空间几何体中构造辅助线的入手点——以线线垂直问题为例

邵建凤 李光彬

(山东省淄博市临淄中学)

空间几何问题的解答有时需要构造相应的辅助线,辅助线是搭建已知与未知之间的桥梁,但在具体问题的求解中如何构造辅助线呢? 本文以线线垂直问题为例,总结出了几种构造技巧,供读者参考.

已知关系是题目条件所给的、可直接利用的,对已知关系的充分利用是构造辅助线的首要入手点.

例1如图1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,证明:A1D⊥BD1.

图1

分析证明两条异面直线垂直,常用的策略是构造线面垂直,得到线线垂直,即把其中的一条线置于某一平面中,再证明另外一条线与该平面垂直.那么将哪条线置于平面中,如何构造这一平面?

本题是将A1D置于某一平面中,还是将BD1置于某一平面中,可从已知中最直接的关系入手.

欲证两条直线垂直,肯定会用到已知中的线线垂直关系,那么是否存在某条与A1D或BD1垂直的直线.不难发现A1D⊥AD1,这一垂直关系最为直接,因此先连接AD1,即可出现我们期待的结果.

证明如图2所示,连接AD1,由于BD1⊂平面ABD1,故只需证明A1D⊥平面ABD1即可.由正方体的性质易得A1D⊥AB,又A1D⊥AD1,AB∩AD1＝A,故A1D⊥平面ABD1,所以A1D⊥BD1.

图2

平面几何图形中的某些性质是构造辅助线的重要入手点,如等腰三角形、等边三角形具有三线合一的性质,菱形对角线互相垂直平分,矩形对角线相等、互相平分等.这些性质都是构造辅助线的入手点.

例2如图3 所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CA＝CB,AB＝AA1,∠BAA1＝. 证 明:AB⊥A1C.

图3

分析本题和例1一样,也是证明两条异面直线垂直,需要构造线面垂直,那么是将AB置于某一平面中,还是将A1C置于某一平面中?

已知中给出CA＝CB,则△ABC为等腰三角形,具有三线合一的性质.又因为AB＝AA1,∠BAA1＝,所以△ABA1为等边三角形,同样具有三线合一的性质,因此可由此入手构造辅助线.

证明如图4 所示,取AB的中点D,连接CD,A1D,而A1C⊂平面A1CD,因此只需证明AB⊥平面A1CD即可.

图4

因为CA＝CB,所以AB⊥CD.因 为AB＝AA1,∠BAA1＝,所以△ABA1为等边三角形,从而AB⊥A1D,且CD∩A1D＝D,故AB⊥平面A1CD,因此AB⊥A1C.

例3如图5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,点N在四边形CDD1C1及其内部运动.若存在点N,满足MN⊥A1C1,则点N的轨迹为( ).

图5

A.线段

B.圆的一部分

C.椭圆的一部分

D.双曲线的一部分

分析本题中的点N满足MN⊥A1C1,N是动点,MN是动线,A1C1是定线.动线与定线垂直,说明MN在一个与A1C1垂直的平面内运动.因此通过添加辅助线,构造出与A1C1垂直的平面,这是解决问题的关键.因为M是定点,因此可从点M入手构造与A1C1垂直的直线.

解如图6 所示,设P为棱CD的中点,连接PM.设Q为棱D1C1的中点,根据正方体的性质知A1C1⊥PM,A1C1⊥PQ,且PM∩PQ＝P,所 以A1C1⊥平面MPQ,故点N∈平面MPQ.又点N∈平面CDD1C1,所以点N在平面MPQ与平面CDD1C1的交线PQ上,故点N的轨迹是线段,选A.

图6

基本模型是指我们平时归纳总结的、存在垂直关系的一些常用模型.题目条件中如果存在基本模型的部分条件,我们可构造相应的辅助线,将其所隐藏的模型关系展现出来,从而利用模型解决问题.

例4如图7 所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为AA1的中点,P为侧面ABB1A1的点,若D1P⊥CM,则PB的最小值为( ).

图7

分析正方体的各个面均为正方形,在正方形中存在如下的基本模型.

如图8 所示,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD边的中点,我们可以证明AM⊥BN.这一垂直关系在求解以正方体为背景的问题中经常用到,如果题目已知条件中存在这种模型的部分条件,我们可添加相应的辅助线构造这一模型,并利用其解题.

本题以正方体为背景,在正方形ABB1A1中,M是AA1的中点,具备这一模型的局部条件,因此可进一步构造模型.

解如图9所示,令AB的中点为N,连接BM,B1N,B1D1,D1N.利用图8 中的基本模型可得B1N⊥BM.

图8

图9

由正方体的性质可知B1N⊥BC,且BM∩BC＝B,所以B1N⊥平面MBC,所以B1N⊥CM.又因为D1B1⊥平 面A1ACC1,CM⊂平面A1ACC1,所以D1B1⊥CM,且D1B1∩B1N＝B1,故CM⊥平面D1B1N,而D1P⊂平面D1B1N,所以点P在线段B1N上.

通过上面的分析可知PB的最小值也就是点B到线段B1N的垂直距离,利用平面几何知识可求得PB的最小值为,故选C.

综上所述,在空间几何问题的求解中,准确构造辅助线是关键,只要我们在平时的学习中注意积累、总结辅助线的构造技巧,结合具体题目条件准确构造相应的辅助线,问题即可迎刃而解.

(完)