大学高数下册试题及答案,第8章

第八章 重积分 作业9 二重积分的概念与性质 1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：
（1）与 (a)D是由直线及所围成的闭区域；

(b) D是由圆周所围成的闭区域． 解：(a)因为在区域内部有，从而大 (b)因为在区域内部有，从而大 （2）与 (a)D是矩形闭区域：；

(b) D是矩形闭区域：． 解：(a)因为在区域内部有，从而大 (b)因为在区域内部有，从而大 （3）与，其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域． 解：因为在区域内部有，从而，因此大 2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：
（1），其中D是矩形闭区域：；

解：因为在区域内部有，因此 （2），其中为球体；

解：因为在区域内部有， 因此 （3），其中L为圆周位于第一象限的部分；

解：因为在曲线上积分， 不妨设， ， 因此 （4），其中为柱面被平面所截下的部分． 解：因为在曲面上积分，从而，， 因此 作业10 二重积分的计算 1．试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：
（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；

解：作图得知区域D可以表示为：， 得 区域D也可以分块表示为：
从而 （2）环形闭区域：． 解：在极坐标下环形闭区域为 从而 在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为 2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：
（1）；

（2）；

（3）． 3．画出积分区域，并计算下列二重积分：
（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；

解：作图，原式= （2），其中D是由所确定的闭区域；

解：作图，原式= （3），其中D是由不等式所围成的闭区域；

解：作图，原式= （4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域． 解：作图，原式= 4．求由曲线所围成的闭区域的面积． 解：曲线方程联立，得 作图知，原式= 5．求由四个平面所围柱体被平面及 所截得的立体的体积． 解：四个平面决定的区域D为：
在区域D内部 从而所截得的立体的体积 6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：
（1）
（2）；

7．利用极坐标计算下列积分：
（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；

解：D是圆周，即 从而 （2），其中是由圆所围成的闭区域；

解：D是圆周围成， 知其为 从而原式= （3）， D是与所确定的闭区域；

解：D是圆环的关于原点对称的两部分，，与 从而原式= （由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号）
（4），其中D是介于两圆和之间的闭区域． 解：D介于两圆之间，可知 从而原式= 8．用适当的坐标计算下列积分：
（1），其中是由直线，，，（）所围成的闭区域；

解：作图知由直角坐标表达方便， （2）， 其中是由圆周所围成的闭区域；

解：由表达式由极坐标表达方便，， 原式= （3），D：；

解：先作坐标轴平移，再用极坐标 原式= （4），D：． 解：用广义极坐标 原式= 作业11 三重积分的概念与计算 1．试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为：
（1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域 ；

（2）由曲面及所围的闭区域 ． 2．计算下列三重积分：
（1），其中为平面，所围成的四面体；

解：分析边界作图知为， 原式= （2），其中是由曲面与平面所围的闭区域；

解：分析边界作图知为， 原式= （3），其中是由平面及抛物柱面所围的闭区域． 解：分析边界作图知为， 原式= 3．利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1），其中是曲面和平面所围成的闭区域；

解：原式 （2），其中是曲面及所围成的闭区域；

解：原式 （3），其中是曲面和平面所围成的闭区域；

解：原式 （4），其中是曲面和平面所围成的闭区域． 解：先作坐标轴平移，再用柱坐标 原式 = 4．利用球面坐标计算下列三重积分：
（1），其中是球面所围成的闭区域；

解：
原式 （2），其中是由不等式（），所确定的闭区域；

解：
原式 （3），其中是不等式， 所确定的闭区域． 解：
原式 5. 选取适当的坐标计算下列三重积分：
（1），其中是柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域；

解：用柱坐标 原式= （2），其中是球面所围的闭区域；

解：用球坐标 原式 （3），其中是由曲面及平面所围的闭区域；

解：用柱坐标 原式= （4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭区域；

解：用球坐标 原式 （5），其中是椭球面所围成的闭区域． 解：用广义球坐标 原式 作业12 重积分的应用 1．球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比，求这球体的质量． 解：设球面的方程为，球的密度为 则球体的质量为 2．求球体的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的距离的平方． 解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为 ， 3．设均匀平面薄片为椭圆形闭区域：，求转动惯量． 解：用广义极坐标 4．设半径为的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比，求质量为非均匀球体对其直径的转动惯量． 解：设球面的方程为，球的密度为 则球体对其直径的转动惯量为 5．求面密度为常数的均匀圆环形薄片：对位于轴上的点处的单位质量的质点的引力． 解：设环域上点处的单位面积产生的引力微元为 ，由对称性 6．一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，，所围成，（1）求物体的体积；
（2）求物体的质心；
（3）求物体关于z轴的转动惯量． 解：
由对称性，质心应该在z轴上，可设为 ， 第八章《重积分》测试题 1．选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
（1）设有空间闭区域， ， 则有（ D ）
（A）；

（B）；

（C）；

（D）． （2）设平面闭区域 ，， 则（ A ）
（A）；

（B）；

（C）；

（D）． （3）设是有界闭区域上的连续函数，则当时，得极限为（ B ）. A.不存在；

B. 等于 C. 等于 D. 等于． 2．选择适当的坐标系计算下列二重积分：
（1），是由直线所围成的区域；

解：作图，分块积分。

原式 （2），其中D是由和所围成；

解：作图，分块积分。

原式 （3），其中；

原式= （4），其中D是由和所围成的平面区域，且；

解：作图知没有用上 原式 （5），D：；

解：作图知，分块积分区别处理较方便 原式 3．交换下列二次积分的次序：
（1）；

（2）；

（3）． 4．将变为极坐标形式的二次积分，其中D由不等式和所规定． 解：由， 从而 5．计算，其中D是矩形域：． 解：作图，需要分块积分 原式 6．计算，其中由所围． 解：作图或分析推理，得：
原式 7．将三次积分变为柱坐标及球坐标的形式． 解：由上下限知 从而由坐标转化公式可推出区域表达式，因此得出 在柱坐标下 在球坐标下 8．计算，其中:． 解：由知: 从而，原式 9．计算下列三重积分：
（1）， 是由球面所围成的闭区域． 解：由于当时就有，而积分微元在对称点刚好反号，从而 （2），其中是由xOy平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域． 解：曲线绕轴旋转而成的曲面为，与平面的交线为 ，所围成的闭区域为 10．求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积． 解：平面为 11．设在上连续，试证：
， 其中为正整数． 证：左边 =右边 12．求曲面上点处的切平面与曲面所围成的空间立体的体积． 解：切平面的法向量为 从而切平面为 切平面与曲面的交线为投影柱面交切平面， 13．一平面薄片所占的闭区域由不等式：所确定，其上每一点的面密度为，试求该薄片的质量． 解：，用极坐标做方便些 求交点， 14．求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量． 解：
15．设在面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域，过圆心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点，，求半圆形薄片质点的引力． 解：， 由对称性，