式方程的步骤 (1)课件出示：
解方程＝ . 解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2)． 解这个方程，得x＝3. 检验：将x＝3带入原方程，得 左边＝1，右边＝1，左边＝右边． 所以，x＝3是原方程的根． (2)课件出示教材第127页“议一议”． 归纳总结：
增根：使原分式方程的分母为零的未知数的值，我们称它为原方程的增根． 增根产生的原因：去分母时，我们在方程的两边同时乘了一个使分母为零的整式． 注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根；
增根不是计算过程中的失误造成的，而是在从分式方程转化为整式方程的过程中产生的；
验根只需把求的根代入最简公分母中，看其是否为零． 注意事项：在解这个方程的过程中，学生容易忽视两个分母互为相反数，所以在去分母时会化简为繁．要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数． (3)解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ 处理方式：引导学生结合例题的解题步骤，展开讨论，小组总结回答，教师多媒体出示． 解分式方程的步骤：
①去分母，把分式方程转化为整式方程；

②解这个整式方程；

③检验：将未知数的值代入原方程，检验方程左右两边是否相等或代入最简公分母，检验最简公分母是否为0. ④写出分式方程的根． 三、举例分析 例　解方程：－＝45 . 处理方式：学生观察、分析，小组讨论，学生代表口述解题思路，师生共同完成解题过程，教师多媒体展示步骤． 四、练习巩固 1．已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝________. 2．若关于x的方程－1＝0有增根，则a的值为________． 3．解分式方程：＋4＝. 4．若关于x的方程＝1的解是负数，求m的取值范围． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 六、课外作业 1．教材第128页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第128页习题5.8第1～4题． 本节课中的数学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上，学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．关于分式方程的增根的教学，通过创设“议一议”的问题，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习， 促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，使学生的学习能力得到最大限度的提升． 第3课时　分式方程的应用 1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程． 3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力． 重点 能将实际问题中的等量关系用分式方程表示． 难点 寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法． 一、复习导入 1．解分式方程有哪些步骤？ 2．解分式方程：
－＝1. 3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 二、探究新知 1．课件出示教材第129页“做一做”． 处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结． 解：(1)等量关系：
①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元． ②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数． ③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金． (2)①求出租房屋的总间数；
②分别求这两年每间房屋的租金． (3)方法一：
解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为(x＋500)元．第一年出租的房屋为间，第二年出租的房屋为间，根据题意，得 ＝ . 解得x＝8 000. 经检验，x＝8 000是原分式方程的解，也符合题意． x＋500＝8 500(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． 方法二：
解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得＝＋500. 解这个方程，得x＝12. 经检验，x＝12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租． 102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． (教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．) 三、举例分析 例　某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格． 处理方式：审清题意，找出题中的等量关系． 思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？ 处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示． (1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系． (2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整． (3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程． (4)解：认真仔细． (5)验：有两次检验． (6)答：注意单位和语言完整． 四、练习巩固 1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是(　　) A.＝　　　　　B.＋3＝ C.＝ D.＝＋3 2.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为(　　) A.＋2＝＋ B.－＝2－0.5 C.－＝2－0.5 D.－＝2＋0.5 五、课堂小结 通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？ 六、课外作业 1．教材第129页“随堂练习”． 2．教材第130页习题5.9第1、2、3题． 本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题． 第六章　平行四边形 1　平行四边形的性质 第1课时　平行四边形的边、角特征 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，使学生理解平行四边形的概念和性质． 2．探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质． 3．在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯． 重点 理解并掌握平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用． 难点 能够运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算． 一、情境导入 我们一起来观察下面的图片，想一想它们是什么几何图形的形象？ 学生观察回答：平行四边形． 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 这节课我们一起来探讨平行四边形的定义及其性质． 二、探究新知 1．平行四边形的概念 活动：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张．将纸对折， 剪下两张叠放的三角形纸片， 将它们相等的一边重合，拼出一个四边形． (1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；

(2)给出小明拼出的四边形如下图，观察这个四边形的两组对边有怎样的位置关系？说说你的理由． 处理方式：教师先让学生分小组讨论交流，并积极引导学生发现这个图形是平行四边形，它的两组对边分别平行． 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．平行四边形表示为“▱”． 强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形；
②两组对边分别平行，即AD∥BC 且AB∥DC. 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？ (2)你还发现平行四边形有哪些性质呢？ 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，这个探索活动是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征，明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边，对角的性质． 师生共同归纳总结：
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等． 思考：有哪些方法可以说明平行四边形的边、角特征？ (1)通过剪纸、拼纸片及旋转，可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等． (2)可以通过推理来证明这个结论． 例：已知：如图①，四边形ABCD是平行四边形． 求证：AB＝CD，BC＝DA. 证明：如图②，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC, AB∥CD . ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△ABC和△CDA中， ∵∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4， ∴△ABC≌△CDA(ASA)． ∴AB＝CD, BC＝DA. 学生独立证明：平行四边形的对角相等． 定理：平行四边形的对边相等． 定理：平行四边形的对角相等． 三、举例分析 例　已知：如图，在▱ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：BE＝DF. 处理方式：先找三名学生板书，其余学生在练习本上完成后小组内进行讨论交流，小组长对本组学生出现的答案进行汇总并尽可能通过交流达到统一．教师结合学生的板书情况，对做题的格式进行规范和强调． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAE＝∠DCF. 又∵ AE＝CF， ∴ △BAE≌△DCF(SAS)． ∴ BE＝DF. 议一议：如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他三个内角的度数吗？ 由平行四边形对边分边平行得到邻角互补；
又由于平行四边形对角相等，由此已知平行四边形一个内角的度数，可以确定其他三个为角的度数． 四、练习巩固 1．在▱ABCD中． (1)若∠A＝130°，则∠B＝______，∠C＝______，∠D＝______；

(2)若∠A＋∠C＝ 200°，则∠A＝______，∠B＝______；

(3)连接AC，若∠D＝80°， ∠DAC＝40°，则∠B＝______，∠BAC＝______． 2．如图，在▱ABCD中，BC＝10 cm，AC＝8 cm，BD＝14 cm.则△ABC与△DBC的周长哪个长，长多少？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第137页“随堂练习”第2题． 2．教材第137页习题6.1第1～4题． 在整个教学设计中，知识的获得并不是传统式的灌输，而且首先设置了一些问题来慢慢诱导启发，而问题的设置又具有阶梯性，这样做起到了两个作用：一是知识的问题化，使得学生有思考、交流、合作的空间，真正体现了以学生为主体的原则；
二是问题的层次化，降低了学生探究的难度，更容易突破难点．其次，平行四边形的定义和性质定理的探究，全部是通过学生自己动手实践操作、观察、验证，小组合作交流探讨得到，真正做到了“以学生为主体，探究为主线”的教育理念． 第2课时　平行四边形的对角线特征 1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题． 3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 重点 掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 难点 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和证明． 一、情境导入 首先给大家讲一个故事(电脑显示)：一位饱经沧桑的老人，经一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少，同学们，老人这样分地合理吗？ 师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质，这节课我们就来研究．(板书课题) 二、探究新知 问题1：如图，平行四边形ABCD中有哪些线段相等？还有一些线段可以通过平移或旋转得到，你能找出来吗？ 结论：线段AO沿AO方向平移|AO |后可得线段OC，线段BO沿BO方向平移| BO |后可得线段OD；
线段OA绕点O沿某一方向旋转180°后能与线段OC重合，线段OB绕点O沿某一方向旋180°后能和线段OD重合． 处理方式：教师引导学生在平行四边形中通过平移、旋转的方法发现平行四边形对角线互相平分的性质． 活动效果：能够达到引导、发现目的并且复习了平移、旋转的知识． 问题2：你发现平行四边形两条对角线之间有什么关系？(平行四边形的对角线互相平分) 思考：你能设法验证你的结论吗？ 解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形(已知)， ∴AD＝BC，AD∥BC (平行四边形对边平行且相等)． ∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO. ∴△AOD≌△COB(ASA)． ∴OA＝OC，OB＝OD(全等三角形的对应边相等)， 即平行四边形对角线互相平分． 师生归纳：平行四边形性质定理：平行四边形对角线互相平分． 思考：你还有其他证明方法吗？与同伴交流．(利用 “ASA”证△ABO≌△CDO) 注意：
因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分． 三、举例分析 例1　如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC.OA＝OC. ∴ ∠DAC＝∠ACB. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴OE＝OF. 思考：还有其他证明方法吗？(也可以证明△BOF≌△DOE.) 处理方式：学生先交流、讨论后再独立完成，最后教师给予讲解． 例2　如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O, ∠ADB＝90°，OA＝6，OB＝3.求AD和AC的长度． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝6，OB＝OD＝3. ∴AC＝12. 又∵∠ADB＝90°， ∴在Rt△ADO中，根据勾股定理，得 OA2＝OD2＋AD2， ∴AD＝3 . 处理方式：学生互换互批，并找出解题步骤中的疏忽．教师注意巡视指导． 四、练习巩固 1. 如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知△AOD的周长是80 cm，AD的长是35 cm，求AC＋BD的长． 2.已知▱ABCD的周长是28 cm，AC与BD交于点O，其中△AOB的周长比△OBC的周长多4 cm ，则AB＝________cm，BC＝________cm. 3．如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，且分别交BC，AD于E，F两点，若AB＝4 cm，BC＝7 cm，OE＝3 cm，求四边形EFDC的周长． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第139页“随堂练习”． 2．教材第139页习题6.2第1～4题． 本节课的内容较为简单，对于性质的证明也只是用三角形全等去研究．在教学中注意渗透解决四边形问题时可以转化成三角形的转化思想．学生在写已知和求证时遇到困难，以后在这方面要加强练习．对于性质的应用先从最简单的计算开始，避免学生不用今天所学的性质进行计算，而是先证明全等再寻找线段相等关系．当我们遇到这类问题的时候，应该是帮学生打开思路，让他们豁然开朗． 2　平行四边形的判定 第1课时　平行四边形的判定定理1和定理2 1．经历平行四边形判别方法的探索过程，发展学生合情推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 2．探索并证明平行四边形的判定定理，发展演绎推理能力，并能应用平行四边形的判定方法解决问题. 3．体会证明过程中的类比、转化等数学思想，培养学生的学习热情． 重点 平行四边形判定定理的探究，运用平行四边形的判定定理解决问题． 难点 掌握综合法证明问题的思路方法． 一、复习导入 问题1：平行四边形的定义是什么？ 问题2：平行四边形有哪些性质？ 问题3：小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的技师很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？ 二、探究新知 探究一：
取四根木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根木条首尾顺次相接搭成一个平行四边形？说说你的理由． 预设学生回答：
1．选择相等的两根木条作为对边，并且只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能摆出平行四边形． 2．有两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形． 3．连接对角线，利用三角形全等和平行四边形的定义证明． 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：如图②，连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB(SSS)． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴AB∥CD，AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义)． 处理方式：学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察，完成探究活动，共同得到：
(1)只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形． (2)通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 注意事项：
(1)学生在拼四边形时，能否将长度相等的两木条作为四边形的对边；

(2)改变四边形形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形；

(3)学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路． 探究二：
1．取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？ 2．如果四边形有一组对边相等，那么还需添加什么条件，才能使它成为平行四边形？ 定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． “綊”这个符号，读作：平行且等于． 已知：如图①，在四边形ABCD中，AB綊 CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：如图②，连接AC. ∵ AB∥CD， ∴ ∠BAC＝∠ACD. 又∵ AB＝CD，AC＝CA， ∴ △BAC ≌△DCA(SAS)． ∴ BC＝AD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 思考：我们进行证明时都用到哪些辅助线？证明的过程都用到什么方法呢？ 总结：证明时连接对角线，将四边形化为三角形，然后用到了证明三角形全等的方法． 注意事项：
(1)学生实验操作的准确性；

(2)学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；

(3)学生使用几何语言的规范性和严谨性． 三、举例分析 例　如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形． 处理方式：学生分组交流，探讨如何利用平行四边形的判定定理证明，学生说出证明思路，教师展示证明过程． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC (平行四边形的对边相等)， AD∥BC (平行四边形的定义)． ∵E，F分别是AD和BC的中点， ∴ED＝AD，BF＝BC. ∴ED＝BF. 又∵ED∥BF， ∴ 四边形BFDE是平行四边形． 四、练习巩固 1．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A．AB＝CD，AD＝BC　　B．AB＝CD，AB∥CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 2．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，∠A＋∠B＝180°，那么四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由． 3.如图，在四边形ABCD中，AB綊CD，BF＝DE.求证：四边形AECF是平行四边形． 4．你能用两个全等的三角尺(含30°，60°角)拼出平行四边形吗？说明理由． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第142页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第142～143页习题6.3第1～3题． 本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式．首先复习了平行四边形的定义和性质，唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫．本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了类比、观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探究能力，发展学生的合情推理能力．学生把所学知识加以灵活地运用，有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习效率．数学的学习要重视学习方法的指导．本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式，引导学生抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效果． 第2课时　平行四边形的判定定理3 1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理． 2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用． 3．经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识． 重点 平行四边形判定方法的探究、运用． 难点 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用． 一、情境导入 活动1：将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置(如图)，这时四边形ABB1A1就是平行四边形． 问题：能说说这样做的道理吗？ 活动2：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形． 设疑：你认为这个四边形是平行四边形吗？ 二、探究新知 活动一：操作猜想 现在将你手中两根长度不等的细木条摆放在一张纸上，能否使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？做一做，与同伴交流． 处理方式：学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察、猜想、讨论、交流． 预设展示：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD是平行四边形． 活动二：理论证明 以上活动事实，你能用文字语言表达吗？你能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想？ 处理方式：通过学生的互相交流，口述其推理论证过程，根据学生的认知水平，教师应估计学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导． 预设展示：定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证法一：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD(SAS)， ∴△AOB≌△COD. ∴AB＝CD. 同理可得：BC＝AD. ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 证法二：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD(SAS)． ∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO. ∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 教师总结：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．可以直接成为我们证明命题的依据． 三、举例分析 例　已知：如图①， E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：
如图②，连接BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. 又∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)． 这道题你还有其他证法吗？说一说与大家共享． 师生共同讨论其他解题思路． 预设展示：
1．可以证明△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，进而得到BE＝DF，DE＝BF，所以四边形BFDE是平行四边形． 2．也可以利用三角形全等，证明BE綊DF或DE綊BF，从而得到四边形BFDE是平行四边形． 四、练习巩固 1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；
②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；
④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有(　　) A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组 2．如图是一张折叠椅的侧面示意图，AB，CD相交于点O，且在O处被互相平分，AC和BD平行吗？ 3.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. (1)求证：△BDE≌△CDF；

(2)连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第144页“随堂练习”． 2．教材第145页习题6.4第1～3题． 本节课的设计通过探究活动的开展探索平行四边形的判定方法，通过对判定方法的进一步理解，典型例题的分析，精选的随堂练习，学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际问题． 第3课时　平行线间的距离 1．认识平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离处处相等，并了解其简单应用． 2．利用平行四边形的性质和判定研究“夹在平行线之间的平行线段相等”， 发展演绎推理能力． 3．在运用平行四边形的性质和判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力． 重点 平行四边形的性质和判定的应用及平行线之间的距离． 难点 平行四边形的性质和判定的综合运用． 一、复习导入 问题1：什么是平行四边形？ 问题2：平行四边形有哪些性质？ 问题3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？ 问题4：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？ 二、探究新知 活动一：探究平行线之间的距离 课件出示：
已知：如图，直线a∥b, A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为点C，点D. 求证：AC＝BD. 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD. ∵AB∥CD， ∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)． ∴AC＝BD. 思考1：什么是点到直线的距离？ 思考2：根据所学知识，你能用自己的语言说说什么是平行线之间的距离？ 总结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离． 注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的． 活动目的：
通过对平行四边形性质和判定方法的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念，深化对知识的理解． 活动效果及注意：
1．在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离来刻画平行线间的距离． 2．在应用平行四边形的性质和判定的同时深入知识、效果很好，学生易于接受． 活动二：探究平行线之间的平行线段 结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？ 处理方式：学生分小组讨论交流，小组代表发表自己小组的讨论结果． 预设学生回答：
1．类比之前证明的“枕木问题”得出夹在两条平行线间的平行线段一定相等． 2．由夹在两条平行线间的平行线段，同样可得平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．根据平行四边形的性质(平行四边形的对边相等)，可以得出夹在平行线之间的平行线段一定相等． 师生共同总结：夹在平行线间的平行线段一定相等． 活动三：做一做 如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明画图的方法和其中的道理． 预设学生可能的画图方法：
1．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 目的：通过让学生在网格中画平行四边形并说理，进一步让学生掌握平行四边形的判定定理． 三、举例分析 例　如图，在平行四边形ABCD中，点M，N 分别在AD和BC上，点E，F在对角线BD上，且DM＝BN，DF＝BE.求证：四边形MENF是平行四边形． 处理方式：找两生板书，其余学生在练习本上写解题过程，最后教师矫正． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC(平行四边形的定义)． ∴∠MDF＝∠NBE. 又∵DM＝BN，DF＝BE， ∴△MDF≌△NBE(SAS)． ∴MF＝EN，∠MFD＝∠NEB. ∴∠MFE＝∠NEF. ∴MF∥EN. ∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 四、练习巩固 1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4 cm，点M到直线b的距离是2 cm，那么直线a、直线b之间的距离是(　　) A．2 cm　　　　　　　　　B．6cm C．2 cm或6 cm D．4 cm 2．两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是________________． 3．如图，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若OE＝3 cm，那么AB ，CD 间的距离是________cm. 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2. (1)求证：AE＝CF；

(2)求证：四边形EBFD是平行四边形． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第147页“随堂练习”． 2．教材第148～149页习题6.5第1～5题． 本节课的探究活动的开展是以平行四边形的判定方法进一步得到两平行直线间的距离处处相等这一结论，进而得出夹在平行线间的平行线段一定相等这一结论．通过典型例题的分析，精选的随堂练习，学生基本能够掌握平行四边形的判定方法并能应用判定方法解决实际问题． 3　三角形的中位线 1．理解三角形中位线的概念． 2．会证明三角形的中位线定理． 3．能应用三角形中位线定理解决相关的问题． 重点 理解并会应用三角形的中位线定理． 难点 理解并掌握三角形中位线定理的证明和运用． 一、情境导入 问题：A，B两点被池塘隔开，在没有任何估测工具的情况下，如何估测点A，B之间的距离？ (学生利用所学回答：在AB外选一点O，连接AO和BO，并分别延长到点D，C，并使得DO＝AO，CO＝BO，利用三角形全等可知道AB＝CD.测出CD的长度即可．) 思考：还有其他方法吗？ 师：学习完本节就很容易解决这个问题了．(板书课题) 二、探究新知 1．三角形中位线的概念 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 处理方式：学生动手画图，讨论回答． 学生直观回答：找各边中点连接即可．老师利用平移旋转验证． 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线．同理EF，DF也是．一个三角形有三条中位线． 注意：三角形中线和中位线的区别．中位线是各边中点的连线，中线是顶点和对边中点的连线． 2．三角形中位线定理 你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 处理方式：学生探究讨论，小组互相矫正．教师板书过程． 思考：若四边形BCFD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？ 学生猜想：DE∥BC，DE＝BC. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，DE＝BC. 证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE， ∴△ADE≌△CFE(SAS)． ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴BD＝CF. ∴四边形DBCF是平行四边形． ∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC，DE＝BC. 思考：还有别的方法吗？ (学生回答：利用全等三角形和平行四边形的性质证明的，但辅助线添加的方法不一样．) 法二：证明：如图，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F， ∴∠ADE＝∠F. ∵∠AED＝∠CEF，AE＝EC， ∴△ADE≌△CFE(AAS)． ∴AD＝CF，DE＝EF. 又∵AB∥CF，AD＝DB， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC，DE＝BC . 总结三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 作用：①证明平行问题；
②证明一条线段是另一条线段的2倍或. 三、举例分析 例　已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G, H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 方法一：证明：如图①，连接BD. ∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH＝BD. ∵FG为△BCD的中位线， ∴FG∥BD，FG＝BD. ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)． 方法二：证明：连接两条对角线AC，BD，如图②. ∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. ∵FG为△BCD的中位线， ∴FG∥BD. ∴ EH∥FG. 同理，EF∥HG. ∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别平行的四边形为平行四边形)． 四、练习巩固 1．如图，若△ABC的周长为18 cm，则它的三条中位线围成的△DEF的周长是______cm，图中共有______个平行四边形． 2.如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O.求证：DE与AF互相平分． 3.在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．求证：四边形AFDE的周长等于AB＋AC. 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第152页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第152页习题6.6第3、4题． 本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线开展教学活动．在三角形中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质，然后师生通过测量和课件演示验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明．经历知识的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法．通过定理的探究与证明，努力培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质． 4　多边形的内角和与外角和 第1课时　多边形的内角和 1．经历探索多边形内角和公式的过程，发展学生的合情推理能力，培养由特殊到一般的探究能力． 2．掌握多边形的内角和定理，发展学生的演绎推理能力，并会运用解决问题，培养灵活运用知识的能力． 3．通过观察、分析、把多边形问题转化为三角形问题，体会转化思想在几何知识中的应用． 重点 掌握多边形内角和定理． 难点 多边形内角和公式的应用． 一、情境导入 问题1：如图①，三角形三个内角的和等于多少度？ 问题2：如图②，图③，正方形、长方形的内角和等于多少度？ 问题3：如图④，对于一般的四边形，它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？ 二、探究新知 活动一：探究五边形的内角和 问题1：健身广场中心的边缘是一个五边形，你能类比求四边形内角和的方法求出它的五个内角的和吗？ 问题2：小明和小亮利用下面的图形，求出了五边形的五个内角的和，说说他们是怎么做的？还可以怎么做？
　　　图①　　　　　　　图② 处理方式：学生分小组讨论、交流，小组代表发表小组讨论的结果． 预设学生回答：
1．五边形的内角和等于540°. 2．如图①，小明连接对角线把五边形分割成三个三角形，所以五边形的内角和是180°×3＝540°. 如图②，小亮在五边形内部取一点，连接这点和各个顶点，把五边形分割成五个三角形，五个三角形的内角和是180°×5＝900°，然后再减去一个周角的度数360°，得到五边形的度数为900°－360°＝540°. 其他思路①：如图③，在五边形的任意一边上取一点，把五边形分割成四个三角形，四个三角形的内角和是则有180°×4＝720°，然后再减去一个平角的度数180°，得到一个五边形的度数为720°－180°＝540°. 其他思路②：如图④，在五边形外取一点，则有180°×4＝720°，然后再减去外部一个三角形内角和度数180°，得到一个五边形的度数为720°－180°＝540°. 活动二：想一想 1．按照活动一中的小明的方法，六边形能分成多少个三角形？…n边形呢？你能确定n边形的内角和吗？(n是大于或等于3的自然数)小组讨论后完成表格． 多边形 边数 分割后 的图形 分成三角 形的个数 内角和 规律 3 4 5 6 … … … … … n
2.按照活动一中的小亮的方法再试一试． 处理方式：学生动手画一画，分一分，教师对有困难的同学给予指导． 预设学生回答：
(1)六边形可分成4个三角形，七边形可分为5个三角形，…，n边形可分为(n－2)个三角形．六边形内角和为720°，七边形内角和为900°，…，n边形的内角和为(n－2)个三角形的内角和(n－2)·180°(n ≥ 3)． 多边形 边数 分割后 的图形 分成三角 形的个数 内角和 规律 3 1 180° 180° 4 2 360° 360° 5 3 540° 540° 6 4 720° 720° … … … … … n … n－2 (n－2) ·180° (n－2)×180°
(2)利用小亮的方法得出的结论是：n×180°－360°＝(n－2)·180°. 多边形 边数 分割后 的图形 分成三角 形的个数 内角和 规律 3 1 180° 180° 4 4 360° 360° 5 5 540° 540° 6 6 720° 720° … … … … … n … n (n－2) ·180° n×180°－360° ＝(n－2)×180°
定理：
n边形的内角和等于(n－2)·180°. 活动三：想一想 1．正三角形(等边三角形)的内角和等于多少度？每个内角等于多少度？你是怎么计算的？ 2．正四边形(正方形)的内角和等于多少度？每个内角等于多少度？你是怎么计算的？ 3．正五边形、正六边形、正八边形、…、正n边形呢？ 处理方式：让学生小组内讨论、交流后归纳总结得出结论，教师适时给予思路点拨和引导． 正三角形每个内角为：＝60° ；

正四边形每个内角为：＝90° ；

正五边形每个内角为：＝108° ；

正六边形每个内角为：＝120° ；

正八边形每个内角为：＝135° ；

正n边形每个内角为：
. 三、举例分析 例1　如图所示，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B与∠D有怎样的关系？ 处理方式：学生独立完成，教师适时指导点拨． 解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝(4－2)×180°＝360°， ∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°. ∴∠B与∠D互补． 例2　剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流． 预设学生可能回答：
(1)如图①所示，剪下一个角后，纸片剩下5个角，得到的五边形内角和为(5－2)×180°＝180°. (2)如图②所示，剪下一个角后，纸片剩下4个角，得到的四边形内角和为(4－2)×180°＝360°. (3)如图③所示，剪下一个角后，纸片剩下3个角，得到的三角形内角和为180°. 四、练习巩固 1．若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数是(　　) A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6 2．一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为(　　) A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 4．正十二边形每个内角的度数为________． 5．有两个多边形，边数之比为3∶4，内角和之比为1∶2，求这两个多边形的边数． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第154页“随堂练习”． 2．教材第155页习题6.7第1、3、4题． 这节课的学习内容通过创设情境问题得以构建和发展，体现了新课程目标理念的开放性原则．在新课讲授过程中注意探究了从三角形、四边形到多边形内角和知识的形成，最后形成规律，有利于学生对多边形内角和的理解． 不足之处：1.这节课给学生提供的探究思考与交流的时间和空间并不足，展示交流的机会不够充分，有的同学没有表现的机会；
2.本节课学生小组活动的准备、具体实施、归纳交流、评价等环节设计不够完善． 第2课时　多边形的外角和 1．让学生经历探索多边形外角和公式的过程，培养学生主动探究的习惯． 2．能灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题． 重点 多边形外角和定理的探索和应用． 难点 灵活运用公式解决简单的实际问题． 一、情境导入 清晨，小明沿一个长方形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，他跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 处理方式：情境模拟：在教室里利用课桌，请一位同学模拟小明，伸出一只手臂平伸向正前方，然后绕课桌一周，停止后可以发现，手臂的方向不变，由此得出什么结论？让学生讨论． 问题：这个角度是哪些角的和？它们和四边形有何关系？如果把广场改为五边形，结果又会怎样呢？本节课我们将继续研究有关多边形角的问题． 二、探究新知 1．课件出示：
小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步． (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)在上图中，你能求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的结果吗？你是怎样得到的？ 处理方式：学生思考，老师演示动画让学生理解题意． 解：方法一：以小明自身转过的度数计算，转过一周，刚好是360°；

方法二：用量角器量出度数后计算；

方法三：把各个外角都剪出来，再拼在一起，类似验证三角形内角和的方法；

方法四：利用内角与相邻的外角互补的关系推理得出：
∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°. ∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°. 思考：还有其他方法求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和吗？ 解：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α＝∠1，∠β＝∠2，∠γ＝∠3，∠δ＝∠4，∠θ＝∠5.这样，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°. 2．问题引申：
(1)如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？ (2)如果广场的形状是八边形呢？ 处理方式：学生先独立思考，再分组讨论，老师巡视矫正学生的错误． 3．多边形的外角与外角和 在上题中，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角，它们叫五边形的外角，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和叫五边形的外角和．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．(注意：多边形一个顶点有两个外角，但求外角和的时候只取一个外角．) 得出结论：多边形的外角和都等于360°. 三、举例分析 例1　一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°， ∴ (n－2)·180°＝ 3×360°，解得n ＝ 8. ∴这个多边形是八边形． 师：利用多边形的外角和结论，能推导多边形内角和的结论吗？ 180°·n－360°＝(n－2)·180°. 例2　某多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形是几边形？ 解：方法一：根据题意，得(n－2)·180＝150n，解得 n＝12. 方法二：因为每一个外角是180°－150°＝30°，所以边数是360°÷30°＝12. 处理方式：学生独立完成，小组间互相矫正． 四、练习巩固 1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是(　　) A．四边形　B．五边形　C．六边形　D．八边形 2．一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3．一个多边形的每一个外角都等于18°，它是______边形． 4．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于(　　) A．360° B．250° C．180° D．140° 5.已知一个多边形的每个内角都比相邻的外角的4倍还多90°，求这个多边形的边数及内角和． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第156页“随堂练习”． 2．教材第157页习题6.8第1～5题． 本节课的设计突出对多边形的外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比前一节课的方法，又有承接多边形内角和的新方法；
既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程．相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求．另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识． 综合与实践 生活中的“一次模型” 1．综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系． 2．经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值． 重点 会运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题． 难点 体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数三者之间的内在联系． 一、复习导入 1．举例说明一元一次方程(组)、一次函数、一元一次不等式(组)之间有什么样的关系？ 2．举例说明生活中常见的用一元一次方程(组)、一次函数或一元一次不等式(组)相关知识解决的实际问题． 二、探究新知 探究一：在学生提出的实际问题基础之上，汇总出几个有价值的研究材料供学生选择． 材料1　探索出租车如何计价 1．日间出租车价与里程数之间的函数关系． 2．夜间出租车价与里程数之间的函数关系． 3．当遇到红灯或堵车时的计价情况等． 材料2　探索商场促销现象 节假日商场经常打出打折的牌子，在各种以打折名义进行的促销活动中，如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题． 调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式，列 出相应的方程、函数或不等关系并作出分析，用你得到的结论，指导周围的人理性消费． 材料3　关于集资活动的调查 1．学校的社团常常需要筹措资金，如果你是某个组织中的成员，请列出一张清单，写出你所需要的资金项目；

2．计划资金增长的方式，当你完成你的计划时，同时考虑一下为了增长资金是否还需要一些必要的开销，用方程、不等式和函数表示你的计划及盈利情况；

3．将你筹措资金的情况展示给大家，做一个报告叙述你的观点，并与同伴交流． 探究二：组建小组，确定方案 1．在教师的指导下，学生根据自己的情况选择合适的研究内容组成研究小组，组内人员进行明确分工． 2．组内讨论，形成完整的调查研究方案． 三、举例分析 例　伴着人类电子行业的迅速发展，手机的用途越来越广，越来越被我们青睐，因此话费问题也经常会被纳入家庭经济核算．如今的话费收取种类众多，如何选取最适合自己的一套方案也被人们所重视．我们就对话费的选取这方面进行研究与调查． 首先提供一张王先生10月份话费清单：
移动公司出来两种话费计费方式：
月租 本地主叫限定 时长/min 主叫超时 费/(元/min) 被叫 方式一 20 120 0.20 免费 方式二 50 200 0.10 免费
请根据所学一元一次方程、一元一次不等式或一次函数等知识，构造相应数学模型，结合实际情况帮助王先生选择一种较合适的话费方案． 四、练习巩固 关于教育开销的调查 1．计算一下自己从现在起到参加工作，总共需要多少教育资金． 2．考虑你如何支付这些费用，帮家长写一个储蓄计划． 3．用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量． 4．将你的调查与同学交流一下，让大家看看你的调查是否可行？如果可能请他们提供改进的建议． 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．结合本节课的收获，将小组的讨论结果修改完善． 2．运用本节课的讨论结果，选择感兴趣的话题，小组合作展开调查，利用得到的数据构造一个可以综合运用这些知识解决的问题，并加以解决． 本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容．重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取．因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展． 平面图形的镶嵌 1．学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把数学知识应用于实际生活之中． 2．让学生经历探索多边形的镶嵌(密铺)的过程，知道任意三角形、四边形和正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计． 3．提高分析图形、合情推理的能力，发展图形观念，积累数学活动经验，培养审美情趣． 4．在自主探索平面图形密铺的过程中，经历观察、拼图、交流等活动，体验在解决问题过程中与他人合作的重要性，体验学习活动充满着探索与创造，体验学习带来的快乐． 重点 掌握多边形镶嵌的条件． 难点 运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计． 一、情境导入 师：你家客厅铺的地砖是什么形状的？ 师：你还见过其他形状的地砖吗？ 师：请同学们展示收集到的镶嵌图案！ 二、探究新知 1．平面图形镶嵌的概念 师：观察图案，说说什么是平面图形的镶嵌？ 处理方式：老师归纳，给出概念． 2．探究平面图形能镶嵌的条件 活动一：
(1)师问：你会用大小完全相同的等边三角形地砖铺满地面吗？你会用大小完全相同的正方形地砖铺满地面吗？你会用形状、大小完全相同的长方形地砖铺满地面吗？请动手试一试！ 处理方式：学生先分组讨论，动手操作，然后交流自己的拼法． (2)请学生观察一组密铺图案，提出问题：平面图形镶嵌的特点是什么？ 活动二：
(1)形状、大小完全相同的正五边形能否密铺？ (2)形状、大小完全相同的正六边形能否密铺？ (3)你还能找到能够密铺的其他正多边形吗？ (4)用一种正多边形密铺有几种情况？为什么？ 处理方式：学生先分组讨论，动手操作，然后交流自己的拼法，学生思考并作答． 活动三：
(1)形状、大小完全相同的任意三角形能否密铺？ (2)形状、大小完全相同的任意四边形能否密铺？ 请动手试一试，如果能，你能发现什么规律？如果不能，请说明理由． (3)用全等的三角形(或四边形)密铺的方法是什么？ 处理方式：学生动手操作，组内交流自己的拼法，学生思考并作答． 探究原理：
正n边形的每个内角为×180°，要求m个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样有m××180°＝360°，由此推导出：m＝＝2＋ ，而m，n为整数，所以n只能为3，4，6. 结论：______________________________________． 三、举例分析 例　请你依照下面步骤制作出图案(3)，你能用它密铺吗？试试看！ 思考：用正五边形与什么图形搭配就能密铺？用正八边形与什么图形搭配就能密铺？正三角形、正方形、正六边形两两组合能否密铺？ 四、练习巩固 1．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 2．下列正多边形的组合中，不能镶嵌的是(　　) A．正方形和正三角形 B．正方形和正八边形 C．正三角形和正十二边形 D．正方形和正六边 形 3．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；
②正方形；
③正五边形；

④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有(　　) A．4种　　　B．3种　　　C．2种　　　D．1种 4．下列这些不规则的图形哪些能进行平面镶嵌？ 五、课堂小结 谈一谈本节课你的收获和体会． 六、课外作业 教材第164～165页习题第1～3题． 本节课是在学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把数学知识应用于实际生活之中．体现了多边形在现实生活中的应用价值， 也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道．本节内容为1课时，让学生经历探索多边形的镶嵌(密铺)的过程，知道任意三角形、四边形和正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计，学生积极性较高，教学效果较好．