人教A版高中数学教材基本不等式编排的商榷

石勇国，吴佳昕，徐小琴

(内江师范学院 数学与信息科学学院，内江 四川 641100)

“教科书是读者最多、最特殊、最被读者信赖甚至依赖、最耗费读者精力和时间、对读者影响最深远的文本[1].”“教科书依然是课堂教学的命脉；
在许多情形下, 课程实际上就取决于教材[2].”教材是学科知识的具体展台, 是师生教与学的主要教学材料. 任丹凤[3]提出：“教材的优劣与教材编写者的教育教学理念、学科知识功底和教学法理论水平、心理学知识、教学经验以及对教材的革新意识有着密切的关系. ” 研究教材、开发教材、质疑教材、评价教材是教育工作者的基本素养[4-8]. 由于川南地区某些中学使用人教A版教材，其中基本不等式章节承前启后，非常重要，同时也具备较好的探究价值. 本文探讨人教A版教材基本不等式章节在问题引入、基本概念、数学史与数学文化、思维引导、结果推广、证明方法多样性、经典案例选取、插图等编写方面的合理性与优化问题, 给出了评价与修改建议. 促进师生在教学中思考，帮助编写者在改编中作为参考，不断完善改进.

数学教材编排的一般模式是：问题引入—实验猜想—验证证明—多元表征—应用举例—分层练习—数学阅读. 其中，问题引入作为章节知识引航者，引入设计尤其重要.

“基本不等式”是人教A版高中《数学》教材必修五第3章第4节的内容. 该章节以 2002年北京召开的第24届世界数学家大会会标中的弦图作为情景引入, 提出如下问题: “你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?”

该引入的问题有点宽泛，导向不够明确，学生极大可能推导出勾股定理，而很难导出算术几何均值不等式这个主题. 为了直击主题，建议以更加直接的方式设问，例如，考虑选取下面的问题引入课题.

根据皮亚杰的学习心理学，当新的问题难以使用已有知识解决时，也就造成了学生认知的失衡或冲突. 上述问题明确且容易造成这样的失衡，更加有利于激发学生的学习动机，从而促使学生更深入地参与课程活动.

类似地，可设对偶的问题：

考虑一个边长为x和y的长方形，因此它的周长为2x+2y，面积为xy.同样，所有边长为(x+y)/2的正方形的面积均为(x+y)2/4，并且与长方形的周长相同，均为2x+2y，但是面积不同，问：等周长的长方形中哪个长方形面积最大?

算术几何均值不等式的最简单的非平凡情况也意味着，对于长方形与正方形的面积，(x+y)2/4≥xy，换句话说，在所有周长相等的长方形中只有正方形具有最大的面积.

首先，在教材的整个章节中，没有给出基本不等式的正式定义，对于“基本”这个前缀形容词也没有内涵解释，概念模糊不清. 建议采用人们现在都接受的名称：算术几何平均不等式.

实际上，一些常见的、重要的基本不等式还有三角函数相关不等式、伯努利不等式等，用基本不等式特指算术几何平均不等式有两方面不妥. 一方面，学生容易模糊不等式的范围；
另一方面，容易造成认知上的错误，学生会误认为其他不等式可能均由基本不等式导出.

数学教材要强调知识生成过程中的数学思想方法，需要通过数学学科背景中的历史渊源、人文典故、哲学内涵、思政等元素进行文化育人，提升学生数学文化修养[9-10]．

该教材除了使用第24届国际数学家大会的会标以外，没有任何关于算术几何平均不等式产生、证明、推广的人文典故介绍. 事实上，均值不等式有丰富的历史文化背景.

公元前1822年至公元前1762年，古巴比伦数学泥板的“和差术”(见图1)(a+b)2-(a-b)2=4ab以及代数证明，可轻松证明基本不等式．

图1 古巴比伦数学泥板

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷六命题8的推论中定义了几何中项：“如果在一个直角三角形中，从直角点作一条垂直于斜边的垂线，那么这条垂线段是斜边上两条分得的线段的比例中项．”即著名的射影定理(见图2)．毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了三类中项：算术中项、几何中项与调和中项(见图2、4)．

图2 几何平均与射影定理

公元前 2 世纪左右，古希腊数学家芝诺多鲁斯在《论等周图形》一书中给出了等周问题:“在边数相同的等周多边形中, 等边且等角的多边形面积最大”[11].

公元3世纪，三国时期数学家赵爽对《周髀算经》中的“勾股圆方图”进行注解，做出了著名的赵爽弦图(见图3)．该图不仅用于勾股定理的证明，还可以利用图形之间的面积关系，得到基本不等式的几何证明．

图3 赵爽弦图

公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯开始研究这些中项的图形表示(见图4)．他率先从一个半圆形与直角三角形出发，找到了调和中项的作图法．得到了DE≤DC≤DO≤DF，即调和中项≤几何中项≤算术中项≤均方根[12]。

图4 调和中项、几何中项、算术中项与均方根

2016年，第七届国际数学教育大会的会徽(见图5)，进一步体现数学家将基本不等式用几何直观方式拓展成不等式链．

在展示这些数学历史背景、人文故事的同时，将数学家的探索过程融入其中，让学生穿越时空，与这些伟大的数学家对话交流，走进他们心灵深处，了解思想之源，树立学习数学的自信心、荣誉感；
体会数学家孜孜不倦、不断进取、开拓创新的精神，潜移默化，润物无声，从而达成“德育之效”．

图5 第七届国际数学教育大会的会徽

由于教材有篇幅、字数的限制，以及简洁性的要求，建议补充少量有价值的人文元素，或在阅读材料中补充关键性的史料，拓宽学生的视野．

《普通高中数学课程标准 (2020年)》指出：
“素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性”，“课程内容的呈现, 应注意反映数学发展的规律, 以及人们的认识规律, 体现从具体到抽象、特殊到一般的原则”的转变. 此外，曾天山[13]认为教科书对学生的拓展性思维起着引导作用.

人教A版教材仅给出了均值不等式中最特殊的一个，没有进行推广，没有给出一般情形；
其次，证明方法给出代数与几何各一个方法，缺乏证明方法的多样性. 放弃追求知识的繁殖能力，忽视了培养学生的探索精神与再创造的激情.

因为均值不等式内在的简洁对称美以及广泛的应用与推广，非常适合拓展．这能够使学生有效地了解均值不等式的本质，理解学科知识的联系，加深对数形结合思想的理解，对后续研究性的学习有着事半功倍的效果．

4.1 不等式(链)的推广

强化不等式链的统一几何解释以及应用，达到对知识的拓展和思想方法的灵活运用．

构造如图2所示的图像，设置算术平均数、几何平均数、圆的半径和直角三角形射影定理之间的知识迁移．先探索几何平均数的几何表示．接着构造两个新的直角三角形(见图4)，进而得到调和平均数和均方根的几何表示．将均值不等式从2项，拓展到均值不等式链的4项．

以第七届国际数学教育大会的会徽为例，它的主题图案(见图5)是由一连串直角三角形(见图6)演化而成，请学生自主探索，写出更多项的均值不等式链．

图6 构造不等式链几何图形

在抓住本质之后，掌握了2项的基本不等式可以由1个直角三角形斜边与直角边的大小关系得到，可以进一步构造多个相互关联的直角三角形(以斜边作为另外一个新三角形的直角边，或以直角边作为另外一个新三角形的斜边，一直类似构造，得到一串直角三角形)，引导发现一系列项的基本不等式链．因此，抓住了本质，才有机会进一步拓展，超越现有的知识内容，不断进行创造与发展．

图7 练习拓展

对于数学教育大会会徽，可以设置如下练习题：如图7所示，其中

OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，

若将此类三角形连续做下去，记四边形OA1A2A3，OA2A3A4，…，OAnAn+1An+2，…面积的倒数构成数列{an}，且这个数列的前n项和为Sn，则a1的值为，S99的值为．

分析：结合直角三角形的特征、勾股定理、面积公式以及基本不等式，使用裂项相消法即可求解Sn以及{an}的通项公式，代入相应数值，此题可解．

解：由题意得

故

由基本不等式衍生出众多不等式链，例如重要不等式链：若a>0，b>0，则

当且仅当a=b时等号成立．如何将此不等式链扩展到3个数?若a>0，b>0，c>0，则有

以及恒成立的不等式

a2+b2≥2ab(a∈R，b∈R)；

a2+b2+c2≥ab+bc+ac
(a∈R，b∈R，c∈R)．

4.2 证明方法的多样性

除了教材上几何解释和代数证明两种方法以外，还有梯形中项图以及其拓展图、直角三角形外接圆(结合射影定理)、直角三角形链、两个外切圆构造等众多几何证法．我们列举其中三种.

4.2.1 梯形中项

图8 梯形中项

4.2.2 构造直角三角形外接圆

图9 构造直角三角形外接圆

4.2.3 构造两个外切圆

如图10所示，构造直径分别为a、b的两外切圆，则

图10 构造两个外切圆

教材中对均值不等式依次给出了几何与代数证明，方法较单一，不利于学生发散思维的培养. 选择多种证明方法，能让学生灵活运用所获得的知识，达到“举一反三”“由此及彼”“触类旁通”的效果．建议其他有趣的方法可以放在思考题或练习题里面，培养学生的发散思维.

杨骞[14]认为，在选材时, 应力求反映这样几点: 与生活和生产实际密切相关, 与其他学科相互配合、相互渗透; 既有真的结论, 又有假的命题; 数学美的因素; 数学的工具性. 在编排时, 应力求：体现数学的历史发展和数学认识的规律; 建立以数学理论为基础、数学应用为重点的螺旋式上升的体系; 建立以归纳思想为主、逻辑方法为辅的开放体系; 建立过程与结果相匹配的动态体系.

教材中列举了菜园面积与周长问题和水池造价最低问题. 这两个问题虽然常见，但不够经典. 此处所谓的经典案例是指被广泛使用，或涉及多学科知识交叉，或涉及人文故事，而且有专门的名词与条目的案例. 建议补充或选取 “羊圈问题”“不等臂的天平问题”“采购员购粮问题”“平均速度问题”等经典问题，突出均值不等式应用的价值，同时体现人文历史价值．

5.1 羊圈问题

小明的爸爸圈出了一块长40米，宽15米的长方形土地，面积刚好是600平方米．但他只准备了围100米的篱笆．如果把羊圈围成长40米，宽15米的长方形，其周长将是110米．现在的方案是要么按照原计划修建，但就要再多花费10米长的材料钱；
要么是缩小面积，但每头羊的平均居住面积就会减少．小明的爸爸感到很为难，他既不想多花钱，也不想缩小范围．

于是聪明的小明提出了一个方案帮助爸爸解决了这个问题．他将原来15米的边长延长到25米；
又将原来的40米边长缩短到25米．这样，原来计划中的羊圈变成了一个边长为25米的正方形，其周长是100米，而面积是625平方米．如此一来，篱笆也够了，面积还变大了．

小明是如何想到的?实际上，设篱笆长为x米，则宽为(50-x)米，于是

当且仅当x=50-x，即x=25时．羊圈面积最大，为625平方米．

5.2 不等臂天平问题

有一台不等臂天平，把物体放在左盘，称出其质量M1，再将同一物体放入天平的右盘，称出其质量M2，求该物体质量．

一个自然猜想是，该物体质量等于两次测量的平均值．下面验证这个猜想．

精选典型案例，不仅可以激发学生兴趣，启发心智，还能够促进学生持续地研究．通过典型案例，引导学生明确教学意图、拓展与其他学科知识联系、熟悉数学思想方法、强化情感态度和价值观．学生通过操作练习、学习与思考，全面把握知识的本质．

由于数学的抽象性，适当用插图帮助学生理解是很有必要的. 另外, 教科书中的很多内容, 用文字描述需要很大的篇幅, 然而用插图形象直观地呈现, 相关内容则变得一目了然. 教材插图是师生学习理解教材内容的重要媒介. 宋振韶[15]认为从认知心理学的角度来看, 教科书插图有装饰、解释和促进3种功能. 陈翠花等[16]阐述了教科书插图的教育和课程意义: 教科书插图直观形象, 有助于抽象概念的理解; 内涵丰富, 有助于开阔视野; 少言无声, 有助于丰富想象力; 静止稳定, 有助于进行观察; 情景呈现, 有助于进行探究;“形”“神”结合, 有助于加深印象; 形式的情感化，有助于国情世情教育：内容的生活化，有助于增强应用意识.

对照上述插图功能与意义，我们对该章节插图有如下建议：

(1)删减冗余图形.有两幅图3.4-1和3.4-2均用于表述引入的问题，位置排放分离且杂乱，建议合并横放. 由于3.4-2中第二幅子图已经直接给出数学化简图，因此3.4-2中的第一幅子图多余，可以删掉或替换成著名的赵爽弦图.

(2)图标与内容相匹配. 教材中探究的图标是一把门锁，然而定义两个平均数的图标是一把钥匙，与探究的门锁表达意思不相称. 此外，门锁的设计有点歪，未放正，而且不直观.

(3)展示插图的促进功能. 图3.4-3用于表述探索的内容. 编者的主要用意是用射影定理以及直角三角形的斜边长大于直角边长推导均值不等式. 其中，最关键的是直角三角形，插图3.4-3缺少这样启发性的辅助图形，为了更好地引导学生，需要补充画出一个辅助的直角三角形，启发学生联想到射影定理以及直角三角形边长不等式，达到插图的促进功能.

(4)增加插图的注释. 例2、习题A组第2题、B组第2题的三幅图形出现类似的问题，首先三幅图编号缺失，解释功能缺失，没有体现数学内容. 为了解释应用题的内容，需要相应补充他们抽象化、数字化的配图，对水池抽象化图，同时，应标注出水池的深度、长与宽的数值，方便学生理解. 插图通过展示抽象化、数学化的示范，培养学生抽象化的数学素养. 习题的两幅图亦可做类似处理.