问题引导,巧搭支架*——以“等差数列”教学为例

柏君意 吴和贵

(广东省广州市玉岩中学,510530)

等差数列是高中数学的一项非常重要的内容,其在历年高考中往往以基础性题型、中等难度题型以及压轴性题型等多元化形式出现.无论是在教学过程中，还是在复习过程中，对于这一部分内容都应予以重视．本文围绕支架理论背景之下的问题教学法在等差数列教学过程中的具体性应用展开探究．

高中数学具有一定的难度,学生学习较为吃力.在教学中要逐步为学生的学习提供合适的线索或提示(支架),让学生借助这些支架一步步前进,循序发现和解决学习中的疑难,最终完成学习目标．

围绕等差数列的概念这一教学主题,结合支架式教学理论的基本性环节,遵照最近发展区的教学要求,构建概念性架构．具体如下:

支架问题1观察以下数列有什么共同特点? (1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004；

(2)某剧场前10排的座位数分别是: 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56；

(3) 3, 0,

-3,-6,-9,-12, …；

(4) 2, 4, 6, 8, 10；
(5) 1, 1, 1, 1, 1, …．

支架问题2你能用数学表达式描述以上规律吗?

同时留给学生一定的时间,促使学生对问题展开思考与探究．在问题的引导下,先去观察基本规律,很容易从每一项的数字观察到前后两项的差相同,再进一步表达为an-an-1=d(n≥2,n∈N*),即从第二项起每一项减去前项的差都是同一个常数,这样就借助支架总结出等差数列的概念．

以上查找规律的过程让学生从数列中前后项的数字关系入手进行观察探究,再进一步引导学生总结描述规律,分层次让学生掌握等差数列的概念．

高中数学具有抽象性、逻辑思维性强的特点,而学生的学习过程是一个不断探究的过程.在教学活动过程中，一定要从易到难,由表及里,从浅入深,构建学生数学知识体系的支架,促进学生更好地学习发展．根据支架式教学原理,待提出问题之后,应当努力揭示概念、法则以及结论所发生与发展的过程及其本质,并结合较为典型的问题展开探究和分析.同时要引导学生开展自主性探究活动,促使学生能够更为深刻地理解数学概念及其结论,从而充分体验数学学科的思想方法.应将合情推理和逻辑推理二者有机融合,促使学生能够经历数学概念、公式以及法则等发生、发展的全部过程,充分掌握数学问题出现的本质.要重视掌握知识之间的内在联系,从而对于知识进行灵活应用,让学生充分体验到成功解决数学问题其相关乐趣．

在总结出等差数列的定义以后,可继续设置支架,帮助学生加深对概念的理解．

支架问题3问题1中的等差数列其公差分别是多少?

支架问题4已知数列{an}的通项公式为an=3n-5,这个数列是等差数列吗?

支架问题3可以帮助学生加深对公差的理解,明确等差数列中任意的后一项减去前一项计算出来都是公差．支架问题4需要学生掌握的是用定义判定数列是否是等差数列．部分学生在解决支架问题4时会出现错误,比如会列举出数列的前四项,然后说明这四项中后项减前项的差是同一个常数3,所以这个数列是等差数列．此时可以先肯定学生对前几项规律的探索,同时补充下一个支架.

支架问题5第100项与第99项的差是否是3?我们如何可以保证第4项之后的项也符合等差数列的定义呢?

支架问题5的提出引导学生再次细致解读等差数列的概念,理解等差数列的定义中表达的是从第2项起任意一项减去前项的差都是一个常数,所以不能通过列举有限的项来说明,而必须使用an-an-1=3(n≥2,n∈N*)保证题目中的数列是等差数列．

在应用支架式教学时,应逐步帮助学生搭建数学学习的支架,让学生顺着搭建的支架进行数学探究．在数学问题的解决过程中，应当合理利用好问题及其关键所在,同时对于问题的本质进行揭示,循序渐进展开教学,重视应用基础性知识以及具体性方法帮助学生理解与掌握,着力积累与揭示问题内在本质的相关经验,关注数学知识其内在的联系,同时从根本入手,提升学生的数学学科核心素养．

学生需要根据教师提供的学习支架,协作探究学习,通过集体协作，展开探究，相互交流,直至最终完成预期的教学目标．根据支架式教学基本环节可以提出如下问题:

支架问题6已知等差数列{an}的首项是2,公差是3,求数列的第2项,第3项和第4项．

支架问题7已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,试探究{an}的通项公式．

将课堂交给学生,允许学生自由进行讨论,交流与分享问题解决的相关方法．待讨论完毕之后,可以让一位学生表述,可以由数列的首项2加公差3得到第2项5,第2项5加公差3得到第3项8,也就是首项加上两倍公差得到第3项．并且以此为基础可以此求出所有的项,于是归纳出首项加上n-1倍的公差即可表示an．再让另一位同学运用前面所学的累加法,将a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-1-an-2=d,an-an-1=d(n≥2,n∈N*)进行累加,得到an=a1+(n-1)d,(n≥2,n∈N*)．同学发言交流后,教师可进行点评,表扬两位同学的做法中都抓住了关键点,用到了等差数列的定义,但是第一位同学的猜想需要进一步使用数学归纳法加以证明.同时引导学生发现，只要知道一个等差数列的首项和公差,就一定能求出等差数列的通项公式,所以等差数列的首项和公差.这两个量叫做等差数列的基本量．支架问题的提出唤起学生对于过往知识的回忆,激发学生解决实际问题的浓厚兴趣,使得课堂氛围热烈.学生通过解决问题，沿着支架继续攀升,对所学概念进行更深入的理解和初步应用．

支架问题8求等差数列8,5,2,…的第20项．

支架问题9-401是不是等差数列-5,-9,-13, …的项?如果是，是第几项?

支架问题8让学生通过确定等差数列的首项8和公差-3求出数列的通项公式an=8+(n-1)×(-3)=-3n+11,将项数n的值取20,即可得到第20项．在解决问题的过程中,学生通过具体问题练习等差数列通项公式的求法,并进一步强化基本量在等差数列问题求解中的重要性．对于支架问题9，学生很快就能计算出该数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1,令-4n-1=-401,解得n的值为100,因为n为整数,所以-401是该等差数列的第100项．此时可以引导学生对两个问题进行对比,用方程思想去理解等差数列的通项公式,明确通项公式中一共有四个基本量,已知其中的三个量,可以求第四个量．

采用支架式教学,搭建支架的目的是促进学生自主学习,增加对数学知识的感悟与理解．学生在完成任务的过程中，不断提升自身的思维水平,这也促使学生通过内化支架而发展独立完成学习任务的能力．由于支架问题基于学生知识的最近发展区,学生可以完成,如此一来,学生便对思考数学问题有了愈发浓厚的兴趣,在获得成功的经验以后,能够具有更强的信心进行数学学习,对数学知识进行应用．

数学学习是一个不断探索的过程,学生还需及时的评估与反思.通过对自身学习情况的评估,学生可以根据支架学习的进度和成效对学习策略及下一步的支架学习策略及时调整.通过反思,学生能够对自己的思维过程、思维成果等进行自我调控,为是否需要调整支架提供行之有效的依据.为了促进学生的评估与反思,可以组织进行课堂训练．根据支架式教学环节来看,在完成小组讨论环节以后,应当对于教学效果展开合理性评价．教师可以给定如下教学问题:已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12，求a4．通过前面一系列支架问题的设定,学生已经明确了要求等差数列中的任何一项,确定基本量首项和公差是关键,此题条件中没有直接给出这两个量,但是数列的任何一项都可以用这两个基本量表达．因此a4+a8=20,a7=12这两个条件可以写成a1+3d+a1+7d=20,a1+6d=12,联立这两个方程即可求得此数列中a1=0,d=2,所以a4=6．

在支架教学理念与问题教学法相融合之时,需要注意如下几点:其一,在应用支架教学法对问题进行设计时需要尊重教材,符合学生的认知规律,同时由浅及深,将学生自身思维引向深入;其二,在应用支架教学理念进行课程设计时,不应太拘泥于教材本身,同时可以将等比数列固有的性质预先引入到课程学习过程中,充分凸显数学学科学习活动的连贯性;其三,在应用支架教学法开展课程教学之时,应当围绕设定的问题作为主线,秉承以生为本的教学原则,带领学生展开思考,同时付诸探索实践．除此之外,还需要重视激发学生内在的学习主动性,将提问题权放给学生,引导学生培养自身良好的发散性思维,以此来获得较为良好的课堂教学效果．