28,锐角三角函数与特殊角

　锐角三角函数与特殊角

　 一、选择题 1.（2014 年广东汕尾，第 7 题 4 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sinA= ，则 cosB 的值是（

　）

　 A． B．

　C．

　D．

　分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答． 解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA= ，∴cosB= ．故选 B． 点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键． 2.（2014•毕节地区，第 15 题 3 分）如图是以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D．已知 cos∠ACD= ，BC=4，则 AC 的长为（

　）

　A． 1 B．

　C． 3 D．

　考点：

　圆周角定理；解直角三角形 分析：[来源:学科网 ZXXK] 由以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C作 CD⊥AB 交 AB 于 D．易得∠ACD=∠B，又由 cos∠ACD= ，BC=4，即可求得答案． 解答：

　解：∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD= ， ∴cos∠B= ， ∴tan∠B= ，

　∵BC=4， ∴tan∠B= = = ， ∴AC= ． 故选 D．[来源:Z*xx*k.Com] 点评：

　此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 3．(2014 年天津市，第 2 题 3 分)cos60°的值等于（

　）

　 A．

　B．

　C．

　D．

　考点：

　特殊角的三角函数值． 分析：

　根据特殊角的三角函数值解题即可． 解答：

　解：cos60°= ． 故选 A． 点评：

　本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键． 4．（2014•四川自贡，第 10 题 4 分）如图，在半径为 1 的⊙O 中，∠AOB=45°，则 sinC 的值为（

　）

　 A．[来源:Zxxk.Com]

　B．

　C．

　D．

　考点：[来源:圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义

　学_科_网] 专题：

　压轴题． 分析：

　首先过点 A 作 AD⊥OB 于点 D，由在 Rt△AOD 中，∠AOB=45°，可求得 AD 与 OD的长，继而可得 BD 的长，然后由勾股定理求得 AB 的长，继而可求得 sinC 的值． 解答：

　解：过点 A 作 AD⊥OB 于点 D， ∵在 Rt△AOD 中，∠AOB=45°， ∴OD=AD=OA•cos45°= ×1= ，[来源:学#科#网] ∴BD=OB﹣OD=1﹣ ， ∴AB= = ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°，AC=2， ∴sinC= ． 故选 B．

　点评：

　此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 5．（2014•浙江湖州，第 6 题 3 分）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC 的长是（

　）

　 A．2 B． 8 C． 2

　D． 4

　分析：根据锐角三角函数定义得出 tanA= ，代入求出即可． 解：∵tanA= = ，AC=4，∴BC=2，故选 A． 点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 Rt△ACB 中，

　∠C=90°，sinA= ，cosA= ，tanA= ． 6．（2014·浙江金华，第 6 题 4 分）如图，点 A（t，3）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为3,tan2   ，则 t 的值是【

　】

　A．1

　B．1.5

　C．2

　D．3

　 A． 6 B．[来源:学_科_网] 7.5 C． 8 D． 12.5 考点：

　解直角三角形 分析：

　根据三角函数的定义来解决，由 sinA= = ，得到BC= = ． 解答：

　解：∵∠C=90°AB=10， ∴sinA= ， ∴BC=AB× =10× =6．

　故选 A． 点评：

　本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在 Rt△ACB中，∠C=90°，则 sinA= ，cosA= ，tanA= ．

　A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点：

　含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析：

　过 P 作 PD⊥OB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的

　长，由 OD﹣MD 即可求出 OM 的长． 解答：

　解：过 P 作 PD⊥OB，交 OB 于点 D， 在 Rt△OPD 中，cos60°= = ，OP=12， ∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2， ∴MD=ND= MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 故选 C．

　点评：

　此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 考点：

　锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理． 分析：

　根据正弦是角的对边比斜边，可得答案． 解答：

　解：如图，作 AD⊥BC 于 D，CE⊥AB 于 E， 由勾股定理得 AB=AC=2 ，BC=2 ，AD=3 ， 由 BC•AD=AB•CE， 即 CE= = ， sinA= = =， 故答案为：．

　点评：

　本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，

　余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 考点：

　切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 专题：

　计算题． 分析：[来源:Zxxk.Com] 连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，由直线 MN 与⊙O 相切于点 M，根据切线的性质得 OM⊥MF，而 EF∥MN，根据平行线的性质得到 MC⊥EF，于是根据垂径定理有 CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到 ME=MF，易证得△MEF 为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解． 解答：

　解：连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，如图， ∵直线 MN 与⊙O 相切于点 M， ∴OM⊥MF， ∵EF∥MN， ∴MC⊥EF， ∴CE=CF， ∴ME=MF， 而 ME=EF， ∴ME=EF=MF， ∴△MEF 为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴cos∠E=cos60°= ． 故答案为 ．

　点评：

　本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值． 考点：

　锐角三角函数的定义．

　分析：

　根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可． 解答：

　解：tanA== ， 故答案为：

　． 点评：

　本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 Rt△ACB 中，∠C=90°，sinA= ，cosA= ，tanA= ． 考点：

　解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：

　作出图形，可得 AB=500 米，∠A=20°，在 Rt△ABC 中，利用三角函数即可求得 BC的长度． 解答：

　解：在 Rt△ABC 中， AB=500 米，∠BAC=20°， ∵ =tan20°， ∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）． 故答案为：182．

　点评：

　本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 考点：

　相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形 分析：

　（1）只需找到两组对应角相等即可． （2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成△ADF 与△AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题． （3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF 转化为∠EAF．在△AFC 中，知道 tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长． 解答：

　解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，[来源:学科网 ZXXK] ∴∠BDF=∠CEF=90°． ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，

　∴△BDF∽△CEF． （2）∵∠BDF=90°，∠B=60°， ∴sin60°= = ，cos60°= =． ∵BF=m， ∴DF= m，BD=． ∵AB=4， ∴AD=4﹣． ∴S △ ADF =AD•DF=×（4﹣）× m=﹣ m 2 + m． 同理：S △ AEF =AE•EF =×（4﹣ ）× （4﹣m）

　=﹣ m 2 +2 ． ∴S=S △ ADF +S △ AEF =﹣ m 2 + m+2 =﹣ （m 2 ﹣4m﹣8）

　=﹣ （m﹣2）

　2 +3 ．其中 0＜m＜4． ∵﹣ ＜0，0＜2＜4， ∴当 m=2 时，S 取最大值，最大值为 3 ． ∴S 与 m 之间的函数关系为：

　S═﹣ （m﹣2）

　2 +3 （其中 0＜m＜4）． 当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3 ．

　（3）如图 2， ∵A、D、F、E 四点共圆， ∴∠EDF=∠EAF． ∵∠ADF=∠AEF=90°， ∴AF 是此圆的直径． ∵tan∠EDF= ， ∴tan∠EAF= ．

　∴ = ． ∵∠C=60°， ∴ =tan60°= ． 设 EC=x，则 EF= x，EA=2x． ∵AC=a， ∴2x+x=A． ∴x=． ∴EF= ，AE= ． ∵∠AEF=90°， ∴AF= = ． ∴此圆直径长为 ．

　点评：

　本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键． 考点：

　解直角三角形的应用． 分析：

　设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米．在 Rt△ABC 中，根据三角函数得到 AB=2.5（x+82），在 Rt△ABD 中，根据三角函数得到 AB=4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解． 解答：

　解：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米． 在 Rt△ABC 中，tan∠BCA= ， ∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）． 在 Rt△ABD 中，tan∠BDA= ，

　∴AB=AD•tan∠BDA=4x． ∴2.5（x+82）=4x， 解得 x= ． ∴AB=4x=4× ≈546.7． 答：AB 的长约为 546.7 米． 点评：

　此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 考点：

　实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 分析：

　原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答：

　解：原式=4+1﹣1=4． 点评：

　此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点：

　全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 分析：

　根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形 ADE与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由 PN 与 DC 平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP′的长即可． 解答：

　解：根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=DC=PN， 在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°= ，即 DE= cm， 根据勾股定理得：AE= =2 cm， ∵M 为 AE 的中点， ∴AM= AE= cm，

　在 Rt△ADE 和 Rt△PNQ 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即 PM⊥AF， 在 Rt△AMP 中，∠MAP=30°，cos30°= ， ∴AP= = =2cm； 由对称性得到 AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm． 故答案为：1 或 2．

　点评：

　此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 考点：

　解直角三角形的应用 分析：

　过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求 CG，再根据 FG=FC+CG 即可求解． 解答：

　解：过 C 点作 FG⊥AB 于 F，交 DE 于 G． ∵CD 与地面 DE 的夹角∠CDE 为 12°，∠ACD 为 80°， ∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°， ∴∠CAF=68°， 在 Rt△ACF 中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m， 在 Rt△CDG 中，CG=CD•sin∠CDE≈0.336m，

　∴FG=FC+CG≈1.1m． 故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1.1m．

　点评：

　此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 考点：

　反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题：

　压轴题；探究型． 分析：

　（1）设反比例函数的关系式 y= ，然后把点 P 的坐标（2，1）代入即可． （2）①先求出直线 y=﹣x+3 与 x、y 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值． ②由于 BC=2，sin∠BMC= ，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的⊙E 上，因而点 M应是⊙E 与 x 轴的交点．然后对⊙E 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标． 解答：

　解：（1）设反比例函数的关系式 y= ． ∵点 P（2，1）在反比例函数 y= 的图象上， ∴k=2×1=2． ∴反比例函数的关系式 y= ． （2）①过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，如图 1 所示． 当 x=0 时，y=0+3=3， 则点 B 的坐标为（0，3）．OB=3． 当 y=0 时，0=﹣x+3，解得 x=3， 则点 A 的坐标为（3，0），OA=3．

　∵点 A 关于 y 轴的对称点为 A′， ∴OA′=OA=3． ∵PC⊥y 轴，点 P（2，1）， ∴OC=1，PC=2． ∴BC=2． ∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1， ∴A′B=3 ，A′C= ． ∴△A′BC 的周长为 3 + +2． ∵S △ ABC = BC•A′O= A′B•CD， ∴BC•A′O=A′B•CD． ∴2×3=3 ×CD． ∴CD= ． ∵CD⊥A′B， ∴sin∠BA′C= = = ． ∴△A′BC 的周长为 3 + +2，sin∠BA′C 的值为 ． ②当 1＜m＜2 时， 作经过点 B、C 且半径为 m 的⊙E， 连接 CE 并延长，交⊙E 于点 P，连接 BP， 过点 E 作 EG⊥OB，垂足为 G， 过点 E 作 EH⊥x 轴，垂足为 H，如图 2①所示． ∵CP 是⊙E 的直径， ∴∠PBC=90°． ∴sin∠BPC= = = ． ∵sin∠BMC= ， ∴∠BMC=∠BPC． ∴点 M 在⊙E 上． ∵点 M 在 x 轴上[来源:学科网 ZXXK] ∴点 M 是⊙E 与 x 轴的交点．

　∵EG⊥BC， ∴BG=GC=1． ∴OG=2． ∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°， ∴四边形 OGEH 是矩形． ∴EH=OG=2，EG=OH． ∵1＜m＜2， ∴EH＞EC． ∴⊙E 与 x 轴相离． ∴x 轴上不存在点 M，使得 sin∠BMC= ． ②当 m=2 时，EH=EC． ∴⊙E 与 x 轴相切． Ⅰ．切点在 x 轴的正半轴上时，如图 2②所示． ∴点 M 与点 H 重合． ∵EG⊥OG，GC=1，EC=m， ∴EG= = ． ∴OM=OH=EG= ． ∴点 M 的坐标为（ ，0）． Ⅱ．切点在 x 轴的负半轴上时， 同理可得：点 M 的坐标为（﹣ ，0）． ③当 m＞2 时，EH＜EC． ∴⊙E 与 x 轴相交． Ⅰ．交点在 x 轴的正半轴上时， 设交点为 M、M′，连接 EM，如图 2③所示． ∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2， ∴MH= = = ． ∵EH⊥MM′， ∴MH=M′H．

　∴M′H═ ． ∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m， ∴EG= = = ． ∴OH=EG= ． ∴OM=OH﹣MH= ﹣ ， ∴OM′=OH+HM′= + ， ∴M（ ﹣ ，0）、M′（ + ，0）． Ⅱ．交点在 x 轴的负半轴上时， 同理可得：M（﹣ + ，0）、M′（﹣ ﹣ ，0）． 综上所述：当 1＜m＜2 时，满足要求的点 M 不存在； 当 m=2 时，满足要求的点 M 的坐标为（ ，0）和（﹣ ，0）； 当 m＞2 时，满足要求的点 M 的坐标为（ ﹣ ，0）、（ + ，0）、（﹣ + ，0）、（﹣ ﹣ ，0）．

　 点评：

　本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由 BC=2，sin∠BMC= 联想到点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的⊙E 上是解决本题的关键． 考点：

　解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：

　作 CE⊥AB 于点 E，则△BCE 和△BCD 都是直角三角形，即可求得 CE，BE 的长，然后在 Rt△ACE 中利用三角函数求得 AE 的长，进而求得 AB 的长，即为大树的高度． 解答：

　解：作 CE⊥AB 于点 E， 在 Rt△BCE 中， BE=CD=5m， CE= =5 m， 在 Rt△ACE 中， AE=CE•tan45°=5 m， AB=BE+AE=（5+5 ）m． 故答案为：（5+5 ）．

　点评：

　本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角

　三角形并解直角三角形． 考点：

　解直角三角形的应用-方向角问题 分析：

　过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D．先解 Rt△ACD 得出 CD= AC=40 海里，再解 Rt△CBD 中，得出 BC= ≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船 C 处所需的时间． 解答：

　解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D． 在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80 海里，[来源:Zxxk.Com] ∴CD= AC=40 海里． 在 Rt△CBD 中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°， ∴BC= ≈ =50（海里）， ∴海警船到大事故船 C 处所需的时间大约为：50÷40= （小时）．

　点评：

　本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．