重视显示形象促进深度学习——“数形结合”思想在小学数学教学中的应用分析

文|相 辉

数学是研究客观世界的数量关系与空间形式的科学，小学数学研究的对象概括来讲就是数和形两个方面。数是形的抽象概括，形是数的直观表现，数与形的相互转化，既是数学的重要思想，更是解决数学问题的有效策略。我国著名数学家华罗庚曾指出“数与形，本是相倚依，数无形时少直觉，形少数时难入微”。生动形象地阐述了数形结合在数学教学中的重要性和特殊性。

然而，很多一线教师课堂上却过于重视知识的传授和技能的训练，而忽视“数形结合”思想的感悟，致使学生对数学本质的理解不够深入，仅仅知其然而不知其所以然，对解题方式多以模仿为主，缺乏综合性、灵活性解决问题的能力，学习质量也大打折扣。下面就以“数形结合”这一思想教学为例，谈谈如何运用数形结合思想方法，引领学生开展深度学习，提升问题解决能力。

在小学数学的教学中，有些抽象的数学知识，如果仅仅依靠教师的讲述，学生很难理解，而“数形结合”思想能使比较抽象的概念转化为清晰具体、更容易理解的形象化事物，方便学生理解和掌握。

（一）借直观图，深化概念理解

数学教学要重视直观，要处理好直观与抽象的关系。因此，在教学数学概念时，教师在课堂上要借助直观图，在直观和抽象之间架设桥梁，使学生直观感知数学概念的含义，从而触及数学概念的实质，起到深化理解概念的目的。

例如，在教学苏教版小学数学五年级下册第三单元“公因数”一课时，有的教师是让学生先写出12 和18 的所有因数，再让学生动手圈出两个数公有的因数1、2、3、6，最后给出描述性的概念“像这样两个数公有的因数就是它们的公因数”。这样教学看似让学生经历了公因数概念的形成过程，其实并没有反映出概念的实际意义及其背后的本质。

对此，笔者在教学时按照“动手操作→呈现图形→直观感知→深化理解”的思维过程，引导学生展开探究（过程如图1 所示）。首先设计用边长6 厘米和4 厘米的正方形纸片去铺长是18 厘米、宽是12 厘米的长方形操作活动，使学生在操作、比较中初步感知边长是6 厘米的正方形纸片能正好铺满；
接着呈现图形，再次引导学生直观感知，体悟出边长是1 厘米、2厘米和3 厘米的正方形也能正好铺满这个长方形；
从而体会到，正方形的边长与能否正好铺满的长方形的长和宽的关系，即只要边长的厘米数既是12 的因数，又是18 的因数，就能正好铺满。最终通过几何直观明晰了公因数的现实意义，深刻理解了1、2、3、6 既是12 的因数，又是18 的因数，它们就是12 和18 的公因数。达到了知其然又知其所以然的教学目的。

图1

这样教学，不仅让抽象的数学概念直观化，隐形的数学思维可视化，而且还有效地帮助了学生直观感知数学概念的内涵，真正实现对数学概念的深化理解。

（二）画示意图，深入理解算理

“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理”。也就是说，在小学数学运算教学中，不仅要求学生掌握程序化的运算法则，更要理解蕴含在算法背后的算理。我们可以借助图形表征，变抽象为直观，实现对算理的深度理解。

比如，在教学苏教版小学数学三年级下册“有趣的乘法计算”一课时，多数教师首先是让学生用竖式计算24×11、53×11、62×11，然后让学生观察算式与结果，把积的每一位上的数和原来的两位数进行比较。有的学生发现积个位上的数与原来两位数个位上的数一样，有的学生发现积百位上的数，与原来两位数十位上的数一样，还有的学生发现积十位上的数，等于原来两位数个位与十位上数的和。接着让学生根据发现完成填空：23×11=2□3、64×11=□□4、59×11=□□9，同时用竖式计算验证。最后得出结论，两位数乘11，两位数的十位与个位上的数分别是这个积的首位与末尾，中间的数是这两个数相加的和，当个位与十位上数相加满十时，要向百位进1，最后概括成口诀“两边一拉，中间相加”。

笔者在教学时没有到此为止，而是通过画出示意图，引导学生深入理解其中的道理。如23×11，可以把23 看作长方形的长、11 看作长方形的宽，得数253 看作是长方形的面积。23 拆成20 和3 两部分，同样11拆成10 加1，长方形面积就被分成四部分（图2）。20×10=200，即20 个十，说明积的百位上是2；
3×1=3，即3 个一，说明积的个位上是3；
另外两部分分别是2个十和3 个十，说明积的十位上是（2+3），表示5 个十，因此乘得积是253。学生借助图形真正理解了“两边一拉，中间相加”的道理。

图2

这样，学生在经历“计算—猜想—验证—内化”的探究过程中，显示形象，以形助数，由直观到抽象，既促进了算理和算法的自然融通，也使学生的计算能力在思维的土壤中得以不断生长。

（三）构造图形，深度探究算法

计算教学中要求能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题，能够通过运算促进数学推理能力的发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。因此在教学中要从数学的感知材料出发，通过逻辑思维，揭示数与形的本质特征，透过表面揭示问题实质。

图3

可见，教师要善于依据问题与已知条件的内在联系，由数想到形，以形思数，把抽象的数学问题直观化、形象化，引领学生把握数学问题的本质，从而达到培养学生解决问题的目的。

借数解形就是借助于数的精确性和严密性，来阐明形的某些属性。其中以数定位可以在解决图形类问题的过程中，通过用数对的方式固定图形中的人或物，给图形赋予数字的含义，让复杂的图形问题变得简洁明了。

比如，在教学苏教版四年级数学下册第八单元“用数对确定位置”一课时，笔者首先展示座位示意图，让学生说出其中小军的位置，学生观察示意图说法不一。这时学生就会产生认知上冲突，不明白为什么小军的位置没有发生变化，但描述的结果却不一致呢？从而产生了统一描述方法的需求。此时笔者顺势引出在二维空间下可以用数对来确定位置，竖排叫“列”，横排叫“行”，“列”是从左往右数，“行”是从前往后数，这样用两个数字就可以清晰、准确地表示出某一点在平面中的位置。这种以数定位的方法，给图形赋予数的含义，不仅有利于学生理解数学中的问题，而且能帮助学生化解学习上的难点。

在解决数学问题的过程中，不仅有以形助教、借数解形，有时还会出现数与形互译的情况，即把数量关系转化为图形表征，再根据对图形的分析、观察和联想，逐步抽象算式来解决问题。“数”与“形”互译，可以使原本模糊难辨的问题变得清晰明朗，把复杂的数量关系变得直观形象，把抽象的数学思维变得具体可视。

比如教学苏教版六年级数学下册第三单元“解决问题的策略”一课时，笔者呈现问题“鸡兔同笼，有20个头，54 条腿，鸡、兔各有多少只？”学生有的采用列表法进行有序列举，找出正确答案；
有的假设鸡和兔的只数一样多，再根据总腿数进行调整，找出答案；
还有的用画图法（图4），画20 个圆表示一共有20 只动物，再给每个动物画2 条腿，把所有的动物都看作是鸡，算一算画出的腿数比54 条少了14 条。一只鸡比一只兔多2 条腿，于是再给其中的动物添上2 条腿，使画出的腿正好是54 条。把14 条添完，要添7 只，说明兔有7 只，鸡有13 只。

图4

接着笔者让学生对上面的几种方法进行融合对比，学生发现，列表法和画图法，一个是数一个是形，列表简单、画图直观，形式上虽然不同，但它们的本质上却是一样的，都是运用假设的策略。学生通过“数”与“形”之间的不断切换，把具体的形象思维推向抽象认知的思维地带，逐步感悟到逻辑推理的内涵，明白了列式计算的道理。即可以假设都是鸡：20×2=40（条）、54-40=14（条），兔有14÷（4-2）=7（只）、鸡有20-7=13（只）；
也可以假设都是兔：20×4=80（条）、80-54=26（条），鸡有26÷（4-2）=13（只）、兔有20-13=7（只）。

这样通过“数”与“形”互译，学生的抽象思维有了形象思维的支撑，抽象思维和形象思维协同发展，不仅解决了问题，而且提升了数学思维能力。因此教师应在数学教学中尽可能的去挖掘“数”与“形”的本质联系，将数形结合的思想方法落实到实处，不仅能培养学生的逻辑思维，还能锻炼学生的抽象思维，让学生的数学学习充满“智趣”！