多維随机变量及其分布

　 第三讲 多维随机变量及其分布

　考试要求

　1. 理解维随机变量的概，理解维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.

　2. 理解随机变量的独立性及不相关概念，掌握随机变量独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布会求个独立随机变量简单函数的分布.

　 各种分布二维随机变量 F （x）=P{ X ￡ x ￡ y }, x? （?￥, +￥）? （?￥, +￥）F （x）为联合分布函数 1） 0 ≤F （x）≤1"x? （?￥, +￥）? （?￥, +￥）;

　） F（?￥） F（?￥）F（+￥+￥）1;

　3） F （x）x, y 均为单调不减

　4） F （x）x, y 均分别右连续二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P{X = x= yj } = pi j , i, j =1, 2 ,××× , pi j ? 0, .

　边缘分布律 ? = P{X = xi }=, i =1, 2 ,××× ,

　p ? j = P{ Y = yj }=, j =1, 2 ,××× ,

　条件分布律 P{X = x= yj } =, P{ Y = yj | X = xi } =.

　二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f（x, y）为联合概率密度 1? f（x, y）≥0, 2? .

　设（ X, Y）~ f（x, y）分布函数 ;

　边缘概率密度, .

　条件概率密度, .

　2. 随机变量的独立性相关性X和Y相互独立 ? F （x）= F （x）F （）;

　 ? p ? j （离散型）

　? （x）= （x） （） （型）

　【注】? X与Y独立 （x） （x）连续? f （X） （）? 若X1, ?, Xm, Y1, ?, Yn相互独立连续? f （X?, Xm） （?, Yn）? 常数与任何随机变量独立X, Y ）~ U （）联合概率密度

　（2）二维正态分布 （X, Y ）~ N （μμ2, ?12 ,?22, ? ）, ?￥ <μ1, μ2 < +￥, ?1>0, ?2 > 0, | ? | <1. 联合概率密度

　性质:

　（ a ） X ~ N （μ, ?12 ）, Y ~ N （μ, ?22 ）

　（ b ） X与Y相互独立 X Y =0 , 即 X与Y不相关.

　（ c ） C1X+C2Y ~ N （C1 μ C2 μ2, C12 ?12 + C22?22 +2C1C2 ? ?1 ?2 ）.

　（ d ） X关于Y=y的条件分布为正态分布:

　【 例1 】 设A，B为事件，且P（A）＝,P（B|A）＝,P（A|B）＝

　 令 X＝, Y＝

　求（X, Y）的联合分布律Cov（ X, Y ）.

　【 例】X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y）X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.

　 Y

　 X 【 例】设随机变量X与Y独立分布, 且X的概率分布为

　 记.

　（I）求（U, V）的概率分布;

　（II）求（U, V）的协方差Cov（U, V）.

　【详解】（I）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且

　,

　,

　,

　,

　故（U, V）的概率分布为:

　V

　U 1 2

　1

　2 0

　 （II） ,

　而 , .

　故 .

　【 例】在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布, 求

　（Ⅰ）随机变量和的联合概率密度;

　（Ⅱ）的概率密度;

　（Ⅲ）概率.

　二、 二维（或两个）随机变量函数的分布

　1．分布的可加性1）若X~B（m, p）, Y~B（n, p）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p）.

　2）若X~P（λ1）, Y~P（λ2）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.

　3）若X~N（）, Y~P（）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ N （）.

　一般地，若Xi~N（）, i=1, 2, …, n, 且X1，X2，…，Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+…+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为

　 其中C1，…，Cn为不全为零的常数.

　2. 两个随机变量函数的分布.【例】 设X与Y相互独立, 则

　【 例】 设X与Y相互独立, 其密度函数分别为:

　求Z＝2X＋Y 的概率密度.【 例】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

　（I）求

　（II）求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度.　

　【详解】（I）.

　（II）先求Z的分布函数:

　当z<0时, ;

　当时,

　 ；

　当时,

　 ；

　当时, .

　故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度

　=　 ，

　当z ≤≥ 2时, ;

　当时, 当时, 故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度

　【例】 设随机变量X与Y相互独立, X密度函数Y的分布律为 试求Z＝X＋Y 的概率.