Nesterov快速迭代信道估计算法*

刘春华，曹海燕

（杭州电子科技大学，浙江 杭州 310018）

大规模多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系统因天线数量级的提高获得了更高的复用能效，具有可靠性高、系统容量大的特点，已经成为5G系统的关键技术。较准确的信道状态信息（Channel State Information，CSI）的获取是充分发挥大规模MIMO优势的前提条件。在毫米波通信中[1]，由于毫米波频率较高、波长短、传输过程受到物体遮挡的部分和散射部分的损耗大，视距传输（Line-Of-Sight，LOS）为主要的传播方式。数学上的表现是，信道矩阵经过奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）后呈现低秩特性，并且在角度域上是稀疏的。然而，由于信道矩阵维度的增大，传统的估计方法如最小二乘（Least Squares，LS）估计、最小均方误差（Minimum Mean Squared Error，MMSE）估计等因求逆过程的极高复杂度遇到了瓶颈[2]。为了充分利用信道矩阵的低秩特性，文献[3]和文献[4]将信道估计问题建模为低秩矩阵完整化问题，通过求解矩阵的核范数最小化问题进行信道估计，该方法可以有效提高估计性能，但计算复杂度过高。文献[5]提出了一种角度量化的信道估计模型，并通过正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）估计信道矢量，然而贪婪算法往往需要预先知道信道的稀疏度，实际通信系统中难以实现。理论分析表明[6]，将毫米波MIMO通信系统中的信道估计问题转化为稀疏线性求逆问题，并通过压缩感知原理求解，可以高效准确地估计结果，有效提高估计性能。

在信号处理领域中，利用压缩感知模型求解欠定方程，从而基于较少的观测值来重构信号的方法获得了广泛的研究。压缩感知理论通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机的采样矩阵得到离散样本，然后通过非线性重构算法完美地重建信号。文献[7]提出了交替方向（Alternating Direction Method，ADM）搜索算法，文献[8]提出了迭代阈值算法（Iterative Thresholding Algorithm，ISTA）。文献[9]提出了一种快速的迭代阈值收缩算法（Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm，FISTA），加速了算法收敛过程。文献[10]提出了L1范数正则化算法，文献[11]提出了二次规划梯度投影稀疏重建（Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR）算法。

上述稀疏求逆问题由于L1范数是无法直接求导的，因此设计的算法往往具有较高的复杂度。为了解决这个问题，Nesterov在1983年发表了一篇关于解决动量问题的论文[12]，提出了Nestrov梯度加速法。该方法先根据之前的动量进行大步跳跃，然后计算梯度进行校正，从而实现参数更新。这种预更新方法能防止大幅振荡，不会错过最优解，并在加速算法收敛的同时，保证了迭代结果始终在收敛域中。

本文利用Nesterov平滑过程将L1范数转换为易于求导的形式，即用可直接求导的平滑函数代替L1范数，并基于改进梯度下降法提出一种可以快速收敛的迭代算法。

在单小区单用户的MIMO系统中，采用如下参数化信道模型：

写成矩阵的形式，则为：

式中：NT为发送天线数；
NR为接收天线数量；
L为路径数；
αl为第l条路径的复高斯增益；
其中，AR为接收角度矩阵，AT为发送角度矩阵，Ha为复高斯增益的对角矩阵；
aR为接收阵列矢量；
aT为发送阵列矢量；
分别为第l条路径的到达角（Angle of Arrival，AoA）和离开角（Angle of Departure，AoD）。假设采用的是均匀线性阵列（Uniform Linear Array，ULA），即：

式中：X=I为发送导频其中，I为单位矩阵；
N为高斯白噪声，其均值为0，方差为σ2。

为了得到满足稀疏特性的信道矩阵，需要对H进行量化处理，通过构建虚拟的到达角矩阵发射角矩阵，得到量化的信道矩阵为：

式中：h为矢量化信道矩阵；
e为矢量化误差矩阵；
n为矢量化噪声矩阵。

向量化的接收信号可以表示为：

式中：A为感知矩阵。

量化后的角度矩阵为：

2.1 Nesterov方法

对于任意的平滑凸函数f在凸集S上的最小化过程：

式中：S为原始可行集。f是连续可微的，梯度 ∇f满足Lipschitz条件[13]，即：

Nesterov迭代过程见算法1。

压缩感知问题可以通过优化问题求解，考虑如式（11）中的二次约束l1范数最小化问题，即在误差小于阈值的情况下最小化信道矢量的l1范数。

然而，l1范数是非平滑函数，即在某点不连续。为了克服这个问题，Nesterov提出了Nesterov平滑操作[14]，该方法通过平滑近似取代原始的非平滑函数，将l1范数改写成如下函数：

式中：Sd={u:||u||∞}≤1；
u为优化变量。该函数的Nesterov平滑形式可以写成如下函数：

fμ是统计学中常用到的Huber损失函数[15]，其梯度满足Lipschitz条件，因此fμ符合Nesterov迭代过程的条件。这样就完成了从压缩感知优化问题到Nesterov迭代过程的转化。

算法1中的步骤2和步骤3可通过拉格朗日乘子法得到具体计算公式，每次迭代的常数αk，τk及μk将在仿真参数列表中给出。

2.2 压缩感知优化问题的转化

在原始算法中，为了计算yk，需要求解如下优化问题：

式中：xk为上一次迭代的结果。这个问题的拉格朗日形式是：

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求解法问题的KKT条件是：

从稳定性出发，yk是如下线性系统的解：

显然，式（18）中由于没有矩阵求逆运算，计算yk的计算量降低。同样可以得到zk的更新过程为：

本文信道矢量重构的误差采用归一化均方误差（Normalized Mean Square Error，NMSE）作为算法误差的判断方式，其表达式如下：

表1 实验参数设置

发送端和接收端均采用统一线性阵列（Uniform Linear Array，ULAs），虚拟发射角和虚拟到达角的量化值为G，即对发射角（或到达角）θ=(0,π]的余弦值等间隔量化，间隔为1/G。复高斯增益αl～N(0,1)，发射天线和接收天线数Nt=Nr=32，稀疏度L=5。仿真算法均在参数不变和概率分布一致的情况下取100次平均得出结果。

当稀疏度固定为L=5时，分别采用FISTA算法、ADM算法、NESTA算法和贪婪OMP算法进行对比，得到的仿真结果如图1所示。可以看到OMP算法在低信噪比（-10～5 dB）时，其NMSE估计性能与NESTA算法基本相同，并且优于另外两种迭代算法大约10 dB。此后OMP算法的NMSE估计性能基本保持不变，维持在-10 dB左右。3种迭代算法则一直保持直线趋势下降，在高信噪比（大于5 dB的情况下）ADM和FISTA算法性能优于OMP算法。NESTA算法性能则始终优于另外两种迭代算法3～10 dB，在低信噪比的情况下NESTA算法有着与OMP算法基本相同的性能。仿真结果表明，NESTA算法不仅在低信噪比条件下有着同贪婪算法相同的性能，而且在高信噪比条件下也能持续降低NMSE，相比于同类的迭代算法有着很大的性能提升。

图1 不同信噪比下NESTA算法与其他算法的比较

当稀疏度固定为L=5，信噪比固定为10 dB时，如图2，对比不同的迭代算法达到预期NMSE性能所需要的迭代次数可以看到，FISTA算法随着性能的提升，所需要的迭代次数大幅度增加，这是因为该算法为避免过剩的迭代需要预先设置最大迭代次数。ADM算法采用牛顿迭代法，每次迭代重新计算更新方向和迭代步长，因此可以大幅度削减迭代次数。NESTA算法采用了分步骤更新修正的方法，同时前文分析表明，算法收敛的速度只与权重因子μ有关，通过降低μ值可以加速算法收敛。

图2 不同信噪比下NESTA算法与其他算法迭代次数的对比

图3给出了在相同的信噪比条件下，当稀疏度L变化时，不同算法的ENMSE。可以看出，在相同的稀疏度情况下，NESTA算法有着更好的性能。

图3 不同稀疏度条件下算法性能比较

表2为稀疏度L=5的情况下，不同的信噪比条件下算法运行时间的比较。可以看到，ADM算法随着信噪比的增加，运行时间不断增大，这是因为ADM算法每次迭代更新方向时都要重新计算一次矩阵求逆过程，这种求逆在矩阵维度较大时复杂度很高。越是精确的结果，矩阵求逆过程计算时间越长。

表2 4种算法在不同信噪比下的运算时间比较

本文研究了大规模MIMO系统，运用无线信道的低秩特性，提出了一种快速迭代的Nesterov平滑加速迭代算法。对比实验表明，所提算法相较于正交匹配算法有很大的性能提升。此外，本文采用了合适的策略加快了算法收敛速度。下一步将研究投影梯度算法，进一步优化算法性能以及迭代算法在神经网络中的应用。