一个新的四维忆阻混沌系统的设计与分析

张贵重，张建强,2，全 旭，刘 嵩*

(1.湖北民族大学 智能科学与工程学院，湖北 恩施 445000；
2.华中师范大学 物理科学与技术学院，武汉 430070)

1971年，美国加州大学蔡少棠基于变量组合完备性原理首次提出忆阻器的概念[1]，并在2008年5月由惠普公司实验室首次制作出忆阻器的实物模型[2].忆阻是除电阻、电感和电容外第4种基本电路元件，其在工程领域具有潜在的应用价值.因此，研究并构建具有复杂动力学行为的忆阻混沌系统显得尤为重要.

Jian等[3]通过在三维自治混沌系统中加入忆阻器和交叉积项，新系统存在一个具有线平衡点的四涡卷超混沌吸引子.Li等[4]在Lü系统的基础上引入忆阻器，给新系统带来了丰富且复杂的动力学行为.包伯成等[5]利用忆阻替换已有三维混沌系统中的耦合电阻，使新的超混沌系统具有无限多隐藏共存吸引子.孙克辉等[6]将分数阶微积分引入到忆阻退化Jerk系统，增加了一个自由度，使系统的性能大幅度提升.Bao等[7]把一个理想有源磁控忆阻引入到已有的系统中，新系统具有4个线平衡点，并可呈现依赖于初始条件的超级多稳定现象.阮静雅等[8]将忆阻器作为正反馈项引入Lorenz系统，观察到了共存吸引子与状态转移现象.由于忆阻模型的引入，大多系统具有线平衡点，进而导致诸如自激吸引子、隐藏吸引子、共存吸引子和共存无限多吸引子等奇异动力学行为.这些特性使得混沌和忆阻器在图像加密[9-11]、神经元与突触[12-14]、神经网络[15-17]、混沌系统[18-20]和混沌振荡[21]等领域得到了广泛应用.

Yang等[22]提出了一个简单的三维自治系统，该系统具有1个鞍点和2个稳定结焦点，存在一个双涡卷混沌吸引子。基于文献[22]，本文首先将磁控忆阻器引入至已有的三维混沌系统，构建了一个新的四维忆阻混沌系统，与原系统相比，新系统有着更复杂的动力学行为.然后对忆阻系统进行混沌特性分析，包括平衡点与稳定性，以及随参数变化的分岔图和李雅普诺夫指数谱等.最后设计了系统的电路，实验结果与数值仿真一致，为设计高性能的保密通信系统和图像加密系统奠定了理论基础.

将忆阻器引入文献[22]提出的三维混沌系统，构建了一个新的四维忆阻混沌系统，其无量纲方程可描述为

(1)

其中x、y、z、w为系统的状态变量，a、b、c、e、f为控制参数，d表示忆阻强度.所选用的非线性磁控忆阻器W(φ)，它的端电压v和端电流i之间的关系为

(2)

其中忆导函数的表达式[5]为

W(φ)=m+nφ2.

(3)

式(3)中，m和n均大于零.

选择参数a=8,b=40,c=1,d=1,e=4,f=2.5,m=1,n=0.1,初始值选为(2,0,2,0).通过Matlab仿真得到的混沌吸引子相图如图1所示.由图1可知，混沌吸引子是双涡卷的.选取以上的参数和初值，由Wolf算法求

(a) x-y平面 (b) x-z平面

(c) y-z平面 (d) y-w平面图1 混沌吸引子的相图Fig.1 The attractor and phase diagram of the chaotic system

得4个李雅普诺夫指数分别为LE1=0.823 0,LE2=0.049 2,LE3=-0.232 6,LE4=-11.140 0.对应的李雅普诺夫维数计算如下：

(4)

由于4个李雅普诺夫指数满足(+,+,-,-)的分布特点且4个指数之和小于零，即系统处于超混沌状态.

系统变量x、y在z=35平面上的庞加莱映射以及0-1测试如图2所示，庞加莱映射有非规则翼肢并且0-1测试图为非规则的布朗分布，进一步表明忆阻系统处于混沌状态.

(a) 在z=35截面上的庞加莱映射(b) 0-1测试：p-q 混沌动力学图2 庞加莱映射和0-1测试Fig.2 Poincaré mapping and 0-1 test

2.1 耗散性

系统(1)的耗散度：

(5)

当a=8,f=2.5时，系统(1)的耗散度∇V<0，说明系统是耗散性的，且以指数形式dV/dt=e-(a+f)t收敛.即当t→∞时，含有系统轨线的每个体积元都会以指数率收缩至0，因此系统(1)的所有运动都将固定到一个吸引子上.

2.2 平衡点与稳定性

令式(1)左边全部为0，可得：

(6)

由式(5)可求出该系统的平衡点集O为

O={(x=y=z=w)|x=y=z=0,w=u},

(7)

其中u为任意的常数，系统具有线平衡点，表明系统具有无穷多个平衡点.在平衡点附近线性化系统(6)，可得系统的雅可比矩阵为

(8)

求得该雅可比矩阵J的特征式方程为

λ(λ+f){λ(λ+a)-[ab-adW(u)]}=0,

(9)

将参数a=8,b=40,d=1,f=2.5,m=1,n=0.1代入，求解出4个特征值分别为

(10)

2.3 依赖于参数的动力学行为

由于系统(1)具有无限多平衡点，因此该系统具有丰富的动力学行为.下面通过改变忆阻强度d以及内部参数n，计算该系统的分岔图和李雅普诺夫指数谱.

1) 固定参数a=8,b=40,c=1,e=4,f=2.5,m=1,n=0.1，当忆阻强度d在0～28范围内逐渐增加时，通过Matlab绘制出状态变量y的分岔图与前3根李雅普诺夫指数谱分别如图3(a)和图3(b)所示.经分析，当d在0～6内变化时，系统处于混沌状态.当d在6.00～6.65内变化时，系统的4个李雅普诺夫指数呈(0,-,-,-)分布，系统处于周期1状态.当d在6.65～8.61区间内，系统处于混沌状态.在d=8.61处发生切分岔，混沌状态突变为周期1状态，随后进入弱混沌状态.当d在11.0～13.9内变化时，系统处于周期7状态，并经过短暂的弱混沌状态变为周期1极限环.在d=16.04处发生倍周期分岔，最后在d=25.6处系统发生逆倍周期分岔，变为周期1极限环.

(a) 状态变量y的分岔图 (b) 李雅普诺夫指数谱图3 混沌系统随忆阻强度d变化的分岔图和李雅普诺夫指数谱Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents spectrum of chaotic systems with memristor intensity d

2) 固定参数a=20,b=40,c=1,d=1,f=2.5,m=1，当忆阻内部参数n在0～3.5范围内逐渐增加时，通过Matlab绘制出状态变量z的分岔图和李雅普诺夫指数谱分别如图4(a)和图4(b)所示.当n在0～1.32内变化时，系统处于混沌状态，且在n=1.1附近有较大的周期窗.当n在1.32～1.44内变化时，4个李雅普诺夫指数呈(0,0,-,-)分布，系统处于准周期状态，当n=1.4时对应的相轨如图5(a)所示.当n在1.44～1.95内变化时，系统由准周期变为周期3极限环，当n=1.65时对应的相轨如图5(b)所示.当n在1.95～2.55内变化时，且当n=1.95时系统产生混沌危机，由周期态转为混沌状态.当n在2.55～2.85内变化时，由于最大李雅普诺夫指数相对较小，此区间系统处于弱混沌状态，当n=2.65时对应的相轨如图5(c)所示.当n在2.85～3.50内变化时，系统由弱混沌转变为周期1极限环，当n=3.2时对应的相轨如图5(d)所示.

(a) 状态变量x的分岔图 (b) 李雅普诺夫指数谱图4 混沌系统随忆阻内部参数n变化的分岔图和李雅普诺夫指数谱Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents spectrum of chaotic system with memristor internal parameter n

图5 不同n值在x-y平面的混沌吸引子Fig.5 Chaotic attractors with different n values in the x-y plane

为进一步验证系统的可行性，采用电阻、电容、运算放大器和乘法器等效实现忆阻器，其电路模型如图6所示.

图6 忆阻模型的等效电路Fig.6 The equivalent circuit model of the memristor

将该忆阻器作为反馈项引入三维系统中，构建系统(1).由于采用的LM741运算放大器的容许电压为±18 V，AD633乘法器的容许电压为±10 V，而变量x、y、z和w的动态范围分别约为(-10,10)、 (-20,20)、(0,80)和(-5,10).因此先要对系统的状态变量进行非均匀比例压缩变换，令(x,y,z,w)→(10x,10y,10z,10w).变换后的系统方程如下：

(11)

对所得方程作时间尺度变换，令τ=τ0t,τ0=1 000,得

(12)

根据系统(1)，设计仿真电路如图7所示.

根据所设计电路，结合基尔霍夫定律以及元件伏安特性，列出状态方程如下：

(13)

结合式(12)(13)对应系数.当控制参数a=8,b=40,c=1,d=1,e=4,f=2.5,m=1,n=0.1时，计算得出各个元件的值为C1=C2=C3=Cw=10 nF,R1=R2=10 kΩ,R5=R10=10 kΩ,R6=Ra=1 kΩ,R9=40 kΩ,Rb=100 kΩ,R3=R4=R7=R8=10 kΩ,Rc=10 kΩ.得到的仿真结果如图8所示，所得图形与前述仿真结果基本一致，再次证实了混沌系统的正确性和可行性.

图7 忆阻混沌电路原理Fig.7 Schematic diagram of memristor-based chaotic circuit

图8 忆阻混沌系统的电路仿真图Fig.8 The circuit simulation results of the memristor chaotic system

在三维混沌系统上引入非线性磁控忆阻器，构造了一个新的忆阻混沌电路.相比较而言，新的系统具有无限平衡点集，以及更复杂的动力学行为.通过0-1测试、庞加莱映射、分岔图和李雅普诺夫指数谱进行分析，发现该系统存在混沌特征.最后基于Multisim平台设计并搭建了忆阻混沌电路，通过示波器观察到了4个平面的吸引子，进一步证实了此系统的正确性和可行性，为其在类脑计算、神经网络、混沌通信以及图像加密等方面提供了理论基础.