高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA）
，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集）
(2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1）
（2）
（3）
⑷ Α⊆B⟺A∩B=A 并集 或 （1）
（2）
（3）
⑷A⊆B⟺A∪B=B 补集 ∁uA ⑴ （∁uA）∩A=∅, ⑵ ∁uA∪A=U, ⑶ ∁u∁uA=A, ⑷ ∁uA∩B=∁uA∪∁uB, ⑸ ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) ⑼ 集合的运算律：
交换律：
结合律: 分配律: 0-1律：
等幂律：
求补律：A∩∁uA=∅ A∪CuA=U ∁uU=∅∁u∅=U 反演律：∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB) ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) 第二章函数 §1函数的概念及其表示 一、映射 1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 . 2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。

二、函数 1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 . 2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有 、 、 。

§2函数的定义域和值域 一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：
① 已知函数的解析式，就是 . ② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：
1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合. 2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；
②配方法；
③反函数法；
④不等式法；
⑤单调性法；
⑥数形法；
⑦判别式法；
⑧有界性法；
⑨换元法（又分为 法和 法）
例如：① 形如y＝，可采用 法；
② y＝，可采用 法或 法；
③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；
④ y＝x－，可采用 法；
⑤ y＝x－，可采用 法；
⑥ y＝可采用 法等. §3函数的单调性 一、单调性 1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、<x2时，①都有 ，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；
②都有 ，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 . 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 . 2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；
② ；
③ . (2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；
②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；

2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ；

3．互为反函数的两个函数有 的单调性；

4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . §4函数的奇偶性 1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；
若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) . ② 简单性质：
1）
图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2）
函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线 轴对称，均可以得到周期 第三章　指数函数和对数函数 §1　正整数指数函数 §2　指数扩充及其运算性质 1．正整数指数函数 函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；
形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝；

(2)正分数指数幂写成根式形式：＝(a>0)；

(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；

(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aman＝________(a>0)；

(2)(am)n＝________(a>0)；

(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)． §3　指数函数(一) 1．指数函数的概念 一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过点______，即x＝____时，y＝____ 函数值 的变化 当x>0时，______；

当x<0时，________ 当x>0时，________；

当x<0时，________ 单调性 是R上的________ 是R上的________ §4　对数(二) 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：
(1)loga(MN)＝________________；

(2)loga＝________；

(3)logaMn＝__________(n∈R)． 2．对数换底公式 logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)；

特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)． §5　对数函数(一) 1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；
y＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 ______ 值域 ______ 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图像过点______，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈______；

x∈[1，＋∞)时， y∈______. x∈(0,1)时， y∈______；

x∈[1，＋∞)时， y∈______. 对称性 函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称 3.反函数 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数． 第四章　函数应用 §1　函数与方程 1.1　利用函数性质判定方程解的存在 2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标． 3．方程f(x)＝0有实数根 ⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________ ⇔函数y＝f(x)有________． 4．函数零点的存在性的判定方法 如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 1.2　利用二分法求方程的近似解 1．二分法的概念 每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________． 2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε) (1)确定区间[a，b]，使____________． (2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________. (3)计算f(x1)． ①若f(x1)＝0，则________________；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．