数学变式训练

　 初中数学变式训练研究

　 黑龙江省七台河市欣源中学 李莎

　变式训练的方法

　已知：如图1，△ABC中，∠ACB=90°AC=BC，AE=CF，D是AB的中点.求证：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF.

　变为逆命题 将原命题的题设和结论（或部分题设和结论）置换，研究原命题的逆命题或偏逆命题是研究数学命题的常用方法.

　【变式1】已知：如图1，△ABC中，∠ACB=90°AC=BC， D是AB的中点，DE⊥DF.求证：（1）DE=DF；（2）AE=CF.

　变证明为计算 将原命题中图形的某些性质赋以具体的值，变定性的关系为定量关系.

　【变式2】已知：如图1，△ABC中，∠ACB=90°AC=BC， D是AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，若AE=3，BF=5，求EF的长.

　 植入新知 在原命题中植入新的知识，在新的背景之中拓宽对图形性质的研究.

　【变式3】已知：如图2，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°D为AB的中点，经过C、D两点的圆交AC于E，交BC于F.则图中的相似三角形有几对？

　二、已知:正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转。求证:△ABE≌△ADG

　【变式1】已知:正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转。发现:当E点旋转到DA的延长线上时，如图①所示，△ABE与△ADG的面积关系是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　【变式2】引申:当正方形AEFG旋转任意一个角度时，如图②所示，△ABE与△ADG的面积关系是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　请你说明你的结论；

　【变式3】运用:已知△ABC中，AB＝5,AC＝4,分别以AB,BC,CA为边向外作正方形，如图③所示，则图中阴影部分的面积和的最大值是＿＿＿＿

　通过建立数学模型，学生在解决这类问题就会轻松很多，在变式训练中所采用的变式方法对学生会产生潜移默化的影响，尤其是通过对经典题的变式及对比研究，可使学生获得对某一知识的系统的、深刻的理解，从中掌握科学的解题方法，养成良好的思维习惯，学会捕捉各种信息中的联系，提高发现问题的能力（发现问题往往比解决问题更重要）.并且由于这种能力是在一系列的问题解决过程中获得的，因而具有一定的稳定性、系统性，具备整体迁移的条件，在一定的情况下可发展为稳定的能力。

　三、对具有可变性的例、习题，要多引导学生进行变式训练，使学生从多方面感知数学的思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。使之触类旁通，培养学生的应变能力，提高学生的技能、技巧。

　课本中题目：如图①，正方形ABCD的对角线相交于O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，两个正方形的边长都是2。

　（1）求两个正方形重叠部分的面积；

　（2）当正方形A1B1C1O绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积会变化吗？说说你的理由。

　【变式1】：如图②，设O是边长为2的正方形的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕点O旋转，仍可得到上述结论。

　【变式2】：如图②，设O是边长为2的正方形的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕点O旋转，请证明：正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值，并求出这个定值。

　【变式3】：如图③，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为2的正三角形的中心O处，并将纸板绕点O旋转，当扇形纸板的圆心角为120°时，同样可以证明正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为2，图形中重叠部分的面积为原正三角形面积的。

　【变式4】：如图④，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为2的正五边形的中心O处，并将纸板绕点O旋转，当扇形的圆心角为72°时，也同样可以证明正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为2，且图形中重叠部分的面积为原正五边形边面积的。

　通过对上述题目的操作与研究，不难发现有如下结论：

　（1）两个全等的正n边形叠合，当叠合部分中心角为时，正n边形的边被覆盖部分的总长度为定值（等于边长），重叠部分的面积为定值。（总面积的）

　（2）旋转的图形，只要中心角等于，可以不受图形形状的限制，都有上述结论。

　 ① ② ③

　 ④

　教学实践证明,通过对数学问题的一题多变,提供适当的知识铺垫,向学生展示知识的发生、形成及发展的过程,能让学生体会到知识是如何从已有知识中逐渐演变或发展而来的。从而理解知识的来龙去脉形成一个知识网络。将这种有层次推进的变式用于概念形成、问题解决和构建活动经验系统,可以帮助学生融会贯通,构建起良好的知识结构,培养灵活解决问题的能力。避免反复的机械性训练，同时又让学生领略到数学的和谐、奇异与美妙，使他们自发地投入到学习中去，真正成为学习的主人。

　四、已知：如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作正三角形，BE、CD相交于点O。求证：①△ABE≌△ADC ②∠BOC＝＿＿°；

　【变式1】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作正四边形，BE、CD相交于点O。求证: ①△ABE≌△ADC ②∠BOC＝＿＿°；

　【变式2】如图③，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作正五边形，BE、CD相交于点O。求证: ①△ABE≌△ADC ②∠BOC＝＿＿°；

　【变式3】如图④,已知：AB、AD是以AB为边向△ABC外作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外作正n边形的一组邻边。BE、CD的延长线相交于点O。求证:① 猜想∠BOC＝＿＿°(用含n的式子表示);②根据图④证明你的猜想

　五、如图①点E、D是正△ABC以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点。求:图①中，∠APD的度数。

　【变式1】如图②点E、D是正四边形ABCM以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点。求:图①中，∠APD的度数。

　【变式2】如图③点E、D是正五边形ABCMN以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点。求:图①中，∠APD的度数。

　【变式3】根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

　解此题的关键是从简单情形入手，通过观察、分析、归纳、发现规律，从而得到一般规律的结论并加以验证，最后运用这个结论解决问题。

　六、图形形状的变化

　如图1，分别以RtABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为，则之间的关系是

　 图① 图② 图③

　【变式1】：如图2，如果以RtABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为，则之间的关系是

　【变式2】：如图3，如果以RtABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为，则之间的关系是

　【变式3】：如果以RtABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为，为使之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。

　【变式4】如图4梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC＋∠BCD=90°,且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外做正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是

　图④ 图⑤ 图⑥

　【变式5】如图5梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC＋∠BCD=90°,且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外做正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 ＿＿＿＿＿＿＿

　【变式6】如图6梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC＋∠BCD=90°,且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为直径向梯形外做半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是＿＿＿＿＿＿

　上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。

　七、在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型。

　例：为了美化生活环境，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑两条宽度相等且互相垂直的水泥道路，余下的部分作花坛，为了使花坛的总面积为540m2 ，问道路的宽为多少m？

　【变式1】：若所修的两条道路中，有一条是弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是相等）问道路的宽又是多少m？

　【变式2】：:若修三条道路，如图所示，则道路的宽有是多少？

　【变式3】：若修n条道路？（其中横向条数，纵向条数相同，则道路的宽又该如何求呢？）

　八、在实际问题与一元二次方程，这节内容再次体现了建模的思想，探究1以流感为问题情境，讨论按一定传播速度逐步传播的问题。这类问题在现实世界中有许多原型，例如细胞分裂、信息传播、传染病扩散等。为了降低难度，我先设计了学生较为熟悉的握手问题。

　例:参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10 次,有多少人参加聚会?

　通过握手问题的分析，建立数学模型，为学生解决这类问题提供方便。

　【变式1】: 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛?

　【变式2】: 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？

　【变式3】: 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

　九、例题“一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？保留原题条件，可变换出下列几个逐级深化的题目让学生去思考

　【变式1】：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

　【变式2】：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？

　【变式3】：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？

　【变式4】：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

　【变式5】：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？

　【变式6】：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？

　这一变式改变已知的几个条件中的某些条件;或改变结论中的某些部分的形式; 从而拓宽、加深学生的知识层面，也体现了教学的层次性和多样性，培养了学生创新能力和探究能力。

　十、点的存在性问题是我们省中考的最后一题的最后一问，同时也是学习的一个难点，为了降低难点，使学生更好的掌握这类问题，设计好的数学变式题，使学生建立初步的数学模型，从而为解决这类问题奠定基础。

　例：如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．

　（1）求直线AM的解析式；

　（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点P坐标；

　（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

　【变式一】:三角形中点的存在性问题：等腰三角形的分类讨论

　如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点。

　(1)在坐标轴上是否存在点C，使以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形？如图①、如图②

　(2)过点A作AC⊥ AB ，在直线AB上是否存在点D，使△ACD与△AOC相

　似？如图3

　 图① 图②

　【变式二】:平行四边形中点的存在性问题。

　如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点。

　(1)在平面内是否存在点C，使以A，B，M，C四点为顶点的四边形是平行四边形？如图①

　(2)点C是AB的中点，点E在x轴上，在直线AM上是否存在点D，使以A,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形？如图②

　 图① 图②

　【变式三】:梯形中的点的存在性问题

　如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点。

　(1)在坐标轴上是否存在点C，使以A,B,M,C为顶点的四边形是梯形？如图①

　(2)在坐标轴上是否存在点C，使以A,B,M,C为顶点的四边形是直角梯形？如图②

　(3)在坐标轴上是否存在点C，使以A,B,M,C为顶点的四边形是等腰梯形？

　 图① 图②

　 图③

　 点的存在问题的解题思路:先分类（定性）再计算（定量）后检验

　进行变式训练时，新题和原题存在一定的关联，能形成一系列的知识链、问题链、方法链，通过纵向加深理解来实现横向迁移，比大运动量解题训练更注重理性思维，有更高的效益.

　A

　A

　B

　C

　D

　O

　E

　F

　O

　B

　C

　F

　E

　A

　B

　C

　D

　E

　O

　M

　N

　32

　20

　32

　20

　32

　20

　B

　x

　O

　y

　A

　M

　一边

　腰

　底

　一角

　顶角

　底角

　一高

　一腰上的高

　底边上的高

　形内

　形外