基于最小二乘的FAST主动反射面板调节模型

李 骏,蔡净伶,郑丽娟,杜佳佳

(四川文理学院 数学学院,四川 达州 635000)

中国天眼—500 米口径球面射电望远镜(简称FAST),为天体样本观测提供了便利. 它的建立大幅增加科学家观测天体的样本数目,提升天体观测质量,为现代物理学的统计检验、天文学的理论和模型研究等提供了支持,推动我国的射电天文迈入新台阶. FAST 的主动反射面可分为两个状态:基准态和工作态. 基准态时反射面为一球面(基准球面)；
工作态时反射面的形状被调节为一个近似旋转抛物面(工作抛物面). 当FAST 观测某个方向的天体目标S 时,馈源舱接收平面的中心被移动,调节基准球面上的部分反射面板形成一个近似旋转抛物面,从而将来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域. 在反射面板调节约束下,确定一个理想抛物面,然后通过调节促动器的径向伸缩量,将反射面调节为工作抛物面,使得该工作抛物面尽量贴近理想抛物面,以获得天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果.

问题:结合考虑反射面板调节因素,确定主动反射面板理想抛物面；
建立反射面板调节模型,使反射面尽量贴近该理想抛物面,并将理想抛物面的顶点坐标,以及调节后反射面300 米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果给出.并依据所给出的反射面调节方案,计算调节后馈源舱的接收比,并与基准反射球面的接收比作比较.[1]

模型假设:

(1) 不考虑下拉索张力；

(2) 工作状态时整个反射面板的形状为抛物面；

(3) 忽略圆孔对面板反射的影响；

(4) 电磁波信号及反射信号均为直线传播；

(5) 反射面板的厚度忽略不计；

(6) 基准态式的反射面板是相同的等边三角形,且质地均匀.

表1 符号说明

根据观测天体与基准球面球心以及馈源舱接收平面的中心与焦面交点的特殊位置关系以及赛题中给出的所有坐标的绘图,构建空间几何关系的抛物面方程的数学模型.[2]针对不同角度下的理想抛物面根据空间中的点关于原点旋转的坐标变换关系矩阵,得到旋转之后的理想抛物面的参数方程. 以节点伸缩量的变化坐标为变量,以伸缩量变化的限定条件建立单目标非线性优化模型,找出理想抛物面与调节后抛物面的偏差函数,建立优化模型求出最优伸缩量.[3-4]

考虑反射面板在主索网的三角网格中,反射面板为三角形. 任一反射面板的信号反射到馈源舱所在平面的形状为三角形,探究其在馈源舱有效区域的占比情况,得到一个反射面板的馈源舱接收比. 根据问题中主索节点坐标为对应反射面板坐标,寻找三角板入射信号与出射信号平面. 通过确定出射信号的方程,寻找出射信号方程与馈源舱所在平面交点,得到出射信号在平面组成三角形的大小情况. 计算三角形与馈源舱有效区域的重合面积大小,得到一个反射面板对于馈源舱的信号反射比. 通过对300米口径内所有反射面板的信号反射比进行相加,得到馈源舱的接收比.

4.1 主动反射面运动机理

FAST反射面单元在其三个主索节点上都有连接装置,并与支承系统组建成一个反射面系统.FAST 主动反射面由基准状态转为工作状态时,需要通过下拉索来实现变位,下拉索与促动器配合实现由球面变形为工作抛物面.我们设想,球体表面上有一节点O(处于照明区域),其下方一条下拉索沿球体直径方向,现在需要通过调节该下拉索以使得该节点能够到达工作抛物面的一点O＇上,在理论的情况下,该节点应该到达我们所设想的点O＇上,但在现实中,往往由于系统本身存在一定的测量误差等因素的介入,使得变动后的节点与工作抛物面上点O＇重合度产生偏差,移动到了O″,所以对理想抛物面的求解,即要偏差最小.

4.2 S 位于基准球面正上方时,反射面板的理想抛物面模型.

基准球面是FAST 的主要结构,依据赛题中所给的数据,通过MATLAB 绘图,得到基准球面的三维图(如图1),其俯视图(如图2).

图1 基准球面的三维图

图2 基准球面俯视图

观测天体S位于基准球面的正上方,即S位于基准球面球心C点的正上方,馈源舱接收平面的中心被移到直线SC与焦面的焦点P处,所以S、C、P位于同一直线上,调节基准球面上的部分反射面板形成SC对称轴、以P 为焦点的近似旋转抛物面,从而将来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域.

所以以C为原点,以点C与点S的连线为z轴,逆时针方向建立x轴、y轴,构造空间直角坐标系. 取xCz平面画出图3进行分析研究.

图3 xCz平面上点的位置关系

设标准抛物线方程为:

由于|CM|= R,|PM|= F,所以得到P点在xCz 平面的坐标为(0, R-F),即为理想抛物面的抛物线的实际焦点,所以理想抛物面是由标准抛物面向z轴负半轴平移得到.

焦点向下平移的距离为:

所以理想抛物面的方程模型为:

在图3的Rt△CNM1中有,

由(5)式、(6)式可得:

而M1的坐标为(-|NM1|, -|PN |), M2的坐标为(|NM1|, -|PN |),将M1的坐标代入(4)式,可得:

将R=300m,F=0.466R 代入(8)式, 通过MATLAB 求解得出,p=279.668,所以理想抛物面的方程为:

4.3 S 偏角为α,β 时,反射面板的理想抛物面及反射面板调节模型

4.3.1 反射面板的理想抛物面模型

当观测天体S位于方位角为α和仰角为β时,它的理想抛物面为观测天体S位于基准球面的正上方时的理想抛物面绕原点旋转得到,即理想抛物面上的点(x,y,z),分别绕x轴旋转θ度,y轴旋转γ度,z轴旋转ω度. 由空间中点关于原点旋转的坐标变换关系,可得该点绕原点旋转后的点(x＇,y＇,z＇) 的坐标为:

由此可以得到旋转之后的理想抛物面的参数方程为:

由于夹角α = 36.795°,β = 76.169°,即θ=可得:

此时的理想抛物面方程为:

其中u,v为参数.

4.3.2 反射面板调节模型

主索网反射面形状的改变是通过下拉索与促动器的配合来完成的. 下拉索长度固定,通过调节促动器的径向伸缩量来完成下拉索的调节,从而可使节点运动到理想抛物面上,已达到调节反射面板的位置的目的,最终形成其工作抛物面.

4.3.2.1 反射面板调节模型的机理分析

主动反射面工作时要求对馈源舱照明部分的主动反射面进行调整,当照明部分的网面调整为理想抛物面时,使得来自观测天体S 的平行电波经反射面板反射后能被馈源舱接收的电波最多,因此建立反射面板的调节模型.

假设主动反射面板上的节点的初始位置为:

其中xi0(i= 1,2,3…)是节点i初始位置的坐标,要对主动非反射面进行调整,则需要对节点的位置进行调整,对应节点的位移为:

其中Δhi=[Δxi,Δyi,Δzi]T.由此可得调整之后的节点坐标为:

当天体S的位置变换时,根据求得的理想抛物面的模型可以得到抛物面上点的变换矩阵T.则相应的初始位置x0,节点调整的位移Δh和调整后节点的位置x为:

4.3.2.2 反射面板调节模型的目标函数

设某时刻馈源仓照明区域的节点个数为m,照明区域内节点的初始坐标,和调整位移为xq和Δhq,调整之后要使得馈源舱照明去取的节点尽量多的位于理想抛物面上. 取实际抛物面上的任一点(xi,yi,zi),对于任意在照明区域内的节点j的位置与理想抛物面的偏离程度:

所以有:

其中Δxdj,Δyjd,Δzdj表示节点j旋转后的位移分量.[3,5]

由于主动反射面的初始位置几乎就位于基本球面上,与理想抛物面的偏差很小,因此δj(xdj)中的二次项可以忽略不记,即:

当照明区域的节点都位于理想抛物面上时,任一节点j的偏离程度为零,得到目标函数,使各节点的偏离程度的平方和最小. 即求:

的最小值.

4.3.2.3 反射面板调节模型的约束条件

促动器的径向伸缩范围为-0.6米至0.6米,即:

主索点调节后,相邻两节点之间的距离会发生微小的变化,变化幅度不超过0.07%.

设计如下的求解变化幅度的算法步骤:

Step 1:求出基准球面上两相邻节点的距离li;

Step 2:求出实际抛物面上两相邻节点的距离,与基准球面的两相邻节点的距离的变化大小,即Δui；

Step 3:求出距离的变化幅度,即:

要求Δd≤0.07%.

于是得到关于实际抛物面贴近理想抛物面的优化模型:

对题目中的数据进行处理,根据附件可以绘制出节点的大致草图,由此推出相邻节点之间的编号规律. 节点的个数第一层5个、第二层10个、第三层15个、第四层20个……以每层5个点的增长规律递增.

如图4,由Ai为每层的起始点绕A0顺时针方向旋转一周得到A,B,C,D,E的顺序.根 据这个规律导入附件三的主索节点1主若节点2、主索节点3,得到两相邻节点之间的距离,将其导入MATLAB 进行作图(如图5),由此得到两相邻节点距离的变化趋势.[6]

图4 节点草图

图5 基准球面节点图

4.4 馈源舱的接收比模型

根据单个反射面板呈三角形,目标天体的电磁波信号和反射信号沿直线传播, 经反射面板反射的信号在馈源舱所在平面形成三角形范围,计算三角形面板在馈源舱有效区域的重合面积,得到一个反射面板对于馈源舱的信号反射比.

将主索节点坐标作为对应的反射面板顶点坐标,反射面板作成三角形,利用反射面板的三个顶点确定其坐标. 建立以球心为原点的三维立体坐标系,以目标天体S 与基准球面c 的连线方向为z 轴,目标天体辐射的电磁波信号沿直线方向传播,目标天体的入射的方向沿z轴负方向,其方向单位向量为=(0,0,1).

记第i 个反射面板的三个顶点分别P1i(u1i,u1i,u1i),P2i(u2i,u2i,u2i),P3i(u3i,u3i,u3i) 得到反射面相邻的向量分别为和则反射面板的法向量为:

设反射面板上反射点的位置为(xi,yi,zi),反射信号的方向向量为,入射角为α 反射角为θ, 根据电磁波的反射定律,反射信号所在直线分别在法线两侧,入射角α 与反射角θ 相同,得到角度关系式为:

用向量表28示,即:

整理得到反射信号方程:

根据平面的点法式方程,得到平面方程为:

故出射信号方程为:

设馈源舱所在平面方程为z= -(R-F),R 为基准球面半径,F 为馈源舱接收平面所在的焦面半径与基准球面半径的半径差.出射信号与馈源舱所在平面的交点可由下面方程组决定,即:

已知反射面板为三角形, 目标天体的入射信号经反射面板反射后, 反射信号在馈源舱所在平面形成三角形范围. 记三角形的顶点坐标分别为Q1i(x1i,y1i,z1i),Q2i(x2i,y2i,z2i),Q3i(x3i,y3i,z3i),利用馈源舱所在平面方程z= -(R-F)将三角形转化为二维平面进行研究,则顶点坐标分别为Q1i(x1i,y1i),Q2i(x2i,y2i),Q3i(x3i,y3i)在二维平面内,根据三角形面积公式:

可计算三角形Q1iQ2iQ3i的面积.

设三角形面积与馈源舱接收信号的有效区域重合的面积为ΔSi,即为馈源舱有效区域接收到的反射信号所占面积.设馈源舱的信号接收比为ψ,馈源舱信号接收区域接收到的所有信号面积和∑ΔSi,与300 米口径内所有反射面板反射信号的面积和∑Si的比值为:

以目标天体S 与基准球面的球心C 的连线方向为z 轴建立以球心为原点的三维立体坐标系,根据观测天体S位于α= 36.795°,β= 78.169°时的理想抛物面方程和基准球面方程,分别计算基准态和工作态下300米口径内反射面所有反射面板的法向量. 展示工作态部分法向量结果,如表2所示.

表2 反射面板的主索节点编号

(1) 判断馈源舱接收信号的有效区域是否在三角形内.

设反射面板在馈源舱所在平面内反射信号形成的三角形为ΔABC,计算三边向量分别为馈源舱接受信号的有效区域为圆,设圆上点为P,分别将P 与三角形三点A、B、C 连接,可得向量,作向量、向量的向量积,若两个向量积的方向一致,则P与C在同一侧.

利用同样的方法,分别判断P与A、P与是否B 在同一侧.若P 点与A、B、C 三点均同侧,则可以判定P在三角形区域内.

(2) 比较馈源舱的接收比.

当反射面为工作抛物面时,馈源舱接收区域接收的所有信号面积和∑ΔSi=763.41m2,300 米口径内所有反射面板反射信号的面积和∑Si=46663.2m2,馈源舱信号的接收比为ψ抛物面=1.636% .

当反射面为基准抛物面时,馈源舱接收区域接收的所有信号面积和∑ΔSi= 600.55m2, 300米口径内所有反射面板反射信号的面积和∑Si=47890.7m2,馈源舱信号的接收比为ψ抛物面=1.2654%. 比较得,馈源舱的信号接收率提高了22.65%.

由检验数据可知,实际抛物面与理想抛物面间的差距较小,但仍然存在些微偏差,分析产生误差的原因有以下几点:

(1) FAST 射电望远镜对周围的电磁环境要求较高,周边存在其他电磁的干扰;

(2) 人工测量数据存在一定误差;

(3) 在本问题中只考虑了径向收缩对反射三角面的影响,实际问题中还有下拉索张力对反射三角面的影响;

(4) 模型中设想的抛物面均为光滑的曲面,对所建立的模型造成一定的误差.