[人教新版九年级数学下学期,第27章,相似,单元练习试题,（含解析）]

　 第27章 相似 一．选择题（共15小题） 1．已知＝，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若ac＝bd（ac≠0），则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（　　）

　A． B． C． D． 4．下列四组图形中，一定相似的是（　　） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形

　C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 5．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（　　） A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1： 6．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（　　）

　A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（　　）

　A．4 B．5 C．6 D．8 8．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1 9．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

　A．3秒或4.8秒 B．3秒

　C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 10．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（　　）

　A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（　　）

　A．5 B．2 C．2 D．4 12．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）

　A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 13．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）

　A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

　A． B． C． D．3 15．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）

　A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1） 二．填空题（共1小题） 16．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为　

　 　米．

　三．解答题（共5小题） 17．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是　

　 　三角形．

　18．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个相似图形，所画图形与△OAB的相似比为2：1．（温馨提示：画图用直尺、铅笔）

　19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

　20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．

　21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B． （1）求证：AC•CD＝CP•BP； （2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

　参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．已知＝，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知表示出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵＝， ∴设a＝3x，b＝2x， 故＝＝． 故选：C． 2．若ac＝bd（ac≠0），则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求． 【解答】解：A、由＝得ad＝bc，故本选项错误； B、由＝得c＝b，故本选项错误； C、由＝得ac＝bd，故本选项正确； D、由＝得a2c＝bd2，故本选项错误． 故选：C． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（　　）

　A． B． C． D． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1， ∴BC＝AB﹣AC＝3﹣； 故选：B． 4．下列四组图形中，一定相似的是（　　） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形

　C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形． 【解答】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D． 5．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（　　） A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1： 【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：5， ∴它们的相似比为1：． 故选：D． 6．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（　　）

　A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5 【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，则可求得答案． 【解答】解：∵AD：DB＝3：5， ∴BD：AB＝5：8， ∵DE∥BC， ∴CE：AC＝BD：AB＝5：8， ∵EF∥AB， ∴CF：CB＝CE：AC＝5：8． 故选：A． 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（　　）

　A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】由AD∥BE∥CF可得＝，代入可求得EF． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴＝， ∵AB＝1，BC＝3，DE＝2， ∴＝， 解得EF＝6， 故选：C． 8．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2， ∴（1：2）2＝1：4．故选B． 9．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

　A．3秒或4.8秒 B．3秒

　C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒， ①若△ADE∽△ABC，则， ∴， 解得：x＝3； ②若△ADE∽△ACB，则， ∴， 解得：x＝4.8． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A． 10．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（　　）

　A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【解答】解：有三个． ①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； 故选：C． 11．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（　　）

　A．5 B．2 C．2 D．4 【分析】利用相似三角形的性质求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°， ∴∠EPB＝∠CFP， ∴△EPB∽△PFC， ∴＝， ∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3， ∴BP＝PC＝， ∴PE＝＝＝，PF＝＝＝， ∴EF＝＝＝5， 故选：A． 12．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）

　A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF＝4：25， ∴DE：AB＝2：5， ∵AB＝CD， ∴DE：EC＝2：3． 故选：B． 13．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）

　A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可． 【解答】解： 由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD， ∴Rt△ABP∽Rt△CDP， ∴，∴CD＝＝8（米）． 故选：B． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

　A． B． C． D．3 【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度． 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD•AB， 又∵AC＝3，AB＝6， ∴32＝6AD，则AD＝． 故选：A．

　15．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）

　A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1） 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标． 【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是， ∴＝，又OB＝6，AB＝3， ∴OD＝2，CD＝1， ∴点C的坐标为：（2，1）， 故选：A． 二．填空题（共1小题） 16．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为　13.5　米．

　【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△EBA∽△ECD， ∴，即， ∴AB＝13.5（米）． 故答案为：13.5 三．解答题（共5小题） 17．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是　等腰直角　三角形．

　【分析】（1）延长AB到B′，使AB′＝2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出AC′2＝42+82＝80，AD′2＝62+22＝40，C′D′2＝62+22＝40，那么AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）如图所示：

　 （2）∵AC′2＝42+82＝16+64＝80，AD′2＝62+22＝36+4＝40，C′D′2＝62+22＝36+4＝40， ∴AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2， ∴△AC′D′是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 18．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个相似图形，所画图形与△OAB的相似比为2：1．（温馨提示：画图用直尺、铅笔）

　【分析】延长AO、AB到2AO、2AB长度找到各点的对应点，顺次连接即可． 【解答】解：延长AO、AB到2AO、2AB长度找到各点的对应点，顺次连接．

　19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

　【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD； （2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE＝AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD； （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴AC2＝AB•AD；

　（2）证明：∵E为AB的中点， ∴CE＝AB＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD；

　（3）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE＝AF：CF， ∵CE＝AB， ∴CE＝×6＝3， ∵AD＝4， ∴， ∴． 20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．

　【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC； （2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C． 在△ADF与△DEC中，

　∴△ADF∽△DEC．

　（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴，∴DE＝＝＝12． 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B． （1）求证：AC•CD＝CP•BP； （2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

　【分析】（1）易证∠APD＝∠B＝∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到＝，即AB•CD＝CP•BP，由AB＝AC即可得到AC•CD＝CP•BP； （2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C． ∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC， ∴∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴＝， ∴AB•CD＝CP•BP． ∵AB＝AC， ∴AC•CD＝CP•BP；

　（2）如图，∵PD∥AB， ∴∠APD＝∠BAP． ∵∠APD＝∠C， ∴∠BAP＝∠C． ∵∠B＝∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴＝． ∵AB＝10，BC＝12， ∴＝， ∴BP＝．