再话精准教学——,核心素养下数学建模教学的几点体会

罗华伟，罗国建，王少波

（广东省大埔县虎山中学，广东梅州 514299）

2017年颁布的《普通高中数学课程标准》中提出了数学学科核心素养，明确指出中学生要具备理性思考和解决问题的能力，且首次将“数学建模”作为中学生必备的数学学科核心素养写入该标准中。教学建模成为高中数学教学的五个主题之一，其重要性和在数学教学中的重要地位不言而喻。数学建模也将成为教学的一个重点和难点。

所谓数学建模，是指当我们面对复杂的实际问题时，可以进行数学抽象、化简，用数学的语言描述问题，用数学的方法构建模型来解决实际问题。数学建模的主要过程包括：将实际问题抽象、化简，聚焦数学本质，利用相关数学知识和技术手段建立数学模型，最后检验和修正模型。从以上概述中可以看出，数学建模就是一个解决数学相关实际问题的过程，是数学通向实际应用的桥梁。在数学建模的过程中，学生感受到了数学在工程技术、科学与社会实际中的广泛应用，拓展了思维，积累了实践经验，提高了实践能力，增强了科学精神与创新意识。这就有力促进了新时代对优秀人才的培养[1]。

开展数学建模教学不仅是新课标的要求，也是高中数学课程改革的现实需要。以往的数学课程注重对数学知识的掌握和理解，而数学建模却是以数学问题的解决为核心，往往没有可以直接利用的现成方案，需要学生综合所学数学知识、构建合适的数学模型、利用适当的数学工具才能求解。所以在以往传统教学的过程中，遇到此类建模问题不仅仅是学生畏惧，有些时候老师也没头绪。可见，数学建模是真正对学生数学能力的培养与考查。

数学建模是一种数学综合能力，它要求学生要有坚实的数学基础和严格的数学思维，对社会、生活和大自然具有广泛的兴趣和深邃的洞察力。因此，如何培养学生的数学思维、如何提高学生解决问题的能力、如何提高学生对生活和自然界的认知能力、让数学建模素养在课堂教学中真正落地，我们认为应从以下几个方面着手：

（一）“建模”能培养学生的阅读与表达能力

顾名思义，数学建模的重中之重在于“建”，这需要对实际问题中的复杂关系进行数学抽象化简、聚焦本质，因而学生需要具备较强的阅读理解能力与数学语言表达能力。在实际教学过程中，我们发现学生建模失败的一个重要原因是无法进行问题表征，即阅读理解与数学语言表达能力差，无法挖掘问题描述中各个变量的关系、抓不住要点。只有当学生充分理解题目条件和信息时，才能开展有效的数学建模，提高建模效率。因此，提高学生的阅读与表达能力是培养数学建模素养的关键一步。

在教学中，我们经常遇到具有数学建模背景的应用题、材料题。这一类问题的特点要么是文字材料特别多、变量间的关系较为复杂，要么是关系隐藏很深、表面上看不出明显的变量关系，需要我们进一步挖掘。遇到这一类问题时，由于现有考试评价机制等问题，一方面，学生往往存在畏惧心理，怀有考试中出现的可能性不大等侥幸心理而跳过不解答；
另一方面，教师也可能因为课堂时间所限或者重视程度不够而忽略对学生的启发引导，更多的情况是教师简单分析一下就直接告知变量关系和结果，使学生的阅读与表达能力没有得到培养。在课堂教学过程中，教师更应注重传授学生科学的阅读方法和技巧，在课堂上敢于分配时间，敢于让学生大胆推理、大胆表达，锻炼学生独立自主的阅读习惯，提高其认知意识，鼓励学生多尝试使用数学符号、图表、图形等方式表达隐藏在文字中的相关变量信息，筛选出关键内容，加强对学生“建模”能力的培养[2]。

例1：某厂生产经营洗发液，其中200ml装的洗发液出厂价为每瓶23.1元，400ml装的洗发液出厂价为35.9元。现该厂生产一种900ml家庭装大容量洗发液，请你确定洗发液出厂的价格。

解：出厂价格（y）可以简化为洗发液成本（y1）加外包装成本（y2），有y=y1+y2；

洗发液成本（y1）与洗发液的体积ω成正比，有y1=k1ω；

外包装成本（y2）与外包装表面积Sω成正比，有y2=k2Sω；

洗发液的体积（ω）和外包装的表面积（Sω）之间可以看成具有函数关系，而体积公式和面积公式中因分别含有立方式与平方式，所以设定；

最后得到模型[3]：

y=k1ω+，代入题中数据即可求得洗发液的出厂价格。

本题是数学建模中的一个典型案例—— 轮廓模型，从题干信息上来看似乎没有明确说明存在什么变量以及变量间有什么关系，对学生挖掘信息、表征问题的能力要求较高。教师在教学中可以一步步引导学生，如洗发液价格受到哪些因素的影响，还有洗发液的体积和外包装的表面积存在哪种关系，鼓励学生大胆尝试，多假设、多论证。挖掘洗发液出厂价格与洗发液体积的关系以及洗发液外包装成本与表面积的关系是本题的一个重难点，它需要学生根据生活常识抽取数学关系，并将数学关系符号化。所以，本题对于提升学生的阅读与表达能力来说是一个较好的锻炼素材，对发散学生思维、培养学生的阅读理解能力和“建模”能力也很有帮助。

从上例中，我们应该认识到数学建模并不是单纯地求解应用题，因为应用题中的条件、关系如果明确给出，就跳过了发现问题、提出问题和分析问题这些步骤，跳过了“建模”这一核心过程。数学模型的建立需要学生对问题有充分理解，从而对问题进行认知表征。认知表征是利用图表、文字、符号等方式来描述建模的过程。在这个过程中，学生需要具备较好的形象思维和抽象思维能力。学生在模型建立的过程中，应根据问题信息较准确地进行模型联想、模型假设，最后完成模型的构建。当然，这也需要学生熟练掌握一些常见的数学模型。学生的这些能力不是一开始就具备的，教师在平常有关数学建模的教学中，应摆脱考试因素的影响，不能因为考试不考或者难度较大等原因就错过培养学生“建模”能力的机会[4]。

（二）“解模”能加强学生的数学软件应用能力

数学建模的第二个重难点环节是模型的求解，这要求学生要具备扎实的数学基础知识，能够掌握一些高中阶段常用的数学软件以及具备简单的软件编程能力。2017年版新课标中也特别提出，教师应注重信息技术和数学课程的深度融合，从而实现传统手段难以达到的教学效果。

在数学建模问题的求解过程中，很多计算问题成为了学生在前进路上的拦路虎。无法求解模型得到正确答案是数学建模失败的一个重要原因。在一些数学建模问题中，如数据采集与统计、图像拟合、优化问题、求高次方程根等问题，笔算过程繁琐且不易得到答案，这个时候数学软件就是解决这些问题的利器，是我们数学建模的好帮手。高中阶段常用的数学软件有Excel，几何画板、GeoGebra和Matlab等。接下来，笔者以GeoGebra为例展示数学软件在“解模”中的应用。

例2：某地区不同未成年男性的身高与体重平均值如表1所示：

表1 某地区不同未成年男性的身高与体重平均值

根据上表提供的数据，能否建立合适的数学模型，使它能比较近似地表示这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系?试求出这个函数模型的解析式，并预测这个地区一名身高为175cm的未成年男性的体重。

解：这是一个非常典型的数据图像拟合问题，通过数据判断身高和体重存在的函数关系，建立身高与体重的数学函数模型，可以选择在数学软件GeoGebra中解决这个问题。我们首先把身高与体重的数据输入GeoGebra的表格区，在绘图区得到身高与体重的散点图像，如图1：

图1 身高与体重的散点图像

从散点图的增长趋势可以判断体重与身高的数学函数模型可能是二次函数模型、指数函数模型、幂函数模型等，在GeoGebra中的数据分析区域可以直接选择双变量函数回归模型，得到指数函数模型y=2.004e0.002x与幂函数模型y=0.001x2.103，预测值分别是 63.08、51.84，如图2、如图3：

图2 指数函数模型y=2.004e0.002x

图3 幂函数模型y=0.001x2.103

也可以选择多项式模型，设置多项式最高指数为2，即可得到二次函数模型y=0.004x2-0.431x+19.697，预测值是58.83。

如图4：

图4 二次函数模型y=0.004x2-0.431x+19.697

直观地从图像上来看，三种函数拟合效果都较理想。在图像下方的符号计算框内输入175，即可分别得到这个地区一名身高为175cm的未成年男性的体重预测值，计算方便快捷。在得到数学函数模型的同时，GeoGebra也同时给出了数据的平均值、方差、相关系数和残差平方和等数据特征值，大大降低了运算量。

例2是一个简单的函数拟合问题，思维难度不大，对于软件的操作也较为简单，是数学软件在建模过程中的简单应用。例2也可以利用最小二乘法进行笔算，但是非线性回归还需要通过换元、取对数等方式，其过程计算量偏大且耗时较长。通过例2可以看到，我们利用数学软件可以降低工作量、简化解模过程、缩短解模时间，最终提高建模的效率。值得一提的是，教学实践中存在的现实问题是较多教师对数学软件不熟悉、不熟练造成的，所以不仅学生需要提高数学软件的应用能力，教师也应顺应教学改革的要求，提高自身的信息化水平，这也是2017年版新课标中明确提出的要求。

（三）“检模”能提高学生的生活认知能力

模型的检验与优化是数学建模的第三个重要环节，也是数学建模的收尾工作，影响着数学模型的优劣。数学模型的检验、修正与优化，除了要求学生具备较强的数学综合能力外，往往也需要学生联系生活实际、结合客观事实，因为数学建模的最后一步还是需要回归到实际问题的解决上来，这就要求学生具备较高的生活认知能力。然而，真实的教学现状却是学生对生活常识极其缺乏，对书本以外的知识所知甚少，可谓“吃过猪肉但是没见过猪跑”。因此，在日常教学过程中，教师应注意激发学生的兴趣，多引导学生认真观察生活，鼓励学生将学到的数学知识与实际生活相联系，这样对数学建模的“检模”环节有很大帮助。

例3：某农业研究团队研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，获得玉米在不同阶段的植株数据，如表2所示：

表2 玉米在不同阶段的植株高度

根据上表数据，请建立适合玉米生长阶段和植株高度的数学模型。

解：利用Excel拟合数据可以看出，前8个数据点符合指数增长模型，如图5，得y=0.415e0.705x，但是发现从第9个数据点开始，散点图形不再符合指数增长的趋势。结合生活认知可得，玉米植株高度在生长到一定高度后，不可能继续指数增长（参天大树一样高的玉米不符合常识）。所以，我们在第二阶段必须修正优化模型，可以选多项式模型拟合，如图6，得y=2.368x3-78.75x2+875.8x-3076。

图5 y=0.415e0.705x

图6 y=2.368x3-78.75x2+875.8x-3076

虽然本题的背景是玉米的植株高度问题，但是本质上仍然符合人口阻滞增长模型（logistic模型），也可以更简单地构造为分段函数模型。

在上述例2中，我们也需要通过生活认知对模型进行检验优化。从图1来看，虽然指数函数模型对于各散点的拟合效果较理想，相关系数和残差检验都较低，但是基于生活经验，选择幂函数模型或者二次函数模型可能会更加符合身高与体重的实际，更符合人们对常识的认知。又例如，在2017新版高中数学必修一的“茶水温度与时间模型”中，考虑到茶水温度不会降低到室温以下这一生活常识，我们结合传感数据的散点图可选择函数y=kax+25（其中25为室温）为数学模型。如果在建模过程中忽略这一生活常识，就会导致得到的茶水温度与时间的模型中，随着时间的推移，茶水温度会降至零摄氏度的荒谬答案，这也体现了提高学生的生活认知能力对于模型的检验具有重要的影响作用。因此，数学建模绝不是一个单纯的数学问题，而是要回到“数学建模用数学手段、建立模型解决生活实际背景的有关问题”这一本质。

总之，高中生数学建模的教学应从建模、解模、检模这三个重要环节入手。这三个环节是学生数学建模过程中的拦路虎。教师在教学过程中应给予重视并要逐个击破。教师要从培养学生的阅读与表达能力、加强学生的数学软件应用能力和提高学生的生活认知能力出发，有效破解数学建模教学中存在的问题，突破重点难点。通过数学建模能力的培养与锤炼，学生不仅学会了数学建模的方法，发现问题和解决问题的能力也得到了提高。同时，这也加强了学生对高中数学知识的理解和应用，有助于提高学生的数学核心素养，从而实现推动数学建模教学的目的，让数学核心素养真正在课堂中落地生根。