立体几何变式题

　 《立体几何》变式题

　1．（人教A版，必修2．P17．第4题）

　图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

　变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm）

　（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

　（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

　（Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求．

　解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示．

　（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

　由于底面的高为1，所以．

　故所求全面积

　　．

　这个几何体的体积

　（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．

　在中，，

　故．

　2．（人教A版，必修2，P20．例3）

　如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

　变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）．

　（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；

　（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．

　解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．

　（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）．

　所以所求表面积，

　所求体积．

　变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）．

　（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

　（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

　（Ⅲ）设异面直线、所成角为，求．（理科考生）

　解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．　

　（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．

　由，，

　可得．

　故所求几何体的全面积

　所求几何体的体积

　（Ⅲ）由，且，可知，

　故为异面直线、所成的角（或其补角）．

　由题设知，，

　取中点，则，且，

　．

　由余弦定理，得

　　．

　3．（北师大版．必修2．P31．第4题）

　如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形

　变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．

　（Ⅰ）试判断四边形的形状；

　（Ⅱ）求证：平面平面．

　解（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．

　∵、分别是和的中点，

　∴，

　在正方体中，有

　，　∴，

　∴四边形是平行四边形，

　∴．

　又、分别是、的中点，

　∴，

　∴四边形为平行四边形，

　∴．

　故．

　∴四边形是平行四边形．

　又≌，

　∴，

　故四边形为菱形．

　（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，

　∴．

　在正方体中，有

　，

　∴平面．

　又平面，

　∴．

　又，

　∴平面．

　又平面，

　故平面平面

　4．（人教A版，必修2，P74．例2）

　如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角．

　变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．

　（Ⅰ）求证：平面；

　（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．

　解：（Ⅰ）如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．

　∴．

　设，则．

　∵，∴．

　∴，∴，．

　又，

　∴且．

　∴且．

　∴且．∴平面．

　（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，又，

　∴．

　∴与平面所成角的正弦值为．

　5．（人教A版，必修2，P87，第10题）

　如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．

　变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．

　（Ⅰ）求证：平面；

　（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

　变式题5－1，如图5，已知平面，

　且是垂足．

　（Ⅰ）求证：平面；

　（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

　解（Ⅰ）因为，所以．同理．

　又，故平面．

　（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．

　因为平面，所以，

　所以是二面角的平面角．

　又，所以，即．

　在平面四边形中，，

　所以．

　故平面平面．

　变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．

　为垂足，为垂足．

　（Ⅰ）求直线与所成角的大小；

　（Ⅱ）求四面体的体积．

　解：（Ⅰ）如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）．

　因为．

　所以．同理．

　又与平面、所成角为，所以，，所以，．

　在中，，从而．

　因为，且为平行四边形，

　所以．

　又，所以．

　故平面，从而．

　在中，．

　所以，

　即直线与所成角的大小为．

　（Ⅱ）在中，，所以．

　三角形的面积，

　故四面体的体积

　．

　6．（人教A版，必修2，P87，B组第1题）

　如图5，边长为2的正方形ABCD中，

　（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．

　（2）当时，求三棱锥的体积．

　变式题．如图5－1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．

　（Ⅰ）求证：；

　（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

　解（Ⅰ）在中，，

　在中，，

　∵，

　∴．

　∵平面平面，且交线为，

　∴平面．

　∵平面，

　∴．

　（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，

　∵，

　∴平面，

　∵平面，

　∴平面平面，且交线为，

　如图6－2，作，垂足为，则平面，

　连结，则是直线与平面所成的角．

　由平面几何的知识可知，∴．

　在中，，

　在中，，可求得．

　∴．

　∴直线与平面所成的角的正弦值为．

　1

　俯视图

　侧视图

　正视图

　图1

　俯视图

　侧视图

　正视图

　图1－1

　侧视图

　正视图

　图2

　俯视图

　侧视图

　正视图

　俯视图

　图2－1

　正视图

　侧视图

　俯视图

　图2－3

　图3

　图3－2

　图1－2

　图2－2

　图2－4

　图3－1

　图4

　图4－2

　图4－1

　图5

　图5－1

　图5－2

　图6

　图6－1

　图6－2