一种自适应阈值的压缩感知信道估计算法

王华华，窦思钰，黄梓轩

(重庆邮电大学通信与信息工程学院，重庆 400065)

正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技术凭借其在频谱利用率和抗多径干扰等方面的独特优势被广泛应用于各种无线通信网络。在OFDM系统中，由于受到无线信道环境的制约，信号在传播过程中可能出现不同程度的时延和衰落，从而影响通信系统的整体性能。为了在接收端准确恢复发送信号，需要对信道状态信息（Channel State Information，CSI）进行估计。

已有大量文献对OFDM系统信道估计做出了研究。传统的信道估计算法，如最小二乘（Least Squares，LS）算法和最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）算法，在发送信号中插入一个已知的导频序列，接收端通过接收到的导频符号估计信道频率响应（Channel Frequency Response，CFR）。

这两种方式均需要一定数量的导频才能够获得较好的估计性能，但较多的导频开销将降低系统频谱利用率。

近年来，Donoho提出的压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论被广泛应用于各种领域，该理论指出通过少量观测值就能对稀疏信号进行有效重建［1-2］。

结合高速无线信道具有稀疏性的特点［3］，可以将压缩感知理论应用于信道估计，在减少导频开销的基础上获取更好的估计性能。文献［4］将正交匹配追踪应用于OFDM系统的信道估计中，验证了CS理论在信道估计中的有效性。文献［5］将离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）信道估计的CFR作为正交匹配追踪的迭代停止条件，提出了一种稀疏度自适应的压缩感知信道估计算法。文献［6-7］着重于改进现有压缩感知重构算法，均取得了良好的估计性能。

基于压缩感知的信道估计关键在于重构算法的研究。现有压缩感知重构算法主要分为3类：凸优化算法、组合算法和贪婪算法。其中贪婪算法由于计算相对简单，恢复精度较高而得到了广泛应用。正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）是一种经典的贪婪算法，该算法每次迭代选出相关性最大的原子，最终输出的重建信号通过选择原子的线性组合构成。压缩采样匹配追踪（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP）［8］对 OMP 进行了改进，每次迭代选择多个原子，并加入回溯机制使其具备一定的抗噪声能力。上述方法的重构质量较好，但均需要信号的稀疏度作为先验条件，然而在实际应用中稀疏度往往难以获取。稀疏度自适应匹配追踪（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）［9］通过固定步长逐步增加索引的方式逼近信号真实稀疏度，但固定步长可能会导致算法出现欠估计或过估计的问题，使得估计精度下降严重。文献［10］提出了分段弱正交匹配追踪（Stagewise Weak Orthogonal Matching Pursuit，SWOMP），该算法根据输入阈值参数控制原子选择门限，其迭代次数也通过人为设置。虽然SWOMP克服了重构算法过度依赖信号稀疏度的问题，但重建精度受到输入阈值参数与迭代次数的影响：如果阈值参数设置过大，容易选入冗余原子，导致算法精度下降；
如果阈值参数设置过小，则会降低算法效率。

通过上述分析可知，目前的压缩感知重构算法都存在一定的缺陷。因此，本文提出了一种自适应阈值压缩感知信道估计方法。该方法通过小波阈值去噪理论估计信道中的噪声标准差，调整重构算法的阈值参数，并且利用降噪后的信道频率响应实现稀疏度自适应的信道脉冲响应重建。仿真结果表明，本文所提方法与传统重构算法相比估计精度得到了明显提升，尤其在低信噪比下的信道环境下，均方误差相较于基于SWOMP算法的信道估计下降了约2 dB，并且保持了较低的算法复杂度。

1.1 压缩感知理论

压缩感知理论表明，若一个一维离散信号x∈RN投影到某个变换域中具有稀疏性时，能够通过少量观测值重建回原信号。信号x在一个N×N维稀疏基矩阵Ψ下的投影表示为

式中θ表示信号x在变换基Ψ下的投影系数。如果向量θ中非零值个数K满足条件K≪N，则称x在稀疏域Ψ是K稀疏的。观测向量y∈RM通过原始信号x与M×N维的观测矩阵Φ相乘得到

将式（1）代入式（2），可得

式中ACS＝ΦΨ，称为恢复矩阵。由于恢复矩阵ACS维度为M×N且M≪N，因此通过y求解x是一个欠定问题，难以找到唯一解。但当信号x的投影θ满足稀疏性且恢复矩阵满足约束等距性（Restricted Isometry Property，RIP）［11］时，有

那么求解x可以转化为最小l0范数或l1范数的最优化问题，式中常数 δk∈ （0，1）。

1.2 OFDM稀疏信道模型

假设一个OFDM系统具有N个子载波，X（k）和y（k）分别表示发送和接收OFDM符号的第k个数据，0≤k≤N-1。

接收端信号可以表示为

式中：接收信号 y ＝ ［y（0），y（1），…，y（N-1）］T，对角阵X表示由接收符号构成的矩阵，X＝diag（X（0），X（1），…，X（N-1））， 信道频率响应Η＝［H（0），H（1），…，H（N-1）］T，Z＝［Z（0），Z（1），…，Z（N-1）］T为复加性高斯白噪声，W由N×N维的DFT矩阵的前L列构成，h＝［h（0），h（1），…，h（L-1）］T表示信道脉冲响应构成的列向量，离散信道脉冲响应的表达式为

式中：L表示信道长度，hl表示第l信道路径上的复增益。由于实际多径信道中显著路径较少，即仅有少数hl有非零值，因此信号h具有稀疏性，设其稀疏度为K，且满足K≪L。

通过P×N维的选择矩阵S从N个子载波中提取P个子载波用于传输导频符号，矩阵S由N阶单位阵中对应导频位置的P行构成。对式（5）左乘矩阵S得到导频处接收信号为

式中：A＝XPWP为P×L维矩阵。对比式（7）和式（3）可以看出，可以由接收导频信号yP和恢复矩阵A近似地重建稀疏信道脉冲响应h，但重建精度将受到信道噪声的影响。

考虑到OFDM稀疏信道中噪声对压缩感知重构精度的影响，本文联合小波去噪理论和压缩感知重构算法提出了一种自适应阈值的压缩感知信道估计算法，其算法流程如图1所示。

图1 自适应阈值的压缩感知信道估计算法流程

该算法首先利用小波阈值去噪对LS估计得到的信道频率响应进行处理，在消除预估计信道频率响应中的噪声分量的同时获得信道中噪声标准差，最后应用本文所提的分段自适应弱正交匹配追踪（Stagewise Adaptive Weak Orthogonal Matching Pursuit，SAWOMP）对信道脉冲响应进行重构。

2.1 小波阈值去噪理论

小波阈值去噪理论的基本思想是将含噪信号分解为各个尺度下小波系数，保留最大尺度下的近似小波系数，对于各尺度的细节系数设定不同的阈值，幅值低于阈值的小波系数置零，高于阈值的小波系数完整保留，最后将处理后小波系数进行逆小波变换恢复信号，过程如图2所示。由于信号与噪声经过小波变换后在小波域中表现出不同的特征：有效信号的能量集中于近似系数和少量幅度较大细节系数中，而白噪声经过小波变换后仍然广泛分布于整个小波域中，且幅度相对较小［12］。因此小波阈值去噪算法能够通过对部分小波系数置零的方式，实现信号中噪声的消除。

图2 小波阈值去噪算法原理

本文采用Mallat算法对信号进行小波分解和重构，令cj（n） 表示尺度为j的近似系数，其中c0（n）为待去噪信号，将其分为j＋1尺度下的近似系数cj＋1（k） 和细节系数dj＋1（k）， 过程如下

式中：h（n），g（n）分别表示小波分解低通滤波器和高通滤波器的系数。

小波重构是分解的逆过程，其公式如下

式中：h′（n），g′（n） 分别表示小波重构低通滤波器和高通滤波器的系数。观察式（8）和式（9）可以发现，Mallat算法实际上是将上层小波近似系数cj（n）与滤波器进行卷积运算的结果再进行下采样，得到下一层分解的小波系数，因此Mallat算法能够降低小波变换的运算量，实现信号的快速分解和重构。

待去噪信号经过小波变换后获得的小波系数将根据阈值函数进行保留或置零处理，传统的阈值函数主要有软阈值和硬阈值两种，阈值函数的选取对小波去噪算法的最终效果具有重要的影响。考虑到软阈值函数可能会平滑掉导频处信道频率响应的奇异点，使得去噪结果出现较大失真，而硬阈值函数能够很好地保留信号的边缘局部特征，因此本文采取硬阈值函数对各尺度的小波系数进行处理，硬阈值函数的表达式为

式中：dj为尺度j的小波细节系数，表示尺度门限值，参数N表示信号长度。尺度门限取值依赖于信号中噪声强度σ，Donoho和Johnstone提出噪声标准方差估计方法［13］如下

式中：d1，k表示尺度为1的小波系数，median（·）表示取中间值。

根据上述小波阈值去噪原理，将LS算法初步估计出的信道频率响应进行小波阈值降噪处理。采用与瑞利信道特性相符的Haar小波作为小波基函数确定滤波器系数，将分解尺度设为2，根据式（8）和式（9）将输入信道频率响应分解为各个尺度下的近似系数和细节系数，利用式（12）获取信道中噪声标准差，并使用硬阈值函数处理细节系数，最后将近似系数与处理后的细节系数进行重构得到消噪的信道频率响应。

2.2 SAWOMP算法

SWOMP是基于分段正交匹配追踪（Stagewise Orthogonal Matching Pursuit，StOMP）的改进算法，它克服了StOMP采用固定阈值而导致算法应用场景单一的问题，并引入阈值参数α，其取值范围是α∈（0，1］，该参数利用恢复矩阵与残差的相关性来产生原子选择门限。其门限计算方法如下

式中：η表示原子选择门限，u表示迭残差与恢复矩阵原子内积构成的集合，max（·）表示取最大值。对式（13）观察可得，当α取值越大时，原子选择门限随之增大，因此每次迭代选择原子越少；
当α取值越小时，原子选择门限也随之降低，选入支撑集的原子数量增加。SWOMP也保留了StOMP算法不需要已知稀疏度的优点，通过输入迭代次数作为迭代停止条件。但其阈值参数与迭代次数都依靠人为设置，不能根据噪声水平实现重构精度与算法效率的取舍。针对这个问题，本文在SWOMP的基础上，提出了一种根据噪声水平自适应改变阈值参数的SAWOMP重构算法，具体流程如算法1所示。

算法1 SAWOMP算法

在SAWOMP算法中，首先根据输入噪声标准差进行计算阈值参数，受文献［14］启发，本文设计了一种幂函数型的阈值参数变化方式。根据幂函数y＝xλ（0＜λ＜1）具有函数值随自变量增加逐渐增大，但增长速率趋于缓慢的变化特性，噪声标准差σ较小时，阈值参数α保持较低的水平，每次迭代选择更多原子加入支撑集，增加算法效率；
当噪声标准差σ较大时，阈值参数α随之增大，使得原子选择门限提高，减少冗余原子选入支撑集的概率，提高重构精度。根据多次仿真验证，令步骤1中a＝0．9，b＝0．3，能够保证 SAWOMP在不同噪声水平下兼顾算法效率和重构精度。同时，SAWOMP改进了SWOMP通过到达设定迭代次数停止算法的方式，在步骤7中将每次迭代残差与预处理信道频率响应之差作为算法终止条件，以防止出现因迭代次数不足或过多而造成重构精度下降的问题。

为了验证本文所提的信道估计算法的有效性，同时对比与传统算法的性能差异，采用Matlab软件搭建OFDM传输系统仿真模型，具体仿真配置参数如表1所示。本文的所有仿真结果均通过5 000次独立蒙特卡罗试验获得。

表1 系统仿真配置参数

首先，图3显示了SAWOMP算法的阈值参数α在不同信噪比下的取值情况。在本文所提方法中，通过小波阈值去噪算法首先对信道中噪声水平进行了估计，然后利用估计的标准差控制阈值参数，从而实现重构算法的原子选择门限随信噪比自适应变化。从图中可以看出，SAWOMP算法的阈值参数在低信噪比下调整为较大取值，如信噪比在0～5 dB范围中，参数α的取值均大于0.75，此时提高了原子选择门限，以防止冗余原子选入支撑集，故算法精度得到了提升。在较高信噪比的条件下，如15～25 dB，参数α的取值下降到0.65左右，每次迭代选入支撑集的原子增加，并且较低的噪声水平也令迭代算法不容易引入错误原子。因此本文所提SAWOMP的自适应阈值方法能够实现不同信噪比下算法效率和重构精度的平衡。

图3 SAWOMP算法在不同信噪比下阈值参数变化

定义信道估计归一化均方误差（Normalized Mean Square Error，NMSE）为

式中，h表示实际信道脉冲响应，表示信道脉冲响应估计值。通过式（14）可以看出，NMSE值越小，算法估计越精确。

图4对比了本文所提算法与基于 OMP、SWOMP、SAMP的信道估计方法的NMSE性能在不同信噪比下的差异，其中SWOMP算法的门限参数设置为0.7，SAMP算法的步长分别设置为1和2。从图中可以看出，随着信噪比的增加，几种不同的信道估计算法的均方误差曲线都出现下降的趋势。其中，OMP算法由于已知信号的稀疏度，其估计精度要优于SWOMP算法。另外，仿真结果显示SAMP算法在不同的步长下具有较大的性能差异：当算法设置步长为1时，SAMP算法能够更加精确地选取原子，并通过回溯机制剔除冗余原子，保证重构的精确度，使得其NMSE性能在几种算法中最优，但步长过小将导致SAMP算法的迭代次数增加，牺牲了算法效率；
当步长设为2时，SAMP算法的重构精度下降明显。本文提出的SAWOMP算法通过将噪声水平与选择门限关联，并改进迭代停止条件，算法性能要优于SWOMP以及OMP算法，特别是在较低信噪比下，例如 SNR为 5 dB时，所提算法相较于SWOMP的均方误差大约下降了2 dB。

图4 不同算法的NMSE对比

图5描述了上述算法在信噪比为0～25 dB时系统的误比特率（Bit Error Rate，BER）性能。在移动通信系统中，接收端需要根据估计出的信道响应对接收信号进行均衡，从而抵消信道特性对传输信号的影响，以此来降低恢复发送信息的错误概率，因此误比特率能够衡量信道估计算法的准确性。仿真结果表明，各算法的误比特率随着信噪比的增大都呈现下降的趋势。本文所提算法在BER性能上要优于 SWOMP算法、OMP算法以及步长为 2的SAMP算法。对于步长为1的SAMP算法，由于其采用了回溯机制并且通过较小步长更加精确地选择原子，使得该算法的误比特率低于SAWOMP算法，但此时其复杂度也显著高于其他算法。

图5 不同算法的BER对比

为了比较各算法的时间复杂度差异，本文统计了基于OMP算法、SAMP算法、SWOMP算法的信道估计方法以及所提算法在不同信噪比下的单次运行时间，如图6所示。随着信噪比的增加，观测向量中噪声分量减少，几种算法能够更加精确地选中有效原子，从而减少迭代次数，降低算法运行时间。在相同信噪比条件下，本文提出的SAWOMP算法的运行时间要低于SAMP算法，高于OMP算法和SWOMP算法。根据文献［15］对重构算法的复杂度分析可知，每轮迭代的时间复杂度主要来自于矩阵求逆运算，该运算的时间复杂度至少为O（k3），k表示本轮迭代稀疏度估计值。对于SWOMP算法，每次迭代在计算最小二乘解时进行一次矩阵求逆运算，SAMP算法由于加入了回溯机制，在计算残差处需要进行第二次矩阵求逆运算，因此SAMP的复杂度高于SWOMP算法。本文提出的信道估计算法在LS信道估计和小波去噪的预处理阶段算法复杂度为O（N），其中N代表导频数量，重构算法的时间复杂度与SWOMP近似。因此，本文所提的信道估计算法在SWOMP的基础上，通过增加少量复杂度获得了较高的估计性能提升，在信道估计场景中具有更高的实用性。

图6 不同算法的运行时间对比

本文基于OFDM信道响应的时域稀疏性质，提出了联合一种小波阈值去噪和压缩感知理论的信道估计算法。该算法在预处理阶段，通过小波阈值去噪理论对信道中噪声水平进行估计，并消除LS算法估计的信道频率响应中的噪声分量，在压缩感知重构阶段，利用估计的噪声标准差影响阈值参数大小，以实现阈值随信噪比的自适应变化，最后将降噪处理的信道频率响应作为重构算法的迭代停止条件，克服了部分重构算法依赖信号稀疏度的缺陷。本文从NMSE、BER、运行时间和算法复杂度4个方面对比验证了所提方法的有效性。仿真结果表明，本文所提方法相较于SWOMP算法虽然略微增加了算法复杂度，但估计精度有较大的提升，接近于复杂度最高的SAMP算法。