（毕业论文）张琛留数在实积分中应用

留数在实积分中的应用 摘要 本文主要利用留数方法研究实积分的计算问题。虽然解决积分的计算问题有许多方法，但在积分的计算过程中，有些积分在实数范围内并不能被计算出来，需要一种新颖、独特的计算方法，即留数方法。在复分析中，留数定理是用来计算积分的一个有力的工具，有些用解析方法难以求得的实积分，相较而言用留数方法计算的效果更好，尤其是对原函数不易直接求得的定积分与反常积分，是一个非常有效的方法，主要是将原积分转化为沿闭曲线的路径积分，之后计算出各个孤立奇点处的留数，将积分的计算转化为留数的计算，得到积分的解，以达到简化积分计算的目的，这一过程体现了留数方法在实积分计算中的重要地位，为积分理论的发展奠定了一定的基础。

关键词 留数；
实积分；
留数定理；
解析函数 The application of residues in real integrals Abstract This paper mainly studies the calculation of real integrals by using the residue method. Although there are many methods to solve the problem of integral calculation, in the process of integral calculation, some integrals cannot be calculated in the real number range, which requires a new and unique calculation method, that is, residue method. In complex analysis, the residue theorem is used to calculate the integral of a powerful tool, some with analytical methods are difficult to obtain real points, compared with residue method to calculate the effect is better, especially for the function is not easy to directly obtain the definite integral and improper integral, is a very effective method, mainly to the original integral into path integral along a closed curve, then calculate the residue, each isolated singularity integral calculation can be converted to the calculation of residue, obtain the integral solution, to achieve the purpose of simplified integral calculation, the process reflects the residue method in the important position of real integral calculation, It has laid a certain foundation for the development of integral theory. Key words residue; real integral;residue theorem;analytic function 目录 引言 1 第1章 历史与背景概述 1 1.1国内的研究现状 1 1.2国外的研究现状 1 1.2.1一些数学家的相关工作 1 1.2.2柯西留数定理的形成 2 第2章 留数 5 2.1留数的定义及其定理 5 2.2留数的求法 5 2.3函数在无穷远点的留数 6 第3章 留数在实积分中的应用 7 3.1单值解析函数的应用 7 3.2多值解析函数的应用 12 结论 13 参考文献：
14 致谢 15 引言 数学是人类智慧的产物，有了数学人们能够更好的适应大自然的规律。数学一直是人类文明发展的主要文化力量，它量化了生活中的各种现象，使得我们能够对事物进行研究，做出选择。在悠久的历史中，微积分的出现，从数学的角度看，是为了解决曲线的切线问题，从物理学的角度看，是为了解决速度、加速度的问题，所以积分的计算问题就变得非常重要，虽然有许多方法可以解决积分的计算问题，但在积分的计算过程中，有些积分在实数范围内并不能被计算出来，需要一种独特、新颖的计算方法。即用留数方法计算积分，此作为重要的计算积分的方法，在许多交叉学科领域也有着广泛的应用。

在复分析中，留数定理是用来计算积分的一个有力的工具，有些用解析方法难以求得的实积分，相较而言用留数方法计算的效果更好，主要是利用留数定理，把用实分析方法无法求出的积分转化为复积分来进行求解，简化计算，即将原积分转化为沿闭曲线的路径积分，之后计算出各个孤立奇点处的留数，最后得到积分的解。

第1章 历史与背景概述 1.1国内的研究现状 留数，也可称为残数，其本身在实际应用和复分析中都是非常重要的，解决某些积分的计算问题离不开留数，用留数方法来计算这些积分的值，效率更高，并且它随着数学的发展也在不断地更新，有些积分的原函数难以求出，此时，将积分的计算转化为留数的计算，可以使得积分的计算更加简便，更易求出积分的值，其为积分理论的发展奠定了一定的基础。

根据所能够查阅到的资料分析，目前我国研究留数在实积分中的应用主要分为两类：第一类是利用留数理论建立某一类积分的一般计算公式；
第二类是利用留数定理应用到实积分中，将积分的计算转化为留数的计算并举出具体的实例。例如：2008年3月欧阳露莎、刘敏思、刘寅出版在南民族大学学报的第27卷第1期109页到111页的论文[[] 欧阳露莎,刘敏思,刘寅.留数理论在积分计算中的应用[J].南民族大学学报,2008. ]p109-111等。

1.2国外的研究现状 1.2.1一些数学家的相关工作 19世纪之初，复分析就有了飞跃的发展，这离不开高斯，泊松，欧拉等伟大数学家的苦心孤诣，他们的工作为后来柯西提出留数理论的奠定了基础，柯西在前人研究成果的基础上，进行了完善与发展，给出了留数定理，并扩展了柯西定理，提出柯西积分公式，显而易见，留数定理从形成到成熟大概经历了如下的几个阶段，：
高斯的(Gauss)与复积分 1811年，高斯在写给贝塞尔(Bessel)的信中提到了对虚积分的想法[[] 王昌.留数概念的起源[J].广西民族大学学报(自然科学版),2008. ]p14-15。对于，他提出了当上限为时的意义，以假定取小的增量，从到，然后将加起来，来弄清楚此积分的概念。而在复平面上，一条曲线上的一个值到另一个值的连续过程可能会通过不同的路径，之后他又给出:如果通过的路径不同，但是只要所围空间内的是单值的，并且不变为无穷，就只有一个值，如果变为无穷，由于于所取的闭路径围绕可变为无穷的点一次，二次或者更高次，因此可以有许多值。若举一个特殊的例子来说明：对于积分从出发到，如果路径不包围，那么积分值为一；
但是如果积分路径包含，那么这样就必须对到不包围的路径，所得的值加上或者减。这样对于一个给定的，就有许多对数。直到此时，虽然高斯当时并未公开发布他的成果，但是高斯对于复变函数及其积分已经有了比较明确的概念。

泊松(Poisson)的复积分路径问题 泊松实现了对复平面上的路径进行积分，在1820年的论文中，他认为积分沿着实路径与沿着虚路径，得到的积分值可能会不相等，并且说明了沿着复平面上的路径进行积分的用途。同时，他给出了一个例子，其中是正常数，令，其中是非负常数，对于,可得，而当时，得，因此积分值的不同，表示积分路径的不同，所以得到的结果不同[[] M .Kline.Mathematical thought from ancient to modern times[ M] .New York, Oxford University Press, 1972.(中译本:M .克莱因著.古今数学思想(第三册)[ M] .上海:上海科学技术出版社,2002.. ]p8-16。

欧拉(Euler)的方程 1770年，欧拉认为：当积分号下的限彼此之间无关时，可以交换积分次序，相当于关系式 (1) 其中皆为常数，阿普拉斯（Laplace）也赞同泊松给出的这个结论，并且在某些方面多次应用到这个结论。

欧拉在1777年就得到了方程 （2）
并且指出是如何得到函数与，但他没有理解到这两个方程的内在本质[[] 李文林.数学史教程[ M] .北京:高等教育出版社, 2000. ]p258-262。

1.2.2柯西留数定理的形成 1.从实函数到复函数 1814年，在《关于定积分理论的报告》中，柯西讨论了二重积分次序的交换问题[[] 于金青,王淑红,邓明立.柯西与早期复分析的发展[J].数学的实践与认识,2012. ]p277，即当在区域的内部和边界上连续时，关系式（1）在什么条件下成立，其中是常数。由于连续就有原函数，所以将看作是某个函数的偏导数，引入两个时函数，使其满足方程（2），之所以引入方程（2）的原因是与是柯西所讨论的二维位势方程的解。

柯西认为：若时，将（1）式左边的和右边的分别换为和，得到 （3）
同样的，利用（2）式中的第二个方程，则可得到 （4）
以上都是柯西在1814年的论文中提出的，并不包括复变函数，他认为这两个方程中蕴含着由实到虚过渡的全部理论，但是实际上并未实现由实到虚的过渡[[] 毕庶路.柯西定理发现的始末及其思想方法[J].曲阜师范大学学报,1993. ]p75。

1822年，柯西在《关于无穷小课程的总结》中论述了自己的初步设想，且从式（3）、（4）中得到 （5）
（6）
为了将两个方程结合起来。他一个假设：若 他以乘（5）式并加上（6）式，则得到 （7）
移项整理可得 （8）
结果表明，复函数从长方形的边界上一点出发，沿着不同的两个边界到对顶点的积分相等，即积分与路径无关，可简记为 此为柯西定理的特例，充分理解二重积分的意义，可以实现二重积分到复积分的过渡，并且能够理解复函数沿矩形的两条不同边界进行积分与二重积分次序交换，二者的意义并无不同，且巧妙地运用了的实部与虚部微满足方程这个条件（此为解析函数的主要特征），从此处可见，从实函数到复函数的过程。

2.连续函数的复积分 1823年，柯西在《概论》中就提出了将连续函数的定积分看作和式极限的定义。

柯西定理正式诞生的标志是他在1825年发表的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》，并且此论文是他最重要的论文，同时也对提出留数概念有非常重要的作用。

在此论文中，柯西研究了复平面上复函数沿复路径的积分，同时，他考虑了复积分，并将此积分定义为和数的极限，其中，以及是沿着从到路径的划分点。并且，他提出了：如果对于以及有穷并且连续，那么复积分的值与函数和（其中t为实数）的选择无关，换言之，在两条不同路径之间没有的间断点的条件下，积分的值和路径无关。

运用柯西定理可以计算出某些用实分析方法无法求出的定积分，例如，柯西在他1827年的论文中，利用此方法求得 ， （9）
除此之外，某些函数的傅里叶变换的计算也可用柯西定理求得，这本质上将可求解的微分方程的范围大大增加了。

2. 留数概念的诞生 1825年，柯西的研究推动了复积分理论的进一步发展，他在他的论文中提出：若在矩形上不连续，则积分的值可能会不相等，若在处，为无穷，但是极限存在，换言之，在处有一个单极点，则沿着两条不同路径积分的差是，其中柯西把量称作积分留数[[]F .Smithies.Cauchy , two memoirs on complex -variable function theory (1825, 1827)[ J] .Landmark writing in westernMathematics1640-1940.2005. ]p377-390。

1841年，为了促进复积分的进一步完善和发展，柯西提出了在极点处的留数的新定义：
若函数在上全纯，其中，为的孤立奇点，在的留数定义为 （10）
上面的这个定义至今依旧被沿用，成为非常重要的概念，并被推广到其他学科，如微分方程，级数理论等，且在其中发挥了重要的作用，。

总之，从1814年柯西提出由实到虚的过渡，到1822年柯西的研究得到了进一步发展，使得方程在复分析中有着重要的地位，并且得到了柯西积分定理，更加完善了复积分，再到1825年柯西首次提出连续函数的复积分，之后为了更加完善积分理论，他开始钻研不连续函数的复积分，最终提出了留数的概念。

第2章 留数 2.1留数的定义及其定理 定义1 设以有限点为孤立奇点，即 在点的某去心邻域内解析，则称积分 为在点的留(残)数(residue),记为：. 将在点去心邻域内展开成洛朗级数，有：
即：
（11）
定理1 (柯西留数定理)[[] 钟玉泉.复变函数[M]北京:高等出版社,2004. ]p220 在围线或复围线所围区域内,除外解析,在闭域上除外连续,则 （12）
证明：做圆周使其全含于内且两两不相交，取逆时针方向，则由柯西积分定理有 2.2留数的求法 （1）常规方法:将在点的某去心邻域内展开成洛朗级数，再运用留数定义及洛朗系数公式，得到计算留数的公式，即负幂项的系数。

不过，当洛朗级数的计算过程太复杂或不容易求出时，可以考虑奇点的类型来求其相应的留数。

（2）为有限可去奇点时: （3）
为本性奇点时，将在点的某去心邻域内展成洛朗级数来求 （4）为极点时，有如下结论. 定理2 设为的级极点，即，其中在点解析，，则：
（13）
推论1 设为的一级极点，，则 （14）
推论2 设为的二级极点，，则 （15）
定理3 设为的一级极点，且满足 （1）
（2）
（3）
则有：
（16）
2.3函数在无穷远点的留数 定义2 设为的一个孤立奇点，即在去心邻域内解析，则称 为在点的留数，记为，其中是顺时针方向 设在内的罗朗展式为 由逐项积分定理即知 （17）
也就是说，等于在点的洛朗展式中项的系数的相反数。

定理6 如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）
，则在各点的留数总和为零，即 （18）
函数在无穷远点的留数的另一计算公式 或写成如下形式 （19）
其中是绕正向（顺时针方向）一周的围道，在外除可能为奇点外，别无奇点。相应的，是在平面上正向（逆时针方向）绕一周的围道，在内除可能为奇点外，别无奇点。

第3章 留数在实积分中的应用 3.1单值解析函数的应用 （1）
形如的积分 其中为，的有理函数，且在上连续[[] 王瑞苹.论留数与定积分的关系[J].菏泽学院学报.2005. ]p70-72。

若令，则，由欧拉公式 ， （20）
所以有 （21）
注：此关键一步是引入变量代换，对被积函数在上是否连续可不必先检验，只需看变换后的被积函数在上是否有奇点。

例1计算积分 解：设，则有 再令，当绕圆周一周时，亦在上绕两周，故有 由于被积函数在内仅有一个一阶极点，从而有 ，故由留数定理可知 ，即可得 . 例2计算积分 设，由留数定理可知：
被积函数在内只有一个一级极点，从而有 所以有留数定理知：. 例3计算积分 [[] 钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社,1996 . ] 解：设，则由留数定理可知 当时，被积函数在内只有一个一级极点，从而有 . 当时，被积函数在内只有一个一级极点，从而有 . （2）形如的积分 其中 ，为一个有理函数， 为使此类广义积分存在，则假定：
（1）
在数轴上无零点 （2）
多项式至少比多项式高两次 此时设辅助函数为，它在上有有限个极点，以为中心，在上半平面作充分大半径的半圆盘使得包含所有的极点（如果在下半平面的极点个数不多于上半平面，那么将下半闭圆盘作为围道更加适合）从而可由推广的留数定理 （22）
其中为上半圆周，在上半圆盘内点处取1，而实轴上取，因，由定理可知，从而有 （23）
例1计算积分 解：令，则其孤立奇点有 ，其中落在上半平面的为，故 例2计算积分 解：由于被积函数是偶函数，故可取，又分母 ，从而在上半平面上有奇点 ，于是有 （3）
形如或 其中在上处处解析，条件是除有限个孤立奇点外，而且当在时，，此类积分的计算是可以规格化的， 又由于 （24）
从而只要计算出积分，然后分别取此积分结果的实部与虚部，则可以得到及，从而为了计算，可设辅助函数 （25）
作同如（2）中的围道，使得此上半闭圆盘内含有的所有在上的孤立奇点（实轴上的只是极点）有推广的留数定理，有 （26）
当时，由约当引理，，从而比较上式左、右两边实、虚部，就可得所求积分。

例1计算积分 解：因被积函数是偶函数，则 令，被积函数在有一阶极点， 从而可知 若令，，则可得 例2计算积分 解：因函数满足约当引理的条件，并且 此时，被积函数有两个一阶极点 从而有，于是 比较等式的两端，可得 3.2多值解析函数的应用 在上面的情形中，利用单值解析函数作为辅助函数可以来计算积分，但是有时在求解一些特别的定积分时，需选择一个多值函数作为辅助函数来计算，因此需要合理的割破平面，使其分离出单值解析分支，然后再来计算该积分的值。

（1）
形如，的积分 其中， 当时，要求，设辅助函数做剖线，取分支，作围道。当，则要求分母比分子至少高两次，也可做同样讨论。而当，则可化为单值函数。

例：计算积分 解：做辅助函数，则可知在处有四阶极点 又其留数为，故可得 . （2）形如 （m为自然数）的积分 其中，，但要求分母比分子至少高二次，从而应设辅助函数，取定的分支及积分围道同（1）。

（3）形如， 其中，，当时，则为（2）中的积分， 若，则的分母的次数比分子的次数高；

若则的分母的次数至少比分子的次数高二次；

若则辅助函数可设为。

结论 留数的概念涉及复积分理论，它在复积分理论中有着举足轻重的地位，本文应用留数方法研究实积分的计算问题，由上面的讨论可以看出实积分的计算中存在一些问题，用复分析的思想方法进行思考，渗透和融合其他学科的理论与方法，以达到简化部分实积分的计算的目的，并且反映出思维的深刻性，灵活性和发散性，这些工作仅仅是给以后的学习研究做铺垫，还有更多的结论等着我们去发现。

留数对于计算实积分有着深远的意义，在某些积分计算中利用留数定理是一种很常见、很有效的方法，留数的概念非常有趣并且在某些实积分的计算方面有着很大的作用，研究留数的学者们通过对留数定理加以改进，从而更加方便有效的应用于积分的计算，应用留数计算实积分的有效作用是毋庸置疑的，有学者利用留数方法很巧妙的计算了一些实积分，同时也得到了一类实积分如何用留数方法计算，下一步我们可以考虑的是，是否也可以把留数方法与其他一些方法相结合起来使我们能够通过这一方法得到一些新的简单的计算实积分的一些方法？ 参考文献：
[1]欧阳露莎,刘敏思,刘寅.留数理论在积分计算中的应用[J].南民族大学学报,2008. [2]王昌.留数概念的起源[J].广西民族大学学报(自然科学版),2008. [3]M .Kline.Mathematical thought from ancient to modern times[ M] .New York, Oxford University Press, 1972.(中译本:M .克莱因著.古今数学思想(第三册)[ M] .上海:上海科学技术出版社,2002. [4]李文林.数学史教程[ M] .北京:高等教育出版社, 2000. [5]于金青,王淑红,邓明立.柯西与早期复分析的发展[J].数学的实践与认识,2012. [6]毕庶路.柯西定理发现的始末及其思想方法[J].曲阜师范大学学报,1993. [7]F .Smithies.Cauchy , two memoirs on complex -variable function theory (1825, 1827)[ J] .Landmark writing in westernMathematics1640-1940.2005. [8]钟玉泉.复变函数[M]北京:高等出版社,2004． [9]王瑞苹.论留数与定积分的关系[J].菏泽学院学报.2005. [10]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社,1996.