基于改进的灰色马尔科夫模型的集装箱吞吐量预测

曾 勇，沈最意

（1.浙江海洋大学船舶与海运学院，浙江舟山 316022；
2.浙江海洋大学经济与管理学院，浙江舟山 316022）

集装箱吞吐量是指某一港口在一段时间内船舶装卸的集装箱数量的总和，单位为TEU。港口集装箱吞吐量的大小受诸多因素影响，例如港口地理区位条件、港口自身条件、社会经济发展水平、科学技术水平、对外贸易水平等因素。选择合理的方法对其发展趋势进行预测，可以为政府及相关的企业、部门等交通运输发展规划、产业布局和基本建设等提供依据。

纵观综合交通发展研究，在与交通相关的交通量预测方面已有丰富的研究成果。传统的货运量预测通常采用定性与定量相结合或主客观相结合的方法[1]。对集装箱吞吐量的预测，通常使用时间序列法、回归分析法、BP 神经网络法、指数平滑法和灰色系统模型法。周盛世等[2]融合了灰色理论与马尔科夫链对青岛市物流需求量进行预测，并证明了马尔科夫方法预测序列能够优化灰色预测结果从而提高预测的精度。魏辉[3]利用神经网络模型对大连港港口物流需求进行了预测，利用Matlab 软件编程，得出预测结果，经检验，显示误差较小。汤天辰等[4]利用灰色马尔科夫模型对上海港集装箱吞吐量进行预测，证明了融合模型的预测精度更高。这些模型已经运用于不同领域，例如客流量预测、货运量预测、消费预测等，均有较好的预测结果。

每种预测方法都有其优点与缺点，与其他模型相比，灰色模型建模数据需求少、样本无需规律性分布、计算量较小、短期预测精度较高。而马尔科夫链的无后效性对中长期预测和波动性较强的序列预测效果较好，用其解决自然科学和实际问题可以得到满意结果[5]。但集装箱吞吐量受未知因素影响，存在一定的波动性，用单一的预测方法通常准确度较低，本文结合了2 种预测模型，并融入等维新息的思想，能充分发挥模型的优点，削弱缺点，提高预测精度。本文首先利用灰色GM（1，1）模型对宁波舟山港2006—2021 年集装箱吞吐量进行建模获取预测值，利用等维新息思想对吞吐量进行动态优化，再引入马尔科夫链对灰色预测值及等维新息灰色预测值进行修正，分别进行精度检验，最后进行新的预测。

1.1 传统灰色GM（1,1）模型

灰色模型GM（1,1）的基本原理是通过对原始数据的累加淡化数据序列随机性，针对样本量少、信息缺乏的不确定系统进行研究，建模数据最少4 个即可，目的是建立动态微分方程，寻找数据序列的内在规律[6]，其过程如下：

（1）建立原始序列：

（2）对原始序列累加一次得到新序列：

（3）由原始序列构造矩阵B 与向量Yn：

（4）建立灰色GM（1,1）模型的微分方程：

（5）求解灰色GM（1,1）方程（4）得到：

（6）累减运算，得还原序列值：

1.2 马尔科夫模型

灰色预测模型在应用时容易受到外界干扰而产生偏差，从而导致预测精度较低。马尔科夫链是一种基于系统状态和状态转换概念的方法，通过动态规划来处理问题。在灰色模型的基础上引入马尔科夫链，可以减少长期预测数据产生的预测误差[7-9]。马尔科夫模型优化步骤如下：

（1）划分状态区间：根据样本划分出n 个状态区间：Ei=[e1i,e2i]（i=1,2,…,n）。其中e1i表示最小比值，e2i表示最大比值。

（3）状态转移概率向量：设A（0）为初始状态的转移概率初始向量，则状态向量A（k）为：

（4）预测值修正：预测下一步的状态可取状态区间中间值作为修正值来计算组合模型预测值，公式如下：

式中：若预测值高于实际值时，公式（10）中的符号取+，反之取-。

1.3 等维新息灰色GM（1,1）模型

对于传统灰色模型而言，模型仅适用于变化趋势明显且波动较小的数据序列，一旦数据波动较大，离时间原点越远，传统灰色模型的预测精度会明显降低。等维新息灰色GM（1,1）模型是在传统灰色模型的基础上，引入动态建模思想，及时加入新的已知信息或灰色信息，将较长的原始数据序列分解为长度大于4 的新数据序列，依次建模预测，把经过新的序列进行预测得到1 个预测值X（0）（n+1）加入预测数据序列最后摘除原始数据序列的第1 个数值X（0）（1）保持数据序列数据个数不变用构成的新数据序列进行预测得出下一个预测值。如此不断更新数据剔除旧数据直到得到需要的所有预测值为止[10-12]。等维新息灰色预测模型流程如图1 所示。

图1 预测流程Fig.1 Forecasting process

1.4 模型精度检验

灰色系统模型GM（1,1）是否优良，需对模型进行检验。通过计算出的E、K、P 值查模型精度检验表可知模型是否可用[13]。

（1）平均相对误差检验：

（2）计算后验差检验比值：

（3）计算小概率误差：

模型精度等级[14]划分见表1。

表1 模型精度等级划分表Tab.1 Model precision grade classification table

2.1 数据来源

宁波舟山港地处我国大陆海岸线中部，由宁波港和舟山港合并组成，分镇海、北仑等19 个港区，是全球首个吞吐量破10×108t 的港口，是我国的主枢纽港之一。2021 年12 月16 日，宁波舟山港成为继上海港、新加坡港之后，全球第3 个3 000×104TEU 级集装箱大港。本文选取宁波舟山港2006—2021 年数据为样本数据，具体数据见表2。

表2 2006—2021 年各年宁波舟山港集装箱吞吐量Tab.2 Container throughput of Ningbo Zhoushan port during 2006-2021

2.2 灰色GM（1,1）预测

根据灰色系统理论，可进行如下操作：

第一步，建立序列X（0）=（741,943,…，2 873，3 108）。

第二步，进行累加得到累加序列X（1）=（741,1 684,…,26 798,29 906）。

第三步，对X（0）进行准光滑性检验，由检验公式p（k）=X（0）（k）/X（1）（k-1）得p（2）≈0.56,p（3）≈0.39,p（4）≈0.27,p（5）≈0.26…当k＞3 时p 均小于0.5，知原始序列满足光滑性检验[15]；
对X（1）进行准指数规律检验，由检验公式σ（1）（k）=X（1）（k）/X（1）（k-1）得σ（1）（2）≈2.27,σ（1）（3）≈1.65,σ（1）（4）≈1.38,σ（1）（5）≈1.34,…当k＞3 时σ（1）（k）∈[1,1.5]，p 均小于0.5，知累加序列满足准指数规律检验，可进行GM（1,1）建模。

第四步，将X（0）、X（1）代入公式（3）-（5），可计算得灰色GM（1,1）模型的参数值a=-0.080 404 777 同时得出u=948.930 571 6。由（6）式可得出宁波舟山港集装箱吞吐量的灰色GM（1,1）预测模型为e-ak+u/a=12 542.917 8e0.0804k-11 801.917 8。

根据上式可以得出2006—2021 年的集装箱吞吐量的预测值见表3。

2.3 等维新息灰色模型预测

为进一步提高预测精度，现引入等维新息思想方法进行优化。优化过程如下：首先，以2006—2011 年为原始数据，设置数据长度为6，从而建立灰色模型得到响应公式：X（1）（k+1）=8 711.193 259 e0.102210612t-7 970.193 259，对公式进行累减运算可计算出2007—2011 年的灰色模型预测值，再将X"（1）中的第一个值741 去除，计算出2011 年的预测值，将2011 年的值加入新的数列X″（1）。如此重复操作，就能得到GM（1,1）的等维新息灰色模型预测值，结果见表3。

表3 宁波舟山港2006—2021 年集装箱吞吐量预测表Tab.3 Container Throughput forecast table of Ningbo Zhoushan port 2006-2021

由表3 及公式（10）—（13）可计算得灰色GM（1,1）模型预测值的平均相对误差E=0.041 7，S1=723.712 6，S2=84.894 021 26，后验差K=0.117 3，小概率误差P=1，查精度检验表可知预测模型精度等级为Ⅱ级（良好），等维新息灰色GM（1,1）模型预测值的平均相对误差E=0.0198，S2=39.751 7，后验差K=0.054 9，小概率误差P=1，查精度检验表可知预测模型精度等级为Ⅱ级（良好），可继续用马尔科夫模型进一步优化。

2.4 马尔科夫模型预测

分别对传统灰色模型及等维新息灰色模型进行马尔科夫优化，以减少长期预测数据产生的预测误差，优化过程如下：

2.4.1 灰色马尔科夫模型预测

（1）状态划分：由灰色模型相对误差区间[-0.174 6,0.521]将2006—2021 年的相对误差分别划分E1[-0.174 6,-0.129 3）E2[-0.129 3,-0.083 9）E3[-0.083 9,-0.038 6）E4[-0.038 6,0.006 8）E5[0.006 8,0.052 1]5 个状态，划分结果如表4 所示。

表4 灰色马尔科夫模型相对误差状态划分表Tab.4 Classification table of relative error states of Grey-Markov model

（2）建立状态转移概率矩阵：由公式（8）可以得出状态转移概率矩阵

（3）预测值修正：通过公式（10）对2006—2021 年灰色预测值进行修正。例如2007 年预测值为1 050.163 9，马尔科夫状态处于E4，经过马尔科夫链修正后的预测值为y=1 050.163 9/（1+0.5×|-0.038 6+0.006 8|）=1 020.141 1。同理可计算出2008—2021 年预测值如表5 所示。

表5 宁波舟山港2006—2021 年集装箱吞吐量灰色马尔科夫模型预测表Tab.5 Grey-Markov model forecast table for container throughput of Ningbo Zhoushan port from 2006 to 2021

2.4.2 等维新息灰色马尔科夫模型预测

按照同样方法对等维新息灰色模型进行修正如下：

（1）状态划分：由相对误差区间[-0.095 3,0.050 0]将2006—2021 年的相对误差分别划分E1[-0.095 3,-0.063 3）E2[-0.063 3,-0.037 2）E3[-0.037 2,-0.008 1）E4[-0.008 1,0.020 9）E5[0.020 9,0.050 0] 5 个状态，划分结果见表6。

表6 等维新息灰色马尔科夫模型相对误差状态划分表Tab.6 Classification table of relative error states of equal dimension and new information Grey-Markov model

（2）建立状态转移概率矩阵：由公式（8）可以得出状态转移概率矩阵

（3）预测值修正：通过公式（10）对2006—2021 年等维新息灰色模型预测值进行修正。例如2007 年预测值为937.470 1，马尔科夫状态处于E4，经过马尔科夫链修正后的预测值为y=937.470 1/（1-0.5×|-0.008 1+0.029 0|）=971.935 1。同理可计算出2006—2021 年预测值见表7，对比图如图2 所示。

图2 实际值、灰色预测值、灰色马尔科夫预测值与等维新息灰色马尔科夫预测值对比Fig.2 Comparison of actual value,gray predicted value and equal dimension new information gray predicted value with equal dimension new information Grey-Markov predicted value

2.4.3 预测模型效果分析及精度检验

通过表7 可计算知加入等维新息思想的灰色GM（1,1）模型经过马尔科夫链的修正平均相对误差E 由传统灰色马尔科夫模型的0.028 9 下降到0.016 8；
后验差比值K 从0.094 6 下降到0.053 4，小概率误差均为1。查精度检验表表1 可知此模型的精度为Ⅱ级（良好），证明了加入等维新息思想灰色马尔科夫模型的预测精度更高，预测结果更加准确。从图3 也可以看出灰色模型与灰色马尔科夫模型预测结果趋势线与实际值偏差较大而加入等维新息思想后的灰色马尔科夫模型预测值偏差明显更小。通过对后验差比值K 的计算（0.094 6-0.053 4）/0.094 6=0.435 5，即模型精度提升了43.6%。

图3 实际值、灰色预测值、等维新息灰色预测值与等维新息灰色马尔科夫预测值相对误差比较Fig.3 Comparison of relative errors between actual value,gray-predicted value,equal dimension new information gray predicted value and equal dimension new information Grey-Markov predicted value

2.5 宁波舟山港2022—2024 年集装箱吞吐量预测

根据2.3 中求出的等维新息灰色GM（1,1）预测公式可计算得出2022—2024 年宁波舟山港集装箱吞吐量预测值，由表4 可知2021 年马尔科夫状态为E3，得初始状态转移向量A（0）=（0，0，0，0，1），由公式（9）可计算2022 年状态转移概率向量A（1）=A（0）*P=（0.5，0，0，0.5，0），同理可计算出2023 及2024 年：A（2）=（0，0，0.214 3，0.214 3，0.571 4），A（3）=（0.285 7，0，0.177 6，0.506 1，0.030 6），取状态转移概率向量A（1）中概率的最大值作为未来状态，可知2022 年吞吐量均处于E1或E4的状态概率相等，取E1及E4的中值，同理2023 年取状态E5，2024 年取状态E4。考虑到2020 年爆发的新冠疫情，全球海洋运输受到冲击，各航运企业和相关领域受到影响，国际贸易减少使得集装箱运输量减少。目前海运业逐渐恢复，但影响还在持续，为体现疫情对宁波舟山港集装箱吞吐量的影响，在组合模型预测时，将马尔科夫模型中状态采用高估状态[16]。以2022 年为例，将灰色模型预测值带入公式（10）可得2022 年经过马尔科夫优化后的吞吐量y=3 256.823 0/（1+0.5×0.058 1）=3 164.834 8。同理可计算出2023 及2024 年马尔科夫优化后预测值，见表8。

表8 2022—2024 年宁波舟山港集装箱吞吐量马尔科夫优化后预测值Tab.8 Container throughput of Ningbo Zhoushan port after Markov optimization predicted value in 2022-2024

本文以宁波舟山港2006—2021 年集装箱吞吐量基础数据构建灰色GM（1,1）模型，对样本数据进行预测，由于数据具有随机性、非线性及复杂性等特点，于是引入等维新息的思想对传统灰色模型进行修正。经精度检验，模型精度为Ⅱ级（良好），相较于传统灰色马尔科夫模型，加入等维新息思想的组合模型精度提升了43.6%，表明了组合预测模型即等维新息灰色马尔科夫模型对宁波舟山港集装箱吞吐量的预测较为准确，此方法削弱了传统灰色模型预测的缺点提高了预测精度。因此，改进后的灰色马尔科夫模型可以用来对宁波舟山港集装箱吞吐量进行预测计算。2022—2024 年预测结果显示近3 年宁波舟山港集装箱吞吐量呈逐步上升趋势。同时，也可以考虑使用该模型应用到其他类型的数值预测。