利用逆矩阵求某几类函数的不定积分

赵显贵, 杨丹瑶

（惠州学院 数学与统计学院, 广东 惠州 516007）

求不定积分是数学分析中的主要问题之一。不定积分的求法有多种, 文献[3]提出了利用逆矩阵求某些函数的不定积分的方法, 但并没有给出明确证明。文献[4]和文献[5]分别给出了证明, 不过在证明过程中对于原函数中的任意常数的讨论不够充分。本文给出更加完整的证明过程, 并运用此方法, 计算几类函数的不定积分以及求解常系数非齐次线性微分方程的特解。

设V 为实数域R 上全体可微函数构成的集合, 则按通常的函数加法和实数与函数的乘法, V 构成R 上的向量空间. 令d 是V 上的求导运算. 则d 是V 上的线性变换。用dS表示d 在V 的子空间S 上的限制。L( a1,a2,… ,an)表示由集合 {a1,a2,… ,an}张成的实向量空间。

定理1 设S 是V 的一个有限维子空间 (令 dim S =n), 且在求导运算dS下封闭,是S 的一组基, A = (aij)n×n是在这组基下的矩阵。若A可逆, 令=（ bij）n×n, 则

(i) ∫fi(x) dx=b1if1(x)+b2if2(x)+…+bnifn(x)+C，i=1,2,...,n , 其中C 为任意常数;

(ii) 对任意 f(x)=k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)∈S, 有

为证明定理1, 先给出以下几个引理. 以下3 个引理中, 设S 是V 的一个有限维子空间(令dim S =n ), 且在求导运算d 下封闭, f1( x),f2(x),...,fn(x)是S 的一组基, A = (aij)n×n是d 在这组基下的矩阵。

引理1 d 是S 的可逆线性变换当且仅当 SS =)(d 。

证 因为S 是有限维的, 且S 在求导运算d 下封闭, 所以S 的线性变换d 可逆当且仅当d 是满射(见[1], 第265 页第3 题), 即当且仅当 SS =)(d 。

证（反证法）不妨设 1=a , 且 S∈1 . 由于S 是V 的一个子空间, 则S 对于V 上的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的, 即对任意 k∈R, 有 Skk=1 , 故RS 。从而有 0)2(d)1(d == ,即d 不是S 的单变换,从而d 不可逆,这与引理1 矛盾。故对任意非零实数a,有 Sa ∉ ,从而R ｛0｝= 。

□

引理3 设 d( S )=S, 则对任意 f ( x)∈S, 有特别地,C 为任意常数。

证 对任意 f ( x)∈S, 由于 d ( S )=S, 则 d-1(f (x))∈S, 又 d ( d-1(f (x)))= f(x), 即 d-1(f(x))是f (x)的一个原函数。设 F , G∈S都是 f (x)的原函数, 则有 F - G∈S, 而 F - G为常数, 则由引理2,F -G=0, 即 F = G, 从而函数 f (x)在S 中有且只有一个原函数 d-1(f(x)), 即

故对任意f (x)∈S，f（x）的全部原函数为

其中C 为任意常数。

下面证明定理1。

证（定理1） (i) 由已知, S=L( f1(x),f2(x),...,))在求导变换d 下是封闭的。又d 在f1( x),f2(x),...,fn(x)下的矩阵为可逆矩阵A, 则d 是可逆线性变换, 且有

这表明 A-1的第i 列就是是d-1（ fi(x))在基 f1( x),f2(x),...,fn(x)下的坐标, 从而由 A-1=（ bij）n×n, 有

再由引理3 可得

其中C 为任意常数。

(ii)对任意f (x)∈S ,存在常数 nkkk ,,,21… , 使得

由定理1 可以发现, 一旦要求出1-A , 则可求出S 的一组基中每个函数的不定积分。这是利用逆矩阵求不定积分的一个重要优点。同时, 任意f (x)∈S 的不定积分计算,都归结为对S 的一组基的不定积分的计算。

由以上主要结论,可以归纳出利用逆矩阵求不定积分的具体步骤。设f (x)满足定理1 的条件。

（1） 通过对 f (x)连续求导, 可得一组基函数 f1( x),f2(x),...,fn(x), 使得

（2） 求d 在基 f1( x),f2(x),...,fn(x)下的矩阵 A = (aij)n×n；

（3） 求出A 的逆矩阵 A-1=（ bij）n×n, 则 d-1在基 f1( x),f2(x),...,fn(x)下的矩阵为 A-1；

（4） 根据 A-1的第i 列元素有

下面运用本文方法, 对四类函数进行实例计算, 验证此方法的有效性。

2.1 幂函数与指数函数乘积的不定积分

由函数组 ax, xax,…, xnax的可导封闭性, 可选取不定积分其中 a ＞ 0且 a ≠1,n 为正整数。

例1 求不定积分∫ xnaxdx , 其中a＞0且a ≠ 1, n为正整数。

解 对 xnax连续求导, 可得一组基函数 ax, xax,…, xnax, 令 S=L( ax,xax,…,xnax), 则S 在求导变换d 下是封闭的, 且有

其中

则

其中C为任意常数。

注：若求出A的逆矩阵A-1, 则反复利用A-1, 可同时求出的值。

本例也可多次运用分部积分公式求解。

2.2 指数函数与正弦余弦函数乘积的不定积分

容易得eaxsinbx,eaxcosbx是在求导下封闭的一个函数组, 下面计算这2 个函数的不定积分。

解 令S=L(eaxsinbx,eaxcosbx), 则S在求导变换d 下是封闭的,eaxsinbx,eaxcosbx是S的一组基,

且有

其中

从而

其中C 为任意常数, 且a ≠ 0,b ≠ 0。

其中C 为任意常数, 且a ≠ 0,b ≠ 0。

2.3 幂函数与正弦余弦函数乘积的不定积分

由函数组 sin ax, cosax,xsinax,xcosax,x2sinax,x2cosax,x3sinax,x3cosax的可导封闭性, 可选取不定积分

令S=L(sin ax,cosax,x sinax,x cosax,x2sinax,x2cosax,x3sinax,x3cosax）,则S 在求导变换d 下是封闭的, 且d 在这组基下的矩阵为

则分别交换A 的第1、2 行, 第3、4 行, 第5、6 行, 第7、8 行, 用初等变换法, 得

从而由 A1-的第6 列和第7 列, 有

其中C 为任意常数。

2.4 幂函数、指数函数、正弦余弦函数三者乘积的不定积分

由函数组 eaxsinb x,eaxcosbx,xeaxsinbx, xeaxcosbx,x2eaxsinbx,x2eaxcosbx，x3eaxsinbx,x3eaxcosbx的可导封闭性, 可选取不定积分其中 ( a ≠ 0,b≠0)。

解 分别对 x2eaxsin bx和x3eaxsinbx连续求导, 可取基函数

令S=L(eaxsinbx,eaxcosbx,xeaxsinbx,xeaxcosbx,x2eaxsinbx,x2eaxcosbx， x3eaxsinbx,x3eaxcosbx),则S 在求导变换d 下是封闭的, 且d 在这组基下的矩阵为

则

其中C 为任意常数。

通过重复利用题目中所求出来的逆矩阵, 还可以求出不定积分的值。

2.5 求常系数非齐次线性微分方程的特解

最后,通过一个例子, 推广求不定积分的逆矩阵方法,用于求常系数非齐次线性微分方程的特解。

本例选自于教材[6], 在教材[6]第149 页中, 通过待定系数法求出了方程的一个特解, 下面利用逆矩阵的方法求其特解。

解将原方程改写为(d2+ 4d + 4ε )(x) = cos 2t , 其中ε 为恒等变换, 令D = d2+ 4d + 4ε 。对cos 2t连续求导, 可得一组基函数sin 2t, cos 2t 。令S = L(sin 2t, cos 2t) , 则D(S) = S , 因此D是S 的一个可逆变换。又

本文给出了利用逆矩阵计算几类函数的不定积分以及求解常系数非齐次线性微分方程的特解的方法和相关例子。若用通常求不定积分的方法求解本文中里的例1、例3、例4, 当幂函数的次数比较大时, 需要多次使用分部积分公式, 对例2 也需要两次使用分部积分公式, 计算起来比较麻烦。利用逆矩阵求解不定积分在一些情况下具有其优势, 例如在实际中需要同时将某一类函数的所有原函数都求出时。同时, 利用逆矩阵求解不定积分也有利于计算机引入程序计算, 故此方法具有实际应用价值。

注意, 本文求不定积分的方法也有局限性。使用时需要找到一个包含被积函数的有限维子空间S, 使得求导运算d 是S上的一个可逆线性变换。