小学数学思维训练题的三种表征及其解题策略

李娜玲

（厦门市海沧区延奎实验小学，福建 厦门 361026）

“表征”即人对某一特定事物或人的特定印象。思维训练题的表征，即解题者基于对数学思维训练题的理解，对题中的数学信息进行归纳，利用所学知识对要求解的问题产生的印象。思维训练题包含“题问”和“题干”。现有教材中的思维训练题，对“题干”与“题问”的表征都是经过精雕细琢的：从文字描述上看，思维训练题的意思在学生理解范围内，不会超出学生的正常认知；
从情境设定上看，思维训练题和学生的生活贴近，不会花费学生太多时间思考情境意思。因此，思维训练题的表征是命题的精髓，也是解题的桥梁。

参照不同标准，思维训练题的类型也不同。将思维训练题按照难度水平进行区分，有初始和深层表征之分；
假使是按照呈现方式来区分，则有外显和内隐表征之分。［1］本文以数学思维训练题的“外显表征”为例。外显表征指的是将题干与题问以文字、图表、符号、模型等形式完整地体现与表达出来。依据教材编排特点，可将数学思维训练题的“外显表征”分为“文字表征、图表表征、符号表征”。以下作具体探析。

文字表征通常是针对某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地表达出来的一种数学文字结构。［2］多项对比表征是训练学生结构化思维与排除干扰技能的常用策略。教师可以抓住现有教材例题或习题的题干与题问的动态点，改变题的文字表征形式（条件开放或问题开放），使题向“宽度、深度、高度”发展，以提升数学思维训练题的表征含量与质量，充分展示“一题多鉴”的思辨过程。

（一）题干表征

为了凸显教材“题条件”的隐藏性特点，建构学生解题思维网络，增强模块对比解题能力，可以改变初始单项（直线）题干表征方式为多项横向表征方式，即逐一选择题干模块，形成条件开放的思维训练题。

例如，人教版教材改编题：

已知修建的沼气池为圆柱形，沼气池有4m 深，底部直径为5m。在_____________抹上水泥，计算该部位需要刷的水泥面积大小。

按照你的理解，从下述选项中选择答案填入空白处，并对问题进行思考计算。

选项：A.池的四壁与下底面；
B.池的四壁与上、下底面；
C.池的四壁。

这样抓住题干的动态点进行“多项对比”表征，使题由单项向多项发展，即横向发展。既增强题的容量，又增强题的宽度与厚度，从而建构表征空间，使思维训练题更富有挑战性。

（二）题问表征

为了凸显教材“题答案”的开放性特点，帮助学生建构结构化思维网络，挖掘递进对比解题潜能，同样可以改变初始单项（直线）题问表征方式为多项横向表征方式，即逐一训练题问模块，形成问题开放的思维训练题。

例如，创编题：

如图1 所示，已知蔬菜大棚的横截面为半圆形，直径是3 米，且蔬菜大棚的长度为25 米。

题问：（1）要将图1 中的蔬菜大棚全部覆盖上塑料薄膜，需要耗费多少面积的塑料薄膜？

图1

（2）蔬菜大棚的内部空间有多少立方米？

（3）王叔叔想要在这个蔬菜大棚里面种植菠菜，已知这种蔬菜大棚每平方米可产5 千克菠菜，这种菠菜每千克售价3.6 元，问这个大棚的菠菜可卖出多少钱？

这样抓住题问的拓展点进行“多元”表征，既从容积、表面积答项进行表征，又从长方形面积、产量与价钱答项进行表征。除了扩充题的容量外，还提升解题思维的高度与深度，从而拓宽题的表征结构，使思维训练题更富有综合性。

图表表征通常是把题的已知状态（说明已知条件或情境）与目标状态（说明欲达成的目的）运用图形或表格形式，精炼简洁直观地描述出数学图表结构的过程。推理表征是训练学生合情推理（题干→题问）和演绎推理（题问→题干）能力的重要方法。为了训练学生多向打通已知状态与目标状态之间障碍的技能，可以改变现有教材例题或习题的单轨道文字表征为多轨道双向图表表征方式。这样既凸显题干与题问信息的形象直观化，又能强化学生的数形结合、逻辑推理思维，充分展示“一题多创”的价值观。

（一）图式表征

为了体现教材“题干”的隐藏性特点（题干隐含在图式中），建构学生识图、解图思维网络，培育想象推理能力，可以将教材题改编成题干与题问都隐含在图画（线段）中或题干与题问图文并茂的思维训练推理题。

例如，人教版教材原题：

改编题：

评析：原题的题干与题问隐含在图画中。题干的比较量为：交警拦截下来的货车自重为2.8 吨，载货量为6 吨；
题干的标准量为：满载时共重8.7 吨；
题问为：它是否超载了。这种图式表征示意性强，便于学生获取与理解数学信息，并从中找到双向解题思维策略。而改编题的题干与题问隐含在线段中。此题可获取的题干信息为：六年1 班科技发明获奖32 件，六年2 班科技发明获奖比六年1 班多1/4；
题问信息为：六年级两个班科技发明获奖共几件？这种图式表征示意性也较强，除了容易找到外显信息外，还便于获取内隐信息，即两个班科技发明获奖件数相当于六年1 班的1+1+1/4，从而打破题干至题问间的障碍通道，并求出答案32+32+32×1/4=72（件）。这样用图式（图画、线段）方式表征题的结构，凸显多向推理思想的综合运用，使思维训练题更富有推理性。

（二）格式表征

为了体现教材的“规律”探究性特点，建构结构化思维网络，提升类比推理能力，可以将教材题改编成题干与题问都隐含在表格直观情境中的多向思维训练推理题。

例如，人教版教材原题：

此题的题干与题问隐含在表格中。表格横向可以看出：各种水果原有的重量与卖出的重量（题干），求各种水果剩下的重量（题问）。纵向可以看出：表中隐含4 道文字表征题：如已知水果部已卖掉145 千克苹果，原有的苹果重量为250 千克，则剩余的苹果重量是多少？水果部有香蕉105 千克，卖出88 千克后，还剩多少千克香蕉？……这种格式表征题的容量大，规律性强，便于学生获取表格中直观的数学信息（整体与部分），并从中找到解题的规律，即已知整体与部分，求部分，用减法，如250-145=105 千克；
已知部分与部分，求整体，用加法，如212+98=310 千克。把同类题组进行格式化表征，既能直观沟通题干与题问间的关系，又能层层揭开题干与题问间的隐含信息。除了扩充题的容量外，还提升推理思维的广度与深度，从而体验格式表征题结构的价值，使思维训练题更富有对比性。

题的符号表征具有显著特点，且包含一些特殊规律，是理解与把握解题规律的重要方法。可通过多层语言叙述表征，将符号表征的结论转化为解题过程。

（一）内隐符号表征

内隐符号表征即按要求将语言叙述的数学题以数学符号等形式表达出来，将文字精简成数学信息。内隐符号表征是四则运算抽象概括的思维导行图，也是题干与题问内隐信息的语言表达形式。为了凸显简明、抽象、清晰、准确的符号语言功能，促进学生数学符号语言表达能力的提升，可以将教材题改编成题干与题问都隐含在抽象符号情境中的思考与表达题。

例如，人教版教材原题：

改编题：

评析：原题的左图题干信息为：小丑右手拿着3 个气球，左手拿着1 个气球；
题问信息为：小丑手中共有几个气球？右图题干信息为：左边有1 把扇子，右边有3 把扇子；
题问信息为：共有几把扇子？左图的内隐信息为：将左集合圈与右集合圈合并成一个集合圈；
右图的内隐信息为：将左右两边的扇子合并在一起。该题的深层表征为：借助“合起来”的生活情境，采用大括号把两部分合并一起的活动情境，凸显加法的含义，即部分加部分等于整体。改编题的左图题干信息为：小丑手中共有4 个气球，放飞1 个气球；
题问信息为：小丑手中还有几个气球？右图的题干信息为：商店有4 朵向日葵，卖掉1 朵或送走1 朵；
题问信息为：还剩几朵向日葵？该题的深层表征为：用画虚线圈、画斜线的方式，表示把部分物体“移走”或“拿掉”，凸显从整体中去掉一部分，求剩余部分的减法含义。这样的内隐符号表征，可以增强阅读与理解的思维含量。同时，帮助学生积累解题的经验，并从中感悟数学思想，体会数学本质，领悟内隐符号表征题的含义，使思维训练题更富有启迪性。

（二）外显符号表征

外显符号表征指将一些抽象的数学概念或问题带入具体情境中，利用客观事实或生活经验来呈现。为了凸显外显符号表征的特征，可以把特殊标志符号语言隐含在挑战、趣味情境中，形成富有规律性的表征题。在解释数学信息时，抓住题的外显符号表征的特殊结构与语言特征，用自己喜欢的方式圈圈画画，从而深化理解题意。

以人教版教材习题为例：

（1）已知铅锤为圆锥形，铅锤的底部周长为12.56cm，高为5cm。该铅锤的主要材料是钢，而每立方厘米钢的重量是7.8 克。问铅锤的重量是多少？（结果取整数）

（2）某班级教室墙面要重新粉刷，该教室的长宽高分别为8m、6m 和3m，且教室门窗为11.4 平方米。已知粉刷一平方米需4 元人民币，则完成整间教室的粉刷需要多少费用？

例（1）的题干与题问的外显符号表征特点为：题干与题问间的单位重量为每立方厘米（怎样）……，从题中可知，单位重量为“每立方厘米钢大约重7.8 克”；
例（2）的题干与题问的外显符号表征特点为：题干与题问间的单位重量为每平方米（怎样）……，本题的单位重量为“每平方米需要花4 元的涂料费”。题的外显符号表征是判断解题策略的依据与关键，如单位重量是“每平方（怎样）……”属于求面积算重量，而单位重量是“每立方（怎样）……”属于求体积算重量。同理，解决立体几何思维训练题，若题问的外显符号表征单位是“立方……”，则可推断本题是求体积或容积；
若题问的外显符号表征单位是“平方……”，则可推断本题是求面积。