一类不确定非线性系统的RBF神经网络反演控制

熊 朗，高红亮，李小玲

(湖北师范大学 电气工程与自动化学院，湖北 黄石 435002)

伴随着科技的飞速发展，对非线性系统控制的深入研究也变得越来越重要。这是因为非线性系统存在于各个领域之中，尤其在工业领域无处不在，比如在汽车中就存在了很多非线性系统——减震系统[1]、刹车系统[2]、安全气囊系统[3]和点火系统[4]等等。然而，由于非线性系统存在着不确定性，而且在一些特殊情况下无法估计其中的一些参数和函数，这也就使得对于非线性系统的研究比较复杂。

刘晓瞳使用了动态模糊逻辑控制的方法对非线性系统的控制进行了研究，该方法结合了自适应控制和模糊逻辑控制的优点，能对非线性系统进行控制[5]。张春蕾等人研究了输入饱和和输出受限的纯反馈非线性系统,设计了一种神经网络自适应控制器[6]，最后通过仿真例子证明了控制方案的有效性。机械臂的非线性系统研究在智能控制领域有着极其重要的意义。文献[7～9]介绍了多种对机械臂的控制方案，通过采用到了各种补偿的方法，能够对系统进行较好的控制，最后利用仿真对所提出方法进行了验证。上述文献中都有各自的优点，基本上都是对非线性系统的不确定部分进行了一定的补偿，但是在设计方法上较为繁琐，在一些函数的构造方面有一定的困难，需要花费大量时间去构造和设计。

反演控制方法在处理不确定性系统的相关问题上有着良好的表现。黄静雯等人研究了一类反演控制方法并应用于桥式吊车模型上，能够解决吊桥负载质量、摩擦力以及状态耦合等不确定性问题[10]。李雅琦等人针对汽车的悬架系统采用了反演控制的方法，对车辆垂直加速度、悬架动挠度和轮胎动位移等悬架系统评价指标进行了研究[11]，通过仿真采用这种控制策略提高了系统的性能。李洋等人针对超空泡航行体姿轨控制的模型不确定性问题，利用反演控制方法对其控制器进行了设计，结果表明了该控制器的有效性[12]。

本文对一类二阶不确定的非线性系统进行了研究，并提出了一种易于设计的自适应控制方法。该方法一方面利用了RBF神经网络的逼近能力和自学习能力的特性，对系统的不确定部分和非线性部分进行了逼近。另一方面根据反演设计方法逐步递推的思想，对Lyapunov函数进行了一步步的设计，并且证明了该闭环系统是稳定的。最后利用仿真例子说明了本文所提出的方法的有效性。

现考虑一类二阶不确定的非线性系统

其中系统的不确定项由φ(x1,x2)∈R表示，不确定的非线性函数由ψ(x1,x2)表示，系统的控制输入u∈R用表示，外界的干扰用d(t)表示。

本文中系统的控制任务是在有系统的不确定项、不确定的非线性函数和干扰的情况下，设计出控制律u，并使得输出信号x1能跟踪期望轨迹xd，并且能使得所有的信号都有界。由于反演控制设计方法在处理不确定性非线性系统时有很大的优越性[13]，所以本文采用反演控制法对系统的控制器进行设计。

2.1 RBF神经网络相关算法

在对系统的控制过程进行设计时，通常情况下对不确定项的逼近可以利用RBF神经网络。而在本文中对系统的不确定项φ(x1,x2)和不确定的非线性函数的ψ(x1,x2)逼近也采用了RBF神经网络。图1表示的是基于RBF神经网络的自适应控制结构图[14]。

图1 RBF神经网络自适应控制结构图

RBF神经网络对ψ(x1,x2)和φ(x1,x2)的逼近算法为

ψ(x1,x2)=W*Thψ(x)+εψ,φ(x1,x2)=V*Thφ(x)+εφ

其中神经网络的输入用x表示，网络的输入个数用m表示，第j个神经元的输出用hj表示，第j个神经元的中心点向量值用cj表示，隐含层神经元j的高斯基函数的宽度用bj表示，W*和V*为神经网络的理想权值，神经网络的逼近误差用εψ和εφ表示，且|εψ|≤εMψ，|εφ|≤εMφ[14].网络的理想输出用ψ和φ表示。

定义神经网络的输入为x=[x1,x2]T,则网络输出为

hψ(x)和hφ(x)为RBF神经网络的高斯基函数。

(2)

(3)

2.2 自适应RBF神经网络反演控制器设计

现考虑理想情况下外界干扰d(t)=0.根据式(1)，定义一个角度误差

θ1=x1-xd

则

(4)

接下来采用反演控制方法对控制器进行设计。

1) 定义第一个Lyapunov函数。

(5)

对S1进行求导，得

(6)

则式(6)可化为

2) 定义第二个Lyapunov函数。

(7)

对θ2进行求导，并将式(1)代入得

(8)

则

(9)

(10)

其中k2>0.

将式(10)代入式(9)可得

2.3 稳定性分析

根据式(10)可设计相应的理想的控制律

(11)

其中，η>0.为了克服神经网络的逼近误差，保证系统的稳定性，所以加入了鲁棒项ηsgn(θ2)[15].

根据2.2节的分析，由式(5)和式(7)可构造Lyapunov函数为

其中γ1>0,γ2>0.

对式(12)求导得

现对式(8)进行改写

(14)

结合式(2)、式(3)、式(11)和式(14)，则式(13)可化为

θ2(εφ+εψu)-η|θ2|

(15)

取自适应律

则

因为εψ和εd可以取得足够小，若η≥|εφ+εψu|，则

为了验证本文所提出的控制方法的有效性，本文采用MATLAB对所设计的非线性不确定性自适应RBF神经网络反演控制系统进行仿真研究。非线性控制系统采用式(1)，控制律和自适应律采用式(10)，式(16)和式(17)。

下面使用2个例子进行仿真实验：

a)仿真具体参数为：

其中mc=1，m=0.1，g=9.8，l=1.

取位置信号为xd(t)=sint，在10到12s时加入干扰d(t)=0.2cost，其余时间d(t)=0，系统的初始状态为[0.5 0]，网络的输入信号取x1和x2，k1=k2=10，η=0.01，γ1=0.1，γ2=0.01.

仿真部分主要分为对位置信号的跟踪和误差跟踪。具体仿真结果如图2、图3所示。

图2 位置信号和位置信号的跟踪

图3 误差跟踪

图2表示的期望轨迹和实际跟踪轨迹。从仿真结果中可以发现，在0.5 s时，实际跟踪轨迹就可以较好地跟踪期望轨迹，并且在外界干扰出现后，系统能在1 s左右恢复到原有的跟踪状态，且在后续过程中也能一直保持稳定。图3显示的是实际跟踪轨迹与期望跟踪轨迹之间的误差，可以发现在0.5 s后，系统的跟踪误差可以控制在0.015以内，且在干扰结束后的1 s左右，系统的误差能迅速地减小到0.015以内。

b)仿真具体参数为：

仿真部分主要分为对位置信号的跟踪、误差跟踪和控制器输入信号的跟踪。具体仿真结果如图4、图5所示。

图4 位置信号和位置信号的跟踪

图5 误差跟踪

图4为期望轨迹和实际跟踪轨迹。从仿真结果可以看出，系统在0.7 s后，实际跟踪轨迹能较好地跟踪期望轨迹，在持续外界干扰出现后的0.25 s左右，系统也能维持稳定状态，且对干扰有一定的抑制能力。图5表示实际跟踪轨迹和期望跟踪轨迹之间的误差，可以发现在没有干扰时，系统在0.7 s后系统的误差能减小到0.022以内，在干扰出现之后的0.25 s，系统也能对干扰进行抑制，使误差控制在0.08以内，并且在后续的过程中误差也能维持在0.08以内。

通过上面两个仿真研究可以发现，系统不管是在突然出现干扰或者持续出现干扰之后，都能迅速地对干扰进行抑制，且使得系统维持在稳定状态。除此之外，在系统的不确定项和不确定的非线性函数发生变化后，系统的输出信号仍然能对期望轨迹进行较好地跟踪，这说明了本文设计方案的可行性和有效性。

在本文中对一类二阶非线性控制系统的不确定性问题进行了研究。针对该问题，本文结合了RBF神经网络和反演控制的相关方法和理论的优点，设计了二阶非线性控制系统的控制器和自适应律，然后利用了Lyapunov的稳定性相关理论说明了在这种控制方法下，系统是稳定的。从仿真结果可以发现，本文所设计的控制方案能对具有不确定性的二阶非线性系统进行自适应控制，且在应对短暂的外界干扰和持续的外界干扰时均具有一定的自适应能力。