三轴数控机床静态精度设计研究进展

吴昊荣，李晓晓，孙付春，郑华林

(1.成都大学电子信息与电气工程学院，四川成都 610106；
2.成都大学机械工程学院，四川成都 610106；
3.西南石油大学机电工程学院，四川成都 610500)

数控机床是保证国防和尖端工业发展的战略性基础装备，体现了一个国家的先进制造技术水平。随着航天航空业、国防工业和机械制造业的高速发展，数控机床加工精度的要求日益提高。而数控机床的几何误差严重影响了机床加工精度，特别是在精密和超精密加工中。鉴于精密数控机床在军工领域的战略地位，德国、日本等机床工业发达国家对向我国出口的高档数控机床产品应用领域严加控制，这种状况严重地影响了我国机床行业整体技术水平的提升。

国内现存着数量较大的、自主生产的、技术比较成熟的数控机床(如立式加工中心、中小规格卧式加工中心等)的主要问题体现在机床精度低和可靠性差，而机床精度和可靠性可通过合理的精度设计方法得以保证。机床静态精度设计方法包括加工精度稳健设计方法和静态几何精度设计方法。加工精度稳健设计方法以几何误差元素为分析变量，可实现在保证加工精度可靠性的前提下优化几何误差参数，以提高加工精度，但不能给出详尽的公差设计改进意见。而静态几何精度设计方法以关键零部件结合面公差为分析变量，可根据不同机床的精度设计要求进行优化，进而指导公差设计。

本文作者以量化分析机床几何精度、提高加工精度和找到几何误差元素与零部件结合面公差间的映射关系为研究目的，以三轴数控机床为研究对象，在深入调研机床静态精度设计方法研究成果的基础上，针对当前存在的一些关键问题和不足，分别给出了相应的解决方法，并形成一套完整的三轴数控机床静态精度设计方法实施方案，以实现不同精度设计方法的合理衔接和解决工程应用实用性低的问题。

机床几何精度分析方法包括空间误差建模和几何误差元素辨识两个方面的内容。空间误差建模用于研究机床误差与几何误差元素之间的映射关系；
几何误差元素辨识用于确立机床空间误差模型，最终实现机床几何精度的定量分析。

1.1 空间误差建模

由于几何误差的存在会导致机床运动部件产生定位误差，进而使机床刀尖点实际位置偏离理想位置，从而降低了加工精度[1]。因此将机床运动到工作空间某一点时，刀尖实际位姿相对于理想位姿的偏差值定义为空间误差，如图1所示。建立刀尖位姿偏差与机床几何误差源的映射关系，即空间误差模型[2]，是实现机床精度预测和精度进化的重要前提[3]。

图1 机床空间误差的形成

鉴于机床空间误差模型的重要性，国内外学者围绕数控机床空间误差建模做了大量的研究，提出了多种空间误差建模方法和理论[4-5]，如几何建模法、误差矢量法、误差矩阵法、机构学建模法、解析法、多体系统理论、D-H理论和螺旋理论。当前常用的建模方法有D-H理论、多体系统理论和螺旋理论。D-H法和多体系统理论[6]是当前应用最为成熟的建模方法，建模时需在机床各运动部件上建立局部坐标系，根据相邻体间的齐次变换矩阵和运动链传递顺序，将齐次变换矩阵顺序相乘，进而得到机床精度预测模型。但当运动链过长时，建模过程的繁琐性就越明显；
另外在推算相邻运动体间关系和相对误差矩阵时，不仅耗时还极易出错[7]。

近年来，螺旋理论被广泛应用于机床空间误差建模，TIAN等[8]以旋量理论为数学工具，综合考虑了刀尖点相对于工件切削成型点的位姿偏差的所有独立几何误差源，从而构建了有效分离可补偿与不可补偿位姿误差的几何误差源的通用误差模型。XIANG和YANG[9]利用螺旋理论建立了五轴机床空间误差模型和通用模型，基于此，通过引入误差旋量可实现任意正交五轴机床的空间误差建模。杨吉祥[10]借助螺旋理论搭建了机床的通用运动学正解模型，并借助四元数工具拟合加工路径样条曲线，实现路径的连续、平稳跟踪，指出采用螺旋理论建模具有以下优势：(1)简化了机床运动结构描述过程；
(2)所有的运动矩阵均定义在机床坐标系下，无需建立局部坐标系，规避了因建立局部坐标所产生的奇异值问题；
(3)可给出明确的运动学逆解的解析解，有助于分析机床精度和实施误差补偿，这是其他建模方法不能实现的。

1.2 平动轴几何误差元素测量与辨识

平动轴几何误差元素测量与辨识是评价机床性能和确定精度预测模型的重要环节，误差测量与辨识精度直接影响空间误差模型的预测精度。目前常用的误差测量方法[11]包括直接测量法和间接测量法，直接测量方法使用的仪器是激光干涉仪，基于激光干涉原理还衍生出了“九线法”[12]、“十二线法”[13]、“十三线法”[14]、“空间体对角线法”[15]等多种机床平动轴几何误差元素辨识方法。激光干涉仪可直接测量出平动轴的定位误差和直线度误差，但每一项几何误差元素的测量过程都需进行设备的重新安装和调试，一般一项几何误差元素的测量时间为3～4 h，误差检测效率很低[7]。另外，由于需要多次安装调试设备，每一次的安装误差都无法估计，所以很难获得单个几何误差元素的准确值[16]。

间接测量方法因球杆仪具有测量精度高、操作便捷以及测试过程仅需一次安装等优点，被广泛应用于机床旋转轴几何误差元素辨识研究中。为提高平动轴几何误差元素的测量和辨识效率，ABDESSALEM、LASEMI、JALALUDIN等[17-19]提出了使用球杆仪间接测量方法辨识平动轴几何误差元素，并给出了相应的几何误差元素辨识模型。相较于激光干涉仪，球杆仪通常仅需20 min即可完成误差测量[5]。当使用球杆仪测量用于辨识平动轴几何误差元素时，其难点在于：(1)基于球杆仪测量的几何误差元素辨识模型一般借助空间误差模型推导得到，在综合考虑机床PDGEs((Position-Dependent Geometric Errors)[11]和PIGEs(Position-Independent Geometric Errors)[11]时，辨识模型与几何误差元素的映射关系复杂[20]；
(2)PDGEs的非线性关系极易产生辨识模型不适定问题，导致辨识过程复杂、计算工作量冗余，难以实现几何误差元素快速辨识[21]。尤其当测量空间不能遍历所有空间误差分量时，辨识模型不适定问题更严重，这一问题可通过优化测量点或选取适当的算法来改善，但误差测量点通常为随机选取，优化难度大。

三轴数控机床静态精度设计方法主要包括基于可靠性理论的机床加工精度稳健设计方法[3]和静态几何精度设计(公差)方法。但这两种机床精度设计方法的研究对象不同，前者针对的是机床几何误差元素，而后者针对的是机床零部件结合面的公差信息。由于机床几何误差元素和零部件结合面公差的数量多，计算工作量大，且不同几何误差元素或零部件结合面公差对机床静态精度的影响程度均不同，需进行机床关键几何误差溯源，从而精准溯源机床关键几何误差元素和重要结合面，这对提高机床静态精度设计效率和机床精度及确定机床缺陷部件具有重要意义。

2.1 关键几何误差元素溯源

机床灵敏度分析是近年来新兴的一种寻找对加工精度具有重要影响的几何误差元素的方法，包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法[22]。局部灵敏度分析以机床空间误差模型作为敏感度计算模型[18]，以几何误差元素作为分析变量，在机床几何误差元素辨识的基础上，将计算模型对分析变量的一阶偏导数作为灵敏度系数[23]，进而溯源机床关键几何误差源。由于局部灵敏度分析方法一般选取机床工作空间的极限位置进行分析[2]，但工作空间内不同位置的灵敏度系数大小不仅随运动轴位置发生变化，而且不同误差方向的系数量纲也不统一，因此在准确溯源关键几何误差元素方面还存在不足。

全局灵敏度分析方法同样以机床空间误差模型作为敏感度计算模型，以几何误差元素作为分析变量，它主要基于统计理论且认为几何误差元素在机床工作空间内的分布是随机的，需选用统计方法予以模拟，进而研究它对空间误差的影响。ABDESSALEM、CHENG等[17，24]使用蒙特卡洛模拟来确定设计变量的相对重要性，并将其描述为与F分布一致的误差参数，然而这些误差参数不能描述真实的几何误差，且表现出极强的随机性。CHENG等[25]提出了一种基于SOBOL方法的多轴机床关键几何误差元素溯源方法，但几何误差元素对应的空间域输入因子需根据实验确定，且测量次数不少于100次，溯源过程过于耗时；
CHENG等[26]基于螺旋理论和莫斯理论提出了一种机床关键几何误差元素溯源方法，根据全局灵敏度系数的标准差溯源机床关键几何误差元素，但使用符合F分布的误差参数并不能描述真实的几何误差元素。基于统计理论的全局灵敏度分析方法的主要问题体现在分析变量自带随机性，并不能真实反映几何误差元素的分布规律。

2.2 机床加工精度稳健设计

已有的研究成果中主要通过机床空间误差模型来预测加工精度[27-32]。由于机床各装配部件的几何误差都是随机变化的，由几何误差引起的加工误差也是随机变化的，因此可通过指定标准差来决定误差源的最优水平[19]。机床加工精度稳健设计方法以几何误差元素作为控制变量，将几何精度分配问题转化为一个与随机误差相关的优化问题，可通过可靠性优化设计(RBDO)和鲁棒性优化设计(RDO)方法得以解决。余治民[33]以大型数控龙门导轨磨床为研究对象，利用空间误差模型实现了精度预测，在此基础上提出了一种基于可靠性理论的机床精度设计方法，但未考虑机床成本。CHENG等[24]提出了一种多轴机床的精度分配方法，建立了五轴数控机床的精度预测模型，以关键几何误差源为控制变量，以机床成本为优化目标，以加工性能为约束条件，实现了机床的最优精度分配。ZHANG等[34]基于传统成本模型和可靠性分析模型，引入加权函数，提出一种用于机床成本和可靠性的几何误差优化分配方法，该方法中的加工精度可靠性是由相邻零部件的理想工作时间和实际工作时间决定的，需要大量的统计数据。上述研究中，若只注重减小机床几何误差元素的标准差而不考虑机床成本极易造成装备性能和成本的严重浪费，因此考虑制造成本与部件几何误差相关的制造成本，确定总成本与精度之间的最优平衡点，成为机床精度优化分配面临的一个亟待解决的关键问题。并且只有同时考虑机床成本和加工精度可靠性，才能实现机床几何精度的稳健性设计。

机床加工精度可靠性的计算方法[35]包括均一阶可靠性方法(FORM)、点估计法、二阶可靠性方法(SORM)、蒙特卡洛模拟、逼近方法和经验方法。由于蒙特卡洛模拟方法的计算量很大，而近似方法的准确性不高，且其他方法存在必须明确的精度极限状态函数表达式才能求解可靠性的局限性，同时计算过程冗余繁琐，故导致强非线性及隐式类型的状态函数问题的求解较为复杂。

当前的基于可靠性理论的机床加工精度稳健设计存在以下两个方面的不足：(1)机床精度预测模型主要用作几何误差优化过程中的约束条件，以获取合理的优化参数。但是，应该将机床精度预测模型与机床的最大加工误差相结合，以获得用于评估机床是否能够满足加工精度要求并达到适当的加工精度可靠性的机床加工精度可靠性状态函数；
(2)由于机床加工精度可靠性计算模型的结构复杂，且高度非线性，很难运用常规可靠性计算方法进行求解，如何得到准确的机床加工精度可靠性是实现基于可靠性理论的机床加工精度稳健设计的难点。

2.3 机床静态几何精度(公差)设计

机床静态几何精度[36]是指外界无任何负载情况下的机床几何精度和位置精度，包括机床各部件的平面度误差、回转零部件的圆周跳动误差和移动部件的直线度误差及定位误差等。静态几何精度是机床精度设计的基础，因此机床精度设计时有必要优先考虑静态几何精度。由于机床静态几何精度与机床零部件公差之间存在着映射关系，因此可通过零部件公差设计来保证机床静态几何精度。公差设计主要包括公差建模、公差分析和公差分配三部分内容[37]。

(1)公差建模

公差建模是基于数学模型对公差信息进行描述，主要包括满足公差要求的变动要素的描述和公差域边界的描述两个方面的内容[38]。公差表示法主要包括两种：一种是对于理论或名义几何实体周围允许变动的空间进行建模；
另一种是对理论几何实体间的偏差进行参数化建模。同时提出了多种公差模型[33]，如漂移模型、参数模型、运动学模型、公差映射模型和SDT模型。DESROCHERS、CLÉMENT[39]给出了所有标准公差带以及刚体间标准化连接的SDT形式，并提出了基于TTRS的公差信息表示方法，已在当前的CAT软件中得到普遍应用；
MAO等[40]在其他学者的研究基础上，提出了一种基于数学定义的公差建模研究方法；
CORRADO、POLINI[41]借助参数化模型描述零部件尺寸公差，即零件信息由零件表面特征点位置矢量描述，从而将其表面几何约束转变为特征点位置矢量的非线性方程，允许尺寸的微小变动即为公差，最终实现用特征点位置矢量来描述公差。

(2)公差分析

公差分析是己知尺寸链中各组成环公差，保证装配后封闭环公差满足要求的分析过程，主要用于公差的优化与检验，是保证机械产品设计与制造精度的关键环节。主流公差分析方法主要有：统计公差法、极值法和蒙特卡洛法。极值法认为由于尺寸链封闭环的公差由各环公差综合影响，导致各组成环的公差过于紧凑，进而导致制造成本偏高。虽然极值法原理简单且不用考虑零件尺寸误差就能保证零件互换性和装配成功率达到100%，但由于公差设计过于保守，会造成机床制造成本显著增加。统计公差分析法[42-43]是从统计学的角度出发，以统计分布和概率的形式来描述零件尺寸的变化，进而计算出零部件公差和装配函数的统计分布，这是当前应用最广泛的公差分析方法。该方法假设零件公差服从正态分布，所以零件公差与装配误差之间呈线性关系，但实际与理论结果一般并不完全一致。蒙特卡罗方法[44-45]将尺寸链中的闭环方法和公差设计问题转换为求解随机变量的统计问题。根据每个尺寸公差带的实际分布情况，采用一定的算法对采样进行仿真，并根据约束函数使用生成的随机数计算公差和闭环尺寸。由于蒙特卡罗方法基于统计实验原理，通过随机模拟获得了闭环公差的统计特征，可以更真实地反映实际情况，因此得到了广泛应用。

(3)公差分配

公差分配是在保证产品装配要求的前提下，对尺寸链中各组成环尺寸公差实施经济合理分配的过程。杜雪松等[46]提出了一种基于模糊层次分析法(FAHP)的RV减速器公差设计方法，利用灵敏度分析得到了公差参数对传动精度的加权系数，建立了RV减速器零件公差参数的权重表达式，实现了零件的公差分配。李敬雨等[47]通过分析五轴数控机床的综合误差及其误差的随机性，将机床误差特性与三维公差关联起来，实现了公差值的合理分配，达到了降低机床误差、提升加工精度的目的。彭和平等[48]利用Jacobian-Torsor模型和蒙特卡洛模拟方法提出了一种三维公差再设计的方法，利用蒙特卡罗模拟将雅克比-旋量模型转换为随机值输入的统计模型，利用每个FE对总FR的贡献率作为尺寸链中公差值的优化依据，最终获得更经济的公差和更低的制造成本。黄美发等[49]根据尺寸链中各设计尺寸功能和重要程度预先给定了不同零件特征表面的加工合格率，再结合加工成本-公差模型，以公差为优化变量，以加工成本最小为优化目标，以加工合格率和装配函数为约束条件，从而实现公差的优化分配。

已有的基于可靠性理论的机床加工精度稳健设计方法的研究对象是几何误差元素，但几何误差元素与零部件公差间的关系并不明确，无法直接指导公差设计。因此，需从零部件公差与自由度误差的映射关系着手，搭建具备严格数学定义的映射模型。另外，基于数学定义的公差建模方法利用约束不等式和变分不等式来描述公差带宽与公差变动元素之间的关系，其对公差解释是唯一的。然而，由于约束不等式中变化序列的不确定性，很难得到实际变化区间带宽与容差之间的响应关系，进而影响机床公差-成本模型的准确性，导致难以获得准确的公差优化分配结果。

3.1 解决方法

(1)基于螺旋理论的机床空间误差建模方法

针对传统机床空间误差模型建模过程繁琐且在推算相邻运动体间误差矩阵时耗时易出错的问题，可以螺旋理论为数学工具，建立基于全局坐标系的机床空间误差模型，以简化机构分析过程，有效规避因建立局部坐标系导致的繁琐建模过程。

(2)基于球杆仪测量的机床平动轴几何误差元素辨识方法

针对基于激光干涉原理的辨识方法普遍存在检测效率低、安装调试复杂的问题，提出一种基于球杆仪测量的平动轴几何误差元素辨识方法。利用螺旋理论建立了三轴数控机床刀尖点相对于工件坐标系原点的运动方程，进而推导出与球杆仪杆长变化量相关的几何误差元素辨识模型。考虑到机床PDGEs的非线性关系和球杆仪测量数据量过大会导致求解不稳定的问题，将辨识模型转化为优化设计问题，采用模拟退火遗传算法进行求解。通过设计球杆仪实验，验证了所提方法的有效性，最终得到能够评价机床几何精度和预测机床加工精度的空间误差模型。

(3)基于全局灵敏度分析的机床关键几何误差元素溯源方法

针对局部灵敏度分析方法试验点单一和基于统计理论的全局灵敏度分析方法自带随机性的问题，提出一种基于全局灵敏度分析的机床关键几何误差元素辨识方法。根据几何误差元素随坐标轴运动位置变化的特性，利用正交法设计多种不同的测试点选取方案，分别选取多组试验点用于设计灵敏度分析试验。将多组试验点的几何误差元素的辨识结果应用到全局灵敏度分析中，有效规避了基于统计理论的全局灵敏度分析方法的分析变量自带随机性的问题。最后，将机床空间误差模型中的位置误差作为敏感度计算模型，分别设计多因素正交试验和单因素参数试验，以多组试验点的正交试验显著性检验结果和参数试验结果作为全局灵敏度系数，溯源出机床关键几何误差元素。

(4)基于可靠性理论的机床加工精度优化设计方法

针对机床加工精度可靠性计算模型的结构复杂，且高度非线性，很难运用常规可靠性计算方法进行求解，提出一种基于可靠性理论和响应面法的机床加工精度优化设计方法，工作流程如图2所示。

图2 三轴数控机床加工精度优化设计流程

将空间误差模型中的位置误差作为加工精度预测模型，利用可靠性理论推导出了加工精度可靠性计算模型，并运用响应面法求得准确的加工精度可靠性。考虑到机床工作空间过大，利用正交试验法选取多个工作位置进行试验，根据各试验点的加工精度可靠性，锁定可靠性最差的工作位置；
进而利用可靠性灵敏度分析结果调整几何误差参数，以实现在满足机床加工精度可靠性设计要求的前提下，得到与机床关键几何误差元素对应的关键零部件精度的优化设计值。

(5)基于蒙特卡洛模拟的公差建模与机床静态几何精度优化设计方法

针对机床几何误差元素与零部件结合面公差间的关系并不明确的问题，提出一种基于蒙特卡洛模拟的公差建模方法和机床静态几何精度设计方法，设计流程如图3所示。

图3 机床零部件公差建模和静态精度设计流程

通过深入研究基于数学定义的公差分析方法，采用SDT表示公差信息，综合考虑公差原则和约束条件找到了SDT旋量参数与公差之间的约束关系，并采用蒙特卡洛模拟建立了SDT旋量参数和实际公差变化带宽的响应面模型。然后，根据装配体结合面误差的形成机制建立了装配体结合面误差模型，在建立结合面误差模型的基础上，结合机床拓扑结构建立了装配体的装配精度模型，从而将零部件结合面的公差信息融入到结合面误差模型和装配体精度模型中，最终形成了以零部件结合面公差为设计变量、以最小公差制造成本为目标函数、以装配精度可靠性和公差设计原则为约束条件的公差优化模型。通过求解该优化模型，可得到公差制造成本最低时，满足装配精度可靠性和公差设计原则条件的零部件结合面公差的最优解，可将其用于指导实际的三轴立式加工中心的零部件结合面的公差设计。

3.2 系统实施方案

针对已有三轴数控机床静态精度设计的部分关键性问题有待解决，难以实现不同精度设计方法的合理衔接和工程应用实用性较低的问题，以三轴数控机床静态精度设计为研究重点，结合机床几何精度分析和公差设计等关键技术的实际工程需求，在深入研究现有机床精度设计理论的基础上，给出了机床几何精度分析与静态精度设计方法的实施方案，工作流程如图4所示。

图4 机床静态精度设计方法流程

首先对三轴数控机床进行几何精度分析，包括基于螺旋理论的机床空间误差建模和基于球杆仪测量的平动轴几何误差元素辨识。对于任意结构的三轴数控机床，只有在完成机床空间误差建模和平动轴几何误差元素辨识的基础上，才能得到能评价机床几何精度和预测机床加工精度的空间误差模型，进而实现机床几何精度的定量分析。在此研究基础上，提出了第二部分研究内容——机床静态精度设计方法。机床静态精度设计方法包括以几何误差元素为分析变量的基于可靠性理论的机床加工精度优化设计方法和以零部件结合面公差为分析变量的静态几何精度优化设计方法两部分。

以几何误差元素为分析变量的基于可靠性理论的机床加工精度优化设计方法是在机床几何精度法分析的基础上，利用基于全局灵敏度的机床关键几何误差元素溯源方法找到对加工精度具有显著影响的关键几何误差源；
以关键几何误差源作为分析变量，将可靠性理论引入到数控机床精度设计领域，将加工精度可靠性视作判断机床加工精度能否满足性能要求的判定标准，借助响应面法求解不同工作位置处的加工精度可靠性；
同时结合可靠性灵敏度分析，实现与机床几何误差元素相对应的零部件精度合理优化，以达到提高机床加工精度的目的。

以零部件结合面公差为分析变量的基于蒙特卡洛模拟的公差建模与机床静态几何精度优化设计方法是基于几何精度研究和机床精度链分析，利用机床拓扑结构和结合面误差的形成机制，建立起反映机床输出精度的装配精度模型。通过SDT旋量参数描述公差实际表面在公差域中的变化以及蒙特卡洛模拟方法建立公差与SDT旋量参数的映射关系，从而将公差设计与机床输出精度关联起来。最后以公差最小加工成本为目标函数，以装配精度可靠性和公差原则为约束条件，建立了机床静态几何精度优化模型。通过使用模拟退火遗传算法求解机床静态几何精度优化模型，可在满足装配精度可靠性和公差设计原则条件的前提下，得到对应最低制造成本的最佳公差设计值，实现公差优化分配的同时控制制造成本。

以三轴数控机床为研究对象，针对当前机床静态精度设计方法存在的关键问题，分别以影响机床几何精度的关键几何误差元素和重要零部件结合面公差为切入点，以量化分析机床几何精度、提高机床加工精度和找到几何误差元素与零部件结合面公差间的映射关系为研究目的，提出了一套完整的机床几何精度分析与静态精度设计方法的实施方案，以实现两种机床精度设计方法的合理衔接和解决工程应用实用性低的问题。

但要开发一套完整实用的机床静态精度设计系统还有很多工作要做，一些关键问题还需进一步地探讨和研究，如机床精度预测模型中需综合考虑几何误差、热误差、切削力引起的误差以及安装误差；
若要将本文作者提出的机床静态精度设计方法应用到四轴机床或五轴数控机床，需考虑旋转轴几何误差元素的辨识。