专题练习8：平面向量

　培优点八

　平面向量 1．代数法 例 1：已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 在 方向上的投影为（

　）

　A．3 B．

　C．

　D．

　【答案】C 【解析】考虑 在 上的投影为 ，所以只需求出 ， 即可． 由 可得：

　， 所以 ．进而 ．故选 C．

　2．几何法 例 2：设 ， 是两个非零向量，且 ，则 _______． 【答案】

　【解析】可知 ， ， 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由 可知满足条件的只能是底角为 ，边长 的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为 ．

　3．建立直角坐标系 例 3：在边长为 1 的正三角形 中，设 ， ，则 __________．

　【答案】

　【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个ab=3 a =2 3 b     a a bba3 3 323 32ba a bbab    a a b  20       a a b a a b9   a b9 3 32 2 3   a bbab2     a b a b =  a b2 3ab  a b2     a b a b60 o 2 a3 2 3 a ABC 2 BC BD uuuv uuuv3 CA CE uuv uuuvAD BE  uuuv uuuvBCADE14AD BE   uuuv uuuv

　角度解题，

　观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系：

　， ， ，

　下面求 坐标：令 ，∴ ， ， 由 可得：

　，∴ ， ∴ ， ，∴ ．

　一、单选题 1．已知向量 ， 满足 ， ，且向量 ， 的夹角为 ，若 与 垂直，则实数 的值为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，故选 D． 30,2A    1,02B   1,02C   E  , E x y1,2CE x y    uuuv1 3,2 2CA     uuv3 CA CE uuv uuuv1 1 132 2 333362x xyy             1 3,3 6E    30,2AD     uuuv5 3,6 6BE    uuuv14AD BE   uuuv uuuvab1  a 2  b ab4  a b b121224241 2 cos 24     a b 22 4 04           a b b对点增分集训

　2．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （

　）

　A．1 B．

　C．

　D．2 【答案】A

　【解析】由题意可得：

　，则 ．故选 A． 3．如图，平行四边形 中， ， ， ，点 在 边上，且 ， 则 （

　）

　A．

　B．1 C．

　D．

　【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， ， 则

　．故选 B． 4．如图，在 中， 是边 的中线， 是 边的中点，若 ， ，则（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】B ab1  a 2  b 7   a b  a b2 32 2 22 1 4 2 7           a b a b a b a b 1   a bABCD 2 AB 1 AD 60 A  oM AB13AM AB DM DB  uuuuv uuuv1 333313AM AB DB AB AD  uuuv uuuv uuuv 13DM AM AD AB AD    uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 2 2 1 1 43 3 3DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD           uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv1 4 14 2 1 1 13 3 2       ABC △ BE AC O BEAB uuuva AC uuuvbAO uuuv1 12 2 a b1 12 4 a b1 14 2 a b1 14 4 a b

　【解析】由题意，在 中， 是边 的中线，所以 ， 又因为 是 边的中点，所以 ， 所以 ，故选 B． 5．在梯形 中， ， ， ， ，动点 和 分别在线段 和 上，且 ， ，则 的最大值为（

　）

　 A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】D 【解析】因为 ， ， ， ， 所以 是直角梯形，且 ， ， 以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

　因为 ， ，动点 和 分别在线段 和 上， 则 ， ， ， ， 所以 ， 令 且 ， 由基本不等式可知，当 时可取得最大值， 则 ．故选 D． ABC △ BE AC12AE AC uuuv uuuvO BE  12AO AB AE  uuuv uuuv uuuv 1 1 1 1 12 2 2 2 4AO AB AE AB AE      uuuv uuuv uuuv uuuv uuuva bABCD AB CD ∥ 1 CD 2 AB BC   120 BCD  oPQBC CDBP BC  uuv uuuv 18DQ DCuuuv uuuvAP BQ uuuv uuuv2 323498AB CD ∥ 1 CD 2 AB BC   120 BCD  oABCD 3 CM  30 BCM   ABxADyBP BC  uuv uuuv 18DQ DCuuuv uuuvPQ BC CD  01   ，   2 0 B ， 2 , 3 P   138Q   ， 1 1 12 3 2 3 5 48 4 8AP BQ               uuuv uuuv， ， 1 15 44 8f        01   ，1     max1 1 91 5 44 8 8f f       

　6．已知 中， ， ， ， 为线段 上任意一点，则的范围是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】C 【解析】根据题意， 中， ， ， ， 则根据余弦定理可得 ，即 ．∴ 为直角三角形 以 为原点， 为 轴， 为 轴建立坐标系，则 ， ，

　 则线段 的方程为 ， ． 设 ，则 ． ∵ ，∴ ．故选 C． 7．已知非零向量 ， ，满足 且 ，则 与 的夹角为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】非零向量 ， ，满足 且 ，则 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ABC △2 AB  4 AC 60 BAC    P ACPB PC uuv uuuv  14 ，   0 4 ，944   ，   2 4  ，ABC △2 AB  4 AC 60 BAC   24 16 2 2 4 cos60 12 BC         2 3 BC  ABC △B BCxBAy  0 2 A ， 2 30 C ，AC12 2 3x y  0 2 3 x    , P x y   2 2 24 10 32 3 2 3 43 3PB PC x y x y x y x x x            uuv uuuv， ，0 2 3 x  944PB PC    uuv uuuvab22 a b    3 2 0     a b a b ab42 34ab22 a b    3 2 0     a b a b     3 2 0     a b a b2 23 2 0     a a b b2 23 cos 2 0       a a b b2 2 1 23 cos 2 02 2       b b b b

　∴ ， ，∴ 与 的夹角为 ，故选 A． 8．在 中斜边 ，以 为中点的线段 ，则 的最大值为（

　）

　A．

　B．0 C．2 D．

　【答案】B 【解析】∵在 中斜边 ，∴ ， ∵ 为线段 中点，且 ， ∴原式 ， 当 时，有最大值， ．故选 B． 9．设向量 ， ， ，满足 ， ， ，则 的最大值等于（

　）

　A．1 B．

　C．

　D．2 【答案】D 【解析】设 ， ， ，因为 ， ， 所以 ， ，所以 ， ， ， 四点共圆， 因为 ， ，所以 ，

　由正弦定理知 ，即过 ， ， ， 四点的圆的直径为 2， 所以 的最大值等于直径 2，故选 D． 10．已知 与 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的取值范围为（

　）

　A．

　 B．

　C．

　 D．

　【答案】B 【解析】由 ， 是单位向量， ，可设 ， ， ， 2cos2 4ab4Rt ABC △ BC a  A2 PQ a BP CQ uuv uuuv2  2 2Rt ABC △ BC a  BA CA APQ 2 PQ a  2 2 2 2 2cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a              uuv uuuv uuuv uuv uuuv uuv uuv uuuv uuvcos 1   0 BP CQ  uuv uuuvabc 1   a b12   a b 6 , 0   oa b c c c2 3OAuuva OB uuuvb OC uuuvc12   a b 6 , 0   oa b c c120 AOB    60 ACB    O A B CAB  uuuvb a  222 22 3 AB       uuuvb a b a a b 3 AB 2 2sin120ABR  O A B Ccab  a bc 2    c a b c1,1 2  2 2,2 2   2,2 2  3 2 2,3 2 2   ab 0   a b  1,0  a   0,1  b   , x y  c

　由向量 满足 ，∴ ， ∴ ，即 ，其圆心 ，半径 ， ∴ ，∴ ．故选 B． 11．平行四边形 中， ， 在 上投影的数量分别为 ， ，则 在 上的投影的取值范围是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】建立如图所示的直角坐标系：设 ，

　则 ， ，则 ，解得 ． 所以 ， ． 在 上的摄影 ， 当 时， ，得到：

　，当 时， ， ，故选 A． 12．如图，在等腰直角三角形 中， ， ， 是线段 上的点，且，则 的取值范围是（

　）

　 A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】如图所示，以 所在直线为 轴，以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系， c 2    c a b  1, 1 2 x y      2 21 1 2 x y        2 21 4 1 x y       1,1 C 2 r 2 OC 2 22 2 2 2 x y       cABCD ACuuuvBDuuuvABuuuv3 1 BDuuuvBCuuuv  1,     1,3    0,   0,3  ,0 B a  3, C b   1, D a b    3 1 a a    2 a  1, D b   3, C bBDuuuvBCuuuv2cos 1 cos BM BD b     uuuv0 b cos 1  1 BM  b 0   BM ABC 2 AB AC   D E BC13DE BC AD AE uuuv uuuv8 4,9 3   4 8,3 3   8 8,9 3   4,3   BCxBCy

　 则 ， ， ，设 ，则 ， ． 据此有 ， ， 则 ． 据此可知，当 时， 取得最小值 ； 当 或 时， 取得最大值 ； 的取值范围是 ．故选 A．

　二、填空题 13．已知向量 ， ， ，若 ，则 ________． 【答案】

　． 【解析】因为 ， ，所以 ， 又 ，且 ，则 ，即 ．

　 14．若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为__________． 【答案】

　【解析】由 得， ，即 ，   0,1 A   1,0 B    1,0 C   ,0 D x2,03E x   113x       , 1 AD x  uuuv2, 13AE x     uuuv222 1 813 3 9AD AE x x x         uuuv uuuv13x  AD AE uuuv uuuv 891 x 13x AD AE uuuv uuuv 43AD AE uuuv uuuv 8 4,9 3     1,2  a   2, 2   b   1,   c   2  ∥ c a b  12  1,2  a   2, 2   b   2 4,2   a b  1,   c   2  ∥ c a b 4 2  12 ab1  a 2  b     a a b ab34    a a b   0    a a b20    a a b

　据此可得 ，∴ ， 又 与 的夹角的取值范围为 ，故 与 的夹角为 ． 15．已知正方形 的边长为 2， 是 上的一个动点，则求 的最大值为________． 【答案】4 【解析】设 ，则 ， 又 ， ∴ ， ∵ ，∴当 时， 取得最大值 4，故答案为 4． 16．在 中， ， ， ， 为线段 上一点，则 的取值范围为____． 【答案】

　【解析】以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴建立直角坐标系，

　可得 ， ， ，则直线 的方程为 ， 设 ，则 ， ， ， ， 则|

　 2cos ,       a b a b a b a1 2cos ,2 1 2   a bab  0, ab34ABCD E CDAE BD uuuv uuuvDE DC AB    uuuv uuuv uuuvAE AD DE AD AB     uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvBD AD AB  uuuv uuuv uuuv     2 21 4 4 AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD                uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv0 1    0  AE BD uuuv uuuvABC △ 90 C    30 B   2 AC  P AB PB PC uuv uuuv3,2 7  C CB CAx y  0,0 C   0,2 A 2 3,0 BAB12 2 3x y   , P x y 23xy  0 2 3 x    2 3 , PB x y   uuv  , PC x y   uuuv   2 222 3 2 2 PB PC x y    uuv uuuv22 2 24 4 8 3 12 4 4 2 8 3 123xx y x x x           

　， 由 ，可得 的最小值为√ 3

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