概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版

　概率论与数理统计

　 复旦大学

　习题 一 1 .见教材习题参考答案. 2.设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C

　（1）

　A 发生，B，C 都不发生；

　（2）

　A 与 B 发生，C

　（3）

　A，B，C 都发生；

　（4）

　A，B，C

　（5）

　A，B，C 都不发生；

　（6）

　A，B，C

　（7）

　A，B，C 至多有 2 个发生；

　（8）

　A，B，C 至少有 2 个发生.

　】

　【解】（1）

　A BC

　（2）

　AB C

　（3）

　ABC （4）

　A∪B∪C= AB C∪ A B C ∪A BC ∪ A BC∪A B C∪AB C ∪ABC= ABC

　(5) ABC = A B C

　 (6) ABC

　(7) A BC∪A B C∪AB C ∪ AB C∪A BC ∪ A B C ∪ ABC = ABC = A ∪ B ∪ C

　(8) AB∪BC∪CA=AB C ∪A B C∪ A BC∪ABC 3. .

　4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ AB ）.

　【解】

　P（ AB ）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)] =1[0.70.3]=0.6 5.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,

　（1）

　在什么条件下 P（AB

　（2）

　在什么条件下 P（AB

　】

　【解】（1）

　当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2）

　当 A∪B=Ω 时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.

　【解】

　 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) =14+14+13112=34 7. 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？ 【解】

　 p=5 3 3 2 1313 13 13 13 52C C C C /C

　8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：

　（1）

　求五个人的生日都在星期日的概率；

　（2）

　求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）

　求五个人的生日不都在星期日的概率. 】

　【解】（1）

　设 A 1 ={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 7 5 ，有利事件仅 1 个，故

　 P（A 1 ）=517=（17）

　5

　（亦可用独立性求解，下同）

　（2）

　设 A 2 ={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 6 5 ，故 P（A 2 ）=5567=(67) 5

　(3) 设 A 3 ={五个人的生日不都在星期日} P（A 3 ）=1P(A 1 )=1(17) 5

　9. .见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n<N）.试求其中恰有 m 件（m≤M）正品（记为 A）的概率.

　（1）

　n 件是同时取出的； （2）

　n

　（3）

　n 件是有放回逐件取出的.

　】

　【解】（1）

　P（A）= C C /Cm n m nM N M N (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 P nN 种，n 次抽取中有 m次为正品的组合数为 C mn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从 M 件正品中取 m 件的排列数有 P mM种，从 NM 件次品中取 nm 件的排列数为 P n mN M种，故 P（A）=C P PPm m n mn M N MnN 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P（A）=C CCm n mM N MnN 可以看出，用第二种方法简便得多. （3）

　由于是有放回的抽取，每次都有 N 种取法，故所有可能的取法总数为 N n 种，n

　次抽取中有 m 次为正品的组合数为 C mn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有 M 种取法，共有 M m 种取法，nm 次取得次品，每次都有NM 种取法，共有（NM）

　nm 种取法，故 ( ) C ( ) /m m n m nnP A M N M N 

　此题也可用贝努里概型，共做了 n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 ( ) C 1m n mmnM MP AN N           11. .见教材习题参考答案. 12.

　50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上，其中有 3 个铆钉强度太弱.每个部件用 3 只铆钉.若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设 A={发生一个部件强度太弱} 1 3 310 3 501( ) C C /C1960P A  

　13. 7 个球，其中 4 个是白球，3 个是黑球，从中一次抽取 3 个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】

　设 A i ={恰有 i 个白球}（i=2,3），显然 A 2 与 A 3 互斥. 2 1 34 3 42 33 37 7C C C 18 4( ) , ( )C 35 C 35P A P A    

　故

　 2 3 2 322( ) ( ) ( )35P A A P A P A   

　14. 0.8 和 0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

　（1）

　两粒都发芽的概率； （2）

　至少有一粒发芽的概率； （3）

　恰有一粒发芽的概率. 【解】设 A i ={第 i 批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

　(1) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0.7 0.8 0.56 P A A P A P A    

　(2) 1 2( ) 0.7 0.8 0.7 0.8 0.94 P A A     

　(3) 21 1 2( ) 0.8 0.3 0.2 0.7 0.38 P A A AA     

　15. 3 次正面才停止. （1）

　问正好在第 6 次停止的概率； （2）

　问正好在第 6 次停止的情况下，第 5 次也是出现正面的概率. 】

　【解】（1）

　2 2 31 51 1 1 5( ) ( )2 2 2 32p C  

　 (2) 1 3421 1 1C ( )( )22 2 45/32 5p  

　16. 0.7 及 0.6，每人各投了 3 次，求二人进球数相等的概率. 【解】

　设 A i ={甲进 i 球}，i=0,1,2,3,B i ={乙进 i 球},i=0,1,2,3,则 33 3 1 2 1 23 3 30( ) (0.3) (0.4) C 0.7 (0.3) C 0.6 (0.4)i iiP AB    

　 2 2 2 2 3 33 3C (0.7) 0.3C (0.6) 0.4+(0.7) (0.6) 

　=0.32076 17 5 双不同的鞋子中任取 4 只，求这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】

　4 1 1 1 15 2 2 2 2410C C C C C 131C 21p   

　18. 0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为 0.1,求：

　（1）

　在下雨条件下下雪的概率；（2）

　这天下雨或下雪的概率. 【解】

　设 A={下雨}，B={下雪}. （1）

　( ) 0.1( ) 0.2( ) 0.5P ABp B AP A  

　（2）

　( ) ( ) ( ) ( ) 0.3 0.5 0.1 0.7 p A B P A P B P AB       

　19. 3 个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】

　设 A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为 2 3 =8，故 ( ) 6/8 6( )( ) 7/8 7P ABP B AP A  

　或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为 7. 6( )7P B A 

　20. 5%的男人和 0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】

　设 A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B A P ABP A BP B P A P B A P A P B A 

　 0.5 0.05 200.5 0.05 0.5 0.0025 21    21. 9∶00~10∶00 在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

　 题 21 图

　 题 22 图 】

　【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.如图阴影部分所示. 2230 160 4P  

　22. 0，1）中随机地取两个数，求：

　（1）

　两个数之和小于65的概率； （2）

　两个数之积小于14的概率. 【解】

　 设两数为 x,y，则 0<x,y<1. （1）

　x+y<65.

　 11 4 4172 5 51 0.681 25p    

　(2) xy=<14.

　 1 11 124 41 11 d d ln24 2xp x y        23. P（ A ）=0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5，求 P（B｜A∪ B ）

　【解】

　 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB  

　0.7 0.5 10.7 0.6 0.5 4   24. 个盒中装有 15 个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出 3 个球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率. 【解】

　设 A i ={第一次取出的 3 个球中有 i 个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的 3 球均为新球} 由全概率公式，有 30( ) ( ) ( )i iiP B P B A P A 

　3 3 1 2 3 2 1 3 3 36 9 9 6 8 9 6 7 9 63 3 3 3 3 3 3 315 15 15 15 15 15 15 15C C C C C C C C C CC C C C C C C C       0.089 

　25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：

　（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设 A={被调查学生是努力学习的}，则 A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知 P（A）=0.8，P（ A ）=0.2，又设 B={被调查学生考试及格}.由题意知 P（B|A）=0.9，P（ B | A ）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )P A P B AP ABP A BP BP A P B A P A P B A 

　0.2 0.1 10.027020.8 0.9 0.2 0.1 37     即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702% (2)

　( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B A P ABP A BP B P A P B A P A P B A 

　 0.8 0.1 40.30770.8 0.1 0.2 0.9 13     即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02，而B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是 A 的概率是多少？ 【解】

　设 A={原发信息是 A}，则={原发信息是 B} C={收到信息是 A}，则={收到信息是 B} 由贝叶斯公式，得

　( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )P A P C AP A CP A P C A P A P C A

　 2/3 0.980.994922/3 0.98 1/3 0.01    27. 【解】设 A i ={箱中原有 i 个白球}（i=0,1,2），由题设条件知 P（A i ）=13,i=0,1,2.又设 B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 11 11 20( ) ( )( )( )( )( ) ( )i iiP B A P AP ABP A BP BP B A P A  2/3 1/3 11/3 1/3 2/3 1/3 1 1/3 3      28. 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】

　设 A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B A P ABP A BP B P A P B A P A P B A 

　0.96 0.980.9980.96 0.98 0.04 0.05    29. .统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30；如果“谨慎的”被保险人占 20%，“一般的”占 50%，“冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】

　设 A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}， C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得 ( ) ( ) ( | )( | )( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P AD P A P D AP A DP D P A P D A P B P D B P C P D C  

　 0.2 0.050.0570.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3      30. 零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设 A i ={第 i 道工序出次品}（i=1,2,3,4）. 41 2 3 41( ) 1 ( )iiP A P A A A A 

　1 2 3 41 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A P A P A  

　1 0.98 0.97 0.95 0.97 0.124      

　31. 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9? 【解】设必须进行 n 次独立射击. 1 (0.8) 0.9n 

　即为

　(0.8) 0.1n

　故

　 n≥11 至少必须进行 11 次独立射击. 32. P（A｜B）=P(A｜ B )，则 A，B 相互独立. 【证】

　( | ) ( | ) P A B P A B  即( ) ( )( ) ( )P AB P ABP B P B

　亦即

　 ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P B P AB P B 

　( )[1 ( )] [ ( ) ( )] ( ) P AB P B P A P AB P B   

　因此

　 ( ) ( ) ( ) P AB P A P B 

　故 A 与 B 相互独立. 33.15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】

　设 A i ={第 i 人能破译}（i=1,2,3），则 31 2 3 1 2 31( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )iiP A P A A A P A P A P A   

　4 2 31 0.65 3 4    

　34. 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设 A={飞机被击落}，B i ={恰有 i 人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 30( ) ( | ) ( )i iiP A P A B P B 

　=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35. 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

　（1）

　虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率.

　（2）

　新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 】

　【解】（1）

　3101 100C (0.35) (0.65) 0.5138k k kkp  (2) 10102 104C (0.25) (0.75) 0.2241k k kkp  36. 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

　（1）

　A=“某指定的一层有两位乘客离开”； （2）

　B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3）

　C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4）

　D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解】

　由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 10 6 种. （1）

　2 466C 9( )10P A  ，也可由 6 重贝努里模型：

　2 2 461 9( ) C ( ) ( )10 10P A 

　（2）

　6 个人在十层中任意六层离开，故 6106P( )10P B 

　（3）

　由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4 人中有 3 个人在同一层离开，另一人在其余8 层中任一层离开，共有1 3 19 4 8C C C 种可能结果；②4 人同时离开，有19C 种可能结果；③4 个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故 1 2 1 3 1 1 4 610 6 9 4 8 9 9( ) C C (C C C C P )/10 P C   

　（4）

　D= B .故 6106P( ) 1 ( ) 110P D P B    

　37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：

　（1）

　甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2）

　甲、乙、丙三人坐在一起的概率； （3）

　如果 n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】

　（1）

　111pn

　(2) 23!( 3)! ,3( 1)!np nn  (3) 1 2( 1)! 1 3!( 2)!; , 3! !n np p nn n n     

　38. [0，a]

　【解】

　设这三段长分别为 x,y,axy.则基本事件集为由 0<x<a,0<y<a,0<axy<a 所构成的图形，有利事件集为由 ( )( )x y a x yx a x y yy a x y x           构成的图形，即 02022axayax y a      如图阴影部分所示，故所求概率为14p  . 39. 某人有 n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开 k 次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与 k 无关. 【证】

　 11P 1, 1,2, ,Pknknp k nn  

　40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有 i 面涂有颜色的概率 P（A i ）（i=0,1,2,3）.

　【解】

　设 A i ={小立方体有 i 面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

　在 1 千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有 8 个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有 12×8=96 个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有 8×8×6=384 个.其余 1000（8+96+384）=512 个内部的小立方体是无色的，故所求概率为 0 1512 384( ) 0.512, ( ) 0.3841000 1000P A P A     , 2 496 8( ) 0.096, ( ) 0.0081000 1000P A P A     . 41.对任意的随机事件 A，B，C

　P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).

　【证】

　( ) [ ( )] ( ) P A P A B C P AB AC  

　( ) ( ) ( ) P AB P AC P ABC   

　( ) ( ) ( ) P AB P AC P BC   

　42. 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率. 【解】

　设iA ={杯中球的最大个数为 i},i=1,2,3. 将 3 个球随机放入 4 个杯子中，全部可能放法有 4 3 种，杯中球的最大个数为 1 时，每个杯中最多放一球，故 3413C 3! 3( )4 8P A  

　而杯中球的最大个数为 3，即三个球全放入一个杯中，故 1433C 1( )4 16P A  

　因此

　2 1 33 1 9( ) 1 ( ) ( ) 18 16 16P A P A P A       

　或

　 1 2 14 3 323C C C 9( )4 16P A  

　 43. 币掷 2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷 2n 次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C 两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 P（A）=P（B）.所以 1 ( )( )2P CP A

　由 2n 重贝努里试验中正面出现 n 次的概率为 21 1( ) ( ) ( )2 2n n nnP C C 

　故

　 221 1( ) [1 C ]2 2nnnP A  

　44. n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设 A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）

　（1）

　当 n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由 P（A）+P（B）=1 得 P（A）=P（B）=0.5 (2) 当 n 为偶数时，由上题知 21 1( ) [1 C ( ) ]2 2nnnP A  

　45. n+1 次，乙掷 n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】

　令甲 正 =甲掷出的正面次数，甲 反 =甲掷出的反面次数. 乙 正 =乙掷出的正面次数，乙 反 =乙掷出的反面次数. 显然有 >正 正（甲 乙 ）

　=（甲 正 ≤乙 正 ）=（n+1甲 反 ≤n乙 反 ）

　=（甲 反 ≥1+乙 反 ）=（甲 反 >乙 反 ）

　由对称性知 P（甲 正 >乙 正 ）=P（甲 反 >乙 反 ）

　因此 P(甲 正 >乙 正 )=12 46. Surething）：若 P（A|C）≥P(B|C),P(A| C )≥P(B| C )，则 P（A）≥P(B). 【证】由 P（A|C）≥P(B|C),得 ( ) ( ),( ) ( )P AC P BCP C P C

　即有

　( ) ( ) P AC P BC 

　同理由

　 ( | ) ( | ), P A C P B C 

　得

　( ) ( ), P AC P BC 

　故

　( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P AC P AC P BC P BC P B     

　 47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.

　【解】

　设 A i ={第 i 节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则 1 2 1( 1) 1( ) (1 )2( ) (1 )1( ) (1 )nkkikki jki i inP An nP A AnnP A A An     其中 i 1 ,i 2 ,…,i n1 是 1，2，…，n 中的任 n1 个. 显然 n 节车厢全空的概率是零，于是 2 11 2 111122111 1111 2 311 1( ) (1 ) C (1 )2( ) C (1 )1( ) C (1 )0( ) ( 1)nnnk ki niki j ni j nn kn i i i ni i i nnnni niS P A nn nS P A AnnS P A A AnSP A S S S S                  

　1 2 11 2 1C (1 ) C (1 ) ( 1) C (1 )k k n n kn n nnn n n       

　故所求概率为 1 211 21 ( ) 1 C (1 ) C (1 )nk ii n niP An n       1 11( 1) C (1 )n n knnn  

　48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1.

　【证】

　在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为 1 (1 ) 1( )nn     

　49.袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设 A={投掷硬币 r 次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知

　 ( ) , ( )m nP B P Bm n m n   1( | ) , ( | ) 12 rP A B P A B  

　则由贝叶斯公式知 ( ) ( ) ( | )( | )( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P AB P B P A BP B AP A P B P A B P B P A B 

　121212rrrmmm nm nm nm n m n   50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又 【解】以 B 1 、B 2 记火柴取自不同两盒的事件，则有1 21( ) ( )2P B P B   .（1）发现一盒已空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B 1 盒（已空），nr 次取自 B 2 盒，第 2nr+1 次拿起 B 1 ，发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验，则所求概率为 1 221 1 1 12C ( ) ( ) C2 2 2 2n n n r nn r n rr rp  

　式中 2 反映 B 1 与 B 2 盒的对称性（即也可以是 B 2 盒先取空）. （2）

　前 2nr1 次取火柴，有 n1 次取自 B 1 盒，nr 次取自 B 2 盒，第 2nr 次取自 B 1盒，故概率为 1 1 1 2 12 2 1 2 11 1 1 12C ( ) ( ) C ( )2 2 2 2n n n r n n rn r n rp         

　51. n 重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率.

　【解】

　设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由 0 0 1 1 2 2 2 0( ) C C C C 1n n n n n nn n n nq p p q pq p q p q       

　0 0 1 1 2 2 2 n 0( ) C C C ( 1) Cn n n n n nn n n nq p p q pq p q p q       

　以上两式相减得所求概率为 1 1 3 3 31C Cn nn np pq p q   

　1[1 ( ) ]2nq p   

　1[1 (1 2 ) ]2np   

　若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 21[1 (1 2 ) ]2np p    . 52.设 A，B 是任意两个随机事件，求 P{（ A +B）（A+B）（ A + B ）（A+ B ）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（ A ∪ B ）=A B ∪ A B （ A ∪B）∩（A∪ B ）=AB∪ AB

　所求

　 ( )( )( )( ) A B A B A B A B    

　 [( ) ( )] AB AB AB AB  

　 

　故所求值为 0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B 和 C

　ABC=，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且 P（A∪B∪C）=9/16，求 P（A）. 【解】由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC       

　 293 ( ) 3[ ( )]16P A P A   

　故1( )4P A  或34,按题设 P（A）<12,故 P（A）=14. 54.设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A不发生的概率相等，求 P（A）. 【解】

　1( ) ( ) 1 ( )9P AB P A B P A B    

　① ( ) ( ) P AB P AB 

　② 故

　( ) ( ) ( ) ( ) P A P AB P B P AB   

　故

　( ) ( ) P A P B 

　 ③

　由 A,B 的独立性，及①、③式有 11 ( ) ( ) ( ) ( )9P A P B P A P B    

　 21 2 ( ) [ ( )] P A P A   

　 2[1 ( )] P A  

　故

　 11 ( )3P A   

　故

　2( )3P A  或4( )3P A  （舍去）

　即 P（A）=23. 55.随机地向半圆 0<y< 22 x ax

　(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于π/4

　【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为12πa 2 .阴影部分面积为 2 2π 14 2a a 

　故所求概率为 2 22π 11 14 212 ππ2a apa  

　56. 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】

　设 A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} 2421026210CC ( ) 1( | )C ( ) 51CP ABP B AP A  - 57.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.

　（1）

　求先抽到的一份是女生表的概率 p

　（2）

　已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q.

　【解】设 A i ={报名表是取自第 i 区的考生}，i=1,2,3. B j ={第 j 次取出的是女生表}，j=1,2. 则

　 1( ) , 1,2,33iP A i  

　1 1 1 2 1 33 7 5( | ) , ( | ) , ( | )10 15 25P B A P B A P B A   

　(1) 31 111 3 7 5 29( ) ( | ) ( )3 10 15 25 90iip P B P B A      (2) 21212( )( | )( )P B Bq P B BP B 

　而

　32 21( ) ( | ) ( )i iiP B P B A P A 

　1 7 8 20 61( )3 10 15 25 90   

　321 2 11( ) ( | ) ( )i iiP B B P B B A P A 

　1 3 7 7 8 5 20 2( )3 10 9 15 14 25 24 9      

　故

　2122( ) 20961( ) 6190P B BqP B  

　58. 设 A，B 为随机事件，且 P（B）>0,P(A|B)=1,试比较 P(A∪B)与 P(A)的大小. (2006 研考) 解：因为

　 ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P AB   

　( ) ( ) ( ) ( ) P AB P B P A B P B   

　所以

　( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P B P A     . 习题二

　1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解】

　353524353,4,51( 3) 0.1C3( 4) 0.3CC( 5) 0.6CXP XP XP X       故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6

　 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：

　（1）

　X 的分布律； （2）

　X 的分布函数并作图； (3) 1 3 3{ }, {1 }, {1 }, {1 2}2 2 2P X P X P X P X        . 【解】

　3133151 22 133151133150,1,2.C 22( 0) .C 35C C 12( 1) .C 35C 1( 2) .C 35XP XP XP X       故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 2235 1235 135

　（2）

　当 x<0 时，F（x）=P（X≤x）=0 当 0≤x<1 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 2235 当 1≤x<2 时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当 x≥2 时，F（x）=P（X≤x）=1 故 X 的分布函数 0, 022, 0 135( )34, 1 2351, 2xxF xxx     (3)

　1 1 22( ) ( ) ,2 2 353 3 34 34(1 ) ( ) (1) 02 2 35 353 3 12(1 ) ( 1) (1 )2 2 3534 1(1 2) (2) (1) ( 2) 1 0.35 35P X FP X F FP X P X P XP X F F P X                         3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率. 【解】

　设 X 表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3. 31 232 233( 0) (0.2) 0.008( 1) C 0.8(0.2) 0.096( 2) C (0.8) 0.2 0.384( 3) (0.8) 0.512P XP XP XP X         故 X 的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 0, 00.008, 0 1( ) 0.104, 1 20.488, 2 31, 3xxF x xxx       ( 2) ( 2) ( 3) 0.896 P X P X P X      

　4.（1）

　设随机变量 X 的分布律为 P{X=k}=! kak， 其中 k=0，1，2，…， λ ＞0 为常数，试确定常数 a. （2）

　设随机变量 X 的分布律为 P{X=k}=a/N，

　k=1，2，…，N， 试确定常数 a. 】

　【解】（1）

　由分布律的性质知 0 01 ( ) e!kk kP X k a ak       故

　 e a 

　 (2) 由分布律的性质知 1 11 ( )N Nk kaP X k aN      即

　1 a . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：

　（1）

　两人投中次数相等的概率; （2）

　甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令 X 、 Y 表示甲、乙投中次数，则 X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1)

　( ) ( 0, 0) ( 1, 1) ( 2, 2) P X Y P X Y P X Y P X Y           

　( 3, 3) P X Y  

　3 3 1 2 1 23 3(0.4) (0.3) C 0.6(0.4) C 0.7(0.3)   +

　2 2 2 2 3 33 3C (0.6) 0.4C (0.7) 0.3 (0.6) (0.7) 

　0.32076 

　(2) ( ) ( 1, 0) ( 2, 0) ( 3, 0) P X Y P X Y P X Y P X Y           

　( 2, 1) ( 3, 1) ( 3, 2) P X Y P X Y P X Y        

　1 2 3 2 2 33 3C 0.6(0.4) (0.3) C (0.6) 0.4(0.3)   

　3 3 2 2 1 23 3(0.6) (0.3) C (0.6) 0.4C 0.7(0.3)  

　3 1 2 3 2 23 3(0.6) C 0.7(0.3) (0.6) C (0.7) 0.3 

　=0.243 6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有 ( ) 0.01 P X N  

　即

　 2002002001C (0.02) (0.98) 0.01k k kk N  利用泊松近似 200 0.02 4. np     

　41e 4( ) 0.01!kk NP X Nk   查表得 N≥9.故机场至少应配备 9 条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设 X 表示出事故的次数，则 X~b（1000，0.0001）

　( 2) 1 ( 0) ( 1) P X P X P X      

　 0.1 0.11 e 0.1 e    

　8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足 P{X=1}=P{X=2}，求概率 P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则 1 4 2 2 35 5C (1 ) C (1 ) p p p p   

　故

　13p 

　所以

　4 451 2 10( 4) C ( )3 3 243P X    . 9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号， （1）

　进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）

　进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 】

　【解】（1）

　设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6（5，0.3）

　5553( 3) C (0.3) (0.7) 0.16308k k kkP X   (2) 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b（7，0.3）

　7773( 3) C (0.3) (0.7) 0.35293k k kkP Y   10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1）

　求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率； （2）

　求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率. 】

　【解】（1）32( 0) e P X 

　 (2)

　52( 1) 1 ( 0) 1 e P X P X     

　11.设 P{X=k}=k k kp p22) 1 ( C ,

　k=0,1,2 P{Y=m}=m m mp p44) 1 ( C ,

　 m=0,1,2,3,4 分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知 P{X≥1}=59，试求 P{Y≥1}.

　【解 】因为5( 1)9P X   ，故4( 1)9P X   . 而

　2( 1) ( 0) (1 ) P X P X p     

　故得

　24(1 ) ,9p  

　即

　 1 .3p 

　从而

　 465( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 0.8024781P Y P Y p         

　12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中恰有 5 册错误的概率. 【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算, 2000 0.001 2 np     

　得

　 2 5e 2( 5) 0.00185!P X  

　13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 【解】

　1,2, , , X k 

　11 3( ) ( )4 4kP X k 

　( 2) ( 4) ( 2 ) P X P X P X k       

　3 2 11 3 1 3 1 3( ) ( )4 4 4 4 4 4k    

　213 1414 51 ( )4  14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：

　（1）

　保险公司亏本的概率; （2）

　保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑. （1）

　在 1 月 1 日，保险公司总收入为 2500×12=30000 元. 设 1 年中死亡人数为 X，则 X~b(2500,0.002)，则所求概率为 (2000 30000) ( 15) 1 ( 14) P X P X P X      

　由于 n 很大，p 很小， λ =np=5，故用泊松近似，有

　5140e 5( 15) 1 0.000069!kkP Xk    (2) P(保险公司获利不少于 10000)

　(30000 2000 10000) ( 10) P X P X     

　 5100e 50.986305!kkk  即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%

　P（保险公司获利不少于 20000）

　(30000 2000 20000) ( 5) P X P X     

　 550e 50.615961!kkk  即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%

　15.已知随机变量 X 的密度函数为 f(x)=Ae|x|,

　∞<x<+∞, 求：（1）A 值；（2）P{0<X<1};

　(3)

　F(x). 】

　【解】（1）

　由 ( )d 1 f x x得 | |01 e d 2 e d 2x xA x A x A      故

　12A . (2) 1101 1(0 1) e d (1 e )2 2xp X x      (3) 当 x<0 时，1 1( ) e d e2 2xx xF x x  当 x≥0 时，0| |01 1 1( ) e d e d e d2 2 2x xx x xF x x x x      

　 11 e2x  

　故

　1e , 02( )11 e 02xxxF xx   16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为 f(x)=. 100 , 0, 100 ,1002xxx 求：（1）

　在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率； （2）

　在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

　（3）

　F（x）. 【解】

　（1）

　1502100100 1( 150) d .3P X xx   3 312 8[ ( 150)] ( )3 27p P X    

　(2) 1 22 31 2 4C ( )3 3 9p  

　(3) 当 x<100 时 F（x）=0 当 x≥100 时 ( ) ( )dxF x f t t 

　100100( )d ( )dxf t t f t t  

　 2100100 100d 1xtt x   故

　1001 , 100( )0, 0xF x xx   17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数. 【解】

　由题意知 X~∪[0,a]，密度函数为 1, 0( )0,x af x a  其他 故当 x<0 时 F（x）=0 当 0≤x≤a 时0 01( ) ( )d ( )d dx x xxF x f t t f t t ta a      当 x>a 时，F（x）=1 即分布函数 0, 0( ) , 01,xxF x x aax a     18.设随机变量 X 在[2，5]上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率. 【解】X~U[2,5]，即 1, 2 5( ) 30,xf x  其他

　531 2( 3) d3 3P X x    故所求概率为 2 2 3 33 32 1 2 20C ( ) C ( )3 3 3 27p   

　19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布1( )5E .某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 P{Y≥1}. 【解】依题意知1~ ( )5X E ，即其密度函数为 51e , 0( )50,xxf x   x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25101( 10) e d e5xP X x    2~ (5,e ) Y b,即其分布律为 2 2 552 5( ) C (e ) (1 e ) , 0,1,2,3,4,5( 1) 1 ( 0) 1 (1 e ) 0.5167k k kP Y k kP Y P Y             20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服从 N（40，10 2 ）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，4 2 ）. （1）

　若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）

　又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 】

　【解】（1）

　若走第一条路，X~N（40，10 2 ），则 40 60 40( 60) (2) 0.9772710 10xP X P           若走第二条路，X~N（50，4 2 ），则 50 60 50( 60) (2.5) 0.99384 4XP X P          ++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2）

　若 X~N（40，10 2 ），则 40 45 40( 45) (0.5) 0.691510 10XP X P           若 X~N（50，4 2 ），则 50 45 50( 45) ( 1.25)4 4XP X P          

　 1 (1.25) 0.1056    

　故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 X~N（3，2 2 ）， （1）

　求 P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}; （2）

　确定 c 使 P{X＞c}=P{X≤c}. 】

　【解】（1）

　2 3 3 5 3(2 5)2 2 2XP X P          

　 1 1(1) (1) 12 20.8413 1 0.6915 0.5328                     4 3 3 10 3( 4 10)2 2 2XP X P            

　 7 70.99962 2              (| | 2) ( 2) ( 2) P X P X P X      

　3 2 3 3 2 32 2 2 21 5 1 51 12 2 2 20.6915 1 0.9938 0.6977X XP P                                                    3 3 3( 3) ( ) 1 (0) 0.52 2XP X P      - (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.06 2 ）,规定长度在 10.05±0.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.05 0.12(| 10.05| 0.12)0.06 0.06XP X P       

　 1 (2) ( 2) 2[1 (2)]0.0456         23.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160，σ 2 ），若要求 P{120＜X≤200}≥0.8，允许 σ 最大不超过多少？ 【解】120 160 160 200 160(120 200)XP X P            

　 40 40 402 1 0.8                          故

　 4031.251.29  

　24.设随机变量 X 分布函数为 F（x）=e , 0,( 0),0 0.xtA B x, x    （1）

　求常数 A，B； （2）

　求 P{X≤2}，P{X＞3}； （3）

　求分布密度 f（x）. 】

　【解】（1）由0 0lim ( ) 1lim ( ) lim ( )xx xF xF x F x    得11AB   （2）

　2( 2) (2) 1 e P X F    

　 3 3( 3) 1 (3) 1 (1 e ) e P X F         

　(3)

　e , 0( ) ( )0, 0xxf x F xx     25.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）=   . , 0, 2 1 , 2, 1 0 ,其他x xx x 求 X 的分布函数 F（x），并画出 f（x）及 F（x）. 【解】当 x<0 时 F（x）=0 当 0≤x<1 时00( ) ( )d ( )d ( )dx xF x f t t f t t f t t     

　 20d2xxt t   当 1≤x<2 时 ( ) ( )dxF x f t t 

　0 10 110 122( )d ( )d ( )dd (2 )d1 322 2 22 12xxf t t f t t f t tt t t txxxx             

　当 x≥2 时 ( ) ( )d 1xF x f t t  故

　220, 0, 0 12( )2 1, 1 221, 2xxxF xxx xx        26.设随机变量 X 的密度函数为 （1）

　f(x)=ae |x| ,λ>0; (2)

　 f(x)=  . , 0, 2 1 ,1, 1 0 ,2其他xxx bx 试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）. 【解】（1）

　由 ( )d 1 f x x知| |021 e d 2 e dx xaa x a x       故

　 2a

　即密度函数为

　 e , 02( )e 02xxxf xx   当 x≤0 时1( ) ( )d e d e2 2x xx xF x f x x x      当 x>0 时00( ) ( )d e d e d2 2x xx xF x f x x x x       

　11 e2x   

　故其分布函数 11 e , 02( )1e , 02xxxF xx   (2) 由1 220 11 11 ( )d d d2 2bf x x bx x xx       得

　 b=1 即 X 的密度函数为

　2, 0 11( ) , 1 20,x xf x xx    其他 当 x≤0 时 F（x）=0 当 0<x<1 时00( ) ( )d ( )d ( )dx xF x f x x f x x f x x     

　20d2xxx x   当 1≤x<2 时0 120 11( ) ( )d 0d d dx xF x f x x x x x xx       

　 3 12 x 

　当 x≥2 时 F（x）=1 故其分布函数为 20, 0, 0 12( )3 1, 1 221, 2xxxF xxxx      27.求标准正态分布的上   分位点， （1）

　  =0.01，求 z  ; （2）

　  =0.003，求 z  ，/2z  . 【解】（1）

　( ) 0.01 P X z   

　即

　 1 ( ) 0.01 z    

　即

　 ( ) 0.09 z   

　故

　2.33 z  

　（2）

　由 ( ) 0.003 P X z    得 1 ( ) 0.003 z    

　即

　( ) 0.997 z   

　查表得

　 2.75 z  

　由/2( ) 0.0015 P X z    得 /21 ( ) 0.0015 z   

　即

　/2( ) 0.9985 z   

　查表得

　 /22.96 z  

　28.设随机变量 X 的分布律为 X 2

　 1

　 0

　 1

　 3 P k

　1/5

　1/6

　 1/5

　 1/15

　11/30 求 Y=X 2 的分布律. 【解】Y 可取的值为 0，1，4，9 1( 0) ( 0)51 1 7( 1) ( 1) ( 1)6 15 301( 4) ( 2)511( 9) ( 3)30P Y P XP Y P X P XP Y P XP Y P X                   故 Y 的分布律为 Y 0

　 1

　 4

　 9 P k

　1/5

　 7/30

　 1/5

　 11/30 29.设 P{X=k}=(12) k , k=1,2,…,令 1,1, .XYX  当 取偶数时当 取奇数时

　求随机变量 X 的函数 Y 的分布律. 【解】

　( 1) ( 2) ( 4) ( 2 ) P Y P X P X P X k         

　 2 4 21 1 1( ) ( ) ( )2 2 21 1 1( )/(1 )4 4 3k       2( 1) 1 ( 1)3P Y P Y      

　30.设 X~N（0，1）. （1）

　求 Y=e X 的概率密度； （2）

　求 Y=2X 2 +1 的概率密度； （3）

　求 Y=｜X｜的概率密度.

　】

　【解】（1）

　当 y≤0 时， ( ) ( ) 0YF y P Y y   

　当 y>0 时， ( ) ( ) (e ) ( ln )xYF y P Y y P y P X y      

　ln( )dyXf x x 

　故

　 2 / 2lnd ( ) 1 1 1( ) (ln ) e , 0d 2πyYY xF yf y f y yy y y   

　(2)2( 2 1 1) 1 P Y X    

　当 y≤1 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y   

　当 y>1 时2( ) ( ) (2 1 )YF y P Y y P X y     

　21 1 12 2 2y y yP X P X               

　 ( 1)/2( 1)/2( )dyXyf x x  

　故 d 1 2 1 1( ) ( )d 4 1 2 2Y Y X Xy yf y F y f fy y                       

　 ( 1)/41 2 1e , 12 1 2πyyy   (3) ( 0) 1 P Y  

　当 y≤0 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y   

　当 y>0 时 ( ) (| | ) ( )YF y P X y P y X y      

　( )dyXyf x x 

　故d( ) ( ) ( ) ( )dY Y X Xf y F y f y f yy   

　2 /2 2e , 02πyy 

　31.设随机变量 X~U（0,1），试求：

　（1）

　Y=e X 的分布函数及密度函数； （2）

　Z=2lnX 的分布函数及密度函数. 】

　【解】（1）

　(0 1) 1 P X   

　故

　 (1 e e) 1XP Y    

　当 1 y  时 ( ) ( ) 0YF y P Y y   

　当 1<y<e 时 ( ) (e ) ( ln )XYF y P y P X y    

　ln0d lnyx y   当 y≥e 时 ( ) (e ) 1XYF y P y   

　即分布函数 0, 1( ) ln , 1 e1, eYyF y y yy    故 Y 的密度函数为 11 e, ( )0,Yyy f y  其他 （2）

　由 P（0<X<1）=1 知 ( 0) 1 P Z  

　当 z≤0 时， ( ) ( ) 0ZF z P Z z   

　当 z>0 时， ( ) ( ) ( 2ln )ZF z P Z z P X z     

　/2(ln ) ( e )2zzP X P X    

　/ 21/2ed 1 ezzx   即分布函数 - /20, 0( )1-e ,ZzzF zz  0 故 Z 的密度函数为 /21e , 0( ) 20,zZzf zz 0 32.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=22, 0 π,π0, .xx 其他

　试求 Y=sinX 的密度函数. 【解】

　(0 1) 1 P Y   

　当 y≤0 时， ( ) ( ) 0YF y P Y y   

　当 0<y<1 时， ( ) ( ) (sin )YF y P Y y P X y    

　(0 arcsin ) (π arcsin π) P X y P y X       

　arcsin π2 20 π arcsin2 2d dπ πyyx xx x   2 22 21 1arcsin 1 π arcsinπ πy y   - - （ ）

　（ ）

　2arcsinπy 

　当 y≥1 时， ( ) 1YF y 

　故 Y 的密度...