高考卷,07普通高等学校招生考试全国2,理科数学（必修+选修II）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ) 理科数学(必修+选修II)全解全析 注意事项: 1． 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟. 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。

3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。

5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；
在草稿纸、本试题卷上答题无效。

6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

球的表面积公式 S=4 其中R表示球的半径， 球的体积公式 V=， 其中R表示球的半径 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一．选择题 1．sin2100 = (A) (B) - (C) (D) - 2．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)（－，）
(B) （，）
(C) （p，）
(D) （，2p）
3．设复数z满足=i，则z = (A) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i 4．以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2 5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则l= (A) (B) (C) - (D) - 6．不等式:>0的解集为 (A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞) 7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 (A) (B) (C) (D) 8．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 (A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 9．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)= (A) ex-3+2 (B) ex+3－2 (C) ex-2+3 (D) ex+2－3 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 11．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 (A) (B) (C) (D) 12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 第II卷（非选择题）
本卷共10题，共90分。

二．填空题 13．（1+2x2）(x－)8的展开式中常数项为 。（用数字作答）
14．在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）内取值的概率为0.4，则x在（0，2）内取值的概率为 。

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 16．已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则= 。

三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.在 ∆ABC中，已知内角A=,边 BC=2,设内角B=x, 周长为y （1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；

A B C D P E F （2）求y的最大值 18. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96 (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p; （2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，x表示取出的2件产品中二等品的件数，求x的分布列 19.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点 （1）
求证：EF∥ 平面SAD （2）
设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小 20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-y=4相切 （1）求圆O的方程 （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。

21．设数列{an}的首项a1∈ (0,1), an=，n=2,3,4… （1）求{an}的通项公式；

（2）设，求证<，其中n为正整数。

22.已知函数f(x)=x3－x （1）求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程 （2）设a>0,如果过点（a, b）可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：－a<b<f(a) 2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 评分说明：
1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A C A A C B B B 1．sin2100 =，选D。

2．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(p，)，选C。

3．设复数z=, (a，b∈R)满足=i，∴ ，，∴ z =，选C。

4．∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D。

5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则 =，∴ l=，选A。

6．不等式:>0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。

7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。

8．已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。

9．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。

11．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。

12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， ∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。

二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 13．(1+2x2)(x－)8的展开式中常数项为=－42。

14．在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2. 16．已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－。

三、解答题 17．解：（1）的内角和，由得． 应用正弦定理，知 ， ． 因为， 所以， （2）因为 ， 所以，当，即时，取得最大值． 18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则互斥，且，故 于是． 解得（舍去）． （2）的可能取值为． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 A E B C F S D H G M 19．解法一：
（1）作交于点，则为的中点． 连结，又， 故为平行四边形． ，又平面平面． 所以平面． （2）不妨设，则为等 腰直角三角形． 取中点，连结，则． 又平面，所以，而， 所以面． 取中点，连结，则． 连结，则． 故为二面角的平面角 A A E B C F S D G M y z x ． 所以二面角的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系． 设，则 ， ． 取的中点，则． 平面平面， 所以平面． （2）不妨设，则． 中点 又，， 所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ． 所以二面角的大小为． 20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 ． 得圆的方程为． （2）不妨设．由即得 ． 设，由成等比数列，得 ， 即 ． 由于点在圆内，故 由此得． 所以的取值范围为． 21．解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一：
由（1）可知，故． 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数． 方法二：
由（1）可知， 因为， 所以 ． 由可得， 即 两边开平方得 ． 即 为正整数． 22．解：（1）求函数的导数；
． 曲线在点处的切线方程为：
， 即 ． （2）如果有一条切线过点，则存在，使 ． 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记 ， 则 ． 当变化时，变化情况如下表：
0 0 0 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．