大学文献-概率论与数理统计-练习卷及参考解答

姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线……………………………………… _____________ ________ … 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《概率论与数理统计》试卷(A) 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上；

3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 评卷人 可能用到的数表值：
一．（本大题15分）
一个去掉大小王的扑克共52张牌，洗匀后从中随机抽牌。

（1）随机抽取6张, 求所抽的牌中含有红桃A的概率。

（2）随机抽取6张，求所抽的6张牌中含有红桃A、且至少含有一张K的概率。

（3）随机抽取n张,为使所抽的牌中至少有一个“对子”的概率大于1/2，试列出n应满足的条件。（列出算式即可。）
解答：（1）
（2）
（3）
二．（本大题12分）
一个盒子中装有红、黑两色共25个球，其中红球有13个。现甲先在暗处从盒中随机抽一个球a并收藏起来，然后让你从盒子中任抽两个球。

（1）求你抽出两个红球的概率。

（2）如果你现场随机抽到的两个球都是红球，求甲收藏的球a是红色的概率。如果让你猜测甲收藏的球a的颜色，为使猜中的可能性最大，你会猜甲收藏的球是什么颜色的？ 解答：分别记为事件{甲抽出的是红球}、{乙抽出的两个都是红球}。

（1）
（2）
故a的颜色为红色的概率比a的颜色为黑色的概率小，选择判 a为黑色。

三． （本大题15分）。设的联合分布律为 X Y -1 0 1 0 0.1 0.3 0.1 1 0.2 0.2 0.1 求和的分布律，并求。

解答：
P 0.1 0.3 0.1 0.2 0.2 0.1 (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 , , 四．（本大题15分）。

设随机向量的密度函数为 (1)求关于和的边缘密度函数，。

(2)求和。

(3)与是否独立？是否不相关？ 解答：
(1)， 。

(2) 。可见与不相关。

由知与不独立。

五．（本大题12分）。

网站业余兼职助理甲在每个工作日其上网时间（单位：小时）服从（1,5）上的均匀分布，且在各工作日上网时间相互独立。求助理甲在900个工作日累计上网时间超过2632小时的概率。（可用数表数据见试卷首页）
解答：
记为助理甲某第个工作日的上网时间，由设知{}独立同分布， 于是， 记，则 六．（2学分，本大题12分）。

设随机变量X和Y同分布，X的概率密度函数为 （其中是常数）
且假定事件A={X>0.5}与事件B={Y>0.5}独立. (1) 求常数。(2) 求和。

解答：
(1)。

(2) , 七．（2学分，本大题9分）。

设X服从参数为的指数分布，其密度函数为 求随机变量的分布函数。

解答：
八．（2学分，本大题10分）。

游园晚会推出有奖游戏，道具是一个匀质圆盘，其边缘圆周被等分为10等分，分别标有数值1,2,…,10。参与者旋转圆盘，若停留时指针指向的数值不小于8，则给参与者记一分、并奖励再转一次，如此进行下去，直至出现旋转指针指向的数值小于8时该参与者结束游戏，此时将最后结束时这次旋转得的数值作为其先前累计得分的倍数，计算参与者得分，按其得分派出奖品。例如，参与者甲旋转的第一、二次指针指向的数值分别是9、8，第三次指针指向数值是6，则甲第三次旋转后结束游戏，共旋转三次、得分是(1+1)6=12分。若参与者首次转出数值小于8则其以得0分并结束。记参与者结束时总旋转次数为、最后那次旋转指针指向数值为。

（1）求的联合分布律。与独立吗？ （2）求参与者平均得分。

解答：
（1）
于是 ，故与独立。

（2）记为参与者的得分，则，但由(1)结果知故与独立，故 六．（3、4学分，本大题15分）。

设总体X有分布律：，其中，求：
（1）θ的矩估计；

（2）θ的极大似然估计；

（3）讨论上面两种方法所得估计量是否无偏。

解：（1）因为，所以θ的矩估计为：
（2）设容量为n的样本的观察值中取-1的有r1个，取0的有r2个，取3的有r3个，，则似然函数为 得驻点：，θ的极大似然估计为：
（3），θ的矩估计无偏；

因为是n个样本中出现3的个数，类似Bernoulli试验，由二项分布得，，θ的极大似然估计无偏。

七．（3、4学分，本大题10分）。

已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布。长期以来，其抗拉强度平均为52.00kg/mm2。现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢。从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为 52.45 48.51 56.02 51.53 49.02 53.38 54.04 问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高（a=0.05）？并求新法炼钢生产钢筋强度均值的置信概率1-a的置信区间。

解：（用也可）
拒绝域：（或）
观察值：，， 不拒绝，即新配方炼钢生产的钢筋，其强度的均值与旧的没有明显提高。

新法炼钢生产钢筋强度均值的置信概率95%的置信区间：
八．（3、4学分，本大题6分）。

某款游戏中，一小孩每经过一扇“门”，电脑会执行如下指令：以0.25的概率给出3个障碍，经过后到达终点；
以p1的概率给出2个障碍，经过后又是一扇“门”；
以p2的概率给出1个障碍，经过后也是一扇“门”。如果小孩到达终点平均要经过7个障碍，则p1与 p2要等于多少？ 解：令X={小孩到达终点要经过的障碍数}，，