理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之17递推数列与数列求和

专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 2019年 1.(2019天津理19)设是等差数列,是等比数列.已知. (Ⅰ)求和的通项公式; (Ⅱ)设数列满足其中. (i)求数列的通项公式; (ii)求. 2010-2018年 一､选择题 1.(2013大纲)已知数列满足,则的前10项和等于 A. B. C. D. 2.(2012上海)设,,在中,正数的个数是 A.25 B.50 C.75 D.100 二､填空题 3.(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和,若,则_____. 4.(2017新课标Ⅱ)等差数列的前项和为,,,则 . 5.(2015新课标Ⅱ)设是数列的前项和,且,则=__. 6.(2015江苏)数列满足,且(),则数列前10项的和为 . 7.(2013新课标Ⅰ)若数列{}的前n项和为=,则数列{}的通项公式是=______. 8.(2013湖南)设为数列的前n项和,则 (1)_____; (2)___________. 9.(2012新课标)数列满足,则的前60项和为 . 10.(2012福建)数列的通项公式,前项和为,则 =___________. 三､解答题 11.(2018浙江)已知等比数列的公比,且,是,的等差中项.数列满足,数列的前项和为. (1)求的值; (2)求数列的通项公式. 12.(2018天津)设是等比数列,公比大于0,其前项和为,是等差数列.已知,,,. (1)求和的通项公式; (2)设数列的前项和为, (i)求; (ii)证明. 13.(2017江苏)对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立,则称数列是“数列”. (1)证明:等差数列是“数列”; (2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列. 14.(2016年全国II)为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,. (Ⅰ)求,,; (Ⅱ)求数列的前项和. 15.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和,已知, (Ⅰ)求的通项公式: (Ⅱ)设,求数列的前项和. 16.(2015广东)数列满足:,. (1)求的值; (2)求数列的前项和; (3)令, 证明:数列的前项和满足. 17.(2014广东)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求数列的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数,有 18.(2013湖南)设为数列{}的前项和,已知,2,N (Ⅰ)求,,并求数列{}的通项公式; (Ⅱ)求数列{}的前项和. 19.(2011广东)设,数列满足,. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对于一切正整数, 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析 (Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 依题意得解得 故. 所以,的通项公式为的通项公式为. (Ⅱ)(i). 所以,数列的通项公式为. (ii) . 2010-2018年 1.【解析】∵,∴是等比数列 又,∴,∴,故选C. 2.D 【解析】由数列通项可知,当,时,,当, 时,,因为,∴都是 正数;当,同理也都是正数,所以正数的个 数是100. 3.【解析】通解 因为,所以当时,,解得; 当时,,解得; 当时,,解得; 当时,,解得; 当时,,解得; 当时,,解得. 所以. 优解 因为,所以当时,,解得, 当时,,所以, 所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以, 所以. 4.【解析】设等差数列的首项为,公差为,则, 解得,, ∴,所以, 所以. 5.【解析】当时,,所以, 因为,所以,即, 所以是以为首项,为公差的等差数列, 所以,所以. 6.【解析】由题意得: 所以. 7.【解析】当=1时,==,解得=1, 当≥2时,==-()=,即=, ∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=. 8.(1),(2) 【解析】(1)∵. 时,a1+a2+a3=-a3- ① 时,a1+a2+a3+a4=a4-,∴a1+a2+a3=-. ② 由①②知a3=-. (2)时,,∴ 当n为奇数时,; 当n为偶数时,. 故, ∴ . 9.【解析】可证明: . 10.3018【解析】因为的周期为4;由 ∴,,… ∴. 11.【解析】(1)由是,的等差中项得, 所以, 解得. 由得, 因为,所以. (2)设,数列前项和为. 由,解得. 由(1)可知, 所以, 故,, . 设,, 所以, 因此,, 又,所以. 12.【解析】(1)设等比数列的公比为q.由可得. 因为,可得,故. 设等差数列的公差为d,由,可得由, 可得 从而 故 所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (2)(i)由(1),有, 故. (ii)证明:因为 , 所以, . 13.【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则, 从而,当时, , 所以, 因此等差数列是“数列”. (2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此, 当时,,① 当时,.② 由①知,,③ ,④ 将③④代入②,得,其中, 所以是等差数列,设其公差为. 在①中,取,则,所以, 在①中,取,则,所以, 所以数列是等差数列. 14.【解析】(Ⅰ)设的公差为,, ∴,∴,∴. ∴,,. (Ⅱ)记的前项和为,则 . 当时,; 当时,; 当时,; 当时,. ∴. 15.【解析】(Ⅰ)当时,,因为,所以=3, 当时,,即,因为,所以=2, 所以数列{}是首项为3,公差为2的等差数列, 所以=; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,=, 所以数列{}前n项和为 = =. 16.【解析】(1)由题意知: 当时,; 当时,; (2)当时,; 当时,由知 两式相减得, 此时. 经检验知也满足.故数列是以1为首项,为公比的公比数列, 故. (3)由(1)(2)知,. 当时, . 当时,,成立; 当时, . 构造函数 ,即 ,则, 从而可得,,,, 将以上个式子同向相加即得 , 故 综上可知,. 17.【解析】(Ⅰ) 所以, (Ⅱ) (Ⅲ) . 18.【解析】(Ⅰ) - (Ⅱ) 上式错位相减: . 19.【解析】(1)由 令, 当 ①当时, ②当 (2)当时,(欲证) , 当 综上所述