必修五第3章第2讲,线性规划

　必修五 第 第 3 章 第 第 2 讲

　线性规划 【打基础，学画可行域】

　例 1.画出下列不等式所表示的平面区域并总结画法步骤。

　（1）

　2 3 0 x 

　（2）

　3 2 6 0 x y   

　（3）

　3 x y  

　总结：

　练习：

　（1）

　2 3 0 y 

　（2）

　5 0 x y   

　（3）

　3 2 4 x y   

　例 2.画出下列不等式组所表示的平面区域：

　（1）2 1 01 0x yx y     

　 （2）2 3 2 02 1 03 0x yyx     

　提升训练：

　（1）

　画出不等式 ( 1)( 1) 0 x y x y     

　所表示的平面区域。

　 （2）

　写出这个平面区域所对应的二元一次不等式，直线与坐标轴的两交点为（-2,0），（0,4）。

　 3.若二元一次不等式组5 00 2x yy ax     所表示的平面区域是一个三角形，求 a 的取值范围。

　【 简单线性规划 】

　一、学习目标

　0.60.40.20.20.40.61 0.5 0.5 1 1.5o4-2

　1、理解线性规划、线性目标函数、线性约束条件、可行域、最优解等相关概念 2、掌握解决线性规划问题的一般方法，会求目标函数的最优解 二、学习重难点

　1、重点：会求目标函数的最优解 2、难点：目标函数的几何意义 三、学习过程

　1、情境引入 【问题】某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料.生产甲产品 1工时需要 A 种原料 3kg，B 种原料 1kg；生产乙产品 1 工时需要 A 种原料 2kg，B 种原料 2kg．现有 A 种原料 1200kg，B 种原料 800kg ．如果生产甲产品每工时的平均利润是 30 元，生产乙产品每工时的平均利润是 40 元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？

　①将题中条件填入下表：

　产品 原料 A 数量（kg）

　原料 B 数量（kg）

　利润（元）

　生产甲种产品 1 工时

　生产乙种产品 1 工时

　限额数量

　②设计划生产甲产品 x 工时，乙产品 y 工时， 获得利润总额为 z，z = _________ ③其中 x,y 满足条件：

　 ④问题转化为，当 x,y 满足上述条件时，求 z 的最大值 ⑤在图 1 中画出③中不等式组表示的平面区域 ⑥平面区域内的任意一组(x,y)都满足题目约束条件，那么哪一组(x,y)可以使得利润总额 z 最大呢？

　x y o 图 1

　2、揭示概念 目标函数：________________________________________________________ 约束条件：________________________________________________________ 线性目标函数：____________________________________________________ 线性约束条件：____________________________________________________ 最优解：__________________________________________________________ 可行域：__________________________________________________________ 线性规划问题：____________________________________________________

　②总结：解决线性规划问题的一般步骤

　 例 1.（1）求 5 8 z x y   的最大值，式中的 x,y 满足约束条件：65 9 45, 0x yx yx y   

　（2）已知：15 3 155 3y xx yx y    ，求 3 5 z x y   的最大值与最小值

　例 2.小表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素 A，B 的含量及单价：

　甲 乙 丙 维生素 A（单位/千克）

　400 600 400 维生素 B（单位/千克）

　800 200 400 单价（元/千克）

　7 6 5 营养师想购买这三种食物共 10 千克，使它们所含的维生素 A 不少于 4400 单位，维生素 B不少于 4800 单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？

　 例 3.某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够装所托运货物的总体积不能超过324m ，总质量不能低于 650 千克.甲、乙两种货物每袋的体积、质量和可获得的利润，列表如下：

　货物 每袋体积（单位：3m ）

　每袋质量（单位：百千克）

　每袋利润（单位：百元）

　甲 5 1 20 乙 4 2.5 10 问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定都是整袋）时，可获得最大利润？

　 例 4.A，B 两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加.已知 A 区的每位同学往返车费是 3 元，每人可为 5 位老人服务；B 区的每位同学往返车费是 5 元，每人可为 3 位老人服务.如果要求 B 区参与活动的同学比 A 区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过 37 元.怎样安排 A，B 两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？

　例题选讲：

　 题型 1 1 ：区域判断问题

　例 例 1 1：已知点0 0( , ) P x y 和点 A（1，2）在直线 0 8 2 3 :    y x l 的异侧，则（

　）

　A． 0 2 30 0  y x

　B．  0 02 3 y x 0

　 C． 8 2 30 0  y x

　 D． 8 2 30 0  y x

　练习：

　1、已知点 (1, 2) P  及其关于原点的对称点均在不等式 0 1 2   by x 表示的平面区域内，则 b 的取值范围是__________。

　2、原点和点 (1,1) 在直线 0 x y a    的两侧，则 a 的取值范围_________。

　题型 2 ：画区域求最值问题 若变量 , x y 满足约束条件211y xx yy   , （1）求 2 x y  的最大值；

　 （2）求 x y  的最小值；

　（3）求11yx的取值范围； （4）求2yx的取值范围；

　（5）求2 2x y  的最大值；

　（6）求2 2( 2) x y   的最小值。

　题型 3 3 ：无穷最优解问题

　 例 1：已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件55 03x yx yx    ，使 ay x z   ( 0 a  )取 得 最小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （

　）

　 A、 3 

　B、 3

　C、 1

　D、 1

　练习：

　给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数 ( 0) z ax y a    取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为（

　）

　( ) A14

　( ) B35

　( ) C 4

　 ( ) D53

　(5,2) AxyO(1,1) B22(1, )5C

　 题型 4 4 ：整点解问题

　例 1：强食品安全管理，某市质监局拟招聘专业技术人员 x 名，行政管理人员 y 名，若 x 、y 满足4y xy x   ， 3 3 z x y   的最大值为（

　）

　A． 4

　 B． 12

　 C． 18

　D． 24

　练习：

　1、某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件2 5,2,6.x yx yx   

　则该校招聘的教师人数最多是（

　）

　A．6

　 B．8

　 C．10

　D．12

　2、 满 足 2 x y   的 点 ( , ) x y 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ）

　有 （ ）

　A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个

　 题型 5 5 ：线性规划中的参数问题

　例 1：已知 0 a  , , x y 满足约束条件13( 3)xx yy a x   ,若 2 z x y   的最小值为 1 ,则 a （

　）

　A．14 B．12 C． 1

　D． 2

　 练习：

　1、设关于 x ， y 的不等式组2 1 0,0,0x yx my m     表示的平面区域内存在点0 0( , ) P x y ,满足0 02 2 x y   ,求得 m 的取值范围是（

　 ）

　A．4,3    B．1,3    C．2,3     D．5,3    

　2、设不等式组 0,02 03 6x yx yx y   ≤≥≥，表示的平面区域为 D，若直线 2 0 kx y k    上存在区域 D上的点，则 k 的取值范围是________。

　 线性规划问题的推广 ----- 利用几何意义解决最值问题

　解题思路：

　1、找出各方程、代数式的几何意义；

　2、找出参数的几何意义；

　3、画图求解。

　例 1：若直线 1 y kx   ( ) k R  与圆2 2( 1) 1 x y    有公共点，则 k 的取值范围是___________。

　 练习：

　1、点 ( , ) P x y 在圆2 2:( 2) 3 C x y    上，则yx的最大值为_______。

　2、已知点 ) 4 , 1 ( A ， ) 1 , 3 ( B ，点 ) , ( y x P 在线段 AB 上，则1  xy的取值范围为________。

　例 2：若直线 2 0 x y b    与圆 5 ) 2 ( ) 1 (2 2    y x 有公共点，则 b 的取值范围为_______。

　练习：

　1、已知 x ， y 满足2 22 4 0 x y x y     ，则 2 x y  的取值范围是__________。

　2、若 60 12 5   y x ，则2 2) 1 ( y x   的最小值为________。

　3、已知点 ) , ( y x P 为圆 2 ) 1 ( ) 1 ( :2 2    y x C 上任意一点，则2 2) 1 ( ) 1 (    y x 的取值范围为____。

　线性规划作业 1、已知1,1 0,2 2 0xx yx y     则2 2x y  的最小值是_______。

　2、已知点 ( , ) P x y 的坐标满足条件41x yy xx  ，点 O 为坐标原点，那么 | | PO 的最小值等于_______，最大值等于_____。

　3、设 x 、 y 满足的约束条件 12 3 40y xx yx，则13 2xy的最大值为_______。

　4、设 1 m  ，在约束条件1y xy mxx y  下，目标函数 5 z x y   的最大值为 4 ，则 m 的值为______。

　5、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件55 03x yx yx    ， 使 z x ay   ( 0 a  )取 得 最 小值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （ ）

　A、 3 

　B、 3

　C、 1 

　D、 1

　6、若实数 , x y 满足2 045x yxy   则 s y x   的最小值为____________。

　7、已知平面区域 D 由以   3 , 1 A 、   2 , 5 B 、   1 , 3 C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点   y x, 可使目标函数 my x z   取得最小值，则  m

　（

　）

　A. 2 

　B. 1 

　C. 1

　D. 4

　8、设不等式组 0,02 03 6x yx yx y   ≤≥≥，表示的平面区域为 D，若直线 0 kx y k    上存在区域 D 上的点，则 k 的取值范围是____________。