《简单线性规划问题》教学设计

　 《 《简单 的线 性规 划问题 》教学设计

　（人教 A 版高中课标教材数学必修 5 第三章第 3.3 节）

　《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计

　一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教 A 版必修 5 第三章《不等式》中 3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法． 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.

　 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识. （二）教学目标解析 1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量 ( , ) x y 表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不

　等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系． 2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答. 3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法. 4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力. 三、教学问题诊断分析 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：

　（1）将实际问题抽象成线性规划问题； （2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在 y 轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？ （3）数形结合思想的深入理解. 为此教学中教师要千方百计地为学生创设探究情境，并作合理适度的引导，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.

　教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解. 教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系 四、教法分析 新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经

　验，进而培养学生的思维能力和应用意识等. 本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法. （1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；

　（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. （3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念； （4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程. 五、教学支持条件分析 根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．

　六、教学过程 （一）

　创设情境，激发探究欲望 组织学生做选盒子的游戏活动. 在下图的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子? 例如: 第一次:分值= x y 

　(即: 列数+行数)

　 第二次:分值= 2 y x 

　(即: 行数-列数×2)

　 师生活动：教师组织学生做选盒子得分的游戏，学生用“运算—比较”的方法容易解决老

　 x y 0 1 2 3 4 5 1 2 4 3 y 0 1 2 3 4 5

　x 1 2 4 3 图 1 图 2

　师提出的问题.之后，给出图3，让学生在图中找目标函数 2 b x y   的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的研究重点. 【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.

　（二）独思共议，引导探究方法 引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值. 问题 1：当 6 b 时，求 x，y 的值. 师生活动：学生通过计算找到三个点的坐标，并观察出三点共线，求出直线方程2 6 y x   ，教师引导学生观察 6 b 所对应的直线的纵截距. 【设计意图】通过特殊问题，帮助学生理解问题的实质：求 x，y 的值即求不定方程的解.数形结合，将求变量 x，y 转化成求点的坐标 ( , ) x y .观察 6 b 时三个盒子所在点的位置关系及直线的方程，使学生体会 b 值就是直线的纵截距. 问题 2．在图 3 中，求 2 b x y   的最大值. 师生活动：学生在教师的引导下分组讨论，求 b 的最大值. 通过之前教师的引导及学生对上一节“二元一次不等式表示的平面区域”的学习,对学生的讨论结果有两种预案：

　x 1 4 5 2 3

　7 9 10 11 8 1 2 3 4 O y 图 3

　预案 1:学生通过由特殊到一般的分析，将目标函数 2 b x y   转化成 2 y x b   ，x，y 在取得每个可行解时，b 的取值就是直线 2 y x b   过 ( , ) x y 这个点时的纵截距，而所有这些直线都是平行的，因此只需平移直线看纵截距的最大值即可. 预案 2：根据上一节“二元一次不等式（组）所表示的平面区域”的知识，学生认为 b 取最大值时 x、y 的取值一定在直线 2 6 y x   的右上方的位置，为此就依次在这些位置上画平行于 2 6 y x   的直线，只要上面有点就不停的画，直至最后一点. 师生活动：学生展示讨论结果，教师借助几何画板作演示、分析，渗透转化和数形结合的数学思想.并对学生的结论作出总结，先作直线 2 y x   ，再作平移，观察直线的纵截距. 【设计意图】由特殊到一般，利用数形结合，寻求解题思路. （三）变式思考，深化探究思路 1．将目标函数变成 3 4 b x y   ， 求 b 的最大值. 师生活动：通过学生将 3 4 b x y   化成34 4by x    的形式，做直线34y x   并进行平移，观察纵截距的最大值的回答过程，教师强调解题步骤:画、作、移、求. 【设计意图】规范方法并检验学生对方法的理解程度，使学生感受由直线斜率的变化引起使 b 取最大值的过程中点的变化. 2．将目标函数变成 3 4 b x y   ，求 b 的最大值. 师生活动：教师引导学生比较此题和上题的区别，学生发现平移直线时若按上题的方法找纵截距的最大值便会出现问题，通过思考、讨论，找到本题需取截距最小的原因. 【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，提高课堂效率，建立精准的数形联系． （四）规范格式，应用探究成果 1．例 1：(习题 3.3A 组第 3 题)电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间为 80min，其中广告时间为 1min，收视观众为 60 万；连续剧乙每次播放时间为 40min，广告时间为 1min，收视观众为 20 万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放 6min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于

　320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？

　播放时间(min) 广告时间(min) 观众人数（万）

　甲 80 1 60 乙 40 1 20

　320 

　6 

　 解:设甲播放 x 次，乙播放 y 次，收视观众 z 万人次 则 60 20 z x y   . 80 40 320,6,0,0.x yx yxy   

　用如下步骤求 z 的最大值：

　（1）画出可行域； （2）作出直线0l ：

　3 y x   （3）平移0l 至点 A 处纵截距最大，即 z 最大； （4）解方程组：80 40 3206x yx y   

　得24xy ，因此max200 z  . 答：甲播放 2 次，乙播放 4 次，收视观众最多为 200 万人次. 师生活动：教师引领学生理解题意，让学生继续领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念. 【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识. 2．反思例 1 解题过程，深入体会数形结合思想 师生活动：教师引导学生纵观解题过程，体会在解题中“数”与“形”是怎样结合的，并加以总结. 代数

　 几何 线性目标函数 60 20 z x y  

　直线 320zy x   

　 转化 图４ x y O

　线性目标函数的函数值

　直线的纵截距 线性约束条件(二元一次不等式（组）的解集)

　可行域 线性目标函数的最值

　 直线的纵截距的最值 【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构. 3．例 2：(课本例 2)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg 的碳水化合物，0.07kg 的蛋白质，0.14kg 的脂肪,花费 28 元； 1kg 食物 B 含有 0.105kg 的碳水化合物，0.14kg 的蛋白质，0.07kg 的脂肪,花费 21 元.为了满足饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 各多少 kg? 师生活动：学生独自完成此题，由一位同学生展示自己的解题过程和结果.规范解题步骤和格式. 解：设每天食用 xkg 食物 A，ykg 食物 B，总成本为 z，那么 0.105 0.105 0.075,0.07 0.14 0.06,0.14 0.07 0.06,0,0.x yx yx yxy     ① 目标函数为 28 21 z x y   .

　 二元一次不等式组①等价于7 7 5,7 14 6,14 7 6,0,0.x yx yx yxy     

　② 二元一次不等式组所表示的平面区域（图 5），即可行域． 考虑 28 21 z x y   ，将它变形为43 21zy x    . 这里43 21zy x    是斜率为43 ，随 z 变化的一组平行直线，21z是直线在 y 轴上的截距，当21z取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数 28 21 z x y   取得最小值． 由图 5 可见，当直线 28 21 z x y   经过可行域上的点 M 时，截距21z最小，即 z 最M N 图 5 O x y

　小． 解方程组7 7 5,14 7 6.x yx y   

　 得 M 的坐标为17x  ,47y  .

　所以 28 21 16 z x y    ． 答：每天食用食物 A 为17kg，食物 B 为47kg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16 元. 【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力. 4．反思例 2 的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决? 师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可. 【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力. （五）

　归纳梳理，体会探究价值 由学生和教师共同总结本节课所学到的知识. 师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了时间如何合理分配收获最大的问题,如何使消费最少保证饮食健康的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业. 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构. （六）

　目标检测题 1．在线性约束条件5 3 1515 3x yy xx y    下，求①目标函数 3 5 z x y   的最大值和最小值；②目标函数 3 10 z x y   的最大值和最小值； 2．某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获

　得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？ 【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.