《电子科技大学微积分试题及答案》

　电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题 2 分) 1、设 x   定义域为（1,2），则 lg x   的定义域为（）

　A、（0,lg2）

　B、（0，lg2 

　C、（10,100）

　 D、（1,2）

　2、x=-1 是函数 x   = 221x xx x的（）

　A、跳跃间断点

　B、可去间断点

　C、无穷间断点 D、不是间断点 3、试求02 4limxxx 等于（）

　A、 14

　B、0

　 C、1

　 D、 

　4、若 1y xx y  ，求 y 等于（）

　A、22x yy x

　B、22y xy x

　C、22y xx y

　D、22x yx y 5、曲线221xyx的渐近线条数为（）

　A、0

　 B、1

　 C、2

　D、3 6、下列函数中，那个不是映射（）

　A、2y x 

　( , ) x R y R  

　 B、2 21 y x   

　C、2y x 

　D、 ln y x 

　( 0) x 

　二、填空题（每题 2 分）

　1、211 x y= 的反函数为 __________ 2、、2( 1 )) l i m ()1xn xf x f xnx设 （ ，则 的间断点为 __________ 3、21lim 51xx bx ax 已知常数 a、b, ，则此函数的最大值为 __________ 4、26 3 y x k y x k     已知直线 是 的切线，则 __________ 5、 ln 2 1 11 x y y x    求曲线 ，在点（，）的法线方程是 __________ 三、判断题（每题 2 分）

　1、221xyx函数 是有界函数

　 (

　 ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件

　 (

　 ) 3、 lim  若 ，就说 是比 低阶的无穷小

　(

　 ) 4、 可导函数的极值点未必是它的驻点

　 (

　 ) 5、 曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点

　(

　 ) 四、计算题（每题 6 分）

　1、1sinxy x  求函数

　的导数

　2、21( ) arctan ln(12f x x x x dy    已知 ），求

　3、2 32 6 x xy y y x y     已知 ，确定 是 的函数，求

　4、20tan sinlimsinxx xx x求

　5、31 )dxx x 计算（ 6、210lim(cos ) xxx计算

　五、应用题 1、设某企业在生产一种商品 x 件时的总收益为2) 100 R x x x   （ ，总成本函数为2( ) 200 50 C x x x    ，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8 分）

　2、描绘函数21y xx  的图形（12 分）

　六、证明题（每题 6 分）

　1、用极限的定义证明：设01lim ( ) , lim ( )xxf x A f Ax  则

　2、证明方程 1 0,1xxe  在区间（ ）内有且仅有一个实数

　一、 选择题 1、C

　2、C

　 3、A

　 4、B

　 5、D

　6、B 二、填空题

　1、 0 x 

　 2、 6, 7 a b   

　 3、18

　4、3

　 5、 2 0 x y   

　三、判断题 1、 √

　2、×

　3、√

　4、×

　5、× 四、计算题 1、

　1sin1sin1sin ln1sin ln22))1 1 1 1cos ( )ln sin1 1 1 1( cos ln sin )xxxxxxy xee xx x x xx xx x x x          （（ 2、 2 2( )1 1 2(arctan )1 21arctandy f x dxxx x dxx xxdx     3、 解：

　 2222)2)2 2 2 3 02 32 3(2 3 )(2 3 (2 2 )(2 6 )(2 3x y xy y yx yyx yy x y x y yyyx y               4、 解：

　222 30 00 tan sin ,1 cos21tan (1 cos ) 12lim limsin 2x xxx x x x xx xx xx x x    当 时，原式= 5、 解：

　6 652 3222226 6,61 )611 16116 (1 )16 6arctan6 6arctanx x tdx tt ttttttt t Cx x C      令t=原式（ 6、 解：

　2201lncos01lim lncos20200012lim1lim lncoslncoslim1( sin )coslim2tan 1lim2 2xxxxxxxxxxeexxxxxxxxxe    原式其中：原式

　五、应用题 1、解：设每件商品征收的货物税为 a ，利润为 ( ) L x

　2 22( ) ( ) ( )100 (200 50 )2 (50 ) 200( ) 4 5050( ) 0, , ( )4(50 )41(50 2 )410 25 0225L x R x C x axx x x x axx a xL x x aaL x x L xa aaxT aT a Ta                          令 得 此时 取得最大值税收T=令 得当 时，T取得最大值 2、 解：

　   2330 0, 012102220 1D xy xxy xyxy x             ， 间断点为令 则令 则 x

　( , 1)  

　1 

　( 1,0) 

　0 310,2    312 31( , )2

　y

　

　

　

　 

　0 

　y

　

　0 

　 

　

　

　y

　↘ 拐点 ↘ 无定义 ↘ 极值点 ↗

　渐进线：

　032limlim 0 01limxxxy yy x yy xyx x     无水平渐近线是 的铅直渐近线无斜渐近线

　图象 六、证明题 1、 证明：

　lim ( )0, 0( )1 1 101( )1lim ( )xxf x AMx M f x Ax MM M xf Axf Ax          当 时，有取 = ，则当0 时，有即

　2、 证明：

　 ( ) 1( ) 0,1(0) 1 0, (1) 1 00,1 ( ) 0, 1( ) ( 1) 0, (0,1)( ) 0,11 0,1xxxf x xef xf f ef ef x x e xf xxe               令在（ ）上连续由零点定理：至少存在一个 （ ），使得 即又则 在 上单调递增方程 在（ ）内有且仅有一个实根