2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题（解析版）

2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题 一、单选题 1．已知（是实数），其中是虚数单位，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】解析：由题设可得，则，故，应选答案A． 2．如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先画出，平移直线易得在点D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值. 【详解】 解：在图中画出直线，平移直线易得在点D处取得最大值 因为点D，所以最大为2 故选：B. 【点睛】 本题考查了简单线性规划问题，属于基础题. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则=（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆心O到直线距离为，所以，选D. 4．在的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项，则展开式中常数项（ ）. A．180 B．120 C．90 D．45 【答案】A 【解析】根据二项式系数最大的项是第六项，可以求出的值，再根据二项式展开式的通项公式，求出常数项即可. 【详解】 因为二项式系数最大的项是第六项，所以. ，该二项式的展开式的通项公式为：
，令，所以常数项为：
. 故选：A 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用、二项式展开式的通项公式，考查了二项式系数的性质，属于基础题. 5．下边的程序运行后输出的结果为( ) A．50 B．5 C．25 D．0 【答案】D 【解析】共执行了5次循环体，第一次a=1,第二次a=3,第三次a=1,第四次，a=0,第五次a=0.所以输出a的值为0 6．平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数的取值集合（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据三条直线将平面划分成六部分，可以确定三条直线的位置关系，然后分类讨论求出实数的取值集合. 【详解】 因为三条直线将平面划分成六部分，所以三条直线有以下两种情况：
（1）三条直线交于同一点.解方程组，所以交点坐标为，直线也过该点，故；

（2）当直线与平行时，；

当直线与平行时，，综上所述：. 故选：D 【点睛】 本题考查了直线分平面问题，考查了直线与直线的位置关系，考查了已知直线平行求参数问题，属于基础题. 7．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）
A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果. 【详解】 设等比数列公比为 当时，，不符合题意， 当时，， 得，又， 由，得， ，故选D. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点. 8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的､､､､､､､八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市被选中的概率为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意列出城市被选中的情况和没有被选中的情况，最后求出概率即可. 【详解】 八个中小城市中选取三个城市，要求没有任何两个城市相邻，城市被选中的情况有：
，共10种；

八个中小城市中选取三个城市，要求没有任何两个城市相邻，城市没被选中的情况有：
，共10种, 所以城市被选中的概率为. 故选：A 【点睛】 本题考查了古典概型概率的计算方法，属于基础题. 9． 已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D. 【考点】1.直线与抛物线的位置关系；
2.斜率公式. 10．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题，，且，成立的充要条件是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导数的定义,结合充要条件的定义直接求解即可 【详解】 且，不妨设， ， 当时，可得， 设，所以该函数是单调递减函数，， 故；

当时，可得， 设，所以该函数是单调递增函数，， 故，因此有. 故选：B 【点睛】 本题考查了充要条件的判断，考查了导数的应用 ，属于基础题. 11．已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是 A．的取值范围为 B．取值范围为 C．的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】B 【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上， ∴∠MON≥90°， ∴≤0， 又OM≤+1，ON≤+1， ∴当OM=+1，ON=+1时， 取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；

设M（1+cosα，1+sinα）， N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ）， 则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）， ∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B错误；

∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2， ∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；

∵﹣1≤|OM|≤+1，-1≤|ON|≤+1， ∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确． 故选B． 12．已知，，，是半径为2的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可以判断出点在底面的射影的位置，这样可以确定球心位置，利用勾股定理、直角三角形的性质可以求出点到底面的距离，利用相似三角形的性质，可以求出三角形的面积表达式，最后利用导数求出其面积的最大值，最后也就求出了体积的最大值, 【详解】 因为，，所以点在底面的射影是直角三角形斜边中点，所以球心在线段的延长线上，设，因此， ，即，. 过作，垂足为，设，，， 由，可得，， 设，则有，由，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，故当，函数有最大值，最大值为：.三角形的面积的最大值为. 三棱锥体积的最大值是. 故选：B 【点睛】 本题考查了三棱锥体积最大值的求法，考查了几何体的性质，考查了直角三角形的性质，考查了导数的应用，考查了数学运算能力. 二、填空题 13．计算__________． 【答案】 【解析】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解． 详解：令，可得，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分． 结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和（如图），且中，，扇形中，． 故． 点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；
二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解． 14．在DABC中，，且，则_______. 【答案】 【解析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出，从而求出. 【详解】 因为，所以；

， 解得（舍），；
所以， 解得， 由,所以，故为锐角，所以. 【点睛】 本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用. 15．已知双曲线C：，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆的半径r =________． 【答案】2 【解析】【详解】 由双曲线的性质知，,因∠F1PQ=90°，故 ,因此 ，从而直角三角形的内切圆半径是,故填2. 点睛：在一个直角三角形中，内切圆的半径，可根据切线长定理得到：，其中分别为直角边和斜边. 16．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______. 【答案】 【解析】建立空间直角坐标系，设，求出相应点的坐标，利用平面向量数量积的运算，结合平面，可以求出点的坐标，利用空间两点间距离公式，结合配方法求出线段长度的最小值. 【详解】 以为空间直角坐标系的原点，以为轴. 设，，则， ，因为平面， 所以，所以 线段长度为：，当时，有最小值，其值为. 故答案为：
【点睛】 本题考查了利用配方法求线段的长的最小值，考查了利用空间向量数量积的应用，考查了线面垂直的性质，考查了数学运算能力. 三、解答题 17．设数列的前项之积为，且． （1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）；
（2）. 【解析】试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；
(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围. 试题解析：解：（1）由，得， 所以， 所以． 又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由，得， 所以， 因为对任意的，故所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】1.等比数列的通项公式和性质；
2.等比数列求和. 18．为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：
校区 愿意参加 不愿意参加 重庆一中本部校区 220 980 重庆一中大学城校区 80 720 （1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；

（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分的概率满足：，假设解答各题之间没有影响， ①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值；

②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望． 【答案】（1）；
（2）①；
②． 【解析】试题分析：（1）由分层抽样的概念得结果；
（2）①直接利用公式，可得“如花姐”得分的数学期望；
②，由相互独立事件同时发生的概率计算公式，计算随机变量取每个值时的概率，由期望计算公式得结果． 试题解析：（1）大学城校区应抽取人；

（2）①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为，即；

6 12 18 所以对于每一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为分；

②记为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则 ；

；

． 所以“如花姐”最后得分的期望值为分． 【考点】（1）分层抽样；
（2）离散型随机变量的分布列及期望． 19．如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，，且． （1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；
（Ⅱ）二面角的余弦值是． 【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面找到一条直线与直线平行即可．因为平面平面，则过点作于，连接，证明四边形为平行四边形即可；
（2）由（1）知平面，又，为等边三角形，，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可． 试题解析：（1）如图，过点作于，连接，，可证得四边形为平行四边形，平面 （2）连接，由（1），得为中点，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为， 由即，令，得 设平面的法向量为 由即，令，得 所以， 所以二面角的余弦值是 【考点】（1）线面平行的判定定理；
（2）利用空间向量求二面角． 20．设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且. （I）求椭圆的方程；

（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；
(Ⅱ)或 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为． （Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或 详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有， 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，， 由，可得ab=6，从而a=3，b=2． 所以，椭圆的方程为． （Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）． 由已知有y1>y2>0，故． 又因为，而∠OAB=，故． 由，可得5y1=9y2． 由方程组消去x，可得． 易知直线AB的方程为x+y–2=0， 由方程组消去x，可得． 由5y1=9y2，可得5（k+1）=， 两边平方，整理得， 解得，或． 所以，k的值为或 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数. （1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，根据求导公式和法则，可得函数的导函数为，构造函数，易知在上为单调递增，则，因此若或时，函数没有零点，所以函数只有一个零点1；
若或时，函数存在唯一个零点，所以函数有两个零点. （2）由（1）知，可对的取值范围，结合函数的单调性，进行分段讨论，对参数各段取值，逐一求出函数的最小值是否为，若是即满足题意，综合全部从而可确定参数的取值范围. 试题解析：（1）， 令，，故在上单调递增 则 因此当或时，只有一个零点；

当或时，有两个零点. （2）当时，，则函数在处取得最小值 当时，则函数在上单调递增，则必存在正数， 使得. 若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减， 又，故不符合题意. 若，则，，函数在上单调递增， 又，故不符合题意. 若，则，设正数 则， 与函数的最小值为矛盾. 综上所述，，即. 22．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，. （1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积. 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】试题分析：（1）化圆的标准方程为一般方程，再把代入一般方程得的极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义以及直线的点斜式方程，可得的直角坐标方程；
（2）分别将代入，得，根据极径与极角的几何意义，利用三角形面积公式可得结果. 试题解析：（1）因为圆的普通方程为， 把代入方程得， 所以的极坐标方程为， 的平面直角坐标系方程为；

（2）分别将代入，得， 则的面积为. 23．已知函数，. （1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围. 【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用零点分类讨论方法求解不等式解集即可；

（2）由存在，存在，使得成立，可以转化为 ，利用绝对值的性质、函数的最值，通过解绝对值不等式求出的取值范围. 【详解】 （1）时，，解得，不合题意；

时，，解得， 时，，解得. 综上，不等式的解集是. （2）因为存在，存在，使得成立， 所以. 又， 而，故的最小值是， 可知，所以，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式，考查了存在性问题，考查了绝对值的性质，考查了数学运算能力.