教学重点和难点

　 教学重点和难点

　相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幕定理解题 是难点.

　教学过程设计

　一、从学生原有的认知结构提出问题

　根据图7-162（1）、（2）、（3）,让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割

　线定理的内容.

　图 7-162

　图 7-162

　然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者Z间是否有联系？ 提出问题让学生思考，在学生冋答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程,

　从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.

　⑴如图7-163 , 00的两条弦AB, CD相交于点P,则PA ? PB=PC ? PD.这便是我们学过 的相交弦定理?对于这个定理有两个特例：

　一是如果圆内的两条弦交于圆心0,则有PA=PB=PC=PD =圆的半径R,此时AB, CD是 直径,相交弦定理当然成立.（如图7-164）

　I)

　I)

　二是当P点逐渐远离圆心0,运动到圆上时，点P

　二是当P点逐渐远离圆心0,运动到圆上时，点P和B, D重合，这时PB=PD=0,仍然

　有PA?PB=PC?PD=0,相交眩定理仍然成立.（图7-165）

　（2） 点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P,成为两条割线，则有PA?PB=PC?PD,这就是我们学过的 切割线定理的推论（割线定理）.（图7-166）

　（3） 在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C, D两点在圆上逐渐靠

　近，以至合为一点C,割线PCD变成切线PC.这时有PA ?PB=PC -PD = PC2,这就是我们学过的切割线定理.（图7-167）

　⑷如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2 = PB2,可

　得PA = PB,这就是我们学过的切线长定理.（图7-168）

　C（D）BCC（D）D图

　C（D）

　B

　C

　C（D）

　D

　图 7-168至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理Z

　图 7-168

　启发学生理解定理的实质.

　经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.

　观察图7-169,可以得出：（设00半径为R）

　在图仃）中，PA?PB=PC ?PD=PE?PF

　=（R-OP）（R+OP）

　= R2-0P2；

　图 7-169

　在图（2）中，PA ? PB=PT2=OP2-OT2

　=op=F

　在图⑶中，PA ? PB=PC ? PD = PT2

　= OP-R2.

　教师指出，由于PA?PB均等于I 0P2-R2 I ,为一常数，叫做点P关于（DO的幕，所以相 交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理）统称为圆幕定理.

　二、例题分析（采用师生共同探索、讲练结合的方式进行）

　例1如图7-170,两个以0为圆心的同心圆，AB切大圆于B, AC切小圆于C,交大圆于 D, E, AB=12, A0=15, AD=8,求两圆的半径.

　分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径0B.求0C也可考虑用上 述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE,再利用垂径定理便可求出AC,于 是问题得解.

　（由学生讨论、分析，得出解决）

　例2如图7-171,在以0为圆心的两个同心圆中，A, B是大 圆上任意两点，过A, B作小圆的割线AXY和BPQ.

　求证：AX?AY二BP?BQ

　分析：在平面儿何比较复杂的图形中，往往都是由儿个简单 的图形组合而成的.但本题

　不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出

　发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.

　方法1在图

　方法1

　在图7-172中，过点A, B分别作小圆的切线AC, BD, C,

　D为切点.这时就出现

　了切割线定理的基木图形，于是有AC2=AX ?

　了切割线定理的基木图形，于是有

　AC2=AX ? AY, BD2 = BP ? BQ.

　再连结 CO, AO, DO, BO,

　易证 RtAAOC^ARtABOD,得出 AC=BD 所以AX?AY=BP?BQ.

　方法2在图7-173中，作直线XP交大圆于E, F,分别延 长AY, BQ,交大圆于C, D.这样就出现了相交眩定理的基本图形.于 是有

　图 7-172

　图 7-172

　AX ? XC=EX ? XF, BP ? PD = FP ? PE. 易证 AX=CY, BP=DQ, EX = FP.

　所以 AX ? XC=AX ? AY, BP ? PD=BP ? BQ, EX ? XF=FP ? PE.

　所以AX?AY=BP?BQ.

　方法3如图7-174,由于点0是圆内的特殊点，考虑过0点的特殊割线，作直线A0交 小圆于E, F,作直线B0交小圆于C, D,则出现了割线定理的基本图形.于是有

　AX ? AY=AE ? AF, BP ? BQ = BC ? BD.

　易证 AE=BC, AF=BD, 所以AE?AF=BC?BD. 从而AX?AY=BP?BQ.

　通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的儿个定理紧密结合起来,

　沟通了知识间的联系，最后可启发学牛?联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法來证明此

　题？

　三、强化练习

　练习1已知P为00外一点，0P与00交于点A,割线PBC与 交于点B, C,且PB=BC?如果0A=7, PA=2,求PC的长.

　练习2如图7-175, 00和00’都经过点A和B, PQ切00于P,

　交00’于Q, M,交AB的延长线于N.求证：PN2=NM?NQ.

　图 7-175

　图 7-175

　四、小结

　用投影重新打出圆幕定理的基本图形（如图7-176），让学生观察并说出相应的定理.

　图 点P运逖0;PC' = PA ?

　图 点P运逖0;

　PC' = PA ? FBu PA ? PB=FC ? PD ———

　■外

　（推论） （相交弦定理）

　ePT=FS（PT2 = pS2）

　（切线长定理）

　7-176

　PD

　人?〃毂合于丁

　pt2=pc ?

　rA ? r d — rC ? I D =>

　合于S

　（割线定理）

　PSZ = PA

　? PB

　（切割线定理）

　教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.

　五、布置作业

　课本p. 133习题7. 4A组13、14题.

　思考题：课本p. 130.想一想，p. 134B组6题

　板书设计

　I

　圆幕定理及其应用

　例1…

　例2

　练习1 —

　解：

　证法一

　练习2…

　证法二

　证法三

　小结：

　课堂教学设计说明

　这份教案为1课时?课本没有给出“圆幕沱理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线 段”的形式出现的，教学时可根据学生的程度而定.圆幕定理十分重要，它是进行几何论证

　、计算和作图常用定理，但是应用难度较大，所以在教学时应时刻注意启发学生进行思考, 培 养学生的发散思维能力.

　例题和练习题可根据学生实际选用.