第三章不等式基础填空30道

　空 第三章不等式基础填空 30 道

　 一、填空题 1．不等式 ² 4 0 x   的解集是______________． 2．函数  2f x xx  ，   1,2 x ，则函数值域为______ 3．若关于 x 的二次不等式21 0 x mx   的解集为实数集 R ，则实数 m 的取值范围是________． 4．已知实数 x ， y 满足252 5xy xy x   ，则 2 z x y   的最大值为__________. 5．已知 1 x ，函数41y xx 的最小值是______． 6．若点   3 P a ， 在0 x y   表示的区域内，则实数 a的取值范围是______． 7．若实数 x ， y 满足 1 2 x    ，2 1 y    ，则 yx 的取值范围是________. 8．若 0 a  ， 0 b 且2 4 0 a b    ，则1 2a b 的最小值为__________. 9．若不等式23 2 0 ax x   的解集为     ,1 , b    ，则 a b   ________. 10．不等式21 0 kx x    对任意的实数 x 恒成立的充要条件是 k ______. 11．不等式20 16 x   的解集为____________ 12．已知12( 2)3 6y x xx  ，则 y 最小值为___________． 13．已知不等式 x 2 -ax-b<0 的解集为(2,3)，则不等式 bx 2 -ax-1>0 的解集为____. 14．已知点 P 和点 Q 的坐标分别为  1,1  和   1,2 ，若直线 : 0 l x my m    与线段 PQ相交，则 m 的取值范围是_____ 15．若  15f x xx ，   5  x ，则   f x 的最小值为______. 16．若 0 a  , 0 b ,则2 22 2 4 8 a b aba b  的最小值为__________. 17．设 2 5 a   ， 5 2 b   ， 5 2 5 c  ，则 a，b，c 之间的大小关系为__________ 18．已知 1 x ，且1 x y   ，则1xy的最小值是______ 19．23 4( 0)2x xxx  的最小值为__________.

　试卷第 2 页，总 2 页 20．设 A a d   ， B b c   ， a ， b ， c ， d 均为正数，且 adbc  ， a 是 a ， b ， c ，d 中最大的一个，比较 A 与 B 的大小关系是__________. 21．已知22 5 3 M x x   ，24 2 N x x   ，则 M________N（用>，<，=填）

　22．若 0 10 x   ，求 (10 ) x x  的最大值________. 23．不等式2 101xx的解集为__________. 24．已知 0 a  ， 0 b ，1 11a b  ，则 4 a b  的最小值为______. 25．已知向量   , x y 满足约束条件，则335 0yxx y   ，则yzx 的最大值为______. 26．若关于 x 的不等式    21 1 1 0 a x a x      的解集为  ，则 a 的取值范围是______________. 27．已知 , 0, () 1 a b a a b    ，则 32 a b  的范围为___________. 28．若关于x的不等式组(2 3)( 1) 0 x xx a   没有整数解，则实数a的取值范围是______. 29．已知关于 x 的不等式21 0 kx kx   的解集为 R，则实数 k 的取值范围是_______. 30．已知2 2 45 1 x y y     , x y R  ，则2 22 x y  的最小值是__________．

　 答案第 1 页，总 14 页 参考答案 1．   22  ,

　【分析】

　由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】

　不等式 ² 4 0 x   化为    2 2 0 x x    ，解得 2 2 x    ， 故不等式的解集为   22  , . 故答案为：

　  22  , . 2． [2 2,3]

　【分析】

　利用基本不等式确定其最小值，结合端点值确定最大值，即可知值域. 【详解】

　由   1,2 x ，  22 2 f x xx   当且仅当2 x 时等号成立，而 (1) (2) 3 f f   ，所以( ) [2 2,3] f x  ， 故答案为：

　[2 2,3]

　3．   22  ,

　【分析】

　根据不等式恒成立，得到判别式小于等于零，求解，即可得出结果. 【详解】

　因为关于 x 的二次不等式21 0 x mx   的解集为实数集 R ， 所以只需24 0 m    ，解得 2 2 m    ， 即实数 m 的取值范围是   22  , . 故答案为：

　  22  , . 4．4 【分析】

　根据线性规划画图,平移,求点,代值即可求出结果.

　 答案第 2 页，总 14 页 【详解】

　解:作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)； 观察可知，当直线 2 z x y   过点 C 时， z 有最大值； 联立22 5xy x  ，解得21xy  ， 故 2 z x y   的最大值为 2 2 4   ． 故答案为:4

　【点睛】

　用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

　①首先，要根据线性约束条件画出可行域 (即画出不等式组所表示的公共区域)． ②设 z＝0，画出直线 l0． ③观察、分析、平移直线 l0，从而找到最优解． ④最后求得目标函数的最大值或最小值． 5． 5

　【分析】

　将函数配凑成符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】

　1 x Q ， 1 0 x    ， 4 4 41 1 1 2 1 51 1 1y x x xx x x             （当且仅当411xx ，即 3 x  时取等号）， 41y xx  的最小值为 5 . 故答案为：

　5 . 6．   3   ，

　【分析】

　 答案第 3 页，总 14 页 将   3 P a ， 代入 0 x y   即可得答案. 【详解】

　点   3 P a ， 在不等式 0 x y   表示的平面区域内， 3 0 a    ， 即 3 a ， 则 a 的取值范围为   3   ， ， 故答案为：

　  3   ，

　7．   4,2 

　【分析】

　由 1 2 x    可得 2 1 x    ，然后相加便可得到 yx 的取值范围． 【详解】

　因为 1 2 x    ，所以 2 1 x    ，又因为 2 1 y    ， 所以   2 2 1 1 y x        ，即 4 2 y x     ． 故答案为：

　  4,2  ． 【点睛】

　本题考查不等式的基本性质及运用，解答时注意同向可相加，注意端点的值能否取到，容易错解为   4,2  ． 8．94 【分析】

　化为积为定值的形式后，利用基本不等式可解得结果. 【详解】

　1 2 1 2 2 1 2 2 954 4 4a b b aa b a b a b                 ，当且仅当43a b   时，等号成立. 故答案为：94. 【点睛】

　易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　 答案第 4 页，总 14 页 （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 9．3 【分析】

　由不等式的解集，得到方程23 2 0 ax x   的解为 1 和 b ，由根与系数关系即可求出 , a b 的值，进而求出  a b 的值． 【详解】

　因为不等式23 2 0 ax x   的解集为     ,1 , b    ， 所以 1 和 b 为23 2 0 ax x   的解， 由根与系数的关系可得31 ba  ,21 ba  ,所以 1 a  ， 2 b  ， 则 3 a b   ． 故答案为：3. 【点睛】

　本题考查一元二次不等式的解法，关键是把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根之间的关系． 10．1,4    【分析】

　由题意得00k   ，从而可求出 k 取值范围 【详解】

　解：当 0 k  时，不等式可化为 1 0 x    ，得 1 x 不合题意，所以 0 k  ， 因为不等式21 0 kx x    对任意的实数 x 恒成立， 所以00k   ，即01 4 0kk  ，解得14k   ，

　 答案第 5 页，总 14 页 故答案为：1,4    11．     4,0 0,4  【分析】

　根据一元二次不等式的解法，可直接得出结果. 【详解】

　由20 16 x   得2160xx ，解得 4 0 x    或 0 4 x   ， 即原不等式的解集为     4,0 0,4  . 故答案为：

　    4,0 0,4  . 12． 6

　【分析】

　12 4 42 23 6 2 2y x x xx x x         ，利用基本不等式即可求最值. 【详解】

　 12 4 4 42 2 2 2 2 63 6 2 2 2y x x x xx x x x               ， 当且仅当422xx ，即 4 x  时等号成立， 故答案为：

　6

　【点睛】

　易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 13．1 1|2 3x x      

　 答案第 6 页，总 14 页 【分析】

　利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根关系,求出 a,b 代入所求的不等式. 【详解】

　依题意知方程20 x ax b   的两根为 2，3， 根据根与系数的关系可求得 ,    a b ， 所以所求解的不等式为 6x 2 +5x+1<0，解得1 12 3x     . 故答案为：1 1|2 3x x       14．1 1,3 2    【分析】

　根据题意，点 , P Q 在直线 l 两侧或在直线 l 上，即 ( 1 2 ) (1 3 ) 0 m m      ，求解即可. 【详解】

　若直线 : 0 l x my m    与线段 PQ 相交， 则点 , P Q 在直线 l 两侧或在直线 l 上， 则有 ( 1 2 ) (1 3 ) 0 m m      ， 解得：1 13 2x    ， 所以 m 的取值范围是1 1,3 2   ， 故答案为：1 1,3 2   . 15．7 【分析】

　根据题中条件，由  1 15 55 5f x x xx x      ，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】

　因为 5 x ，

　 答案第 7 页，总 14 页 所以   1 1 15 5 2 5 5 75 5 5f x x x xx x x            ， 当且仅当155xx ，即 6 x  时，等号成立. 故答案为：7. 【点睛】

　易错点睛：

　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 16．8 【分析】

　对原式化简，可得 2 22 2 4 8 82a b aba ba b a b     ，再根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】

　因为  22 22 8 2 2 4 8 82a b a b aba ba b a b a b          又 0 a  ， 0 b ，所以 0 a b   ， 所以    8 82 2 2 8 a b a ba b a b      ; 当且仅当  82 a ba b 时 ，即 2 a b   时取等号. 故答案为：

　8 . 【点睛】

　本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题. 17． c b a  

　【分析】

　 答案第 8 页，总 14 页 利用不等式性质比较大小即得结果. 【详解】

　5 2  5 2 0 b     ， 2 5 0 a    ，  5 2 5 5 5 2 c b      ， c b a    . 故答案为：

　c b a   . 【点睛】

　本题考查了利用不等式性质比较大小，属于基础题. 18．3 【分析】

　由题得 0 y  ，再利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】

　由题得 1 1, 0 x y y      . 所以1 1 1 11 1 2 +1=3 x y y yy y y y         ， （当且仅当 1 y  时取等）

　所以函数的最小值为 3. 故答案为：3 【点睛】

　本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．72 【分析】

　由 0 x  ，化简23 4 2 32 2 2x x xx x    ，再根据基本不等式，即可得解. 【详解】

　由 0 x  ， 可得：23 4 2 3 2 3 722 2 2 2 2 2x x x xx x x        ，

　 答案第 9 页，总 14 页 当且仅当22xx ，即 2 x  ，时取等号， 故23 4( 0)2x xxx  的最小值为72， 故答案为：72. 【点睛】

　本题考查了利用基本不等式求最值，考查了化简计算能力，属于基础题. 20． A B 

　【分析】

　可通过作差法，结合已知条件进行代换，即可求出结果. 【详解】

　因为 a 是 a ， b ， c ， d 中最大的一个， 所以 0 c a   ， 0 b a   ，    1( ) ( )( ) 0bc bcA B a d b c a b c b a c c a b aa a a                   ， 所以 A B  . 故答案为：

　A B  . 【点睛】

　本题主要考查作差法比较大小，属于基础题型. 21．＞ 【分析】

　利用作差法计算21 302 4M N x       ，得到答案. 【详解】

　22 5 3 M x x   ，24 2 N x x   ，    22 2 22 5 3 4 21 31 02 4M N x x x x x x x             ， 故 M N  . 故答案为：

　 . 【点睛】

　 答案第 10 页，总 14 页 本题考查了作差法比较大小，属于简单题. 22．5 【分析】

　利用基本不等式直接求解即可 【详解】

　解：因为 0 10 x   ，所以 10 0 x   ， 所以10(10 ) 52x xx x    ，当且仅当 10 x x   ，即 5 x 时取等号， 所以 (10 ) x x  的最大值为 5， 故答案为：5 【点睛】

　此题考查利用基本不等式求积的最大值，解题要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 23．1| 12x x      【分析】

　把分式不等式等价转化为二次不等式，然后根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】

　不等式2 101xx等价于    2 1 1 0 x x    ， 解得112x    ， 故答案为：1| 12x x     . 【点睛】

　本题主要考查了分式不等式的求解，考查了一元二次不等式的求解，考查转化思想的应用，属于基础试题. 24．9 【分析】

　利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果． 【详解】

　 答案第 11 页，总 14 页 由 0 a  ， 0 b ，1 11a b  ， 则1 1 4 4( 4 ) 5 5 2 9a b a ba ba b b a b a           . 当且仅当4b aa b ，即 3 a 且32b  时， 4 a b  取得最小值 9. 故答案为:9. 【点睛】

　本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题. 25．32 【分析】

　作出可行域，利用yx表示可行域内点 ( , )x y 与原点连线斜率可得． 【详解】

　作出可行域，如图 ABC 内部（含边界），yx表示可行域内点 ( , )x y 与原点连线的斜率，由图可得其最大值为 OC 的斜率，又 (2,3) C ，32OCk  ． 所以yx的最大值为32． 故答案为：32．

　【点睛】

　方法点睛：本题考查简单线性规划的非线性目标函数的最值问题，作出可行域是解题基础，利用目标函数的几何意义解题关键．常用的几何意义最基本的是直线的截距，分式型是直线

　 答案第 12 页，总 14 页 的余弦，平方和型是两点间的距离，还有点到直线的距离等等． 26． 3 1 a   

　【分析】

　分类讨论二次项系数，当 1 0 a  ，符合题意；当 1 0 a  ，由   21 01 4 1 0aa a        解得结果即可得解. 【详解】

　当 1 0 a  ，即 1 a  时，不等式化为 1 0   ，其解集为  ，符合题意； 当 1 0 a  ，即 1 a 时，由不等式    21 1 1 0 a x a x      的解集为  得   21 01 4 1 0aa a        ，解得 3 1 a    ， 综上所述：

　a 的取值范围是 3 1 a    . 故答案为：

　3 1 a   

　【点睛】

　易错点点睛：本题容易漏掉 1 0 a  的情况. 27．   3,

　【分析】

　利用已知可得1b aa  ，代入 3 2 a b  ，由 0 b 解出 a 得取值范围，利用定义证明出函数的单调性，可得函数的取值范围． 【详解】

　, 0, ( ) 1 a b a a b    ，可得1b aa 

　又 0 b ，则10 aa  ，解得 0 1 a  

　则1 23 2 3 2 a b a a aa a          2f a aa  在   0,1 上单调递减，    23, f a aa   

　单调性证明如下：

　 答案第 13 页，总 14 页 任取  1 2, 0,1 x x  ，且1 2x x 

　则        1 21 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22 2 2 2 x x x xf x f x x x x x x xx x x x x x                     1 2 1 2 1 20, 2 0, 0 x x x x x x      ，    1 2f x f x   ，即  2f a aa  在   0,1 上单调递减 故答案为：

　  3,

　28． [1, ) 

　【分析】

　先求出不等式 (2 3)( 1) 0 x x    的解集，然后确定不等式组的解集，进而确定实数 a 的取值范围，得到答案. 【详解】

　由题意，不等式 (2 3)( 1) 0 x x    ，解得312x    ，其中有整数 1,0,1  ， 因为不等式组(2 3)( 1) 0 x xx a   没有整数解， 故不等式组的解集为32a x   且其范围内没有整数，所以 1 a ， 即实数 a 的取值范围是 [1, )  . 29． [0,4)

　【分析】

　根据题意，分 0 k  和 0 k  两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】

　由题意，关于 x 的不等式21 0 kx kx   的解集为 R， 当 0 k  时，不等式可化为 1 0  恒成立； 当 0 k  时，要使得不等式21 0 kx kx   的解集为 R， 则满足 204 0kk k      ，解得 0 4 k   ， 综上可得，实数 k 的取值范围是 [0,4) .

　 答案第 14 页，总 14 页 故答案为：

　[0,4) . 30．65 【分析】

　根据题设条件可得42215yxy，可得4 22 2 22 21 1 92 2 +5 5 5y yx y yy y   ，利用基本不等式即可求解. 【详解】

　∵2 2 45 1 x y y  

　∴ 0 y  且42215yxy ∴4 2 22 2 22 2 21 1 9 1 9 62 2 + 25 5 5 5 5 5y y yx y yy y y       ， 当且仅当221 95 5yy，即2 28 1,15 3x y   时取等号. ∴2 2x y  的最小值为65. 故答案为：65. 【点睛】

　易错点睛：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用  或  时等号能否同时成立）.