（毕业论文）刘思彤有关四面体中一个恒等式研究

关于四面体中一个恒等式的研究 摘要 在中学教学中,四面体的相关问题常常作为典型题目进行考察,其相关问题也涉及较广,包括等量关系,不等式,体积,面积,最值等.同时四面体中也存在许多的恒等式,各方面学者也对其进行了研究.对于不同类型的恒等式,往往也采取不同的解决方法进行处理、运算,例如通过三角函数法,几何法,代数法等进行解决.本文首先从一个向量恒等式着手,研究向量恒等式的其他解题方法,并对其进行进一步的推广,再利用赋值的方法来研究一些具有代表性的结论.进而在继续研究四面体中的其他恒等式,通过构建向量来进行证明,将向量的各种内容和立体几何相联系.希望得到的结论,和使用方法能够运用到解题过程中,从而提高解题速度,在处理问题上更加快速,简便. 关键词 四面体 恒等式 向量恒等式 向量 Study of an identity in a tetrahedron Abstract In middle school teaching, the related problems of tetrahedron are often investigated as typical problems, and their related problems are also involved in a wide range, including equal relation, inequality, volume, area, maximum value and so on. At the same time, there are many identities in tetrahedron, which are also studied by various scholars. For different types of identities, different solutions are often adopted to deal with and operate, such as through trigonometric function method, geometry method, algebraic method and so on. In this paper, we start with a vector identity and study other methods of solving the vector identity. Then we use the assignment method to study some representative conclusions. Then, we continue to study other identities in tetrahedron, and prove by constructing vector, and relate the contents of vector to solid geometry. Hope that the conclusion, and the use of the method can be applied to the process of problem solving, so as to improve the speed of problem solving, in dealing with the problem more quickly easily. Keywords tetrahedron identity vector identity vector 目 录 引言 1 1. 向量恒等式的类型 1 1.1平面内向量恒等式 1 1.2四面体中向量恒等式 2 1.2.1有关面积外法向量的向量恒等式 2 1.2.2有关体积的向量恒等式 2 2. 四面体中向量恒等式的探究 2 2.1 问题探究1 4 2.2 问题探究2 6 2.3 问题探究3 8 3. 对于四面体中其他恒等式的研究 11 3.1推广问题1 11 3.2推广问题2 12 结论 13 参考文献 14 致谢 15 引 言 四面体是当前数学教学中最具代表性的几何问题,在考试中也常常会考察四面体中的基本性质和特点.对于四面体的研究,国外数学家欧拉受阿基米德海伦公式[1]P120-130的启发使用四面体的棱来表示四面体的体积,而国内最著名的当属杨路教授的《来自四面体的挑战》[2].因为四面体由四个三角形构成,因此四面体和三角形之间存在着很多相关问题,所以三角形的一些结论对于四面体也同样适用或存在着联系.例如余弦、正弦定理在四面体中的推广[3],三角形性质在四面体中的类比[4]等.同样关于四面体中的恒等式,不等式的猜想的证明[5]对各学者有也着浓烈的吸引力,各学者都对此进行了或多或少的研究,采用了不同的方法进行证明.对于四面体中的不等式包含了体积不等式[6],线的不等式[7],代数不等式的三角背景[8]、几何不等式[9]等.对于恒等式的研究方法更是层出不穷,其中对杨路教授提出问题9的证明最多.例如：四面体宽与高的等式[10]、优美恒等式的新证[11],此外恒等式还研究了几何恒等式[12,向量恒等式等.因此对于不同的恒等式也没有固定方法,当然这些研究结论都只是四面体问题中的沧海一粟,对于四面体中恒等式的研究是学无止境的. 关于四面体中的一个向量恒等式,张晓东、李永利采用面积外法向量[13]的方法得到恒等式,孙秀婷、孙帆采用解析法[14]进行梳理进而得到恒等式.本文主要通过一个向量恒等式的提出,对其进行梳理证明,进而推论证明.在文章开始之初,先对张晓东、李永利[13]提出的向量恒等式进行分析,并适当了解.从证明过程中得到一些感悟,在此向量恒等式的基础上,讨论有关系数的向量恒等式,并对其进行研究证明.在此基础上,对四面体进行其他恒等式的推广,将向量与边长,余弦进行联系,把向量和代数巧妙结合,找到两者之间的恒等关系并证明. 有关向量的恒等式在四面体中研究较少,希望通过本文对向量恒等式的探究,发现向量的重要作用,从而能够借助向量来发现四面体中其他恒等式,并在中学数学中,多多利用向量来解决问题,发挥数形结合的思想. 1. 向量恒等式的类型 1.1平面内向量恒等式 蒋新华老师[15]对郭味纯老师[16]提出的向量恒等式进行进一步的推广,将条件范围扩大,得到更普遍的恒等式,从而将向量恒等式应用到证明三角形重心. 定理1.1设是有向线段上任意三点,是平面上任意一点,则成立向量恒等式,其中分别是有向线段的数量.[15] 1.2四面体中向量恒等式 1.2.1有关面积外法向量的向量恒等式 张晓东,李永利提出面积外法向量的定义,并联系三角形面积公式,得到面积外法向量的恒等式,并依照恒等式研究出射影定理和余弦定理在四面体中的结论.（如图1）
图 1 定义1.2.1 设四面体的顶点所对的侧面的面积为,侧面的外法向量为,且=（=1,2,3,4）,则称向量为四面体侧面的面积外法向量.[13] 定理1.2.1 设四面体的顶点所对的侧面的面积为,侧面的面积法向量为（=1,2,3,4）,则.[13] 1.2.2有关体积的向量恒等式 孙秀婷,孙帆提出有关于体积的向量恒等式,将三角形中的性质推广到四面体中,从而建立与体积相关的向量恒等式,并利用恒等式推出四面体中的其他性质. 定理1.2.2 设任一四面体,为坐标原点,是空间任意一点,分别表示四面体的体积.（1）若点在四面体的内部或侧面上,则.（2）若点在四面体的外部且与顶点位于面的两侧,则 .[14] 2. 四面体中向量恒等式的探究 对于四面体中的向量恒等式,张晓东,李永利使用向量,,来表示四面体中的三条棱长,并对各侧面做出外法向量,,,.三角形面积公式在学习过程中学到过很多种方法,最基本的,海伦公式,正弦公式,本题对各侧面积采用三角形正弦定理和向量叉乘的方法对面积进行表示,例如：.最后得到.[13] 对于本题,应还有其他方法进行解答,我采用了三角形的面积公式[17]的其他方法：海伦公式进行再次证明. 证：设,,, 所以可知：
,,, 在中,三角形的边长使用向量的模进行表示：
, 故得到：
, 两边同时开方得到：
, 同理可得其余各面的表达. 注：四面体中各边由向量进行表示,因此也得到了各边的长度,使用海伦公式充分运用三角形中三边边长,最后经过化简,所得结果与原题方法相同,从不同的角度入手,将向量积与数量积紧密联系,最后得到结果.按照此方法继续运算,可通过海伦公式得到四面体中的余弦定理.对比海伦公式,可以看出使用向量可以简化许多的计算步骤,同时保证计算的周密性. 通过对向量恒等式的研究,进而利用恒等式得到了射影定理和余弦定理在四面体中的结论,并推广到多面体中.本文在此题的基础上,进行了变式,运用同样的方法思考了以下问题. 2.1 问题探究1 定理2.1对于四个实数,若仍有等式成立（不妨设是正实数）,则有. 证：因仍存在 , 所以有: , 两边同时平方得到: , 根据定义1.2.1可得：
,, 因二面角与法向量夹角成互补关系,所以可知：
, 故可得到：
. （1）
（1）若对进行赋值,取,,,,则根据上述恒等式可得：
, 同理: , ,. （2）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面三角形的面积,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得到,,的恒等式. （3）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的高,则根据上述恒等式可得：
,同理可得到,,的恒等式. （4）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的高,则根据上述恒等式可得：
,同理可得到,,的恒等式. （5）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的面积,表示所对顶点对底面所做的高,则根据上述恒等式可得：
,因为,所以恒等式可化为：
, 同理可得到,,的恒等式. （6）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面三角形的周长,则根据上述恒等式可得：
,同理可得到,,的恒等式. 2.2 问题探究2 定理2.2 对于四个实数,若仍有等式成立（不妨设是正实数）,则有 . 证：因为存在：
, 两边同时点乘,得到 , 根据定义1.2.1可得：
=,=, 因二面角与法向量夹角成互补关系,所以可知：
=-, 则得到：
, 即得: , 等式两边同时除以,得：
. （2）
注：两个平面所形成的二面角与法向量之间的关系：因为二面角夹角的取值范围在,故与法向量夹角无非两种：相等或者互补,根据图形的真实情况再继续判断. （1）若对进行赋值,取,,,,则根据上述恒等式 可得：
, 同理 , , . （2）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面三角形的面积,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得,,的恒等式. （3）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的高,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得,,的恒等式. （4）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的高,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得,,的恒等式. （5）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的面积,表示所对顶点对底面所做的高,则根据上述恒等式可得：
, 因为,所以恒等式可化为：
, 同理可得,,的恒等式. （6）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面三角形的边长,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得到,,的恒等式. 2.3问题探究3 定理2.3对于四个实数,若等式成立（不妨设是正实数）,则有. 证：因为存在：
, 两边同时点乘,得到：
, 因为,故得到, 则原式可变为：
, 根据定义1.2.1可得：
=,=, 因二面角与法向量夹角成互补关系,所以可知：
=-, 则可得到：
. （3）
（1）若对进行赋值,取,,,,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得到,,的恒等式. （2）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面三角形的面积,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得,,的恒等式. （3）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的高,则根据上述恒等式可得：
, 因为,所以恒等式可化为：
,同理可得,,的恒等式. （4）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的高,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得,,的恒等式. （5）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面的面积,表示所对顶点对底面所做的高,则根据上述恒等式可得：
由四面体体积公式可知：
, 所以恒等式可化为：
, 同理可得,,的恒等式. （6）若对进行赋值,取,,,,其中表示四面体中各面三角形的边长,则根据上述恒等式可得：
, 同理可得,,的恒等式. 以上三个问题对带有系数的向量恒等式进行探究,发现可以通过恒等式间接得到一些结论.其中通过对进行平方,利用向量的数量积、向量的向量积的运算方式,充分将向量的有关知识融合到题目的探究中来发现结论.借助面积外法向量这一新的定义来发现四面体中蕴含的其他恒等式,并运用向量的方法来证明结论.对进行赋值,带入一些具有几何意义的字母,从而发现一些具有代表性的结论,以便运用到四面体中的解题中来. 通过以上三个问题的探究发现结论与原题的结论有着相应的联系,并有迹可循.在证明过程中都运用到几何中所学的知识,很好的将向量的内积、外积的计算与立体图形建立联系,并与立体图形中二面角进行正、余弦值的转换,最后得到结论,充分运用了数形结合的思想.在证明过程中发现问题探究一、问题探究二与四面体中的射影定理,余弦定理也存在着系数的相关联系.也发现了向量法在问题处理上简便,为解决问题提供了一个新的方法. 3. 对于四面体中其他恒等式的研究 3.1推广问题1 定理3.1 在四面体中,对棱与的夹角为,则得 . 证：因为在封闭曲线内,所以得到：
, 通过移项和向量正负的变换,得到：
, , 两边进行平方,化简得：
, 移项：
, 进行变形：
. （4）
本推论使用向量的基本性质,并进行向量的转换,发现向量与余弦的相关联系.将向量与立体几何的相关要素结合,发现四面体中关于向量的其他恒等式,不再仅仅拘泥与四面体中代数的关系,更好的将向量的思想运用到立体图形中. 3.2推广问题2 定理3.2 设 ,,,且. ,,,且. ,,,且 . ,,,且 . 则四面体中任意两条相邻的棱的数量积的和等于各边长平方的和,即：
（如图一）. 证：在三角形中,使用余弦定理得到：
, 故得：
, 同理可得：
, , 则得到：
, 同理可得其他顶点的数量积的和：
, , , 则有：
. （5）
本推论利用构建向量数量积,与余弦定理相结合,借用研究四边形中的恒等式的方法对四面体进行推论,把数量积和边长联系起来.充分利用三角形中的有关性质来解决四面体中问题,从而得到结论. 以上的两个推论借助四面体的结构特点和三角形有关性质与向量的模相结合来研究四面体中不同层次的恒等式,一个构建向量与边长相联系,一个与余弦值相联系.充分的利用向量有关知识,和立体几何的相关性质,并与三角形进行联想,来解决四面体中的问题. 结 论 本文从一个关于四面体中的恒等式入手,围绕使用向量的方法进行研究,以此来研究四面体中的一些恒等式.文章首先从一个关于四面体中面积外法向量的已知向量恒等式出发,其次对恒等式借助变式来研究其的一般形式,进而将四面体中的问题也得到推广,并且借助其中的定义、方法对四面体进行了进一步的探究,发现四面体中更多有趣的恒等式.通过分析发现向量法对于解决四面体中恒等式的作用,通常在解决几何问题时,我们常常将图形与面积,体积等数量结合起来,得到一系列代数恒等式,从而忽略了四面体中其他的恒等式,也忽视了向量这个具有代数、几何双重身份的特殊形式.而对于向量,我们常常把它运用在坐标系、行列式中,使用坐标等进行表示.本文所说的向量恒等式使用向量的各种属性将其与立体几何连接起来,不在把向量的数学思维禁锢在坐标系中,为以后解决问题提供了新的思路.同时发现三角形中的定理大多可以类比到四面体图形中,在以后解决四面体有关问题,可以对三角形的结论进行联想,发现结论. 对于四面体中的向量恒等式我也使用了海伦公式进行了较为简短的证明,在解决过程中发现此方法与原方法两者殊途同归.通过三角形面积的不同表示方式解决问题,将向量与代数更好的融合.随后通过变式,发现含有系数的向量恒等式对于四面体中的相关问题影响甚微,经过向量的数量积、向量积的处理,仍得到相对完整的结论,在以后处理四面体中类似问题时,也会更好的运用.根据推广的问题发现,借助四面体的面积外法向量的定义,可以推广出四面体其他有关面积外法向量的恒等式.利用构造向量的方法表示立体图形的各个要素的公式 ,采用方法仍将代数与向量相结合,找到向量与几何图形之间的恒等式.对于推论的证明方法，例如建立坐标系等以及针对四面体中向量恒等式的其他推论应还有许多,当然因为自己能力有限并没有再接着仔细思考下去,因此在本文中只给出了两个推广定理的证明以及结论,如果读者有兴趣可以再自行进行思考. 参考文献 [1] Morris·Kline. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times[M].上海：上海科技出版社,1979. [2] 杨路. 来自四面体的挑战[J].中学生数学,1987(1):28. [3] 王太东,赵兴凤. 余弦、正弦定理在四面体中的推广[J].数学通讯,2001(9):16-17. [4] 王太东,赵兴凤. 三角形中的一些定理在四面体中的类比[J].中学数学教学参考,2003(9):31-32. [5] 樊益武. 关于四面体一个不等式猜想的证明[J].中学数学教学,2019(1):69-70. [6] 孔令恩. 四面体体积的一个不等式[J].数学通报,1995(7):47. [7] 赵培贤. 关于四面体中线的几个不等式[J].中学数学研究,2006(12):18-20. [8] 江保兵. 几类代数不等式的三角背景[J].中学教研(数学),2019(8):48-50. [9] 杨世国. 关于四面体的一类几何不等式[J].许昌师专学报,2002(2):1-3. [10] 苏化明. 关联四面体的宽和高的一个等式[J].中学数学,1993(4):2+15. [11] 陈思颖,江芹,肖慧. 一个优美的四面体恒等式的新证[J].中学生数学,2017(3):41+39. [12] 张晗方. 一个几何恒等式的推广及其应用[J].中学数学,2000(5):40-41. [13] 张晓东,李永利. 关于四面体的一个向量恒等式[J].平顶山师专学报,2003(2):46-48. [14] 孙秀亭,孙帆. 关于四面体的一个向量恒等式及其推论[J].平顶山学院学报,2006(2):53-55. [15] 蒋新华. 向量恒等式的推广[J].中学生数学,2010(3):25,23. [16] 郭味纯. 一个向量恒等式及其应用[J].中学生数学,2009(5):28. [17] 薛晋军. 三角形的面积公式及推导[J].中学数学教学参考,2018(12):46-47.