固体火箭高温高压复杂燃气系统的扩散系数及其相似准则数计算

陈 军

(南京理工大学 机械工程学院,江苏 南京 210094)

火箭燃气是高温高压混合物[1],但目前对其输运系数(黏性系数、导热系数、扩散系数、普朗特数、施密特数和路易斯数)的计算主要集中于低压单一组分或双组分,许多学者提出了很多理论模型和计算方法[2-7]。而对于高压条件下的燃气输运特性,尤其是高压混合物,相关研究很少,且目前还缺乏充足的数据支持目前很少的研究结论。因此,火箭燃气输运系数的计算与验证非常困难[1,8]。文献[1]从大量的成熟研究结论中,寻找并总结出了最可能满足火箭燃气特征的黏性系数(动力黏性系数)、导热系数及普朗特数的计算方法。本文试图沿着该方法寻找并总结出同样满足火箭燃气特征的扩散系数、施密特数和路易斯数的计算方法。由于缺乏高温高压混合燃气的实验数据,本文主要以单组分和双组分的数据进行验证。

考虑分子弹性模型,计算输运系数目前广泛采用了利用伦纳德-琼斯(Lennard-Jones)势修正得到的恩斯克-查普曼(Enskog-Chapman,简称E-C)公式,其中扩散系数计算公式为

(1)

式中:ΩD为扩散系数的伦纳德-琼斯参数,称为碰撞积分;M为摩尔质量,kg/kmol;T为温度,K;p为压强,MPa;σ为碰撞直径,10-10m。伦纳德-琼斯参数ΩD与特性对比温度T*=T/(ε/k°)有关,其中ε/k°为弹性分子的特征参数,是温度的量纲,ε分子势,k°玻尔兹曼常数。

E-C公式一般只适用于低压条件下单原子分子的单一组分。对于高温高压下复杂燃气系统,需要进行修正,主要考虑如下因素:多原子分子,极性与非极性,混合物,和高压。

①低压非极性多原子单一组分

对于低压非极性多原子单一组分,E-C公式计算扩散系数的误差较大。本文选用了两种计算模型,一是富勒(Fuller)模型,二是威尔克-李(Wilke-Lee)修正模型,两者的适用温度不同。富勒模型的温度适用范围为80～1 500 K。当超出该温度范围,或富勒模型缺乏相关数据(指分子扩散体积)时,可改用威尔克-李修正模型[5]。

富勒模型的计算公式为

(2)

式中:Σv为组分的分子扩散体积。原子及简单分子(包括部分极性组分)的扩散体积见表1。

表1 原子及简单分子的扩散体积Table 1 Diffusion volume of atoms and simple molecules

威尔克-李修正公式为

(3)

式中:σ和ε/k°按下述条件计算

(4)

式中:Tb为标准沸点,K;Vb为标准沸点的摩尔体积,cm3/mol,可从相关物性参数工程表查询,或按Tyn-Calus公式计算:

(5)

式中:VC为组分的临界体积,cm3/mol。

②低压极性多原子单一组分

对于极性组分的扩散系数,本文选用布罗考(Brokaw)修正方法:仍然利用式(1)计算扩散系数,但是伦纳德-琼斯参数需要修正为

(6)

T*=T/(ε/k°)

(7)

(8)

式中:μp为极性分子的偶极矩。式(6)计算ΩD时,取

(9)

③低压混合物

扩散系数以双组分扩散为基础。非极性组分仍然采用富勒模型或威尔克-李修正模型计算,组分i和组分j的相互扩散系数分别为

(10)

或

(11)

其中的参数按如下规则合成

(12)

极性组分仍采用布罗考方法修正,即以E-C公式(1)为基础,但伦纳德-琼斯参数ΩD按式(6)计算。这时参数的合成与式(12)的合成方法不同,对相互扩散的双组分参数均采用几何平均合成方法,即

(13)

多组分混合物扩散问题十分复杂。在火箭发动机流动计算中,常使用某一组分i相对于其余组分的扩散系数(Dim),即将除组分i以外的所有其余组分看作一种组分,使其简化成双组元扩散问题,称为布兰科(Blanc)定律,即

(14)

式中:N为混合物组分数,Xi为i组分的摩尔分数。可见,只要计算得到双组分扩散系数Dij,利用布兰科定律即可方便地计算Dim。

④高压修正

本文对扩散系数的高压修正均采用DKK(Dawson-Khoury-Kobayashi)修正模型,即

(15)

式中:ρ为密度;ρr=ρ/ρC=VC/Vm为对比密度,ρC为组分的临界密度,Vm为实际气体的摩尔体积;(Dρ)0为相同温度T时低压条件下的值。实际上,结合实际气体在高压下的压缩因子Z,有

(16)

式中:(Dp)0为相同温度T时低压条件下的值。本文采用李-凯斯勒(Lee-Kesler)模型求解实际气体的压缩因子,即

(17)

式中:Z0、ZR分别为简单流体和参考流体的压缩因子;ω为极性组分的偏心因子。得到压缩因子Z后,实际气体的摩尔体积Vm为

(18)

式中:R0为摩尔气体常数。

⑤高压混合物

总体上,与低压混合物类似,高压混合物的输运系数可以由前述高压单一组分的输运系数通过一定规律合成而得到,也可以对低压混合物通过高压修正得到。本文高压混合物的扩散系数由低压混合物通过DKK高压修正得到。

计算扩散系数所采用的模型汇总于表2中。

表2 扩散系数计算模型Table 2 Calculation models of diffusion coefficient

输运相似准则数包括普朗特数Pr、施密特数Sc和路易斯数Le。普朗特数Pr定义为

(19)

计算出黏性系数μ和导热系数κ后即可计算[1]。

施密特数Sc定义为

(20)

计算黏性系数μ和扩散系数D后,还要计算密度ρ。由式(18)计算出摩尔体积Vm后,密度即为

ρ=M/Vm

(21)

式中:M为摩尔质量。

路易斯数Le定义为

(22)

计算出导热系数κ[1]和扩散系数D后即可计算。

实际上,在计算出普朗特数和施密特数后,路易斯数即可由下式计算

(23)

上述过程可计算纯组分的相似准则数和密度,混合物的相似准则数和密度需要按一定的混合规则。

混合物的输运相似准则数按Kay规则混合各个组分的输运相似准则数,即

(24)

(25)

在计算出普朗特数和施密特数后,混合物的路易斯数Lem同样由下式计算:

(26)

高温高压气体及其多组分混合物的实验非常困难,缺乏足够的实验数据对计算模型的正确性进行验证。为此,本文主要检验组成火箭高温高压复杂燃气的双组分或三组分混合物的计算结果。

忽略金属添加物的情况下,火箭燃气的主要组分包括:CO2、CO、H2O、H2、N2、HCl、SO2、NO等,都是多原子组分,其中非极性组分为CO2、H2、N2等,极性组分为CO、H2O、HCl、SO2、NO等。组分H2O、HCl、SO2为强极性组分,组分H2为轻质组分,这些组分在混合物输运性质的理论模型中很难准确计算[1]。

上述模型对于低压单一组分的验证已经十分充分[2-14],这里只给出混合物在高温高压下的验证。

①扩散系数的计算检验

与固体火箭发动机燃气相关的混合物的扩散系数计算与实验数据比较如表3所示,高压气体的实验数据及计算结果如表4所示。

表3 低压混合物的扩散系数Table 3 Diffusion coefficient of low pressure mixture

上述数据表明,扩散系数的计算模型在低压和高压下均具有较好的精度,但高温下含H2O混合物(如烟气)的计算误差较大。针对同时具有高温和高压燃气的实验数据,表4提供了文献中为数不多的实验数据。其中混合物CH4-C2H6采用本文筛选的模型的计算误差为18.4%,而文献[4]引用的模型的计算误差达30%,精度明显改善。

表4 高压组分的扩散系数Table 4 Diffusion coefficient of high pressure components

②输运相似准则数与密度的计算检验

由于缺乏混合物的相关实验数据,表5只给出了与固体火箭发动机燃气相关单一组分的输运相似准则数及密度计算与实验数据[6,7,10,13,14],它们均具有较高的精度。

表5 单一组分的相似准则数与密度对比(T=273.15 K,p=0.101 325 MPa)Table 5 Comparison of similarity criteria number and density of single components(T=273.15 K,p=0.101 325 MPa)

本节主要给出不考虑金属添加物的固体推进剂的燃气特征,主要包括双基推进剂(DB)、复合改性双基推进剂(CMDB)和复合推进剂(CP)。温度和压强按火箭发动机的典型工作范围取值。

①典型双基推进剂燃气的扩散系数及相似准则数

双基推进剂燃气的工作温度取1 500～2 200 K,工作压强取8～20 MPa,典型燃气组分为:CO,CO2,H2,H2O,N2,对应的摩尔分数分别为0.47、0.07、0.2、0.15和0.11。

在典型工作压强下(p=10 MPa),温度对双基推进剂燃气的扩散系数和相似准则数的影响如表6所示。

表6 典型双基推进剂燃气的扩散系数及相似准则数(p=10 MPa)Table 6 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical double base propellant gas(p=10 MPa)

在典型温度(T=2 200 K)下,压强对双基推进剂燃气的扩散系数和相似准则数的影响如表7所示。

表7 典型双基推进剂燃气的扩散系数及相似准则数(T=2 200 K)Table 7 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical double base propellant gas(T=2 200 K)

②典型复合改性双基推进剂燃气的输运系数及相似准则数

复合改性双基推进剂工作的温度取2 600～3 800 K,工作压强取8～20 MPa,典型燃气组分为:HCl,CO,CO2,H2,H2O,N2,对应的摩尔分数分别为0.1、0.21、0.2、0.05、0.32和0.12。

在典型工作压强(p=10 MPa)下,温度对典型复合改性双基推进剂燃气的扩散系数和相似准则数的影响如表8所示。

表8 典型复合改性双基推进剂燃气的扩散系数及相似准则数(p=10 MPa)Table 8 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical composite modified double base propellant gas

在典型温度(T=3 000 K)下,压强对典型复合改性双基推进剂燃气的扩散系数和相似准则数的影响如表9所示。

表9 典型复合改性双基推进剂燃气的扩散系数及相似准则数(T=3 000 K)Table 9 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical composite modified double base propellant gas(T=3 000 K)

③典型AP复合推进剂燃气的扩散系数及相似准则数

AP复合推进剂工作的温度取2 600～3 800 K,工作压强取8～20 MPa,典型燃气组分为:HCl,CO,CO2,H2,H2O,N2,对应的摩尔分数分别为0.13、0.25、0.03、0.2、0.24和0.15。

在典型工作压强(p=10 MPa)下,温度对典型AP复合推进剂燃气的扩散系数和相似准则数的影响如表10所示。

表10 典型AP复合推进剂燃气的扩散系数及相似准则数(p=10 MPa)Table 10 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical AP composite propellant gas(p=10 MPa)

在典型温度(T=3 200 K)下,压强对典型复合推进剂燃气的扩散系数和相似准则数的影响如表11所示。

表11 典型AP复合推进剂燃气的扩散系数及相似准则数(T=3 200 K)Table 11 Diffusion coefficient and similarity criterion number of typical AP composite propellant gas(T=3 200 K)

为便于观察火箭燃气输运系数的变化规律,将表6～表11的数据用曲线图1～图6所示。

由于混合物的扩散存在组分间的复杂扩散关系,这里只给出燃气混合物总体的自扩散系数以便于观察其变化规律。固体火箭发动机燃气自扩散系数随温度的变化如图1所示,随压强的变化如图2所示。可以发现:扩散系数随温度的升高而升高,这与一般气体扩散系数的变化规律一致;双基推进剂的扩散系数其变化趋势略高于复合改性双基推进剂与复合推进剂;复合改性双基推进剂与复合推进剂燃气扩散系数的变化趋近高度一致。图2表明,固体火箭发动机燃气扩散系数随压强变化明显,这体现在E-C公式的压强项中。

图1 固体火箭发动机燃气自扩散系数随温度变化(p=10 MPa)Fig.1 Variation of gas self diffusion coefficient of solid rocket motor with temperature(p=10 MPa)

图2 固体火箭发动机燃气自扩散系数随压强变化Fig.2 Variation of gas self diffusion coefficient of solid rocket motor with pressure

与黏性系数和导热系数主要受温度影响而压强影响较小相比,扩散系数既受温度明显影响,又受压强明显影响。

通过数据拟合,可得双基推进剂燃气扩散系数在p=10 MPa下随温度的变化函数为

(27)

式中:Tref=1 500 K,Dref=0.072 1×10-4m2/s。拟合最大相对误差为0.026%。

考虑温度和压强对扩散系数的影响,将式(1)变形为相对扩散系数随温度和压强的变化关系,即

(28)

式中:带下标“ref”的参数表示参考状态下的值。可见E-C公式中压强对扩散系数的影响指数为-1;温度对扩散系数的影响指数为1.5,而式(27)给出固体火箭发动机燃气扩散系数的影响指数为1.646 55。

通过类比数据分析,可以得出考虑温度和压强综合因素下的固体火箭发动机双基推进剂燃气扩散系数为

(29)

式中:Tref=1 500 K,pref=10 MPa,Dref=0.072 1×10-4m2/s。最大相对误差为1.8%,平均相对误差为0.7%。

图1表明复合改性双基推进剂与复合推进剂的燃气扩散系数变化趋近一致。通过数据拟合,可得复合改性双基推进剂与复合推进剂燃气扩散系数在p=10 MPa下随温度的变化函数为

(30)

式中:Tref=2 600 K,Dref=0.159×10-4m2/s。拟合最大相对误差为0.005%。

类似地分析,可以得出考虑温度和压强综合因素下的固体火箭发动机复合改性双基推进剂和复合推进剂燃气扩散系数为

(31)

式中:Tref=2 600 K,pref=10 MPa,Dref=0.159×10-4m2/s。最大相对误差为2.6%,平均相对误差为1.3%。

文献[1]已给出了固体火箭发动机燃气普朗特数的变化规律和典型推进剂燃气的普朗特数,即双基推进剂燃气的普朗特数为0.85,复合改性双基推进剂燃气的普朗特数为0.75,复合推进剂燃气的普朗特数为0.89。

固体火箭发动机燃气施密特数的变化如图3和图4所示。可以发现:施密特数随温度仍然呈现微弱变化,随压强变化也很小。双基推进剂燃气施密特数随温度的最大变化为2.56%;复合改性双基推进剂燃气施密特数随温度的最大变化为3.25%;复合推进剂燃气施密特数随温度的最大变化为0.02%。因此,施密特数可以近似处理为常数,按平均处理,可得双基推进剂燃气的施密特数为0.772,复合改性双基推进剂燃气的施密特数为0.675,复合推进剂燃气的施密特数为0.74。

图3 固体火箭发动机燃气施密特数随温度变化(p=10 MPa)Fig.3 Variation of Schmidt number of solid rocket motor gas with temperature(p=10 MPa)

图4 固体火箭发动机燃气施密特数随压强变化Fig.4 Variation of Schmidt number of solid rocket motor gas with pressure

固体火箭发动机燃气路易斯数的变化如图5和图6所示。可以发现:路易斯数随温度呈现微弱变化,随压强变化也很小。双基推进剂燃气路易斯数随温度的最大变化为7.18%,复合改性双基推进剂燃气路易斯数随温度的最大变化为4.44%,复合推进剂燃气路易斯数随温度的最大变化为1.89%。因此,路易斯数可以近似处理为常数,按平均处理,可得双基推进剂燃气的路易斯数为0.91,复合改性双基推进剂燃气的路易斯数为0.9,复合推进剂燃气的路易斯数为0.83。

图5 固体火箭发动机燃气路易斯数随温度变化(p=10 MPa)Fig.5 Variation of Lewis number of solid rocket motor gas with temperature(p=10 MPa)

图6 固体火箭发动机燃气路易斯数随压强变化Fig.6 Variation of Lewis number of solid rocket motor gas with pressure

通过对三种典型固体推进剂燃气的扩散系数及其相似准则数的计算与分析,得出其经验公式和典型相似准则数,汇总于表12中。

表12 固体火箭发动机燃气的典型扩散系数经验公式和典型相似准则数汇总表Table 12 Summary of empirical formula of typical diffusion coefficient and typical similarity criterion number of solid rocket motor gas

通过对3种主要不含金属添加物的固体推进剂(双基推进剂、改性双基推进剂和复合推进剂)燃气的扩散系数及其相似准则数的计算与分析,可以得出如下主要结论:

①典型双基推进剂燃气的扩散系数随温度变化的幂指数为1.646 55(适于温度1 500～2 500 K),典型复合改性双基推进剂和典型复合推进剂为1.629 52(适于温度2 600～3 800 K)。而经典E-C公式相应幂指数为1.5。

②在压强为8～20 MPa范围内,火箭燃气的扩散系数随压强变化的幂指数仍然为-1,与E-C公式相应幂指数相同。

③火箭燃气的施密特数随温度和压强呈现微弱变化,施密特数可以近似处理为常数,典型双基推进剂燃气的施密特数为0.772,典型复合改性双基推进剂燃气的施密特数为0.675,典型复合推进剂燃气的施密特数为0.74。

④火箭燃气的路易斯数随温度和压强同样呈现微弱变化,因此路易斯数也可以近似处理为常数,典型双基推进剂燃气的路易斯数为0.91,典型复合改性双基推进剂燃气的路易斯数为0.9,典型复合推进剂燃气的路易斯数为0.83。

上述分析与结论给出了火箭高温高压复杂燃气扩散系数和相似准则数的估算方法与取值范围,由于很难从实验上进行验证,故只有在以后不断的理论实践中分析其合理性并不断改进。同时,没有考虑凝聚相对输运性质的作用,也有待进一步深入研究。