第二章空间向量与立体几何基础选择30道

　择 第二章空间向量与立体几何基础选择 30 道 道

　一、单选题 1．已知   1,5, 2 a   ，   ,2, 1 b m m   ，若 a b ，则 m 的值为（

　）

　A． 6 

　B． 8 

　C．6 D．8 2．已知向量   1,1,0 a   ，   0,1, 1 b   ，则   a b （

　）

　A．0 B．1 C． 1 

　D．2 3．已知   2,2,5    ，   6, 4,4    ， μ 、 ν 分别是平面  ，  的法向量，则平面  ， 的位置关系是（

　）

　A．平行 B．垂直 C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角 4．若直线 l的方向向量为 (1, 3) a  ，则直线 l的斜率为（

　）

　A．12 B．32 C．33 D．3

　5．在空间直角坐标系中，点   1,3, 1 A  和点   2,1, 2 B  之间的距离为（

　）

　A．2 B．5

　C． 6

　D．14

　6．已知空间两点    1 213,5 , 2,4, 3 P P   , ，则1 2PP 等于（

　）

　A． 74

　B．310

　C．14

　D． 53

　7．已知点 (1,2,3) A 关于原点的对称点为 A 1 ，则 A 1 坐标为（

　）

　A． (1,2,) 3 

　B． 1, 2 ) 3 ( ,   

　C． ( 1, 2,3)  

　D． (1, 2,3) 

　8．已知空间向量 ( ,1, ) a t t  ， ( 2, ,1) b t t   ，则 ab  的最小值为（

　）

　A．2

　B． 3

　C．2 D．4 9．若二面角 l     为3，直线 m   ，则平面  内的所有直线与 m 所成角的取值范围是（

　）

　试卷第 2 页，总 4 页 A． (0, )2 B． [ , ]6 2  C． [ , ]3 2  D． [ , ]6 3  10．如图，在单位正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，以 D 为原点， DA ， DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面1 1ABC 的法向量是（

　）

　A． (1 ，1， 1)

　B． ( 1，1， 1)

　C． (1 ， 1  ， 1)

　D． (1 ，1， 1) 

　11．在三棱锥 S ABC  中，平面 SAC  平面 ABC ， SA AC  ， BC AC ， 6 SA  ，21 AC ， 8 BC  ，则 SB 的长为（

　）

　A． 8

　B． 9

　C． 11

　D． 12

　12．在空间直角坐标系中，已知点   4, 3,5 A  ，   2,1, 7 B   ，则线段 AB 的中点坐标是（

　）

　A．   2, 2, 2  

　 B．   1, 1 1  

　C．   1,1,1

　D．   2,2,2

　13．已知向量  1,21 a  ， ，  3, ,1 b x  ，且 ab ，那么 b等于（

　）

　A． 10

　B．11

　C． 2 3

　D．5 14．在空间直角坐标系 O xyz  中，点 M( x ，y，2020）（x∈R，y∈R)构成的集合是（

　）

　A．一条直线 B．平行于平面 xOy 的平面 C．两条直线 D．平行于平面 xOz 的平面 15．在空间直角坐标系中，点   3,2, 1 P   关于原点对称的点的坐标是（

　）

　A．   3, 2, 1  

　B．   3,2,1 

　C．   3,2, 1 

　D．   3, 2, 1 

　16．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，下列各式运算结果为1BD 的是（

　）

　①1 1 1AD AA AB  

　 ②1 1 1BC BB DC  

　 ③1AD AB DD  

　 ④1 1 1 1BD AA DD  

　A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 17．在平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D  中， M 为1 1AC 与1 1B D 的交点.若 ABa ，AD b ，1AA c  ，则下列向量中与 BM 相等的向量是（

　）

　A．1 12 2   a b c

　B．1 12 2a b c  

　C．1 12 2a b c   

　D．1 12 2a b c  

　18．已知向量( ,1,3)   ar，(0, 3,3 )     br，若 ab r r，则实数  的值为（

　）

　A． 2 

　B．32

　C．32 D． 2

　19．已知平面0{ | 0} P P n P     ，其中点0 (1P ，2， 3) ，法向量 (1 n  ，1， 1) ，则下列各点中不在平面  内的是（

　）

　A． (3 ，2， 1)

　B． ( 2，5， 4)

　C． ( 3  ，4， 5)

　D． (2 ， 4  ， 8)

　20．已知 (1 2 3) A  ， ， 、(21 1) B  ，， 两点，则直线 AB 与空间直角坐标系中的 yOz 平面的交点坐标为（

　）

　A． (0 0 0) ，，

　B． (05 7)  ， ，

　C．5 1( 0 )3 3，，

　D．7 1( 0)4 4，，

　21．如图，在平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D  中，若1 1BD xAB yAD zAA    ，则( , , ) x y z  （

　）

　A． ( 1，1， 1)

　B． (1 ， 1  ， 1)

　C． (1 ，1， 1) 

　D． ( 1， 1  ， 1) 

　22．在四面体 OABC 中，空间的一点 M 满足1 14 6OM OA OB OC     ，若 M，A，B，C 共面，则   （

　）

　试卷第 4 页，总 4 页 A．712 B．13 C．512 D．12 23．已知       2,2,0 , 0,2,2 , 2,0,2 A B C ，则, , A B C 满足（

　）

　A．三点共线 B．构成直角三角形 C．构成钝角三角形 D．构成等边三角形 24．已知平面  的一个法向量为   1, 1,0 n   ，则 y 轴与平面  所成的角的大小为（

　）

　A．6 B．4 C．3 D．2 25．已知3 51, ,2 2a    ，153, ,2b      满足 // a b ，则  等于（

　）

　A．23 B．92 C．92

　D．23

　26．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，棱 AB ，1 1AD 的中点分别为 E ， F ，则直线 EF与平面1 1AAD D 所成角的正弦值为（

　）

　A．306 B．2 55 C．66 D．55 27．已知向量 a  3,2,5   ， b  1, , 1 x   ，且 ab ，则 x 的值为（

　）

　A．4 B．1 C．3 D．2 28．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D  ，点 E 是上底面1 1AC 的中心，若1AE AA xAB yAD    ，则 xy 等于（

　 ）

　A．13 B．12 C． 1

　D． 2

　29．若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为 11,0, 1   - ，  22,0,2    ，则1l 和2l 的位置关系是（

　）

　A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 30．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点坐标为 A（3，1，0），B（－1，3，0），若点 C 满足 OC ＝  OA ＋  OB ，其中  ，  ∈R，  ＋  ＝1，则点 C 的轨迹为 A．平面 B．直线 C．圆 D．线段

　 答案第 1 页，总 12 页 参考答案 1．D 【分析】

　由 ab ，可得0 a b  ，则有 10 2( 1) 0 m m     ，从而可求出 m 的值， 【详解】

　解：因为 ab ，所以0 a b  ， 因为   1,5, 2 a   ，   ,2, 1 b m m   ， 所以 10 2( 1) 0 m m     ，解得 8 m  ， 故选：D 2．B 【分析】

　直接利用空间向量的数量积运算求解. 【详解】

　因为向量   1,1,0 a   ，   0,1, 1 b   ， 所以     1 0 1 1 0 1 1 a b           ， 故选：B 3．B 【分析】

　直接利用 μ 、 ν 的数量积运算判断. 【详解】

　因为   2,2,5    ，   6, 4,4    ，且分别是平面  ，  的法向量， 而     6 2 4 2 5 4 0             ， 所以  ，  的位置关系是垂直， 故选：B 4．D 【分析】

　 答案第 2 页，总 12 页 设向量 (1, 3) a  起点为原点，终点为 A ，则直线 OA 的斜率即为直线 l 的斜率. 【详解】

　取坐标平面内两点   0,0 O 和 (1, 3) A ，则 (1, 3) a OA   ，则直线 OA 斜率即为直线 l 的斜率，而 3OAk  ，所以直线 l 的斜率为 3 . 故选：D． 5．C 【分析】

　直接利用空间两点间的距离公式可求得结果. 【详解】

　2 2 2| | (1 2) (3 1) ( 1 2) AB        1 4 1 6     。

　故选：C 6．A 【分析】

　利用空间两点距离公式直接计算即可. 【详解】

　   1 213,5 , 2,4, 3 P P   ,

　     2 2 21 21 2 3 4 5 3 74 PP         . 故选：A. 7．B 【分析】

　根据空间点的对称性，直接求解. 【详解】

　点   1,2,3 A 关于原点的对称点  11, 2, 3 A    . 故选：B 8．C 【分析】

　利用空间向量的坐标运算和模的坐标表示求得 a b  关于 t 的函数关系，然后利用二次函数

　 答案第 3 页，总 12 页 的性质即得所求. 【详解】

　解：∵ ( ,1, ) a t t  ， ( 2, ,1) b t t   ， ∴ (2,1 , 1) a b t t     ， 则2 2 2 2| | 2 (1 ) ( 1) 2( 1) 4 a b t t t          ， ∴当 1 t  时， a b  取最小值为 2． 故选：C． 【点睛】

　关键要熟练掌握空间向量的模的坐标表示，注意准确运算. 9．B 【分析】

　根据二面角的平面角大小可知 m 与  所成的角的大小，考虑特殊位置可得  所在平面内的直线与 m 所成角，从而求出所求． 【详解】

　由二面角 l     的大小为3，直线 m   ，得 m 与  所成的角的大小为6， 于是  所在平面内的直线与 m 所成的角的最小值为6，而最大值为2． 故选：B 10．A 【分析】

　设平面1 1ABC 的法向量是 ( n x  ， y ， ) z ，由11· 0· 0n BA y zn BC x z       可求得法向量. 【详解】

　在单位正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中， 以 D 为原点， DA ， DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系， 1 (1A ，0， 1) ， (1 B ，1， 0) ，1 (0C ，1， 1) ， 1(0 BA  ，1， 1) ，1( 1 BC   ，0， 1) ，

　 答案第 4 页，总 12 页 设平面1 1ABC 的法向量是 ( n x  ， y ， ) z ， 则11· 0· 0n BA y zn BC x z       ，取 1 x  ，得 (1 n  ，1， 1) ，  平面1 1ABC 的法向量是 (1 ，1， 1) . 故选：

　A .

　11．C 【分析】

　建立空间直角坐标系，写出点 S 和点 B 坐标，利用空间中两点间距离公式即可求解. 【详解】

　如图：建立以 A 为原点的空间直角坐标系，

　 则 ( ) 0 0 0 A ，， ， (8 210) B ， ， ， (0 0 6) S ，， ，

　 答案第 5 页，总 12 页 ∴2 2 2(0 8) (0 21) (6 0) 11 SB SB         ， 故选：C 12．B 【分析】

　利用中点坐标公式即可求解. 【详解】

　在空间直角坐标系中， 点   4, 3,5 A  ，   2,1, 7 B   ，

　则线段 AB 的中点坐标是4 2 3 1 5 7, ,2 2 2        ，即   1, 1 1  

　故选：B 13．B 【分析】

　由 ab ，得 【详解】

　解：因为向量  1,21 a  ， ，  3, ,1 b x  ，且 ab ， 所以 1 3 2 1 0 x      ，解得 1 x  ， 所以   3,1,1 b  ， 所以2 2 23 1 1 11 b    ， 故选：B 14．B 【分析】

　由点的竖坐标可选出正确答案. 【详解】

　解：由题意知，点 M 在平面 xOy 的上方，且距平面 xOy 始终为 2020， 故选:B. 15．D

　 答案第 6 页，总 12 页 【分析】

　关于原点对称的两点坐标对应互为相反数. 【详解】

　在空间直角坐标系中，点   3,2, 1 P   关于原点对称的点的坐标是   3, 2, 1 

　故选：D 16．A 【分析】

　根据空间向量的运算法则，逐项计算，即可判断出结果. 【详解】

　1 1 1 1 1AD AA AB AD AB BD      ，①对； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1BC BB DC BC CC DC BC CD BD         ，②对； 1 1 1 1 1 1AD AB DD BD DD BD D BD D        ，③错； 1 1 1 1 1 1 1 1BD A DD BD DD DD BD DD A        显然不等于1BD ，④错． 故选：A． 17．A 【分析】

　利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答． 【详解】

　由题意，1 1 1 1 112BM BC CC C M BC CC C A      

　 1 11 1 1 1 12 2 2 2 2BC CC AB BC AB BC CC a b c             ； 故选：A． 18．A 【分析】

　根据 ab r r得 0+1 ( 3) 3 (3 ) 0,          解方程即得解. 【详解】

　因为 ab r r，

　 答案第 7 页，总 12 页 所以 0+1 ( 3) 3 (3 ) 0, 2              . 故选：A 19．B 【分析】

　结合各个选项分别求出0PP ，计算0PP n 的值是否为 0，从而得出结论. 【详解】

　对于 A ，0(2 PP  ，0，2) ，01 2 1 0 1 ( 2) 0 PP n         ，故选项 A 在平面  内； 对于 B ，0( 3 PP  ，3， 1) ，01 ( 3) 1 3 1 1 1 0 P n P           ，故选项 B 不在平面 内； 对于 C ，0( 4 PP  ，2， 2) ，01 ( 4) 1 2 1 2 0 P n P          ，故选项 C 在平面  内； 对于 D ，0(1 PP ， 6  ， 5) ，01 1 1 ( 6) 1 5 0 PP n         ，故选项 D 在平面  内. 故选：B 20．B 【分析】

　设直线 AB 与平面 yOz 的交点为1 1(0 ) P y z ， ， ，利用 A 、 B 、1P 三点共线得向量共线，由此可求出答案． 【详解】

　解：设直线 AB 与平面 yOz 的交点为1 1(0 ) P y z ， ， ， （方法一）∵ A 、 B 、1P 三点共线，则1 //AP AB ， ∵ (1 2 3) A  ， ， 、 (21 1) B  ，， ， ∴1 1 1( 1, 2 ) , 3 AP y z     ， (1,3, 4) AB   ， 则1 12 3 11 3 4y z    ，解得1157yz  ， 则 (0 5 7) P  ， ， ， （方法二）∵ A 、 B 、1P 三点共线，则1(1 ) OP OA OB        ，

　 答案第 8 页，总 12 页 则1 1(0, ) (1, 2,3) (1 ) (2,1, 1) , y z          ， 则110 2 2 22 1 1 33 1 4 1yz                    ，解得11257yz   ， 则 (0 5 7) P  ， ， ， 故选：B． 21．A 【分析】

　利用向量的加法公式，对向量1BD 进行分解，进而求出 x ， y ， z 的值. 【详解】

　解：1 1 1 1BD BB BD   ，又因1 1BB AA  ，1 1BD BD AD AB    ， 1 1 1BD AA AD AB xAB yAD zAA       ， 1 x    ， 1 y  ， 1 z  ， 故选：

　A . 22．A 【分析】

　利用空间四点共面可知1 114 6    ，直接求  的值. 【详解】

　因为 M，A，B，C 共面，则1 114 6    ，得712  . 故选：A 【点睛】

　本题考查空间四点共面定理，属于基础题型. 23．D 【分析】

　利用空间两点间的距离公式计算可得结果. 【详解】

　因为2 2 2| | (2 0) (2 2) (0 2) 2 2 AB        ，

　 答案第 9 页，总 12 页 2 2 2| | (0 2) (2 0) (2 2) 2 2 BC        ， 2 2 2| | (2 2) (2 0) (0 2) 2 2 AC        ， 所以 | | | | | | AB BC AC   ，所以 ABC 为等边三角形. 故选：D. 【点睛】

　本题考查了空间两点间的距离公式，属于基础题. 24．B 【分析】

　求出 y 轴的方向向量，代入向量的夹角公式，即可得解. 【详解】

　易知 y 轴的方向向量为   0,1,0 m ur，

　解得：    1, 1,0 0,1,0 2sin cos ,2 2 1n m    ， =4 ， 故选：B. 【点睛】

　本题考查了向量法求线面角，在解题时注意线面角和向量所成角的关系，注意公式的正确应用，属于基础题. 25．B 【分析】

　根据空间向量的共线可得答案. 【详解】

　因为3 51, ,2 2a    ，153, ,2b      , 因为// a br r，所以 atb ，即3 5 151 3 , ,2 2 2t t t        ， 得13t   ， 92  .

　故选：B.

　 答案第 10 页，总 12 页 【点睛】

　本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题. 26．C 【分析】

　以 D为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1DD 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线 EF 与平面1 1AAD D 所成角的正弦值． 【详解】

　解：以 D为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1DD 为 z轴，建立空间直角坐标系，

　设正方体1 1 1 1ABCD ABC D  的棱长为 2， 则 E（2，1，0），F（1，0，2），   1 ,1 , 2 EF    ， 因为 y 轴与1 1AAD D 垂直， 则平面1 1AAD D 的一个法向量  0,1,0 n  ， 设直线 EF 与平面1 1AAD D 所成角为 θ， 则1 6sin6 6EF nEF n  ． ∴直线 EF 与平面1 1AAD D 所成角的正弦值为66． 故选：C． 【点睛】

　 答案第 11 页，总 12 页 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 27．A 【分析】

　由向量的数量积为 0 可求得 x ． 【详解】

　∵ ab ，∴3 2 5 0 a b x      ，解得 4 x  ． 故选：A． 【点睛】

　本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题． 28．C 【分析】

　结合几何体，根据空间向量的加法运算得到, x y 的值. 【详解】

　如图，  1 1 1 1 1 1 112AE AA AE AA AB AD     

　  1 11 1 12 2 2AA AB AD AA AB AD       ， 所以12x y   ， 所以 1 x y   .

　故选：C 【点睛】

　本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型. 29．A

　 答案第 12 页，总 12 页 【分析】

　由2 12v   ，可知两直线的位置关系是平行的 【详解】

　解：因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为 11,0, 1   - ，  22,0,2    ， 所以2 12v   ，即2 与1v 共线， 所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行， 故选：A 【点睛】

　此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题. 30．B 【详解】

　设点 C 的坐标为 ( , , ) x y z ，由题意可得 ( , , ) (3 , 3 ,0) x y z        ， 再由  ＋  ＝1 可得， 2 5 0 x y    ， 故点 C 的轨迹方程为 2 5 0 x y   

　故选：B．