数学多元表征理论下的教学研究——以“复数乘法运算的三角表示及几何意义”为例

李倩

宁夏师范学院 （宁夏固原市 756000）

最早的数学的呈现方式中，就存在着数与形两方面，人们通过数与形相结合的方式认识世界，而从数学多元表征的视角下来看，“数”主要是指数学中的言语表征，也叫叙述性表征，如文字、数字、式子、数学概念等，“形”主要指数学中的视觉表征，也叫描绘性表征，如实物、模型、图像、活动、几何图形等[1]。认识一个数学对象，从多元表征视角看，需要从多角度、多方面进行把握数学对象的本质。多元表征理论指导下的教学目的，不仅仅是掌握知识，更是帮助学生学会从学习多元表征，到会用多元表征学习，从而提高学习者整体的数学素养。

基于数学多元表征，本人认为数学知识的复杂抽象性决定了数学教学需要多元表征呈现知识，多元表征理论指导下的教学有助于多角度呈现知识，帮助学生深度理解知识；
有助于动态化呈现知识，帮助学生活跃思维；
有助于丰富化呈现知识，帮助学生逻辑思维、非逻辑思维和创新能力得到综合发展。

多元表征能够让数学知识多角度地呈现在学生面前，多元智能理论指出每个人都拥有九种主要的智能，包括语言智能、逻辑数理智能、空间智能等。该理论对教学的启发是在进行表征知识的过程中，需要多角度地呈现出来，这样不同角度发现知识的过程就能发展学生的不同智能。除此，多角度地呈现知识，能帮助学生对知识有一个全面系统的认识，能够深度理解知识，同时不会割裂知识之间的连贯性和整体性。

多元表征理论指导下，需要让数学知识动态化地呈现在学生面前。动态化表征相较于静态的图片，更易于引起学生注意，学生也保持在一个活跃的情绪状态下，更乐于投入学习中。同时，动态化地表征也能帮助学生深刻认识数学对象的产生过程，从新的角度来表征知识，促进学生对数学表征对象本质的认识。因此，多元表征理论下的教学，能帮助学生减轻认知负担，对知识进行深刻全面的认识。如椭圆和抛物线的动态化呈现，通过动态化呈现给学生，帮助学生便于观察并能对椭圆和抛物线概念以及几何特征有更具体形象的认识。即到两定点距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，而到两定点距离之差等于定长的点的轨迹是双曲线。动态地表征知识，还能更易区分不同知识之间的差异，认识到不同概念间的本质区别。

多元表征也能够让数学知识丰富化地呈现在学生面前，变异学习理论指出，以事物或现象呈现的原初状态为“基值”，通过不同形式变换“基值”，使学习者逐渐认识事物或想象本质的一种理论[2]。从该理论出发，这就是多元表征的过程，通过丰富化的表征数学对象，帮助学生逐步认识数学知识本质的过程。同时，在丰富化表征下，包括视觉化和言语化表征，不同的表征下，帮助学生发展不同的能力。视觉化表征能促进学生的非逻辑思维的发展，并且能促进学生的创新思发展，而言语化表征能促进学生的逻辑思维发展，所以在丰富化表征下，能够促进学生综合全面发展。

3.1 内容分析

复数包括代数表示和三角表示两种，而复数的乘法运算在此基础上也延伸出了代数表示和三角表示两种方式，复数及复数乘法的三角表示形式为探究复数乘法运算的几何意义奠定了基础。在本案例中，分为两个主要部分，复数乘法运算的三角表示和几何意义的探究属于几何过程。

复数乘法运算的三角表示运算公式的推导过程，需要借助复数的乘法法则及两角和的正弦、余弦公式，经过代数运算，得出结论。该过程属于代数过程，也能够帮助学生更深刻理解复数的模与辐角的概念。

复数乘法几何意义的探究，基于复数的几何意义，复数一一对应复平面内一点，也一一对应与平面向量；
同时基于复数乘法运算的三角形式，即两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角之和。从模和辐角两个角度出发，探究复数乘法就是向量的伸缩或旋转变换。

3.2 表征分析

（1）符号表征：复数乘法运算的三角形式——

（2）文字表征：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和。

（3）图形表征：两个复数相乘，在其中一个复数对应向量的基础上，旋转另一个复数的辐角，模长伸长或伸缩另一个复数的模长倍。

（4）表征间的转换：由符号表征向图形表征转换——解释，的几何意义；
例题：

4.1 设计思路

复数乘法运算的三角表示是复数三角表示的知识的拓展，在复数乘法运算的三角表示的基础上探究复数乘法的几何意义，它是“数”与“形”紧密结合的产物。基于多元表征理论，教学中要始终注意从视觉化表征和言语化表征两个侧面，提出由言语化问题到视觉化问题后及时提出由视觉化问题到言语化问题，让学生在数与形之间进行知识转换，体验数形结合的数学思想，从“数”和“形”的不同侧面展示了数学的和谐之美。通过借助动态数学软件动态化、直观化、视觉化的媒介作用，能够更好地用运动的观点来看问题，即将本来静止的复数乘法运算结果用旋转和伸缩来考察，以此辅助教学。在这个过程中，能较好地提高学生直观想象的核心素养以及让学生深刻体会数形结合这一数学思想。

4.2 知识分析

知识名称：复数乘法运算的三角表示及其几何意义；
知识来源：人教A 版必修第二册第七章第三节第二课时“复数乘、除运算的三角表示及其几何意义”；
教学重点：理解复数乘法的几何意义；
教学难点：复数乘法的几何意义及利用其解决问题。

4.3 学情分析

学生处于高一年级，复数乘法的几何意义是复数中的重点内容之一，它把复数的乘法运算转化为向量的伸缩与旋转变换，丰富了复数的内涵。但是教材中仅给出了一般结论，缺少必要的解释与相应的训练，不少学生认识上不到位，不能顺利理解和接受，产生思维上的困难和障碍。

4.4 目标设计

（1）了解复数乘法运算的三角表示及几何意义，复数乘法运算的三角表示是对复数三角表示的应用于拓展，拓宽复数的内涵。

（2）能说出复数乘法运算的几何意义，会利用其解决简单的问题。

（3）在利用复数乘法运算的几何意义解决问题的过程中，感受数形结合的思想方法。从数到形的联系，帮助学生加深理解复数乘法运算的几何意义，在有形到数的练习中培养学生的逆向思维，注重表征间的转换。

4.5 策略设计

教学方法：讲授法、问题导学、演示法、探究法等方法。

设计教学流程：旧知回顾，引入课题→多元化表征，深度理解知识→表征整合，获得方法技能→完成表征，掌握知识本质。

4.6 教学过程

4.6.1 旧知回顾，引入课题

首先，复习复数的三角表示，帮助学生回顾所学知识。引导学生特别关注从三角表示的角度来看，复数乘法是否能用三角形式表示，又具备怎么的几何意义，从而引出课题。

设计意图：通过复习旧知，发现知识网络有待完善，引导学生思考新的问题，从而帮助学生初步形成系统的知识网络。

4.6.2 多元化表征，深度理解知识

探究一：复数乘法运算的三角表示

（1）提出问题

如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2）你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？

设计意图：通过提出问题，给学生一定的启发，引发学生思考，并起到提示的作用。

（2）计算证明

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，学生动手计算。

设计意图：本过程能够培养学生的数学运算素养，同时巩固所学的正弦、余弦公式，在此基础上形成复数乘法的三角表示。

（3）归纳概括

符号表征：

文字表征：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数辐角的和。

设计意图：符号表征与言语表征的呈现中，通过多媒体软件，讲到积的模的变化时，将其中的r1、r2分别加粗变色强调，讲到辐角的变化时，将角度进行加粗变色强调，加强言语与符号表征间的转换，帮助学生对复数乘法运算的各表征之间建立联系。

探究二：复数乘法运算的几何意义

（1）提出问题

首先，通过学习复数乘法运算的三角表示，提出问题“由复数乘法运算的三角形式，你能否找到积与两个因数的相互关系？（从代数出发过渡到几何）”。

设计意图：通过设问“积与两因数之间的关系”，而不是直接抛出“复数乘法具有怎样的几何意义”，从多元表征角度，提出的问题更加具象，学生的学习过程就会更轻松移动，同时这样更能激发了学习的“欲”，引发学生的思考，而不显得生硬，难懂。

（2）观察猜想

首先，针对以上提问，引导学生要解答该问题，需要借助复平面来表示两复数和两复数的积。接着，通过动态演示两复数以及两复数的积对应的平面向量。然后观察复数乘法运算的三角表示式中积与因数之间的差异——辐角和模两方面，进而思考，两复数的积是如何在其中一个复数的基础上生成的？

（2 点说明：1.不同复数的基础上，两复数积的生成过程相同；
2.当其中一个复数的辐角小于0 和模长大于0 小于1 的情况。）

最后，通过以上操作，得出相应的研究结果。

积的模（长度）：积的模等于各复数模的积。它反映在图上，是在某一模长的基础上变成另一模长倍，这样的乘法可以认为是在某一复数对应的向量的基础上伸长或缩短另一模长而成。即模的变化可以通过伸缩形成。

辐角（角度）：积的辐角等于各复数辐角的和。它反映在图中，是在某一辐角的基础上再加上另一个辐角，这样的相加可以认为是以某一复数对应的向量为始边，按逆时针方向旋转另一个复数的辐角而成。即辐角相加可以通过旋转形成。

设计意图：基于多元表征理论下的教学更加注重学生的学习过程，从而优化知识的呈现方式，通过动态数学软件的演示，向量的伸缩与旋转，能够更清晰地传递本节课的重难点，帮助学生建立思维的桥梁。这不仅能在思路上给予学生点拨，更能在探索的过程中获得新方法（渔）——数形结合。

（3）归纳概括

引导学生理解积与两个因数的相互关系就是复数乘法的几何意义，从而归纳复数乘法的几何意义。（从复数的三角形式出发得到复数乘法的几何意义）

设计意图：通过归纳概括，学生能够在不断探索中建构自己的知识网络体系，初步达到了知识目标（鱼）。

4.6.3 表征整合，获得方法技能

设置三个问题，利用复数的几何意义进行初步的应用。

例1，你能解释i2=-1 和（-1）2=1 的几何意义吗？

设计意图：通过练习，帮助学生巩固对复数乘法几何意义的认识。第一、二个问题是从数到形，第三个问题从形到数，培养学生的逆向思维能力。通过表征间的转换，帮助学生更深刻体会数学结合这一数学思想方法的奥秘，进一步理解复数乘法的几何意义，这个过程能够提炼出获得知识的思想方法（渔）。

4.6.4 完成表征，掌握知识本质

（1）复数乘法运算三种表征方式：文字表征、代数表征、三角表征、几何表征。

（2）学习了今天的课程，那复数除法又具备怎样的几何意义呢？你能否探究一下？

设计意图：同时呈现复数的乘法运算的三种表征方式，帮助学生建立多元表征，同时学会多元表征学习。最终通过新问题的提出，激发了学生的学习兴趣（欲）。

5.1 依托多媒体，提高学习效率

数形结合是很多数学知识中很重要的思想方法，这体现出同一个数学对象能从多个角度进行呈现，这其中“形”的呈现就需要借助于多媒体软件。依托多媒体软件能够让数学对象动态地、直观地呈现在学生眼前，帮助学生形成浅层的心象码，再辅助于言语表征，帮助学生理解知识，浅层心象码与深层心象码之间的转换，最终提高学习效率。比如，在归纳概括复数乘法运算的三角表示时，分别是模长和辐角的变化，分别归纳模长和辐角的言语表征时，利用多媒体软件分别强调模长、辐角的变化。发挥多媒体软件的作用，能够帮助学生集中注意力，帮助学生进行从符号表征向文字表征的过渡，提高学习效率。

5.2 设计有效的教学过程，降低学习负荷

多元表征理论指导下的教学要求多元地表征数学对象，但在实际的教学过程中，过多的表征形式下的数学对象不一定对学生的学习起到正向的作用，有时不会减少学生的认知负荷，反而会增加。这就要求教师在进行教学设计时，要充分考虑到知识的特征、以及学生的认知水平。比如，在复数乘法的三角表示教学中，学习重点在于三角形式，若此时在学习这个知识点后，紧接着呈现复数乘法运算的所有表征形式，第一，不会帮助学生更好地进行多元表征学习；
第二，对学生探究几何意义是没有帮助的，反而会造成知识间的混乱，不能更好地进行知识间的衔接。

5.3 善于变式教学，促进知识整合和知识迁移。

变式教学的目的在于多方面地呈现知识，帮助学生实现多角度地理解知识的本质。变式，以本题为基点，延伸出不同水平阶段的问题，引发学生的思考，帮助学生对知识进行整合，帮助学生学会知识迁移。不同的变式有不同的教学效果，比如，由特殊到一般的变式，能减轻知识难度，帮助学生理解知识本质；
而从一般到特殊的变式，能帮助学生应用知识，知识整合。针对不同的教学目标，可以选择不同的变式方式，这样能够有效的进行教学，实现学生的数学发展。