教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第11章算法初步与统计单元测试卷

第十一章　单元测试卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．若某算法的程序框图如下图所示，则输出S的值是(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．24 C．120 D．840 答案　C 解析　这是一个循环结构，循环的结果依次为：i＝2，S＝2；
i＝3，S＝6；
i＝4，S＝24；
i＝5，S＝120，这时i＝5>4，输出120.选C. 2．如下图所示的程序框图表示求算法“2×3×5×9×17”的值，则判断框内可以填入(　　) A．k≤10? B．k≤16? C．k≤32? D．k≤34? 答案　C 解析　由程序框图可得：S＝1×2，k＝3；
S＝1×2×3，k＝5；
S＝1×2×3×5，k＝9；
S＝1×2×3×5×9，k＝17；
S＝1×2×3×5×9×17，k＝33.当k>32时，输出S＝1×2×3×5×9×17，选C. 3．中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2013年至2015年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为(　　) A．36 B．35 C．32 D．30 答案　A 解析　设从30个小品类节目中抽取x个，则有＝，解得x＝9.27＋9＝36，所以样本容量为36. 4．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取的树苗的高度的平均数甲，乙和中位数甲乙进行比较，下面结构正确的是(　　) A.甲>乙，甲>乙 B.甲<乙，甲<乙 C.甲<乙，甲>乙 D.甲>乙，甲<乙 答案　B 解析　从茎叶图可知，甲的数据集中在20－30之间，乙的数据集中在30－40之间，所以甲<乙，甲的中位数为27，乙的中位数为35.5，所以甲<乙． 5．某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下表：
商品种类 服饰鞋帽 家居用品 化妆品 家用电器 购买人数 19 800 9 400 11 600 9 200 为了解顾客对商品的满意度，该网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为(　　) A．198 B．116 C．99 D．94 答案　A 解析　由题意可知抽样比为＝，所以在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷人数为＝198. 6．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　) A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 答案　D 解析　由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45. 7．已知x与y之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　) A.>b′，>a′ B.>b′，<a′ C.<b′，>a′ D.<b′，<a′ 答案　C 解析　本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线(如右图)，由两条直线的相对位置关系可判断<b′，>a′.故选C. 8．给出以下三幅统计图及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况 ②2050年非洲人口大约将达到15亿 ③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 ④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 答案　B 解析　①显然正确；
从条形统计图中可得到，2050年非洲人口大约将达到18亿，②错；
从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，③正确；
由上述三幅统计图并不能得出1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误． 9．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温x(℃) 18 13 10 －1 山高y(km) 24 34 38 64 由表中数据，得到的线性回归方程＝－2x＋ (∈R)，由此估计出山高为72(km)处的气温为(　　) A．－10 ℃ B．－8 ℃ C．－6 ℃ D．－4 ℃ 答案　C 解析　由题意可得＝10，＝40，所以＝＋2＝40＋2×10＝60，所以＝－2x＋60，当＝72时，－2x＋60＝72，解得x＝－6，故选C. 10．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是(　　) A．70,25 B．70,50 C．70,1.04 D．65,25 答案　B 解析　易得没有改变，＝70， 而s2＝[(x＋x＋…＋502＋1002＋…＋x)－482]＝75， s′2＝[(x＋x＋…＋802＋702＋…＋x)－482] ＝[(75×48＋482－12 500＋11 300)－482] ＝75－＝75－25＝50. 11．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为(　　) A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83 答案　A 解析　由频率分布直方图知组距为0.1. 4．3－4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1. 4．4－4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3. 又前4组的频数成等比数列，∴公比为3. 从而4.6－4.7间的频数最大，且为1×33＝27. ∴a＝0.27. 根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87人． 设公差d，则6×27＋d＝87. ∴d＝－5，从而b＝4×27＋(－5)＝78. 12.给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，则在图中判断框中①处和执行框中的②处应填的语句分别为(　　) A．①i＞30，②p＝p＋i B．①i＜30，②p＝p＋i C．①i≤30，②p＝p＋i D．①i≥30，②p＝p＋i 答案　A 解析　因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因为判断框内的条件就是限制计数变量i的，这个流程图中判断框的向下的出口是不满足条件继续执行循环，故应为i＞30.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.故①处应填i＞30；
②处应填p＝p＋i. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；
再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案　0.25 解析　随机产生20组数代表20次试验，其中恰含1,2,3,4中的两个数有191,271,932,812,393共5个，根据随机模拟试验结果该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为＝0.25. 14．在2014年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝－3.2 x＋a(参考公式：回归方程＝bx＋a，a＝－b)，则a＝________. 答案　40 解析　价格的平均数是＝＝10，销售量的平均数是＝＝8，由＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝－b ＝8＋3.2×10＝40. 15.定义一种新运算“⊗”：S＝a⊗b，其运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝________. 答案　1 解析　由框图可知 S＝从而可得 5⊗4－3⊗6＝5×(4＋1)－(3＋1)×6＝1. 16．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；

q：若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；

r：这种血清预防感冒的有效率为95%；

s：这种血清预防感冒的有效率为5%. 则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ①p∧綈q；
②綈p∧q；
③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；
④(p∨綈r)∧(綈q∨s)． 答案　①④ 解析　本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 为了分析某个高三学生的学习态度，对其下一阶段的学习提供指导性建议，现对他前7次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩. 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？ 答案　(1)物理成绩更稳定　(2)约为130分 解析　(1)∵＝100＋＝100， ＝100＋＝100， ∴s＝＝142，∴s＝. 从而s>s，∴物理成绩更稳定． (2)由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到b＝＝0.5，a＝100－0.5×100＝50. ∴线性回归方程为＝0.5x＋50. 当y＝115时，x＝130. 18．(本小题满分12分) 高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组 频数 频率 [85,95) ① ② [95,105) 0.050 [105,115) 0.200 [115,125) 12 0.300 [125,135) 0.275 [135,145) 4 ③ [145,155) 0.050 合计 ④ (1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________，________，________，________；

(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；

(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率． 答案　(1)1,0.025,0.1,1 (2)略 (3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315 解析　(1)随机抽出的人数为＝40，由统计知识知④处应填1；
③处应填＝0.1；
②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；

①处应填0.025×40＝1. (2)频率分布直方图如图． (3)利用组中值算得平均数：
90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；
总体落在[129,155]上的频率为×0.275＋0.1＋0.05＝0.315. 19．(本小题满分12分) 今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图；

(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1. 所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝×＝×＝＝＝. P(ξ＝1)＝×＋×＝×＋×＝＝， P(ξ＝2)＝×＋×＝×＋×＝＝， P(ξ＝3)＝×＝×＝＝， 所以ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3 P 所以ξ的数学期望E(ξ)＝. 20．(本小题满分12分) 通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：
性别与看营养说明列联表　单位：名 男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明 10 20 30 总计 60 50 110 (1)从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？ (2)从(1)中的5名女生中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；

(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ P(K2≥k0) 0.100 0.50 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 K2＝ 答案　(1)3名，2名　(2)　(3)有99%的把握 解析　(1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有×30＝3名，样本中不看营养说明的女生有×20＝2名． (2)设5名女生中看营养说明的为a1，a2，a3，不看营养说明的为b1，b2，则从中随机抽取2名，分别为：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}，{b1，b2}，其中看与不看营养说明的女生各一名的事件有6个，故所求概率为＝. (3)根据题中的列联表得K2＝＝≈7.486，P(K2≥6.635)＝0.010，有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关． 21．(本小题满分12分) 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n1 f1 (45,50] n2 f2 (1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；

(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率． 答案　(1)n1＝7，n2＝2，f1＝0.28，f2＝0.08　(2)略　(3)0.590 4 思路　(1)统计日加工零件数落在区间(40,45]和(45,50]的频数n1和n2，然后计算对应的频率f1和f2；

(2)根据算出频率分布直方图中每一个小长方形的高，完成频率分布直方图；

(3)转化为二项分布计算概率． 解析　(1)由所给数据知，落在区间(40,45]内的有7个，落在(45,50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2. 所以f1＝＝＝0.28，f2＝＝＝0.08. (2)样本频率分布直方图如图． (3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.590 4. 22．(本小题满分12分) 某工厂现有年龄在20－40岁的中青年工人120名，按年龄分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]四组，各组工人人数的统计数据的频率分布直方图如图所示．工厂为进行高效节能技术培训，要求每名工人都要参加A，B两项培训，培训结束后进行考核，各组两项培训考核成绩优秀的人数如表所示，假设两项培训相互独立，两项考核成绩相互之间没有影响． 年龄分组 A项培训成绩优秀人数 B项培训成绩优秀人数 [20,25) 27 16 [25,30) 28 18 [30,35) 16 9 [35,40] 6 4 (1)若用分层抽样的方法从全厂年龄在20－40岁的120名工人中抽取一个容量为40的样本，求各组应分别抽取的人数；

(2)从年龄在[20,25)和[30,35)的工人中各随机抽取1人，设这2人中A、B两项培训考核成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)． 答案　(1)12,14,8,6　(2) 解析　(1)由频率分布直方图可知，年龄在[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]的人数的频率分别为0.3,0.35,0.2,0.15. 又40×0.3＝12,40×0.35＝14,40×0.2＝8,40×0.15＝6， 所以年龄在[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]的工人中应抽取的人数分别为12,14,8,6. (2)由题设知，年龄在[20,25)的工人人数为120×0.3＝36，从中任意抽取1人，其中A项培训成绩优秀概率为P1＝＝，B项培训成绩优秀的概率P2＝＝， 所以这名工人的A，B两项培训成绩都优秀的概率P＝×＝. 又年龄在[30,35)的工人人数为120×0.2＝24，从中任意抽取1人，其中A，B两项培训成绩都优秀的概率P′＝×＝. X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝， P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝， P(X＝2)＝×＝. 则X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 1.如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(　　) A．i≤2 012? B．i>2 012? C．i≤2 014? D．i>2 014? 答案　C 解析　按照程序框图与已知数据可知此程序框图的功能是计算＋＋＋…＋的值，易知当i≤2 014时，输出S＝＋＋＋…＋，符合要求；
当i>2 014时，程序框图是输出S＝0，不符合要求．故选C. 2.(2013·重庆理)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　) A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8 答案　C 解析　由甲组数据中位数为15，可得x＝5；
而乙组数据的平均数16.8＝，可解得y＝8.故选C. 3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的精确值为(　　) A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5 答案　A 解析　∵＝＝4.5，代入＝0.7x＋0.35，得 ＝3.5，∴t＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3.故选A. 注：本题极易将x＝4，y＝t代入回归方程求解而选B，但那只是近似值而不是精确值． 4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n的值为(　　) A．100 B．1 000 C．90 D．900 答案　A 解析　支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，因此 n＝＝100.