专题练习8:平面向量

来源:六年级 发布时间:2021-06-28 点击:

 培优点八

 平面向量 1.代数法 例 1:已知向量 , 满足 , ,且 ,则 在 方向上的投影为(

 )

 A.3 B.

 C.

 D.

 【答案】C 【解析】考虑 在 上的投影为 ,所以只需求出 , 即可. 由 可得:

 , 所以 .进而 .故选 C.

 2.几何法 例 2:设 , 是两个非零向量,且 ,则 _______. 【答案】

 【解析】可知 , , 为平行四边形的一组邻边和一条对角线, 由 可知满足条件的只能是底角为 ,边长 的菱形, 从而可求出另一条对角线的长度为 .

 3.建立直角坐标系 例 3:在边长为 1 的正三角形 中,设 , ,则 __________.

 【答案】

 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个ab=3 a =2 3 b     a a bba3 3 323 32ba a bbab    a a b  20       a a b a a b9   a b9 3 32 2 3   a bbab2     a b a b =  a b2 3ab  a b2     a b a b60 o 2 a3 2 3 a ABC 2 BC BD uuuv uuuv3 CA CE uuv uuuvAD BE  uuuv uuuvBCADE14AD BE   uuuv uuuv

 角度解题,

 观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题, 如图建系:

 , , ,

 下面求 坐标:令 ,∴ , , 由 可得:

 ,∴ , ∴ , ,∴ .

 一、单选题 1.已知向量 , 满足 , ,且向量 , 的夹角为 ,若 与 垂直,则实数 的值为(

 )

 A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】D 【解析】因为 ,所以 ,故选 D. 30,2A    1,02B   1,02C   E  , E x y1,2CE x y    uuuv1 3,2 2CA     uuv3 CA CE uuv uuuv1 1 132 2 333362x xyy             1 3,3 6E    30,2AD     uuuv5 3,6 6BE    uuuv14AD BE   uuuv uuuvab1  a 2  b ab4  a b b121224241 2 cos 24     a b 22 4 04           a b b对点增分集训

 2.已知向量 , 满足 , , ,则 (

 )

 A.1 B.

 C.

 D.2 【答案】A

 【解析】由题意可得:

 ,则 .故选 A. 3.如图,平行四边形 中, , , ,点 在 边上,且 , 则 (

 )

 A.

 B.1 C.

 D.

 【答案】B 【解析】因为 ,所以 , , 则

 .故选 B. 4.如图,在 中, 是边 的中线, 是 边的中点,若 , ,则(

 )

 A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】B ab1  a 2  b 7   a b  a b2 32 2 22 1 4 2 7           a b a b a b a b 1   a bABCD 2 AB 1 AD 60 A  oM AB13AM AB DM DB  uuuuv uuuv1 333313AM AB DB AB AD  uuuv uuuv uuuv 13DM AM AD AB AD    uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 2 2 1 1 43 3 3DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD           uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv1 4 14 2 1 1 13 3 2       ABC △ BE AC O BEAB uuuva AC uuuvbAO uuuv1 12 2 a b1 12 4 a b1 14 2 a b1 14 4 a b

 【解析】由题意,在 中, 是边 的中线,所以 , 又因为 是 边的中点,所以 , 所以 ,故选 B. 5.在梯形 中, , , , ,动点 和 分别在线段 和 上,且 , ,则 的最大值为(

 )

  A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】D 【解析】因为 , , , , 所以 是直角梯形,且 , , 以 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系:

 因为 , ,动点 和 分别在线段 和 上, 则 , , , , 所以 , 令 且 , 由基本不等式可知,当 时可取得最大值, 则 .故选 D. ABC △ BE AC12AE AC uuuv uuuvO BE  12AO AB AE  uuuv uuuv uuuv 1 1 1 1 12 2 2 2 4AO AB AE AB AE      uuuv uuuv uuuv uuuv uuuva bABCD AB CD ∥ 1 CD 2 AB BC   120 BCD  oPQBC CDBP BC  uuv uuuv 18DQ DCuuuv uuuvAP BQ uuuv uuuv2 323498AB CD ∥ 1 CD 2 AB BC   120 BCD  oABCD 3 CM  30 BCM   ABxADyBP BC  uuv uuuv 18DQ DCuuuv uuuvPQ BC CD  01   ,   2 0 B , 2 , 3 P   138Q   , 1 1 12 3 2 3 5 48 4 8AP BQ               uuuv uuuv, , 1 15 44 8f        01   ,1     max1 1 91 5 44 8 8f f       

 6.已知 中, , , , 为线段 上任意一点,则的范围是(

 )

 A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】C 【解析】根据题意, 中, , , , 则根据余弦定理可得 ,即 .∴ 为直角三角形 以 为原点, 为 轴, 为 轴建立坐标系,则 , ,

  则线段 的方程为 , . 设 ,则 . ∵ ,∴ .故选 C. 7.已知非零向量 , ,满足 且 ,则 与 的夹角为(

 )

 A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】A 【解析】非零向量 , ,满足 且 ,则 , ∴ ,∴ , ∴ , ABC △2 AB  4 AC 60 BAC    P ACPB PC uuv uuuv  14 ,   0 4 ,944   ,   2 4  ,ABC △2 AB  4 AC 60 BAC   24 16 2 2 4 cos60 12 BC         2 3 BC  ABC △B BCxBAy  0 2 A , 2 30 C ,AC12 2 3x y  0 2 3 x    , P x y   2 2 24 10 32 3 2 3 43 3PB PC x y x y x y x x x            uuv uuuv, ,0 2 3 x  944PB PC    uuv uuuvab22 a b    3 2 0     a b a b ab42 34ab22 a b    3 2 0     a b a b     3 2 0     a b a b2 23 2 0     a a b b2 23 cos 2 0       a a b b2 2 1 23 cos 2 02 2       b b b b

 ∴ , ,∴ 与 的夹角为 ,故选 A. 8.在 中斜边 ,以 为中点的线段 ,则 的最大值为(

 )

 A.

 B.0 C.2 D.

 【答案】B 【解析】∵在 中斜边 ,∴ , ∵ 为线段 中点,且 , ∴原式 , 当 时,有最大值, .故选 B. 9.设向量 , , ,满足 , , ,则 的最大值等于(

 )

 A.1 B.

 C.

 D.2 【答案】D 【解析】设 , , ,因为 , , 所以 , ,所以 , , , 四点共圆, 因为 , ,所以 ,

 由正弦定理知 ,即过 , , , 四点的圆的直径为 2, 所以 的最大值等于直径 2,故选 D. 10.已知 与 为单位向量,且 ,向量 满足 ,则 的取值范围为(

 )

 A.

  B.

 C.

  D.

 【答案】B 【解析】由 , 是单位向量, ,可设 , , , 2cos2 4ab4Rt ABC △ BC a  A2 PQ a BP CQ uuv uuuv2  2 2Rt ABC △ BC a  BA CA APQ 2 PQ a  2 2 2 2 2cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a              uuv uuuv uuuv uuv uuuv uuv uuv uuuv uuvcos 1   0 BP CQ  uuv uuuvabc 1   a b12   a b 6 , 0   oa b c c c2 3OAuuva OB uuuvb OC uuuvc12   a b 6 , 0   oa b c c120 AOB    60 ACB    O A B CAB  uuuvb a  222 22 3 AB       uuuvb a b a a b 3 AB 2 2sin120ABR  O A B Ccab  a bc 2    c a b c1,1 2  2 2,2 2   2,2 2  3 2 2,3 2 2   ab 0   a b  1,0  a   0,1  b   , x y  c

 由向量 满足 ,∴ , ∴ ,即 ,其圆心 ,半径 , ∴ ,∴ .故选 B. 11.平行四边形 中, , 在 上投影的数量分别为 , ,则 在 上的投影的取值范围是(

 )

 A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】A 【解析】建立如图所示的直角坐标系:设 ,

 则 , ,则 ,解得 . 所以 , . 在 上的摄影 , 当 时, ,得到:

 ,当 时, , ,故选 A. 12.如图,在等腰直角三角形 中, , , 是线段 上的点,且,则 的取值范围是(

 )

  A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】A 【解析】如图所示,以 所在直线为 轴,以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系, c 2    c a b  1, 1 2 x y      2 21 1 2 x y        2 21 4 1 x y       1,1 C 2 r 2 OC 2 22 2 2 2 x y       cABCD ACuuuvBDuuuvABuuuv3 1 BDuuuvBCuuuv  1,     1,3    0,   0,3  ,0 B a  3, C b   1, D a b    3 1 a a    2 a  1, D b   3, C bBDuuuvBCuuuv2cos 1 cos BM BD b     uuuv0 b cos 1  1 BM  b 0   BM ABC 2 AB AC   D E BC13DE BC AD AE uuuv uuuv8 4,9 3   4 8,3 3   8 8,9 3   4,3   BCxBCy

  则 , , ,设 ,则 , . 据此有 , , 则 . 据此可知,当 时, 取得最小值 ; 当 或 时, 取得最大值 ; 的取值范围是 .故选 A.

 二、填空题 13.已知向量 , , ,若 ,则 ________. 【答案】

 . 【解析】因为 , ,所以 , 又 ,且 ,则 ,即 .

  14.若向量 , 满足 , ,且 ,则 与 的夹角为__________. 【答案】

 【解析】由 得, ,即 ,   0,1 A   1,0 B    1,0 C   ,0 D x2,03E x   113x       , 1 AD x  uuuv2, 13AE x     uuuv222 1 813 3 9AD AE x x x         uuuv uuuv13x  AD AE uuuv uuuv 891 x 13x AD AE uuuv uuuv 43AD AE uuuv uuuv 8 4,9 3     1,2  a   2, 2   b   1,   c   2  ∥ c a b  12  1,2  a   2, 2   b   2 4,2   a b  1,   c   2  ∥ c a b 4 2  12 ab1  a 2  b     a a b ab34    a a b   0    a a b20    a a b

 据此可得 ,∴ , 又 与 的夹角的取值范围为 ,故 与 的夹角为 . 15.已知正方形 的边长为 2, 是 上的一个动点,则求 的最大值为________. 【答案】4 【解析】设 ,则 , 又 , ∴ , ∵ ,∴当 时, 取得最大值 4,故答案为 4. 16.在 中, , , , 为线段 上一点,则 的取值范围为____. 【答案】

 【解析】以 为坐标原点, , 所在直线为 , 轴建立直角坐标系,

 可得 , , ,则直线 的方程为 , 设 ,则 , , , , 则|

  2cos ,       a b a b a b a1 2cos ,2 1 2   a bab  0, ab34ABCD E CDAE BD uuuv uuuvDE DC AB    uuuv uuuv uuuvAE AD DE AD AB     uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvBD AD AB  uuuv uuuv uuuv     2 21 4 4 AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD                uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv0 1    0  AE BD uuuv uuuvABC △ 90 C    30 B   2 AC  P AB PB PC uuv uuuv3,2 7  C CB CAx y  0,0 C   0,2 A 2 3,0 BAB12 2 3x y   , P x y 23xy  0 2 3 x    2 3 , PB x y   uuv  , PC x y   uuuv   2 222 3 2 2 PB PC x y    uuv uuuv22 2 24 4 8 3 12 4 4 2 8 3 123xx y x x x           

 , 由 ,可得 的最小值为√ 3

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