Riemann-Liouville型分数阶时滞惯性复值神经网络的全局渐近同步性

王 晨，张红梅，张玮玮，张 海

（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）

分数阶微积分具有记忆和遗传的特点，学者们通过这些特点建立了分数阶神经网络模型，可以更好地描述神经元的动态行为[1-5]。分数阶实值神经网络的研究成果丰硕[6-9]，与其相比，复值神经网络的状态向量、连接权重、激活函数、外部输入都是复值的，且具有更加复杂的性质，因此可以直接处理一些实值神经网络无法解决的问题。惯性项是产生分岔和混沌[10-13]的重要工具，其同于电感的影响。Babcock和Westervelt在1986年首次引入了带有时滞的惯性神经网络[14]，相比于标准电阻-电容类型的电子神经网络，当神经元耦合包含惯性性质时，其动态动力学可能会很复杂。例如，通过设计一个电感来实现乌贼的突触、头发细胞的膜半规管[15]等电感的引入，从数学角度来说，相当于增加了一个惯性项。

在实际应用中，当分数阶神经网络作用于系统的硬件时，经常会发生时延，包括泄露时延[16]、离散时延[17]和分布式时延[18]。因此，对时滞神经网络的研究不仅具有理论意义，而且具有实际应用价值。同步作为一种重要的时滞系统动力学行为，由于其在信息科学、信号处理和保密通讯等领域中的理论重要性和实际应用而受到广泛研究。迄今为止，同步类型有渐近同步[19]、相位同步[20]、投影同步[21]和指数同步[22]等，其中渐近同步是最重要的类型之一。关于分数阶时滞神经网络的全局渐近同步性问题已经有了丰富的研究结果，且带有惯性项的分数阶时滞神经网络的全局渐近同步性问题也有大量报道，但是这些结果都是在实数域上得到的，而复值域上的全局渐近同步性问题很少报道。基于此，本文研究了Riemann-Liouville型分数阶时滞惯性复值神经网络的全局渐近同步问题。

在本文中，Cn和C分别表示所有n维复数向量的集合以及所有复数的集合，i表示虚数单位，即i=和xI分别表示其实部和虚部。下面给出了一些定义、引理以及分数阶微积分的相关结果。

定义1[23]函数f()x的α阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义如下，

其中，n-1≤α

定义2[23]函数f()

x的α阶分数阶积分定义如下，

引理1[24]若f()

t是可导的，且f′(t)是连续的，则如下的不等式成立，

引理2[25]对于任意的x1,x2∈C，以及正数ρ，则如下的不等式成立，

引理3[26]若f(t)∈C在区间[ ]0,δ上是连续且可导的，0<α<1，n-1<β

引理4[27]若f(t)∈C在区间[ ]0,δ上是连续且可导的，0<α<1，n-1≤β

考虑Riemann-Liouville型分数阶时滞惯性复值神经网络模型：

其中，0<β≤1，β<α≤1+β，n表示神经元的单位数量，zi(t)表示第i个神经元的状态变量，ai>0，bi>0是常数，τi表示时滞，fj(zj(t))表示在t时刻神经元的输出，gj(zj(t-τj))表示在t-τj时刻神经元的输出，cij表示时刻t从单位j到单位i时的突触连接权重，dij表示时刻t-τj从单位j到单位i时的突触连接权重，Ii(t)是外部输入。

系统（1）的初始条件为zi(s)=φi(s)+iϕi(s)，Dαt zi(s)=ψi(s)，-τi≤s≤0，其中,i=1,2,3,…,n且ψi(s)是连续有界的。

备注1如果α=β，系统（1）将被简化成一般的分数阶时滞神经网络，

备注2如果α<β，系统（5）将变成如下形式，

假设1令和都是解析的，对于任意的j=1,2,3,…,n，和gj(z(t-τ))可以分解成实部和虚部两部分，即

其中，fRj(,):R2→R,fIj(,):R2→R,gRj(,):R2→R,gIj(,):R2→R，并且满足Lipschitz条件，

考虑阶数为0<β<1,β<α≤1+β的情形，采取变量替换：si(t)=εiDβt zi(t)+zi(t)，其中εi>0。在不失去普遍性的前提下，让εi=1。基于引理3可得

由于zi(t)=xi(t)+iyi(t)，则，其中，sRi(t)=Dβt xi(t)+xi(t),sIi(t)=Dβt yi(t)+yi(t)。所以式（2）可写为

那么系统（1）可以被重新写成

以系统（1）作为驱动系统，那么反应系统可以写成

其中，Ui(t)是控制输入。

类似地，可以采取如下的变量变化：ωi(t)=Dβt υi(t)+υi(t)，由于νi(t)=θi(t)+iζi(t)，则

定义驱动系统和反应系统之间的误差ei(t)=υi(t)-zi(t),hi(t)=ωi(t)-si(t)，i=1,2,3,…,n。当t→∞时，只需ei(t)→0和hi(t)→0，即在时，驱动系统（1）和反应系统（5）达到同步。

由式（3）、（4）、（6）和（7），误差系统可以表示为

定理1在假设1和反馈控制器（10）下，驱动系统（3）或（4）和反应系统（6）或（7）达到全局渐近同步，其中li，ki是确定的。

证明选择Lyapunov函数为Vi(t)=VRi(t)+iVIi(t)，其中，

这里qi和mi是未知的正常数，需要确定。根据引理1，计算出Vi(t)的一阶导数，并将式（8）、（9）代入。先考虑实部的一阶导数，

所以，只需要令

则

同理，可求得虚部的一阶导数为

所以，只需要令

备注3当系统（1）中的ai=0,i=1,2,3,…,n时，其变为具有时滞的复值神经网络，而且文献[28]也研究了该系统的同步问题。

备注4在复数域上讨论带有惯性的时滞神经网络模型问题在整数阶上也被讨论过，并报道了一些关于复值惯性神经网络的同步及稳定性问题。但是在分数阶上，很少有文章报道带有惯性的神经网络同步及问题，因此本文的研究具有一定参考意义。

本文引入了分数阶惯性神经网络模型来研究Riemann-Liouville型分数阶时滞惯性复值神经网络的全局渐近同步性问题。将复值系统分成两个实值系统来分别讨论同步问题，利用Riemann-Liouville型分数阶微分和积分的性质、合适的变量代换、全局渐近同步理论和不等式技巧得到新型反馈控制器下分数阶时滞惯性复值神经网络全局渐近同步的充分条件。值得注意的是，近年来，带有惯性项的神经网络问题逐渐得到了广泛研究，我们想指出的是，实际应用中会出现带有两个甚至多个惯性项的神经网络同步及稳定问题，这将是我们接下来继续研究的课题。