2016全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)

2016年普通高等学校招生全统一考试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）
设集合，，则 (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）
(C) [3,+）
(D)（0，2] [3,+）
（2）
若，则 （A）
（B）
（C）
（D）
（3）
已知向量BA，BC，则 （A）30° （B）45° （C）60° （D）120° （4）
某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 （A）各月的平均最低气温都在0℃以上 （B）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D）平均最高气温高于20℃的月份有5个 （5）
若 ，则 （A）
（B）
（C）
（D）
（6）
已知，，，则 （A）
（B）
（C）
（D）
（7）
执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的 （A）3 否 是 n=0，s=0 输入a,b 输出n 开始 结束 a=b-a b=b-a a=b+a s=s+a,n=n+1 s>16 （B）4 （C）5 （D）6 （8）
中，，边上的高等于，则 （A）
（B）
（C）
（D）
（9）
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A）
（B）
（C）
（D）
（10）
在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球．若，，，，则的最大值是 （A）
（B）
（C）
（D）
（11）
已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左,右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 （A）
（B）
（C）
（D）
（12）
定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意 ，中0的个数不少于1的个数 . 若m=4，则不同的“规范01数列”共有 （A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）
若满足约束条件则的最大值为 ． （14）
函数的图像可由函数的图像至少向右平移 个单位长度得到． （15）
已知为偶函数，当时, ，则曲线在点处的切线方程是 ． （16）
已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）
（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，其中． （I）证明是等比数列，并求其通项公式；

（II）若 ，求． （18）
（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：
参考数据：
参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘数估计公式分别为：． （19）
（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （20）
（本小题满分12分）
已知抛物线C：焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点． （Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． （21）
（本小题满分12分）
设函数，其中，记的最大值为． （Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）证明． 请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC,PD分别交AB于E,F两点. （Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD． （23）
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．　 （Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标. （24）
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数.当时，，求的取值范围. 2016年全国卷Ⅲ高考数学（理科）答案 一、选择题：
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 二、填空题：
（13）
（14）
（15）
（16）4 三、解答题：
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，学科.网于是． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． （18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ，，， ， . 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，学科.网由题意知， ，，，， ，，. 设为平面的法向量，则，即，可取， 于是. （20）解：由题设.设，则，且 . 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 （Ⅰ）由于在线段上，故. 记的斜率为，的斜率为，则 . 所以. ......5分 （Ⅱ）设与轴的交点为， 则. 由题设可得，所以（舍去），. 设满足条件的的中点为. 当与轴不垂直时，由可得. 而，所以. 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分 （21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）． （Ⅱ）当时， 因此，． ………4分 当时，将变形为． 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为． 令，解得（舍去），． （ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以． （ⅱ）当时，由，知． 又，所以． 综上，．　　　………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 当时，. 当时，，所以. 当时，，所以. （22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）连结，则. 因为，所以，又，所以. 又，所以， 因此. （Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此. （23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值， 即为到的距离的最小值，. ………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 （24）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当时，. 解不等式，得. 因此，的解集为. ………………5分 （Ⅱ）当时， ， 当时等号成立， 所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以的取值范围是. ………………10分