数理统计试题及答案

数理统计考试试卷 一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；

2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；

3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；

4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；

5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。

1、；

2、0.01；

3、；

4、；

5、。

二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）。

（A）
（B）
（C）
（D）
2、设为取自总体的样本，为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（ ）。

（A）
（B）
（C）
（D）
3、设是来自总体的样本，存在， , 则（ ）。

（A）是的矩估计 （B）是的极大似然估计 （C）是的无偏估计和相合估计 （D）作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（ ）。

（A）
（B）
（C）
（D）
5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（ ）。

（A）不能确定 （B）接受 （C）拒绝 （D）条件不足无法检验 1、B；

2、D；

3、C；

4、A；

5、B. 三、（本题14分）
设随机变量X的概率密度为：，其中未知 参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；
（2）的极大似然估计。

解：(1) ， 令，得为参数的矩估计量。

(2)似然函数为：， 而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。

四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差， （1）求的置信水平为0.95的置信区间；
（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；
（，）。

解：
（1）的置信水平为0.95的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；

（2）=；

由于是的单调减少函数，置信区间为， 即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）设总体服从参数为的指数分布，其中未知，为取自总体的样本， 若已知，求：
（1）的置信水平为的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。。

解：(1) 即的单侧置信下限为；
（2）。

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？（）
解：
（1）检验假设H0：2=1，H1：2≠1；

取统计量：；

拒绝域为：2≤=2.70或2≥=19.023， 经计算：，由于2， 故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。

（2）检验假设；

取统计量：~ ；

拒绝域为；
<2.2622 ，所以接受， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设为取自总体的样本，对假设检验问题，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；
（2）若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。

解：(1) 拒绝域为; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6时，接受的概率为 。

八、（本题8分）设随机变量服从自由度为的分布，(1)证明：随机变量服从 自由度为的分布；
(2)若，且，求的值。

证明：因为,由分布的定义可令，其中，与相互独立，所以。

当时，与服从自由度为的分布，故有， 从而 。

数理统计试卷参考答案 一、填空题（本题15分，每题3分）
1、；

2、0.01；

3、；

4、；

5、。

二、选择题（本题15分，每题3分）
1、B；

2、D；

3、C；

4、A；

5、B. 三、（本题14分）解：(1) ， 令，得为参数的矩估计量。

(2)似然函数为：， 而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。

四、（本题14分）解：
（1）的置信水平为0.95的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；

（2）=；

由于是的单调减少函数，置信区间为， 即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）解：(1) 即的单侧置信下限为；
（2）。

六、（本题14分）解：
（1）检验假设H0：2=1，H1：2≠1；

取统计量：；

拒绝域为：2≤=2.70或2≥=19.023， 经计算：，由于2， 故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。

（2）检验假设；

取统计量：~ ；

拒绝域为；
<2.2622 ，所以接受， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）解：(1) 拒绝域为; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6时，接受的概率为 。

八、（本题8分）证明：因为,由分布的定义可令，其中，与相互独立，所以。

当时，与服从自由度为的分布，故有， 从而 。