北师大版九年级下册数学全册教案设计

北师大版数学九年级下册 全册教案设计 清风染绿叶 第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第1课时　正切与坡度 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系． 2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等． 3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算． 重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系． 难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 一、情境导入 师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？ 课件出示下图，提出问题：
(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？ (2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？
　　　　甲组　　　　　　　　乙组 二、探究新知 引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：
1．比较梯子的倾斜程度 (1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？ (2)分别求出每组图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2. 如下图，小明想通过测量B1C1及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；
而小亮则认为，通过测量B2C2及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)Rt△AB1C1和 Rt△AB2C2有什么关系？ (2)和有什么关系？ (3)如果改变B2在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？ 4．梯子的倾斜程度与tan A的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？ 三、举例分析 例　如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 甲　　　　　　乙 (1)tan α和tan β 的值分别是多少？ (2)你能比较tan α和tan β 的大小吗？ (3)根据tan A的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？ 四、练习巩固 1．在△ABC中，∠C＝90°，则tan A等于(
) A.　　B.　　C.　　 D. 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，若tan A＝，则AC＝________. 3．如图，Rt△ACB中，∠B＝90°，BC＝10，tan A＝，求AB，AC. 五、课堂小结 1．易错点：
(1) tan A中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan β 等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan ∠BAC或tan ∠1，tan ∠2 等；

(2) tan A没有单位，它表示一个比值；

(3) tan A是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A”． 2．归纳小结：
(1)tan A＝；

(2)tan A的值越大，梯子越陡． 3．方法规律：
(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝只能在直角三角形中适用；

(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；
坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)． 六、课外作业 1．教材第4页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第4页习题1.1第1、2题． 本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时　正弦和余弦 1．理解正弦、余弦及三角函数的意义． 2．能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比． 3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算． 重点 理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算． 难点 正弦、余弦的理解及应用． 一、复习导入 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝10，求BC，AB的长． 2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；
tan A的值越大，梯子越________． 3．当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，其他边之间的比值也确定吗？ 可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？ 二、探究新知 1．正弦、余弦及三角函数的定义 课件出示：
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是什么？ (2)和的关系是什么？ (3)如果改变B2在斜边上的位置，则和的关系是什么？ 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？ 2．梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系 探究活动：梯子的倾斜程度与sin A和cos A之间有什么关系？ 如图，AB，A1B1表示梯子，CE表示支撑梯子的墙，AC在地面上． (1)梯子AB，A1B1哪个更陡？ (2)梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？ 三、举例分析 例　如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，求BC的长． (1)sin A等于图中哪两条边的比？ (2)你能根据sin A＝0.6写出等量关系吗？ (3)根据等量关系你能求出BC的长吗？ 四、练习巩固 1．在 Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值(　　) A．缩小4倍　　　　　　B．缩小2倍 C．保持不变
　　　　D．不能确定 2．已知∠A，∠B为锐角． (1)若∠A＝∠B，则sin A________ sin B；

(2)若sin A＝sin B，则∠A ________∠B. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；

(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；

(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位；

(4)sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系． 2．归纳小结：
(1)正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sin A；

(2)余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠ A的余弦，记作cos A；

(3)sin A越大，梯子越陡；

cos A越小，梯子越陡． 3．方法规律：
两个锐角相等，则其三角函数值相等；
两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等． 六、课外作业 1．教材第6页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第6～7页习题1.2第1、3、4、5题． 本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2　30°，45°，60°角的三角函数值 1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义． 2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小． 重点 能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；
能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小． 难点 通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力． 一、复习导入 1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°. (1)a，b，c三者之间的关系是什么？∠ A＋∠ B等于多少度？ (2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B? 2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 二、探究新知 课件出示：
如图所示，在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°. (1)a，b，c三者之间有什么样的关系？ (2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流． (3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？ (4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？ (5)45°角的三角函数值分别是多少呢？ 引导学生填写表格：
三角函数值 sin A cos A tan A 30° 45° 60°
三、举例分析 例1 　计算：
(1) sin 30°＋cos 45°；

(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°. 处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程． 例2 　(课件出示教材第9页例2) 引导学生思考如下问题：
(1)你能根据题意画出图形吗？ (2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？ (3)你能找到图形中的特殊角吗？ (4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？ 四、练习巩固 1．下列式子中成立的是 (
) A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46° B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72° C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35° D．tan 46°＜cos 40°＜sin 35° 2．已知等腰△ABC的腰长为4 ，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________． 3．若(tan A－3)2＋＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？ 五、课堂小结 1．易错点：
(1)能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；

(2)能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小． 2．归纳小结：
sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝；

cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；

tan 30°＝ ，tan 45°＝1，tan 60°＝. 3．方法规律：
在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：
sin A＝cos (90°－A)；

cos A＝ sin (90°－A) ；

sin B＝cos (90°－B)；

cos B＝sin (90°－B)． 六、课外作业 1．教材第9页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第10页习题1.3第1～4题． 本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3　 三角函数的计算 1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义． 2．能用计算器由已知三角函数值求角度． 3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 重点 熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序． 难点 非整数度的角的三角函数值的求法． 一、情境导入 课件出示：
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m) 引导学生思考以下问题：
(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？ (2)你知道sin 16°是多少吗？ (3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 二、探究新知 1．已知角求三角函数值 (1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：
①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？ ②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？ ③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？ ④通过自学你能利用计算器求出sin 16°的数值吗？ (2)课件出示：
当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？ 引导学生思考如下问题：
①缆车从点B到点D通过的路程是多少？ ②缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？ ③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？ 2．已知三角函数值求角 (1)课件出示：
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？ 引导学生思考如下问题：
①在Rt△ABC中，sin A如何表示？ ②你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？ ③你能根据sin A的数值求出∠A吗？ (2)引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：
①利用计算器求角用到哪些按键？ ②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？ ③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？ ④你能利用计算器求出∠A的度数吗？ 三、练习巩固 1．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(　　 ) A．0.90
B．0.72
C．0.69　　 D．0.66 2. 用计算器求tan 35°的值，按键顺序是____________________． 3．在 Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)． 四、课堂小结 1．易错点：
(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；

(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的． 2．归纳小结：
(1)用计算器求三角函数值；

(2)用计算器求角． 3．方法规律：
(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；

(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；
先输入数字后，再按三角函数键． 五、课外作业 1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题． 2．教材第15页习题1.4第1～6题． 本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4　 解直角三角形 1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系． 2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形． 重点 直角三角形的解法． 难点 灵活运用三角函数解直角三角形． 一、复习导入 师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角． 课件出示：
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c. (1)直角三角形的三边之间有什么关系？ (2)直角三角形的锐角之间有什么关系？ (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题． 二、探究新知 1．已知两边解直角三角形 课件出示教材第16页例1，提出问题：
(1)题目中已知几个元素？分别是什么？ (2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？ (3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？ (4)你能正确求解吗？ 教师给出解直角三角形的定义及其依据． 2．已知一边和一锐角解直角三角形 课件出示教材第16～17页例2，提出问题：
(1)题目中已知几个元素？分别是什么？ (2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？ (3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？ (4)你能仿照例1独立完成求解吗？ 3．总结 (1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？ (2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？ (3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？ 归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：
(1)已知两条边(一直角边一斜边；
两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；
一斜边一锐角)． 三、练习巩固 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝5，则边AC的长是(　　) A．3
　B．4
　C.　　　D. 2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，那么AB＝________. 3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形． 四、课堂小结 1．易错点：
(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；

(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形． 2．归纳小结：
(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；

(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；

(3)解直角三角形的方法：
①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；

②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；
无斜边时，用正切；

③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余． 3．方法规律：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；

已知直边求直边，首选正切理当然；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要选好；

已知锐角求锐角，互余关系要记好；

已知直边求斜边，用除还需正余弦；

计算方法要选择，能用乘法不用除． 五、课外作业 1．教材第17页“随堂练习”． 2．教材第17～18页习题1.5第1～4题． 本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步． 5　 三角函数的应用 1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用． 2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明． 重点 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用． 难点 灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决． 一、情境导入 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行． 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流． 二、探究新知 课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：
(1)什么是仰角？ (2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？ (3)怎样求该塔的高度？ 处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答． 解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角． (2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC. (3)∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan 30°＝，即AC＝.在Rt△BDC中，tan 60°＝，即BC＝，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴－＝50.解得CD≈43 m. 三、举例分析 例　(课件出示教材第19页“做一做”) 引导学生思考：
(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？ (2)你能根据题意画出示意图吗？ (3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？ (4)40°和35°的角分别是哪个角？ (5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？ (6)Rt△ABC中的哪条边不变？ 解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°＝，即AB＝4sin 40°，原楼梯占地长BC＝4cos 40°.调整后，在Rt△ADB中，sin 35°＝，则AD＝＝，楼梯占地长DB＝. ∴调整后楼梯加长AD－AC＝－4≈0.48(m)． 楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝－4cos 40°≈0.61(m)． 四、练习巩固 1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500 m，则它上升的最大高度为(
) A．500sin α　　B.
C．500cos α　　D. 2．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ m．(结果保留根号) 3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号) 五、课堂小结 1．易错点：
(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；

(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；
对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化． 2．归纳小结：
解直角三角形一般有以下几个步骤：
(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；

(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；

(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；
若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；

(4)确定合适的边角关系，细心推理计算． 3．方法规律：
(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：
① 若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；

② 若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；

(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算． 六、课外作业 1．教材第20页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第21页习题1.6第1～4题． 本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂教学效率． 6　 利用三角函数测高 1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析，从而得出符合实际的结果． 2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题． 重点 设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告． 难点 运用直角三角形的边角关系求物体的高． 一、情境导入 问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？ 问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？ 问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？ 二、探究新知 1．设计活动方案，自制仪器 (1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？ (2)制作测角仪时应注意什么？ 处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤． 2．测量倾斜角 (1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置． (2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角． 师：这样做的依据是什么？ 3．测量底部可以到达的物体的高度 要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图) (1)在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE＝α. (2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l. (3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离)． 师：根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？ 解：在Rt△MEC中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l， ∴tan α＝ ，即ME＝EC·tan a＝l·tan α. ∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a. 4．测量底部不可以到达的物体的高度 要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
(1)在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α. (2)在测点A与物体之间的B处安置测角仪(点A，B，N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE＝β. (3)量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b. 师：根据测量数据，你能求出MN的高度吗？ 分析：根据测量的AB的长度，AC，BD的高度以及∠MCE，∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度． 解：∵在Rt△MDE中，ED＝， 在Rt△MCE中，EC ＝， ∴EC－ED＝b. ∴ ＝b. ∴ ME＝. ∴ MN＝＋a. 三、练习巩固 1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是(　　) A．2 000 m　　　　　　　B．2 000 m C．4 000 m　　　　　　　D．4 000 m 2．2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 ________米(精确到1米)．(参考数据：sin 22.3°≈0.38，cos 22.3°≈0.93，tan 22.3°≈0.41) 3．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5 m，今年他们仍在原地A处测得大树顶点D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01)(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，≈1.732) 四、课堂小结 1．易错点：
(1)支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确；

(2)测量底部不可以到达的物体的高度公式的推导． 2．归纳小结：
(1)侧倾器的构成；

(2)测量倾斜角；

(3)测量底部可以到达的物体的高度；

(4)测量底部不可以到达的物体的高度． 3．方法规律：
(1)测量底部可以到达的物体的高度MN＝l·tan α＋a；

(2) 测量底部不可以到达的物体的高度MN＝＋a. 五、课外作业 1．教材第23页“议一议”． 2．教材第23页习题1.7第1、2、3题． 本节课是一节活动课，课前应做好活动课的各项准备，提前预判活动课所需要的各种知识与能力上的、动手操作环节上等相关经验储备．不能把本节课当作简单的应用题讲解课． 课堂是生命绽放的场所，由于不同学生有着不同的已有经验、不同的情感表达、不同的认知方式，因此老师在组织活动时要放弃齐步走、一刀切的观念，对结果也不要急于求成，应重视过程，让每个学生都参与方案讨论中来，慢下节奏让学生理解解决问题的思路与方法，鼓励学生用其他方法测量物体的高，提升学生总结归纳的能力． 在学生制作测倾器时，教师要大胆鼓励学生动手操作，并鼓励学生判断误差产生的可能性及减少误差的办法，建立理论与实践联系的思维方式，发展学生应用数学的能力． 第二章　二次函数 1　二次函数 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够用二次函数表示简单的变量之间的关系． 3．从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作、交流体验学习的乐趣． 重点 能表示简单变量之间的二次函数关系． 难点 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程． 一、情境导入 问题1：现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？ 小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2：很多同学都喜欢打篮球，投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 师：这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习二次函数． 二、探究新知 1．课件出示：
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． 处理方式：先引导学生填写下表，再回答． x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y/个
2.课件出示：
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．(不考虑利息税) 处理方式：先让学生自主独立尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：(1)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；
(2)利息＝本金×利率×期数(时间)． 3．从以上两个问题中，你发现这两个函数关系式有什么共同特征？你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？ 归纳总结：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数(quadratic funcion)．其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项． 三、举例分析 例1 　已知函数y＝(m＋2)xm2－2＋2x－1是二次函数，求m的值． 处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后指名学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数重点强调． 例2　正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于点Q，如果BP＝x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y. 四、练习巩固 1．下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是(　　) A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D．圆的周长与圆的半径之间的关系 2．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q＝RI2.若某段导线电阻为0.5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q＝______. 3．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价、减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式． 五、课堂小结 1．一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项． 2．已知函数 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a，b，c满足什么条件时， (1)它是二次函数？ (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 六、课外作业 1．教材第30页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第30～31页习题2.1第1～4题． 本节课从学生非常熟悉的矩形的面积的研究出发，再结合两个生活中的实际问题，通过建立函数模型，归纳函数表达式的特点从而给出二次函数的定义，再针对二次函数的定义和能用二次函数表示变量之间的关系进行了巩固应用本节课通过丰富的现实背景，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值． 2　 二次函数的图象与性质 第1课时　二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质 1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质． 2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同． 3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验． 重点 理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质． 难点 比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同． 一、复习导入 1．二次函数的定义是什么？ 2．一次函数的图象是什么？性质是什么？ 3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？ 4．画函数的图象有哪些步骤？ 教师提出上述问题，学生讨论后回答问题． 二、探究新知 1．画二次函数y＝x2的图象 引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：
(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：
x y
(2)在直角坐标系中描点． (3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象． 2．二次函数y＝x2的图象的性质 问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？ 问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点． 问题5：你能描述图象的形状吗？ 处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点． 第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x ＝ 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据． 第三步出示问题5，学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上．如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子． 3．二次函数y＝－x2的图象与性质 问题1：回顾一下画二次函数y＝x2的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？ 问题2：二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的图象． 问题3：类比研究y＝x2的图象的方式，请回答：
(1)你能描述y＝－x2的图象的形状吗？开口方向呢？ (2)y＝－x2的图象的顶点坐标是什么？ (3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？ (4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (5)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？ 处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答：①列表的选点的对称性；
②描点的准确性；
③连线的平滑性．如果学生回答不全，教师可适当提示或补充． 再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问画图．学生画图完毕后，选取部分学生所画的图进行展示． 最后出示问题3、4、5，选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答． 三、举例分析 例1　(1)点A(2，4)在二次函数y＝x2的图象上吗？ (2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；

(3)点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上吗？在二次函数y＝－x2的图象上吗？ 例2　比较y＝x2与y＝－x2的图象有什么关系？ 处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论．学生可以有不同说法，只要意思正确即可．教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；
不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导． 四、练习巩固 1．在函数y＝x2上有两点(－1，y1)，(－3，y2)，那么y1，y2，0的大小关系是(
) A．y1＜y2＜0　　　B．y2＜y1＜0 C．y1＞y2＞0　　　D．y2＞y1＞0 2．如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线y＝x2和y＝－x2分别经过点A，B，C，D，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为________． 3．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2. (1)求S和C之间的函数表达式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2. 五、课堂小结 1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法：
(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；

(2)在坐标系中描点；

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象． 2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质：
函数表达式 y＝x2 y＝－x2 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴(直线x＝0) 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大 当x＞0时，y随x的增大而减小 对称轴顶 点坐标 原点(0，0) 最值 当x＝0时， y有最小值为0 当x＝0时， y有最大值为0
六、课外作业 教材第34～35页习题2.2第1题． 本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题—猜想—探究—应用”的学科教学模式，把主动权充分地还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐． 第2课时　二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质 1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象，并能够比较它们与二次函数y＝x2的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响． 2．能说出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 3．理解并掌握二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象之间的关系． 重点 掌握二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象的画法和性质． 难点 能够比较二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响． 一、复习导入 1．什么是二次函数？二次函数y＝x2与y＝－x2的图象一样吗？它们有什么相同点和不同点？ 2．二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢？有没有其他形式的二次函数呢？ 二、探究新知 1．二次函数y＝ax2的图象与性质 活动内容一：在平面直角坐标系中画二次函数y＝x2和y＝2x2的图象． (1)完成下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … y＝2x2 … …
(2)分别画二次函数y＝x2和y＝2x2的图象． (3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状？它与二次函数y＝x2的图象有什么相同点和不同点？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 活动内容二：在刚才的平面直角坐标系内画出函数y＝x2的图象，观察它与y＝x2，y＝2x2的图象有什么相同点和不同点？ 2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质 活动内容三：
在同一直角坐标系内画函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象． 处理方式：同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线．教师巡视，指导画法．展示好的作品(以作探讨，研究性质之用)． (1)二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ (2)比较函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象的异同．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较) (3)在同一直角坐标系内画函数y＝2x2－1的图象，比较这3个图象的异同．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较) 归纳：①一般地，由y＝ax2(a≠0)的图象便可得到二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象：y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以看成y＝ax2(a≠0)的图象沿y轴整体上(下)平移|c|个单位(当c>0时，向上平移；
当c<0时，向下平移)得到的．因此，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，c的值有关． ②二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的性质：
抛物线 y＝ax2＋c(a＞0) y＝ax2＋c(a＜0) 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 直线x＝0 直线x＝0 位置 由c的符号确定 由c的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当x＝0时， 最小值为c 当x＝0时， 最大值为c
三、练习巩固 1．已知二次函数 y＝ax2＋c，当x取x 1和x2( x 1≠x2)时，函数值相等，则当x取(x 1＋x2)时，函数值为(　　) A．a＋c　　　B．a－c　　　C．－c　　　D．c 2．抛物线y＝x2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随着x的____________；
在对称轴的右侧，y随着x的____________，当 ＝____时，函数y的值最____，最____值是____________． 3．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离． 四、课堂小结 1．说说二次函数y＝ax2的图象的开口方向、对称轴、及顶点坐标． 2．说说二次函数y＝ax2＋c的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 3．比较y＝ax2和y＝ax2＋c的图象的异同． 五、课外作业 1．教材第36页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第36页习题2.3第1～4题． 在这节课的教学中除了以前用过的教学方法外，还应注入现代教学方法．例如用多媒体展示函数图象的画法，扩大了受教育面，减小了教学难度，提高了教学效率，扩大了知识量，便于及时巩固．使用现代化教学工具，可以使学生不受时间、空间的限制，及时得到事物的信息．有些现象，学生很难感知或无法感知，可以借助于现代化教学设备． 本节课要始终贯彻让学生动手画图、观察、讨论而发现新知这一主线，这一做法符合学生的心理特点和认知规律，大大增加了学生的学习气氛，加深了学生对知识的认识与理解．从而培养了学生的画图能力、观测能力、分析问题、解决问题的能力以及团结合作的意识，同时也渗透了类比归纳、数形结合等数学思想方法. 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 1．能够画出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响． 2．能正确说出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标解决问题． 重点 能够画出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它们与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响． 难点 能够利用二次函数的图象和性质解决问题． 一、情境导入 师：生活中有很多的建筑造型不仅大气美观，而且也与我们数学中的抛物线相关，请同学们看下面的图片．(多媒体出示)你认为它们可以抽象成怎样的抛物线形状？ 师：大家看，是否是下面的抛物线形状？(多媒体出示)你认为这种抛物线与我们所学习过的二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象有什么不同？ 二、探究新知 1．y＝a(x－h)2的图象和性质 课件出示教材第37页“做一做”． (1)完成下表：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 2x2 2(x－1)2 观察上表，比较2x2与2(x－1)2的值，它们有什么关系？ (2)在同一坐标系中画出y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象． 同伴交流：你是怎样画的？ (3)结合图象，议一议．交流：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ (4)结合图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象之间的关系呢？ (5)猜一猜：y＝2(x＋1)2的图象是怎么样的？它的图象与y＝2x2的图象之间有什么样的关系？ 归纳：二次函数y＝2x2，y＝2(x－1)2，y＝2(x＋1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将y＝2x2的图象向右平移1个单位，就得到y＝2(x－1)2的图象；
将y＝2x2的图象向左平移1个单位，就得到y＝2(x＋1)2的图象． 2．y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 (1)合情推理：由二次函数y＝2x2的图象，你能得到y＝2x2－，y＝2(x＋3)2，y＝2(x＋3)2 －的图象吗？你是怎么样得到的？ (2)画图验证后寻找规律，说一说：图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化？ (3)议一议：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2有什么关系？ (4)总结规律，填写表格：
开口方向 a>0 a<0 ,对称轴,顶点坐标 y＝ax2 y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k　　 (5)总结：目前为止，二次函数的图象我们共研究了哪些类型？从表达式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？ 学生交流后得出结论：
y＝ax2　　y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2　　y＝a(x－h)2＋k 三、举例分析 例　一条抛物线的形状与y＝2x2的形状和开口方向相同，且顶点坐标为(4，－2)，试写出它的表达式． 处理方式：给学生5 min左右的时间独立完成，1分钟左右的时间小组内成员互对答案，期间，老师巡视、询问并指导．最后在黑板上以板演的形式或实物投影的形式展示，师生共同完善做题步骤． 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k.∵顶点坐标为(4，－2)，∴h＝4，k＝－2.又∵抛物线的形状与y＝2x2的形状和开口方向相同，∴ a＝2.∴抛物线的表达式为y＝2(x－4)2－2. 四、练习巩固 1．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：
(1) y＝2(x－3)2－5；
　　　 (2)y＝0.5(x＋1)2；

(3) y＝－x2－1；
　　　　(4) y＝2(x－2)2＋5. 2．对于二次函数y＝－3(x－)2，它的图象与二次函数y＝－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 3．怎样由y＝2x2的图象得到函数y＝2(x－1)2＋3的图象？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ 五、课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？ 六、课外作业 1．教材38页“随堂练习”． 2．教材第39页习题2.4第1～4题． 本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段制作了课件，特别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图象，让抽象思维较差的学生，更加形象地结合图形，分析说出二次函数的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想．为了突出重点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”、“师生共做”，充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则．本节课，让学生观察、思考、讨论、练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备. 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1．能够熟练运用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标． 2．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质． 3．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题． 重点 能用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标． 难点 利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质解决实际问题． 一、复习导入 1．说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1)y＝－(x－5)2＋3；
　　　(2)y＝3(x＋7)2－4；

(3)y＝－2(x－3)2－6; (4)y＝5(x＋9)2＋10. 2.我们发现，根据二次函数的顶点式很容易确定二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．如果给你一个一般形式的二次函数y＝2x2－8x＋7，你还能确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？如何确定？ 二、探究新知 1．用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标 (1)课件出示教材第39页例1：
求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标． 处理方式：学生对比一般式和顶点式的形式特点，将一般式通过配方化成顶点式，从而确定二次函数图象的对称轴、顶点坐标．指名学生板演后，师生共同规范解题过程．当然，还有部分同学对配方的过程有些淡忘，可以引导学生小组交流、合作，完成对配方法过程的理解． 解：
y＝2x2－8x＋7 ＝2(x2－4x)＋7(提取二次项系数) ＝2(x2－4x＋4－4)＋7 (配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方) ＝2(x－2)2－8＋7 ＝2(x－2)2－1　　(整理) 因此，二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)． (2)课件出示教材第40页“做一做”：
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
y＝3x2－6x＋7; y＝2x2－12x＋8. 处理方式：学生板演解题过程，师生共同评价，并对配方过程进行强化． 2．用配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式 课件出示教材第40页例2：
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标． 处理方式：学生对比以上数字系数的配方过程，完成此例，教师用多媒体进一步强化． 教师强调：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可化为y＝a(x＋)2＋，其图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)． 3．用配方法解决与二次函数有关的实际问题 课件出示教材第40页“做一做”：
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 处理方式：先给学生1 min时间审题，让学生将实际问题转化为数学问题，即求抛物线的顶点纵坐标和顶点横坐标绝对值的2倍．然后让学生板书解题过程，并说明自己的思考过程．由于本题的系数是分数，学生在配方的过程中可能会产生困难，教师应给学生足够的思考和交流的时间． 师：你能利用二次函数的顶点坐标公式再次确定上面“钢缆的最低点”问题的答案吗？ 处理方式：引导学生依据二次函数图象顶点坐标公式的特点，尝试用公式法进行计算，并口述解题思路．
解：这里a＝，b＝，c＝10. ∴－＝－＝ －20， ＝＝1. ∴对称轴是直线x＝－20，顶点坐标为(－20，1)． ∴钢缆的最低点到桥面的距离是1 m， 两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40 m. 三、举例分析 例1　确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1)y＝2x2－12x＋3；

(2)y＝2(x－)(x－2)；

(3)y＝2(x－)(x－2)；

(4)y＝3(2x＋1)(2－x)． 处理方式：学生选择能够理解的方法(配方法或公式法)确定函数图象的对称轴和顶点坐标，指两名学生板演，5 min后学生共同纠错，教师强化． 例2　当火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 处理方式：学生自主审题，并将实际问题转化为数学问题后，选择自己理解的方法书写解题过程，一学生板演并说明自己的思考过程，教师再强化解决与函数有关的实际问题的一般思路． 解：
h＝－5t2＋150t＋10 ＝－5(t2－30t－2) ＝－5(t2－30t＋152－152－2) ＝－5(t－15)2＋1 135 ∴当t＝15时，h最大，最大值是1 135. ∴经过15 s，火箭到达它的最高点．最高点的高度是1 135 m. 四、练习巩固 1．二次函数y＝－2x2－x＋1图象的顶点在第________象限． 2．若二次函数y＝－2x2－x＋1的图象中，y随x的增大而增大，则x的取值范围是____________． 3．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，则小球到达的最高点的坐标是____________． 五、课堂小结 1．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． 2．确定二次函数图象的对称轴及顶点坐标的方法有哪些？ 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是什么？ (－，) 六、课外作业 教材第41页习题2.5第1、2、4题． 本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y＝ax2，y＝ax2＋h，y＝a(x－h)2的图象和性质的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y＝ax2的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y＝a(x－h)2＋k(h≠0，k≠0)的图象．二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图象性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一．教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究的．这是教学发现与学习的常用方法．另外，在本节内容学习中学生还要注意“类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别．在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练． 3　确定二次函数的表达式 1．能够根据二次函数的图象和性质建立合适的直角坐标系，确定函数的表达式． 2．会根据题意选择二次函数表达式的合适形式，利用待定系数法求二次函数的表达式． 重点 用待定系数法确定二次函数的表达式． 难点 根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数的表达式． 一、复习导入 1．二次函数表达式的一般形式是什么？ y＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a ≠0) 2．二次函数表达式的顶点式是什么？ y＝a(x－h)2＋k　(a ≠0) 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴两交点为(x1，0)，(x2，0)，则其函数表达式可以表示成什么形式？ y＝a(x－x1)(x－x2)　(a≠0) 4．我们在用待定系数法确定一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的表达式时，通常需要________个独立的条件；
确定反比例函数y＝ (k≠0)的关系式时，通常只需要________个条件． 5．如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a ≠0)的表达式，通常又需要几个条件 ？(学生思考讨论后，回答) 二、探究新知 1．已知图象上两点确定二次函数的表达式 (1)课件出示教材第42页图2－7，提出问题：
如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系，你能求出y与x之间的关系式吗？ 分析：要求y与x之间的表达式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的表达式，再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可． 解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为(4，3)，因此设它的表达式为 y＝a(x－4)2＋3， 又∵图象过点(10，0)， ∴ (10－4)2a＋3＝0，解得a＝－， ∴图象的表达式为y＝－(x－4)2＋3. 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？ 确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a ≠0)的表达式，通常需要3个条件．当知道顶点坐标(h，k)和图象上的另一点坐标时，用顶点式y＝a(x－h)2＋k可以确定二次函数的表达式． (2)课件出示教材第42页例1：
已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式． 分析：二次函数y＝ax2＋c中只需确定a，c两个系数，需要知道两个点的坐标，因此此题只要把已知两点代入即可． 解：将点(2，3)和(－1，－3)分别代入二次函数y＝ax2＋c中，得 解这个方程组，得 ∴所求二次函数表达式为y＝2x2－5. 想一想：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ ①用顶点式y＝a(x－h)2＋k 确定二次函数的表达式，当知道顶点(h，k)时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的表达式． ②用一般式y＝ax2＋bx＋c确定二次函数的表达式时，如果系数a，b，c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式． 2．已知图象上三点确定二次函数的表达式 课件出示教材第44页例2：
已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 分析：(1)本题可以怎样设函数的表达式？ (2)题目中有几个待定系数？ (3)需要代入几个点的坐标？ (4)用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？ 解：设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c. 将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)分别代入表达式，得 解这个方程组，得 ∴ 所求二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5. ∴ y＝2x2－3x＋5＝2(x－)2＋. ∴ 二次函数的对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，)． 三、举例分析 例　已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2，13)，求这个二次函数的表达式． 处理方式：学生可能会根据条件，设二次函数的表达式y＝ax2＋bx＋c，把点(0，1)，(2，5)，(－2，13)代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决． 解：∵抛物线与y轴交点的纵坐标为1， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋1. ∵图象经过点(2，5)和(－2，13)， ∴ 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－2x＋1. 四、练习巩固 1．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为________________． 2．已知二次函数的图象顶点是(－1，1)，且经过点(1，－3)，求这个二次函数的表达式． 3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，1)与(2，3)两点．求这个二次函数的表达式． 4．二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)． (1)求此二次函数的关系式；

(2)求此二次函数的顶点坐标；

(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点． 五、课堂小结 1．在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ (1)用顶点式y＝a(x－h)2＋k确定二次函数表达式，当知道顶点坐标时，再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的表达式；

(2) 用一般式y＝ax2＋bx＋c确定二次函数时，如果系数a，b，c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式． 2．用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：
六、课外作业 1．教材第43～44页习题2.6第1～3题． 2．教材第45页习题2.7第1～3题． 本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活应用二次函数的三种形式：一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析、解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础． 4　二次函数的应用 第1课时　最大面积是多少 1．探索长方形窗户透光最大面积的问题，能运用二次函数知识解决实际问题中的最大(小)值． 2．感受二次函数是一类最优化问题的数学模型，能用二次函数刻画事物间的相互关系． 重点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题． 难点 把实际问题转化为“函数”模型． 一、复习导入 1．二次函数的表达式常用的表示方法是什么？ 2．二次函数的最值如何求？ 师：本节课我们学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解． 二、探究新知 1．课件出示：
如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD.其中AB和AD分别在两直角边上． (1)如果设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF，得＝，即＝.∴AD＝BC＝ (40－x)． (2)要求面积的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就转化为数学问题了． 解：(1)∵BC//AD， ∴△EBC∽△EAF.∴＝. 又AB＝x，BE＝40－x， ∴＝. ∴BC＝ (40－x)． ∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x. (2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x ＝－(x2－40x＋400－400) ＝－(x2－40x＋400)＋300 ＝－(x －20)2＋300 ∴当x＝20时，y最大＝300. 即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300 m2. 师：下面我们换一个条件．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流． 分析：要求面积需求AB的边长，∵AB＝DC，而DC是△FDC中的一边，∴可以利用三角形相似来求． 解：∵DC//AB， ∴△FDC∽△FAE. ∴＝. ∵AD＝x，FD＝30－x. ∴＝. ∴AB＝DC＝ (30－x)． y＝AB·AD＝x·(30－x) ＝－ x2＋40x ＝－(x2－30x＋225－225) ＝－ (x－15)2＋300. ∴当x＝15时，y最大＝300. 即当AD的长为15 m时，矩形的面积最大，最大面积是300 m2. 2．课件出示：
把上面的问题中矩形ABCD改为如图所示位置，其他条件不变，那么矩形ABCD的最大面积是多少？ 处理方式：学生讨论后形成结论，教师让一名学生根据形成的结论板书过程，然后引导学生评价过程的正确性． 解：由题意可求出斜边为50 m，斜边上的高为24 m，设矩形的长为x m，宽为a m，矩形ABCD的面积为y m2，则＝，得a＝24－x，∴y＝－x2＋24x，当x＝25时，y的最大值为300. 三、举例分析 例　某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？ 分析：x为半圆的半径，则2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求窗户通过的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋·x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝ .面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－x2＋x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可． 解：∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝ . 设窗户的面积是S(m2)，则 S＝πx2＋2xy ＝πx2＋2x· ＝πx2＋ ＝－x2＋x ＝－(x－)2＋ ∴当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02. 即当x≈1.07 m时，S最大≈4.02 m2，此时，窗户通过的光线最多． 四、练习巩固 1．已知二次函数y＝x2－ 6x＋m的最小值为1，则m的值是________． 2．周长为16 cm的矩形的最大面积为________，此时矩形的边长为________，实际上此时矩形是________． 3．如图所示，已知△ABC是一个等腰三角形铁板余料，其中CA＝BC＝20 cm，AB＝24 cm.若在△ABC上截出一个矩形零件DEFG，使DE在边AB上，点F，G分别在CB，CA上，设EF＝x cm，矩形DEFG的面积为y.求y与x之间的表达式，并求出矩形零件DEFG面积的最值． 五、课堂小结 用数学知识解决实际问题，基本思想如下：
(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)利用函数求解；

(5)检验结果的合理性、拓展等． 六、课外作业 1．教材第47页“随堂练习”． 2．教材第47～48页习题2.8第1～4题． 二次函数的应用是学习了二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，是本章的难点．本节课通过学习矩形和窗户透光最大面积问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想解决和函数有关的应用问题．由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的．第2课时　何时获得最大利润 1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值． 2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值． 重点 会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值． 难点 分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式． 一、情境导入 前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题． 二、探究新知 1．课件出示：
服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？ 设批发单价为x(0<x≤13)元，那么 (1)销售量可以表示为____________；

(2)销售额可以表示为____________；

(3)所获利润可以表示为____________；

(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____． 分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]． 解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x. (2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2. (3)所获利润可以表示为 (70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000. (4)设总利润为y元，则 y＝－5 000x2＋120 000x－700 000 ＝－5 000(x－12)2＋20 000 ∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值． 当x＝12元时，y最大＝20 000元． 即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元． 2．课件出示：
某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题． 三、举例分析 例1　还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000. 我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流． 因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值． 所以y＝－5x2＋100x＋60 000 ＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000 ＝－5(x－10)2＋60 500 当x＝10时，y最大＝60 500. (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系． (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？ ①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；
当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小． ②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上． 例2　 已知一个矩形的周长是24 cm. (1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；

(2)画出这个函数的图象；

(3)当a长多少时，S最大？ 解：(1)S＝a(12－a) ＝－a2＋12a ＝－(a2－12a＋36－36) ＝－(a－6)2＋36. (2)图象如下：
(3)当a＝6时，S最大＝36. 四、练习巩固 1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
①当c＝0时，函数的图象经过原点；

②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根；

③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；

④当b＝0时，函数的图象关于y轴对称． 其中正确命题的个数有(　　) A．1个　　　　　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的值等于(　　) A．4 B．8 C．－4 D．16 3．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？ 五、课堂小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？ 六、课外作业 1．教材第49页“随堂练习”． 2．教材第50页习题2.9第1～3题． 本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.5　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程 1．理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数之间的对应关系． 2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程． 重点 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数之间的关系． 难点 理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x 轴交点的横坐标． 一、复习导入 1．一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点坐标为________． 2．任意一个一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴有几个交点？ 3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与其判别式有什么关系？ 二、探究新知 活动1：我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式y＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：
(1)h与t的表达式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流． 解：(1)h＝－5t2＋40t. (2)方法一：看图象可知，8秒落地． 方法二：解方程－5t2＋40t＝0. 活动2：二次函 数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如下图所示． (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？ (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有无交点与一元二次方程根的判别式有何关系？ 处理方式：学生分小组讨论交流，教师巡视指导学生的活动情况．指名学生回答，对学生的回答情况进行总结，并指导学生得出结论． 二次函数图象 图象与x轴的交点 一元二次方程 方程的根 与x轴有两个交点：
(－2，0)，(0，0) x2＋2x＝0 x1＝－2， x2＝0 与x轴有1个交点：
(1，0) x2－2x＋1＝0 x1＝x2＝1 与x轴没有交点 x2－2x＋2＝0 方程无实数根
活动3：二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象和x轴的交点有三种情况 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根有三种情况 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根
三、举例分析 例　在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是如何知道的？ 解法1：令h＝60，
　则－5t2＋40t＝60，
　t2－8t＋12＝0，
　解得t1＝2，t2＝6. 故2 s和6 s时，小球离地面的高度是60 m. 解法2：观察图象． 四、练习巩固 1．不画图象说出下列二次函数与x轴的公共点各有几个． (1)y＝x2＋6x＋9；

(2)y＝－4x2＋9；

(3)y＝x2－3x＋5；

(4)y＝ax2＋bx＋c(a>0，c<0)． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点的坐标为(2，0)，(－5，0)，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是________________． 3．画出函数y＝x2－4x－3的图象，根据图象回答下列问题：
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？ (2)方程x2－4x－3＝0的根是什么？ (3)不等式x2－4x－3>0，x2－4x－3<0的解集是什么？ 4．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h＝－4.9t 2＋19.6t 来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间． (1)t＝1时，足球的高度是________；

(2)t＝ ________时，h最大？ (3)经过多长时间球落地？ (4)方程－4.9t 2＋19.6t ＝0的根的实际意义是什么？ (5)方程14.7＝－4.9t2 ＋19.6t 的根的实际意义是什么？ 五、课堂小结 鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，检查学生是否理解了二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；
是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；
是否理解了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴交点的横坐标． 六、课外作业 教材第52～53页习题2.10第1～4题． 本节课的主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系．本节课先复习一次函数与一元一次方程的关系，通过类比引出二次函数与一元一次方程的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系．这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容． 由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，再者，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因而，采用类比的方法在学生预习自学的基础上放手让学生大胆地猜想、交流，分组合作，同时设定一定的问题情境来引导学生的探究过程，最后在老师的释疑、归纳、拓展、总结的过程中结束本节课的教学． 第2课时　利用二次函数求方程的近似根 1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 2．进一步发展学生的估算能力． 重点 能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 难点 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 一、情境导入 上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根． 二、探究新知 探究活动：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根． 下图是函数y＝x2＋2x－10的图象． (1)从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间. 这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决． ①先求－5和－4之间的根由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算：从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4. 2，－4.3，－4.4这四个数进行计算. x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取负的4点3几．再按同样的方法求百分位上的数字．依次类推，即可求出比较准确的x的值． 教师强调：按这样的步骤重点是求解方程的思路，而不是求解的结果．因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位． ②另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索. x 2.1 2.2 2.3 2.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 由于当x＝2.3时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝2.3. (2)还有其他的方法吗？ 可以把－5与－4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：
三、举例分析 例　利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根． 上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？ ①利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根；

②也可以在上题的基础上进行，利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3 的解． 方法一：函数y＝x2＋2x－13的图象如下图：
由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索. x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9 y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21 因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21 因此x＝2.7是方程的另一个近似根． 方法二：分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可． 由图可知两近似根分别为x＝－4.7和x＝2.7. 四、练习巩固 1．二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象如图所示，则一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的近似根是________________．(精确到0.1) 2．如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c的对称轴为 x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为(　　) A．(2，3)　　B．(3，2)
C．(3，3)
D.(4，3) 3．利用二次函数的图象求一元二次方程2x2＋x－15＝0 的近似根． 五、课堂小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何利用二次函数估计一元二次方程的根？ 六、课外作业 1．教材第55页“随堂练习”． 2．教材第57页习题2.11第1～3题． 本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果、轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器、计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚．为此本课在设计过程中作了以下几点处理：
1．以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质. 2．不仅关注学生对知识的应用，更要关注学生对知识进行迁移. 3．针对学生不太喜欢画图以及画图不是本节课的重点这一特点，在涉及图形的时候，简单地采用直接提供方格，便于学生操作，突出重点，提高效率． 4．合理利用几何画板，几何画板并不是求解近似解的工具，而是验证近似解的工具，所以在几何画板的应用上，主要用它来验证近似解的合理性. 5．在本课的教学中重点关注学生探索、分析问题的能力，结果反而可以淡化，因为近似解这一课时，本身就是对精确概念的一个补充，所以教学上也应该更多关注学生的思维的合理性，而不是关注结果的准确性． 第三章　圆 1　圆 1．理解圆的定义，掌握弦、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等基本概念． 2．掌握点和圆的三种位置关系，通过利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系． 3．经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维和归纳概括的能力． 重点 掌握点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系． 难点 会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系． 一、情境导入 看下图的投圈游戏，投圈目标都是图中的花瓶．他们呈“一”字排开，你若是其中一员，想站在哪里？为什么？对其他同伴公平吗？你认为排成什么样的队形才公平？ 二、探究新知 1．圆的相关概念 引导学生自学教材第65页的内容，提出问题：
(1)圆的定义是什么？ (2)圆心、半径、直径是如何规定的？ (3)弦、弧、半圆、等圆、等弧是如何规定的？ 2．点与圆的位置关系 引导学生的练习本上用圆规画一个圆，提出问题：
(1)此圆把纸张分成了几部分？ (2)请你在每一部分中各找一点作为代表，写出点与圆的位置关系；

(3)设此圆的半径为r，请写出与位置关系相对应的数量关系． 归纳：点与圆的位置关系：
若点A在⊙O内⇔OA＜r；

若点A在⊙O上⇔OA＝r；

若点A在⊙O外⇔OA＞r. 三、举例分析 例　设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；

(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形；

(3)到点A的距离都小于2 cm，且到点B的距离都大于2 cm的所有点组成的图形． 解：(1)有两个点，如图①，C，D就是所求的点． (2)有无数个点，如图②，阴影部分内的点，都符合． (3)有无数个点，如图③，阴影部分内的点都符合． 四、练习巩固 1．与圆心的距离不大于半径的点的集合是(　　) A．圆的外部　　　　　　　B．圆的内部 C．圆　　　　　　　 D．圆的内部和圆 2．以点O为圆心画圆，可以画____________个． 3．已知A，B两点的距离是3 cm. (1)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点并回答这样的圆能画几个？ (2)过A，B两点的所有圆中，是否存在最小圆和最大圆？若存在，请指出它们圆心的位置和半径的大小；
若不存在，请简要说明理由． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；
小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示；

(2)能够重合的两个圆叫做等圆；
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．归纳小结：
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆；

(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；

(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 3．方法规律：
圆O的半径为r，点到圆心的距离为d时，d与r的关系：
点在圆外⇔d>r；
点在圆上⇔d＝r；
点在圆内⇔d<r. 六、课外作业 1．教材第66页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第68～69页习题3.1第1、2、3、4题． 本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻．通过对教材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生理解圆的概念．对例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课用了小问题的形式进行，关注教学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置的关系． 2　圆的对称性 1．理解圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形． 2．利用圆的旋转不变性理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 重点 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 难点 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 一、复习导入 1．圆的两要素是________、________，它们分别决定圆的________、________. 2．下列3种图形：①等边三角形；
②平行四边形；

③矩形．既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(填序号)________． 二、探究新知 1．圆的对称性 课件出示教材第70页图3～7，提出问题：
(1)请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？ (2)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？ (3)圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？ 轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 2．探究圆心角、弧、弦之间的关系定理 精读教材第70页“做一做”，合作探究：根据圆的旋转不变性能够得到什么？ 第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(图①)；

第二步：将两圆重叠，并固定圆心(图②)，然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合(图③)．
　图①　　　　　图②　　　图③ (1)通过操作，对比图①和图③，你能发现哪些等量关系？ (2)你得到这些等量关系的理由是什么？ (3)由此你能得到什么结论？ 解：(1)＝，AB＝A′B′. (2)理由：∵半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′， ∴半径OB与O′B′重合． ∵点A与点A′重合，点B与点B′重合， ∴ 与 重合，弦AB与弦A′B′重合． 即 ＝，AB＝A′B′. (3)结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 3．探索圆心角、弧、弦之间的关系定理的逆定理 (1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所对的弦相等吗？你是怎么想的？ 结论1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等． (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？ 结论2：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等． (3)如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？ (4)一条弦所对的弧有几条？ (5)上面的命题怎样叙述能够更准确？ (6)观察以上所得出的结论，你能将其总结为一条定理吗？ 定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 三、举例分析 例　(课件出示教材第71页例题) 精读教材第71页例题思考如下问题：
(1)∠AOD和∠BOE的度数有什么数量关系？ (2)根据角的数量关系可以得到哪两条弧相等？ (3)根据已知条件如何转化弧的等量关系？ (4)根据弧之间的关系你能得到正确的结论吗？ (5)试着合作完成证明过程． 四、练习巩固 1．下列命题中，正确的是(　　) A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列叙述不正确的是________(填序号)． ①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②圆有无数条对称轴，任何一条直径都是它的对称轴；
③相等的弦所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等． 3．如图，在⊙O中，＝ ，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 五、课堂小结 1．易错点：
(1)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合；

(2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，“直径是圆的对称轴”的说法是错误的；

(3)圆中的圆心角、弧、弦之间的关系定理是以“同圆或等圆”为前提，定理中的“弧”一般指劣弧． 2．归纳小结：
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；

(2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3．方法规律：
(1)使用的方法有：叠合法、轴对称、旋转、推理证明等；

(2)圆具有旋转不变性；

(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 六、课外作业 1．教材第72页“随堂练习”第1、2、3题． 2．教材第72～73页习题3.2第1、2、3题． 本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探索过程，在通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算、证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验教学的生活性、趣味性． 3　垂径定理 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 重点 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 难点 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线． 一、复习导入 1．等腰三角形是轴对称图形吗？ 2．如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3．如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 二、探究新知 1．垂径定理 课件出示：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. (1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)图中有哪些等量关系？ (3)你能给出几何证明吗？(写出已知、求证并证明) 解：(1)该图是轴对称图形，对称轴是直线CD. (2)AM＝MB，＝，＝. (3)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. 求证：AM＝BM，＝，＝. 证明：连接OA，OB，则OA＝OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA＝OB，OM＝OM， ∴Rt△OAM ≌ Rt△OBM. ∴AM＝BM. ∴点A和点B关于直线CD对称． ∵⊙O关于直线CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 和重合， 和重合． ∴ ＝，＝. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 2．垂径定理的逆定理 课件出示：
如图，AB是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. (1)下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由． (3)你能模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理吗？ (4)你能正确表述逆定理的内容吗？ (5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ 分析：条件：CD是直径；
AM＝BM ；

结论(等量关系)：CD⊥AB；
＝；

＝. 归纳得到垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 三、举例分析 例1　如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m．求这段弯路的半径． 引导学生思考如下问题：
(1)如何利用所学定理添加辅助线？ (2)这样添加辅助线的目的是什么？ (3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题？ (4)大家能合作完成求解过程吗？ 解：连接OC. 设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90 ) m. ∵OE⊥CD， ∴CF＝CD＝×600＝300(m)． 在Rt△OCF中，根据勾股定理，得 OC2＝CF2 ＋OF2， 即R2＝3002＋(R－90)2. 解这个方程，得R＝545. 所以，这段弯路的半径为545 m. 例2　已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． 求证：AC＝BD. 问：(1)证明两条线段相等，最习惯用什么方法？ (2)在此用三角形全等怎么证明？ (3)用垂径定理怎样证明？ 处理方式：教师引导学生共同解决问题． 四、练习巩固 1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为(　　) A．3
　　B．5　　　　C．6　　　　D．8 2．在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC＝ ________°. 3．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，AC＝BD.求证：OC＝OD. 五、课堂小结 1．易错点：
(1)垂径定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦；

(2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不可或缺，否则错误． 2．归纳小结：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

(2)垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 3．方法规律：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件． 六、课外作业 1．教材第76页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第76～77页习题3.3第1～4题． 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件、结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作等教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果． 4　圆周角和圆心角的关系 第1课时　圆周角定理 1．理解圆周角的定义，掌握圆周角定理． 2．会熟练运用圆周角定理解决问题． 重点 圆周角定理及其应用． 难点 圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透． 一、复习导入 1．圆心角的定义是什么？ 2．如图，圆心角∠AOB的度数和它所对的的度数有何关系？ 3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条________、两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 二、探究新知 1．圆周角的定义 引导学生自学教材第78页的相关内容，思考如下问题：
(1)我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时，我们得到几种情况？ (2)图③中的∠BAC的顶点在什么位置？ (3)角的两边有什么特点？ 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角． 2．圆周角定理 课件出示教材第78页图3－14，提出问题：
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC. (1)在图中，所对的圆周角有几个？ (2) 所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？ (3)你是通过什么方法得到的？ 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 三、举例分析 例1　如图，∠AOB＝80°. (1)你能画出几个 所对的圆周角吗？ (2)圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？ (3)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？ (4)这几个圆周角的大小有什么关系？ (5)改变∠AOB的度数，上面的结论还成立吗？ (6)你能选择其中之一进行证明吗？ (7)大家通过合作探究还能解决其他两种情况吗？ 解：如图①，∠ACB＝ ∠AOB . 理由：
∵ ∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB＝∠ACO＋∠CAO. ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO. ∴∠AOB＝2∠ACO. 即∠ACB＝ ∠AOB. 例2　问题回顾：当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 解：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.理由：连接AO，CO. ∵∠ABC＝∠AOC，∠ADC＝∠AOC，∠AEC＝ ∠AOC. ∴∠ABC＝∠ADC＝∠AEC. 圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． 四、练习巩固 1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝(　　) A．20°　　　　B．40°　　　　C．50°　　　　 D．80° 第1题图
　第2题图 2.如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠BAC＝________°. 五、课堂小结 1．易错点：
(1)一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧、劣弧分别对着不同的圆周角；

(2)圆上一条弧所对的圆周角能作出无数个；

(3)圆周角和圆心有三种位置关系． 2．归纳小结：
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角；

(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

(3)圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． 3．方法规律：
(1)圆周角和圆心的位置关系只有三种：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部；

(2)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

(3)同弧或等弧所对的圆周角相等． 六、课外作业 1．教材第80页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第80～81页习题3.4第1、2、4题． 这节课的教学主线非常清晰，重点明确，就是让学生经历观察、操作、猜想、证明等一系列探索活动．从提出猜想到证明猜想的过程中，教师始终将探索发现的空间留给学生，所设计的问题由浅入深、循序渐进，学习任务从易到难，挑战性问题在逐步提高，这是一种能激发学生学习兴趣的设计．本节课不足之处在于定理的证明根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况，虽然借助了几何画板动态演示了这一过程，但是为何要分类，教学中似乎显得有些生涩．第2课时　圆周角定理的推论 1．掌握圆周角定理的2个推论的内容． 2．理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念． 3．会熟练运用圆周角定理的推论解决问题． 重点 圆周角定理的几个推论的应用． 难点 理解2个推论的“题设”和“结论”． 一、复习导入 1．圆周角是如何定义的？ 2．圆周角定理是什么？ 3．圆周角定理的推论1是什么？ 二、探究新知 1．直径所对的圆周角是直角 课件出示：
如图，BC是⊙O的直径． (1)直径BC所对的圆周角指的是哪个角？ (2)猜想它所对的圆周角有什么特点？ (3)请同学们用量角器实际测量，看看猜测是否准确；

(4)你能对自己的猜想给出证明吗？ 解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°. 理由：∵BC为直径， ∴∠BOC＝180°. ∴∠BAC＝ ∠BOC＝90°. 2．90°的圆周角所对的弦是直径 课件出示：
如图，圆周角∠BAC＝90°. (1)∠BAC所对的弦指的是哪条线段？ (2)∠BAC所对的弦是直径吗？ (3)你是通过什么方法得到的？ 解：弦BC是直径． 理由：连接OC，OB. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝180°. ∴B，O，C三点在同一直线上． ∴BC是⊙O的一条直径． (4)从上面的学习，你能得出什么推论？ 推论2：直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径． 3．圆内接四边形的对角互补 课件出示：
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径． (1)请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ 解：∠BAD与∠BCD互补．理由：
∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°. ∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∴∠BAD与∠BCD互补． (2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？ 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立．理由：
连接OB，OD， ∵ ∠BAD＝∠2，∠BCD＝∠1，∠1＋∠2＝360°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∴∠BAD与∠BCD互补． (3)两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． (4)圆内接四边形的对角有什么关系？ 推论3：圆内接四边形的对角互补． 三、举例分析 例　如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角. (1)四边形ABCD是圆的什么四边形？ (2)∠A和∠BCD有什么数量关系？ (3)∠BCD和∠DCE有什么数量关系？ (4)这几个圆周角的大小有什么关系？ (5)∠A与∠DCE的大小有什么关系？为什么？ 解：∠A＝∠DCE.理由：
∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE. 四、练习巩固 1．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(　　) A．35°　　　　 B．45°　　　　 C．55°　　　　 D．75° 2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A，B重合)，延长BD到点C，使DC＝BD，则△ABC的形状为____________． 3．如图所示，AD为△ABC外角∠CAE的平分线，交△ABC的外接圆于点D.求证：BD＝CD. 五、课堂小结 1．易错点：
(1)“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”这个推论由特殊到一般地证明；

(2)从复杂图形中找到符合要求且能利用推论的条件；

(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 2．归纳小结：
(1)直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；

(2)四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；

(3)圆内接四边形的对角互补． 3．方法规律：
(1)解决问题应该经历“猜想—试验验证—严密证明”三个基本环节；

(2)从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律． 六、课外作业 1．教材第83页“随堂练习”第1、2、3题． 2．教材第83～84页习题3.5第1～4题． 在本节课的教学中，我结合本节课教学内容、教学目标和学生的认知规律，在教学设计上，一是注重创设情境，激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望，为下一步教学的顺利展开开个好头；
二是注重引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程，鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.5　确定圆的条件 1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法． 2．理解确定圆的条件及三角形的外接圆和外心的定义． 3．能确定一个圆形纸片的圆心． 重点 会作三角形的外接圆，理解三角形的外接圆、外心等概念． 难点 利用“确定圆的条件”的知识解决相关问题． 一、复习导入 1．经过一点你能画出几条直线？ 2．经过两点你能画出几条直线？ 3．已知线段AB，你会作线段AB的中垂线吗？ 4．经过几点能确定一个圆？ 二、探究新知 1．过一点作圆 作圆，使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆？ 引导学生思考：
(1)已知作圆的关键是确定圆心和半径，过已知点A的圆的圆心能是点A吗？为什么？ 不能，因为点A在圆上． (2)过已知点A的圆的圆心怎么确定？半径呢？ 以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆． (3)同学们按照：先找到圆心，再确定半径，最后画圆的方法，尝试能作出多少个圆？ 由于圆心是任意的．因此这样的圆心有无数个，从而过已知点A能作无数个圆． 2.过两点作圆 作圆，使它经过已知点A，B. (1)你是如何作的？ (2)除此以外还有符合条件的圆吗？你能作出几个这样的圆？ 能作出无数个符合条件的圆． (3)你作出的圆的圆心的分布有什么特点？ 与线段AB有什么位置关系？为什么？ 圆心到A，B的距离相等，圆心在线段AB的垂直平分线上． (4)线段AB的垂直平分线上有多少个点？这些点都可以作为圆心吗？ 线段AB的垂直平分线上有无数个点，这些点都可以作为圆心，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个． 3.过不在同一直线上的三点作圆 作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)． (1)要作一个圆经过A，B，C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到A，B，C三点的距离有何关系？ 确定一个点使它到A，B，C三点的距离相等． (2)到三角形三个顶点距离相等的点是三角形什么线的交点？ 三角形三边的垂直平分线的交点，它就是圆心． (3)这个交点就是圆心的理由是什么？ 这个交点满足到A，B，C三点的距离相等． (4)究竟应该怎样找圆心呢？ 先作线段AB的垂直平分线，找到过A，B两点的圆的圆心；
再作线段CB的垂直平分线，找到过C，B两点的圆的圆心，它们的交点就是要找的圆心． 作法 图示 1.连接AB，BC 2.分别作线段AB，BC的 垂直平分线DE和FG， DE和FG相交于点O 3.以O为圆心，OA 为半径作圆．⊙O就是 所要求画的圆． 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． (5)如果A，B，C三点在同一条直线上，你还能作出过A，B，C三点的圆吗？为什么？ 不能，找不到圆心．原因是：线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行，没有交点． 三、举例分析 例　已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点？ (1)锐角三角形的外心在三角形的什么位置？ (2)直角三角形的外心在三角形的什么位置？ (3)钝角三角形的外心在三角形的什么位置？ 锐角三角形　　　直角三角形　　　钝角三角形 四、练习巩固 1．下列命题不正确的是(　　) A．过一点能作无数个圆 B．过两点能作无数个圆 C．直径是圆中最长的弦 D．过已知三点一定能作圆 2．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是________． 3．△ABC外接圆的面积是100π cm2，且外心到BC的距离是6 cm，求BC的长． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)确定圆的条件一定注意“不在同一直线上”；

(2)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；

(3)三角形的三个顶点确定的圆是三角形的外接圆． 2．归纳小结：
(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆；

(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 3．方法规律：
(1)锐角三角形的外心在三角形的内部；

(2)直角三角形的外心在斜边的中点；

(3)钝角三角形的外心在三角形的外部；

(4)“经过三点能否确定一个圆”培养学生分类讨论的数学思想． 六、课外作业 1．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是(　　) A．等边三角形
　　B．锐角三角形 C．直角三角形　　　　 D．钝角三角形 2．教材第87～88页习题3.6第1～4题． 本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣，通过探究题的设计，调动了学生学习的积极性、主动性，提高了课堂效率．本课堂首先充分调动了学生的积极性．不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果好，碰到难题主动交流，小组合作非常默契． 6　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系及切线的性质 1．经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． 重点 理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确地判定． 难点 利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系，运用切线的性质解决问题． 一、情境导入 1．点与圆的位置关系有哪几种？ 2．观察下列三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？ 二、探究新知 1．直线和圆的位置关系 课件出示：
作一个圆，把直尺边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？ 引导学生得出：
(1)直线和圆有两个交点，这时直线与圆相交；

(2)直线和圆有一个交点，这时直线与圆相切；

(3)直线和圆没有交点，这时直线与圆相离． 直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点． 2．根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系 课件出示：
圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r. (1)d与r的大小有什么关系？ (2)你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？ ①直线和圆相交⇔ d ＜ r；

②直线和圆相切⇔ d ＝ r；

③直线和圆相离⇔ d ＞ r. 判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
(1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；

(2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r 的关系来判断． 3．圆的切线的性质 课件出示：
(1)下面的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ (2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说说你的理由． 解：直径AB垂直于直线CD.理由：
∵上图是轴对称图形，AB是对称轴， ∴沿直线AB对折图形时，AC与AD重合． ∴∠BAC＝∠BAD＝90°. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、举例分析 例　已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，直角边AC＝4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ 解：(1)过点C作AB的垂线，垂足为D. ∵AC＝4 cm，AB＝8 cm， ∴cos A＝ ＝， ∴∠A＝60°. ∴CD＝ACsin A＝4sin 60°＝2 (cm)． 因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙O相切． (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，所以， 当r＝2 cm时，d＞r，⊙C与AB相离；

当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交． 四、练习巩固 1．若直线与⊙O至少有一个公共点，则此直线与⊙O的位置关系是 (　　) A．相交或相切　　　B．相交或相离 C．相切或相离　　　D．以上三种情况都有可能 2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于________． 3．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA＝15 cm，PB＝9 cm.求⊙O的半径． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)d与r的关系与直线和圆的位置关系是互逆的；

(2)判断直线和圆的位置关系的方法有两种：根据定义中公共点的个数或根据d与r的关系． 2．归纳小结：
(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相离、相切；

(2)d与r的大小关系：d＝r⇔相切；
d>r⇔相离；
d<r⇔相交． (3)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 3．方法规律：
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
(1)根据定义中公共点的个数；

(2)当d<r时，直线与圆相交；
当d＝r时，直线与圆相切；
当d>r时，直线与圆相离． 六、课外作业 1．教材第91页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第91页习题3.7第1、2、3题． 在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题、解决问题，学生很轻松地能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化．第2课时　切线的判定及三角形的内切圆 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．理解内切圆、内心的定义，会作三角形的内切圆． 重点 掌握圆的切线的判定方法及作三角形内切圆的方法． 难点 圆的切线的判定方法的理解与应用． 一、情境导入 同学们，请欣赏下面的两幅图片：
(1)当你在下雨天快速转动雨伞时，水飞出的方向是什么方向？ (2)砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？ 二、探究新知 1．圆的切线的判定 课件出示：
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时， (1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？ (2)直线l与⊙O的位置关系如何变化？ (3)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 圆的切线的判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 2．过圆上一点，作圆的切线 课件出示教材第92页“做一做”：
已知⊙O上有一点A，过点A作出⊙O的切线． 解：(1)连接OA. (2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线． 三、举例分析 例　如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切． (1)假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离有什么关系？ (2)那么圆心在这个三角形的什么位置上？ (3)半径是什么？ (4)和三角形三边都相切的圆可以作出几个？ 引导学生得出作△ABC内切圆的步骤：
①作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I. ②过点I作ID⊥BC，垂足为D. ③以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆． 像这样和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点． 四、练习巩固 1．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d需要满足的条件是(　　) A．d＝3
　　　　　　　B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 2．如图，在△ABC中，∠A＝56°，点I是内心，则∠BIC＝ ________° 3．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)切线的判定的两个条件“过半径外端”、“垂直于半径”两个条件缺一不可；

(2)作圆的切线． 2．归纳小结：
(1)切线的判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；

(2)和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点． 3．方法规律：
证明切线的两种方法：
(1)连半径，证明垂直；

(2)作垂直，证明半径． 六、课外作业 1．教材第93页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第93页习题3.8第1、2、3题． 本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学来源于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，使学生真正成为学习的主人，转变了角色．教师的行为直接影响着学生的学习方式，要让学生真正成为学习的主人，积极参与课堂学习活动，因此在教学中让学生想象、观察、动手实践、发现内在的联系并利用类比归纳的方法探索规律，指导学生合作、研究并尝试用学到的知识解决实际问题． 本节课的重点在于培养学生的理解能力．在教学中，注重引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系分析哪些信息有用，哪些没用．再理清思路，然后整理出来． 7　切线长定理 1．通过作图、观察图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系． 2．经历探索切线长定理的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力． 3．应用切线长定理进行相关的计算和证明． 重点 理解切线长的定义． 难点 切线长定理的推导过程及运用． 一、复习导入 1．过⊙O上任一点A可以作几条切线？ 2．过圆外一点可以画圆的几条切线？这几条切线之间又有什么关系呢？ 二、探究新知 1．切线长定理 从⊙O外一点P引⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，那么线段PA和PB之间有何关系？ (1)根据条件画出图形；

(2)度量线段PA和PB的长度；

(3)猜想：线段PA和PB之间的关系；

(4)寻找证明猜想的途径；

(5)在图中还能得出哪些结论？并把它们归类. (6)上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由． 引导学生得出：过圆外一点画圆的切线，这一点和切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长． 证明：连接OA，OB，OP. ∵PA，PB与⊙O相切， ∴∠OAP＝∠OBP＝90. ∵ OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴ PA＝PB. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 2．切线长定理的应用 课件出示：
如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E，F，G，H，由切线长定理你能发现哪些线段相等？ (1)由点A的切线可知________ ＝ ________. (2)由点B的切线可知________ ＝________. (3)由点C的切线可知________ ＝ ________. (4)由点D的切线可知________ ＝ ________. 结论：AB＋CD＝AD＋BC，进而得出：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 三、举例分析 例　已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC＝10，BC＝24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O 的半径． (1)从图中可得出哪些结论？请说明理由． (2)求⊙O 的半径时，应如何利用已知条件？ 解：连接OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF，设OD＝r. 在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24， ∴AB＝＝＝26. ∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF. 又∵∠C＝90°， ∴四边形OECF为正方形． ∴CE＝CF＝r. ∴BE＝24－r，AF＝10－r. ∴AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝24－r＋10－r ＝34－2r＝26. ∴r＝4，即⊙O的半径为4. 四、练习巩固 1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OP＝4，PA＝2 ，那么∠AOB等于(
) A．90°　　　 B．100°　　　 C．110°　　　 D．120° 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为________． 3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，求⊙O的半径． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

(2)切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2．归纳小结：
(1)过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；

(2)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；

(3)圆的外切四边形的两组对边的和相等． 3．方法规律：
(1)过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；

(2)在解决有关圆的切线长问题时添加辅助线构建基本图形方法：①分别连接圆心和切点．②连接圆心和圆外一点． 六、课外作业 1．教材第95页“随堂练习”． 2．教材第96页习题3.9第1～4题． 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣，首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情境和实践操作中发现问题、解决问题，通过设置问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰、从具体到抽象、从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程． 8　圆内接正多边形 1．掌握正多边形和圆的关系． 2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． 4．能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形． 重点 掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算． 难点 正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题． 一、复习导入 1．什么叫正多边形？ 2．正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？ 3．以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？ 引导学生得出：
①正多边形的顶点都在圆上；

②圆经过正多边形的所有顶点． 二、探究新知 1．圆内接正多边形的概念 定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． (1)把一个圆n等分(n≥3 )，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形． (2)如图，五边形 ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；

OA是这个正五边形的半径；

∠AOB是这个正五边形的中心角；
OM⊥BC，垂足为 M，OM 是这个正五边形的边心距. 2．尺规作一个已知圆的内接正多边形 (1)用尺规作一个已知圆的内接正六边形． 作法：
①作⊙O的任意一条直径FC；

②分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；

③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF. (2)用尺规作一个已知圆的内接正四边形． (3)思考：作正多边形有哪些方法？ 三、举例分析 例　如图，在圆内接正六边形 ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． (1)正六边形的中心角是多少度？ (2)正六边形的中心角的一半是多少度？ (3)如何作出正六边形的边心距？ (4)你能利用已知条件构造直角三角形吗？ (5)你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？ 解：连接OD. ∵六边形ABCDEF 为正六边形． ∴ ∠COD＝＝60°. ∴ △COD为等边三角形． ∴ CD＝OC＝4. 在 Rt△COG中，OC＝4，CG＝BC＝2， ∴OG＝2. ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为 2. 总结：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半． 四、练习巩固 1．正三角形的边心距、半径和高的比是(　　) A．1∶2∶3

B．1∶ ∶ C．1∶ ∶3
　 D．1∶2∶ 2．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为________cm. 3．已知：如图，正三角形ABC，求作：正三角形ABC的外接圆和内切圆．(要求：保留作图痕迹，不写作法) 五、课堂小结 1．易错点：
(1)求正多边形的中心角、边长和边心距；

(2)用尺规作圆内接正多边形． 2．归纳小结：
(1)正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；

(2)顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆；

(3)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3．方法规律：
(1)把一个圆分成几等分，连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于；

(2)正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半． 六、课外作业 1．教材第98页“随堂练习”． 2．教材第99页习题3.10第1、2、3、4、5题． 本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表达有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.9　弧长及扇形的面积 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力. 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的教学应用能力． 重点 了解弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题． 难点 探索弧长及扇形面积计算公式，并应用公式解决实际问题． 一、情境导入 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的一端拴着一只狗. (1)这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？ (2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？ 二、探究新知 1．探索弧长公式 课件出示：
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 结论：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝ . 2．探索扇形面积公式 (1)观察与思考：怎样的图形是扇形？ (2)扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？ (3)如何求扇形的面积？ ①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少？ ②圆心角为 n°的扇形面积是圆面积的多少？ 如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n· ＝ .因此扇形面积的计算公式为S＝ ，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 3．扇形面积公式与弧长公式的关系 比较扇形的面积与弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？ 解：∵l＝ πR，S扇形＝ πR2， ∴ πR2＝ R· πR. ∴S扇形＝lR. 总结：若已知圆心角和半径，选择S扇形＝ πR2，若知道弧长和半径，选择S扇形＝ lR. 三、举例分析 例1　制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm)． (1)要求管道的展直长度首先需要解决什么问题？ (2)求管道的展直长度即求哪一段弧长？ (3)你能利用已知条件和弧长公式求解吗？ 解：∵R＝40 mm，n＝110°. ∴弧AB的长l＝ πR＝ ×40π≈76.8 mm. 因此，管道的展直长度约为76.8 mm. 例2　扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)． (1)题目中给出了哪些已知条件？ (2)这些条件能直接应用于公式吗？ (3)你能利用已知条件和扇形面积公式求解吗？ 解：的长l＝ π×12＝8π≈25.1(cm)． S扇形＝ π×122＝48π≈150.7 (cm2)． 因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 (cm2)． 四、练习巩固 1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(　　) A．6　　　B．9
　C．18
　D．36 2．如图，已知C，D是以 AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于________. 3.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝13 cm.求图中阴影部分的面积． 五、课堂小结 1．易错点：
(1)在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是；

(2)在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是 . 2．归纳小结：
(1)n°的圆心角所对的弧长公式l＝ ；

(2)n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝ ；

(3)半径为R，弧长为l的扇形面积S＝ l R. 3．方法规律：
(1)弧长和扇形面积公式的关系：S＝ l R；

(2)在应用弧长公式、扇形的面积公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的． 六、课外作业 1．教材第101页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第102页习题3.11第1、2、3、4题． 本节课教学弧长及扇形的面积．在教学中，结合学生的实际要求，用生活中的实际问题引入新课，调动了学生的兴趣．同时，教学过程中注意因材施教，根据学生的基础创设多姿多彩的问题情境，为每一个学生创造发挥自己才能的空间，让学生体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力、合作探究能力、自主学习能力与创新精神． 综合与实践 ⊙　　视力的变化 1．能够设计合理的调查方案，采取合适的方式，较快地统计出本班同学的视力情况． 2．能够对数据进行适当的整理，用合适的统计图表示本班同学的视力变化情况． 3．能够从统计数据的特征数据获取信息． 4．能够根据统计图推断合适的结论． 重点 收集数据，处理分析数据，提出适合的结论． 难点 处理分析数据． 一、情境引入 同学们，眼睛是我们心灵的窗户，在中学阶段，你的窗户“蒙城”了吗？你的视力是否随着年龄的增加而逐渐变差了呢？事实是怎样的呢？你能利用数学的知识来说明这个问题吗？ 二、探究新知 同学们，没有调查就没有发言权，接下来，让我们通过一个调查活动来了解本班同学的视力变化情况． 1．确定调查对象 根据调查的问题，我们调查对象是本班同学的视力变化情况． 2．收集、汇总数据 (1)收集数据 师：请同学们设计一张表格来记录自己的视力情况，并注意以下问题：
①左眼、右眼的视力一般不一样，我们需要把它们分开记录吗？ ②为了体现视力的变化情况，除了记录我们最近的视力情况，还应该记录上一年度的视力情况吗？ 展示教材所给表格． (2)汇总数据 ①将学生分为三大组，进行数据汇总，看哪一组做得又快又好． ②将全班数据进行汇总． 3．整理、表示数据 同学们，从我们汇总得到的表格中，你能很快看出本班同学的视力变化情况吗？ 为了能清晰、直观地看出同学们的视力变化情况，我们需要对数据进行处理． 对数据的处理，我们一般采用两种方式：
(1)用这组数据的特征数表示数据． 一组数据常见的特征数有平均数、中位数、众数、极差、方差． 请同学们分别计算出近期与上一年度左、右眼视力的平均数、中位数、众数、极差、方差． 请同学们计算近期与上一年度视力的不良率，进行比较(凡是视力在5.0以下的都算作视力不良)． (2)用适当的统计图表示数据． 常见的统计图有扇形统计图、条形统计图、折线统计图． 请同学们选择一个你认为合适的统计图来表示我们所得到的数据． 注意：数据比较多，我们不可能将每个数据都表示在统计图上，所以我们首先应对数据进行分组统计，其实这也是对数据处理的一种方法．
人数 视力　　) 近期视力情况 左眼视力 右眼视力 , 上一年度视力情况 左眼视力,右眼视力 1．0及以下 1．0～3.0 3．0～4.0 4．0～4.5 4．5～5.5 5．0及以上　　接下来，请同学们根据数据画出统计图． 4．分析数据，得出结论 请同学们分析我们所得到的特征数据与统计图，你能得出一些什么样的结论？它与同学们开始的猜想一致吗？ 三、练习巩固 若要了解全校范围内学生视力状况随年龄的变化趋势，你将如何进行统计活动？ 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、课外作业 教材第113页习题第1～3题． “眼睛是心灵的窗户”，保护眼睛、科学用眼是每个人所必需的，又是中学生难以做到的，通过本次活动，可以让学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，积累部分数学活动经验，加强保护眼睛．其活动的主要目的是让学生在具有一定挑战性的问题情境中经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题，并尝试解释不同的合理性，以发展学生的创新意识和实践能力，特别强调培养学生动手操作、主动探究的意识． ⊙　　哪种方式更合算 1．让学生初步体会如何评判在商场购物转转盘等事件是否“合算”，会利用加权平均数公式求平均收益. 体会概率与统计之间的联系． 2．在活动中发展学生的合作交流和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣． 重点 通过具体问题情境，让学生会评判某件事情是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判． 难点 理论地计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数． 一、情境导入 大家都知道电影《泰囧》创造了票房奇迹，导演是徐铮，在此之前，他就和王宝强成功出演了电影《人在囧途》里的两主角，里面有这么一个片段：(播放电影《人在囧途》中有关“买彩票中汽车”的视频片段) (1)徐铮和王宝强中大奖的概率大吗？我们生活中还有哪些促销活动？ (2)你研究过各种奖项的可能性吗？你想知道每一次活动的平均收益吗？让我们一起去研究其中的奥秘吧！ 二、探究新知 1．问题：
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．转转盘和直接获得购物券，你更愿意选择哪种方式？ 2．猜想：
生1：我认为转转盘很可能落空，还是直接获得10元购物券更保险． 生2：万一转盘转到有色区域，要比10元多很多，所以我认为还是转转盘更合算． 3．验证：
到底哪种方式更合算呢？我们还是用事实来说话，先做个游戏吧！ 模拟顾客在商场购物后转转盘情形，与全班同学一起做转转盘游戏，做2轮，并记录结果如下：
100元 50元 20元 0元 总金额 平均收益 第一轮 2次 3次 4次 26次 430元 12.3元 第二轮 1次 6次 6次 22次 520元 14.9元
(1)要想获得更精确的结果，我们应该怎么办？(做大量重复试验) 做大量试验，需要很多时间，我们就把这一工作留到课下，各学习小组注意汇总． (2)不用试验的方法，我们能不能从理论上计算一下，每转动一次转盘所获购物券金额的平均收益到底是多少呢？ 由于转盘被平均分成了20份，红色区域有1份，所以指针指到红色区域(100元购物券)的概率是即5 %；
同理，指针指到黄色区域(50元购物券)的概率是，即10 %；
指针指到绿色区域(20元购物券)的概率是 ，即20 %.故由加权平均数公式得：每转动一次转盘所获购物券金额的平均收益是100×5 %＋50×10 %＋20×20 %＝14(元)． (3)若将转盘改成下图情况，结果如何？ 不变．因为各种颜色所占的比例没有改变，各自的概率也就没有改变，所以结果不变． (4)若改成下图呢？ 变了．因为红色和绿色的比例变了，结果应该是100×10 %＋50×10 %＋20×15 %＝18(元)． (5)你能不能总结一下，平均收益与什么有关？怎样计算？ 平均收益与各自所占比例(概率)有关，与是否分散或是否集中无关，要利用加权平均数公式进行计算． (6)现在知道哪种方式更合算了吗？ 对于刚才的问题，应该转转盘更合算．若换成其他问题，应该通过具体计算分析后再下结论． 三、举例分析 例　(课件出示教材第115页“做一做”) 解：对游戏者不利. 因为由题意知，颜色相同概率为，收益(＋1)元；
颜色相异概率也是，收益(－1)元；
指针指向“0”概率为 ，收益(－0.5)元．所以根据加权平均数公式得，游戏者每次平均收益为1× ＋(－1)× ＋(－0.5)×＝－(元)． 四、练习巩固 1．小明在游乐场看到别人正在玩一种游戏．玩这种游戏需要用一张票，游戏者掷两个塑料的圆柱形瓶子．如果两个瓶子都是底朝上站住的，游戏者可以得到10张票玩其他游戏．小明看别人玩了一会，并把结果记录在表格中． 两个都是边朝上 一个底朝上一个底朝下 两个都是底朝上 24次 14次 2次
(1)基于小明的记录结果，赢得游戏的概率是多少？ (2)基于上述概率，如果小明玩这个游戏20次，他可以赢多少次？ (3)小明玩40次后，他可能得到或者失去多少张票？说明理由． 2．在一次游戏活动中，组织者设立了一个抛硬币游戏．玩这个游戏需要四张票，每张票0.5元．一个游戏者抛两枚硬币，如果硬币落地后都是正面朝上，则游戏者得到一件奖品，每件奖品价值5元．组织者能从这个游戏中赢利吗？为什么？ 五、课堂小结 通过今天的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．教材第115页“做一做”． 2．教材第116页习题． 本节课我打破了传统教学模式，采用放电影、玩游戏等活动，让学生在玩中轻松完成学习任务．这节课真正体现了从不同层次把探求知识与培养学生的情感、态度、价值观有机结合起来，注重了过程教学，是对新课程标准的具体实施．用收集资料，动手制作，动手做试验来解决问题，能够调动学生的积极性，在这个学习探索的过程中，注重了对学生情感的培养．以往在数学课上，教师较难与学生在情感上沟通，但在这节课上，学生与老师共同感受了数学的魅力，师生共同培养起了对数学的情感． ⊙　　设计遮阳篷 1．经历从实际问题抽象出数学问题―建立模型―综合应用已有的知识解决问题的过程，进一步丰富学生的空间观念和符号感． 2．通过借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力． 重点 将生活中的遮阳篷抽象成几何图形，建立数学模型． 难点 从实际问题抽象出数学问题，综合应用已有的知识解决问题． 一、情境导入 同学们，每当炎炎夏日，我们想拥有清凉、舒适的生活，将阳光挡在户外，又要拥有明亮柔和的光线，更想与窗外的宜人风光面对面，有种东西能帮助我们做到，你们知道是什么吗？(展示生活中常见的遮阳篷图片) (1)这些遮阳篷有什么不同？ (2)这么多的遮阳篷，它们的大小、形状、结构也不尽相同，请同学们想一想遮阳篷有什么作用？ 遮阳篷的作用：夏天能最大限度地遮挡炎热的阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内． (3)如果你来设计遮阳篷，你会关注哪些要素？ 二、探究新知 如图①所示，假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h cm，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 探究1：让冬天的阳光最大限度地照进来 把图①画成图②，某中AB表示窗户(AB＝h cm)，BCD表示直角形遮阳篷．
　 (1)当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳篷BCD应该具备什么条件？请在图③中画出． 当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，那么遮阳篷的边BD必须和太阳光平行，即BD边必须与地平面的夹角为α，又因为△BCD是直角三角形，CD平行于地平面，此时只要直角形遮阳篷∠BDC＝α，就能保证太阳光刚好全部射入室内． 思考：此时，BC，CD唯一吗？ BC和CD都不唯一． 探究2：最大限度地挡住夏天的阳光 (2)当太阳光与地平面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？请在图④中画图表示，此时，BC唯一吗？CD呢？ 阳光最多照到A处，此时CD边与水平面平行，故遮阳篷仍旧不唯一．BC和CD都不唯一． 探究3：在冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，在夏天又能最大限度地遮挡炎热的阳光 如果要同时满足(1)(2)两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计？画出示意图． 应过点B作夹角为α时光线的平行线，交过点A夹角为β时的光线于点D，作DC⊥AB延长线于点C，则遮阳篷BCD即为所求． 在Rt△BCD中，∠BDC＝α，则BC＝CDtan α①. 在Rt△ACD中，∠ ADC＝β，则AC＝h＋BC＝CD·tan β. ②把①代入②得h＋CDtan α＝CDtan β. ③解③得CD＝ .因此在Rt△BCD中 ，BC＝CD·tan α＝ . 三、举例分析 通过查阅了地理书籍，得到枣庄处于北纬34.52度．根据教材知识点枣庄冬至这一天正午时刻的太阳光与地平面的夹角约为35°，夏至这一天正午时刻的太阳光与地平面的夹角为81°，如图，设计一个直角遮阳篷 BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，请求出CD和BC的长度． 学生代入公式计算即可． 四、练习巩固 1．如果要求遮阳篷的CD边为圆弧形(C，D同高)，那么还需要知道________，________才能进行设计． 2．如果要求遮阳篷的CD边为抛物线形，那么你还需要知道________才能进行设计． 3．如果要求遮阳篷的CD边可伸缩，那么你应如何设计？ 五、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？ 六、课外作业 各小组根据自家实际情况，设计一遮阳篷制作方案，并绘出相应的草图，要求实用、美观，形式不限． 上这堂课前自己心里确实没有底，以前课题学习课很少上，所以课前查阅了大量的资料，到最后确定用这样的思路去展开教学，作为四大版块(数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习)之一的课题学习，不是定位在某一目标的具体认识，而是重在过程性学习．其活动的主要目的是让学生在具有一定挑战性的问题情境中经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题，并尝试解释不同的合理性，以发展学生的创新意识和实践能力，特别强调培养学生动手操作、主动探究的意识，当然这堂还存在很多不足，例如，让学生实际动手操作的东西少，留给学生思考的时间还是少，以后还要多努力．