湘教版数学七年级下册全册教案（2021年春修订）

湘教版数学七年级下册 全册教案设计 2021-1-24 第1 章 二元一次方程组 1.1 建立二元一次方程组 【知识与技能】 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；

2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；

3.能根据问题情境列二元一次方程组. 【过程与方法】 通过概念的形成过程，发展分析问题、解决问题、归纳概括的能力；
在经历分析实际问题中数量关系的过程中，体会方程是刻画现实世界的数学模型. 【情感态度】 通过对情境问题的观察、思考，激发学习数学的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 【教学重点】 二元一次方程组和它的解的概念. 【教学难点】 二元一次方程组的解的概念. 一、情境导入,初步认识 1.什么是一元一次方程？ 方程的 ，只 ，并且 ，这样的方程叫做一元一次方程. 2.等式的基本性质. （1）等式的两边都 或都减去 的数或式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以或都 同一个不为 的数或式，所得结果仍是 . 3.下面各式中是一元一次方程的有哪些？ （1）2x+3 （2）2x-5=1 （3）+3=0 （4）+x=2 4.判断下列x的值是不是方程2x+1=7-x的解. （1）x=-2 （2）x=2 【教学说明】通过对一元一次方程的有关知识的复习，为本节课的教学作铺垫. 二、思考探究，获取新知 探究1:二元一次方程的概念 问题：小亮家今年1月份的水费和天然气费共60元，其中天然气费比水费多20元，你知道天然气费和水费各是多少吗？ 1.若设小亮家1月份总水费为x元，则天然气费为 元.可列一元一次方程为 ，做好后交流，并说出是怎样想的？ 2.想一想，是否有其它方法？（引导学生设两个未知数）. 设小亮家1月份的水费为y元，天然气为x元. 列出满足题意的方程， x+y=60①， x-y=20②. 3.观察所列的方程①、②，和我们以前学过的一元一次方程有什么不一样？各含几个未知数？含未知数的项的次数是多少？你能给这样的方程取个名字吗？ 【归纳结论】 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程. 探究2：二元一次方程组 在方程①、②中，x都表示1月份的天然气费，y都表示1月份的水费，所以它们必须同时满足方程①、②，因此把方程①、②用大括号联立起来，得：
像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程（或一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫做二元一次方程组. 探究3：二元一次方程组的解 把x=40，y=20代入方程组的每一个方程中，每一个方程左、右两边的值相等吗？ 【归纳结论】 在一个二元一次方程组中，使每一个方程组的左、右两边都相等的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解. 我们把叫做的一个解， 把求方程组的解的过程叫做解方程组. 【教学说明】讲方程组的一个解的概念，强调方程组的解是相关的一组未知数的值，这些值是相互联系的，而且要满足方程组中的每一个方程，写的时候也要象写方程组一样用“｛ ”括起来. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P4例题. 2.下列方程中，属于二元一次方程的是（ B ）
A．xy-7＝1 B．2x-1＝3y+1 C．4x-5y＝3x-5y D．3x-=1 3.下列方程组是二元一次方程组的是（ D ）
6.由x+2y＝4，得到用y表示x的式子为x＝4-2y；
得到用x表示y的式子为y＝. 7.若 x=2，y=-1是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则2a-b-6的值是-8. 8.已知x=2，y=3是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组. 解：答案不唯一，现举一例：
∵x＝2，y＝3， ∴x+y＝2+3＝5，2x+y＝2×2+3＝7， ∴x+y=5 2x+y=7就是所求的一个二元一次方程组． 9.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组． （1）甲数的比乙数的2倍少7；

（2）摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是200km/h；

（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元． 解：（1）设甲数为x，乙数为y，则 x－2y=－7． （2）设摩托车的速度为x km/h，货车的速度为y km/h，则 （3）设时装的价格为x元/件，皮装的价格为y元/件，则 【教学说明】让学生在课后进行练习巩固，对新学习的知识进行进一步的巩固. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第5页“习题1.1”中第3 、4 题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节从学生感兴趣的问题入手，意在让学生经历一个实际背景，激发了学生自主探究数学问题、体验发现问题的乐趣.学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组，初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系.在本节课的学习中让学生学会自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、总结归纳等.使学生从学会转变为会学.本节课，学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是与老师一起站在探究者的角度深入其境，体验探究的氛围与真谛. 1.2 二元一次方程组的解法 1.2.1 代入消元法 【知识与技能】 会用代入消元法解简单的二元一次方程组. 【过程与方法】 经历探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法. 【情感态度】 通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；
在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识. 【教学重点】 用代入消元法解二元一次方程组. 【教学难点】 探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想. 一、情境导入，初步认识 在上节课中，我们列出了二元一次方程组，并知道是这个方程组的一个解，这个解是这样得到的呢？ 【教学说明】通过建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的最近“发展区”，愉悦地接受教学活动. 二、思考探究，获取新知 探究：解二元一次方程组 1.对于方程组方程①、②中的x都表示1月份的天然气费，y都表示1月份的水费，由此方程②中的x、y分别与方程①中的x、y的值相同. 由②式可得，x=y+20 ③. 于是可以把③代入①式，得 （y+20）+y=60 ④ 解方程④，得 y=20， 把y的值代入③式，得x=40， 因此原方程组的解是 2.解方程 解：把②代入①，得 2y-(3y-1)=7 解得y= -6 把y= -6代入②中，得 x= -19. 所以原方程组的解为 【归纳结论】 解二元一次方程组的基本想法是：消去一个未知数（简称为消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程. 在上面的例子中，消去一个未知数的方法是：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 3.解方程组 观察分析此方程组与2中的方程组在形式上的差别. 易知2的方程组中直接将一个方程移项后代入另外一个方程, 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1,不能直接代入， 这时怎么办呢? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数?显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成例1的形式；
另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边 ,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的 . 显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见①比较简单, 所以将方程①中的x用y来表示 . 解：由①, 得 x=4+y，③ 将③代入②, 得 3(4+y)-8y-10=0, y=-0.8 . 将y=-0.8代入③, 得 x=1.2. 所以方程组的解是x=1.2，y=-0.8. 【教学说明】这里是先消去x ,得到关于y的一元一次方程 ,可不可以先消去y呢?(让学生试一试, 并比较两种解法的优劣. 易知先消去x使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.) 由上面的解题过程，你能总结出用代入法解二元一次方程组的步骤吗？ 【归纳结论】 代入法解二元一次方程组的步骤：
(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一未知数的代数式表示． (2)把这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值． (3)把这个未知数的值代入代数式，求另一未知数的值. (4)写出方程组的解. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P7例2. 2.方程-x+4y=-15用含y的代数式表示x是（ C ）
A．-x=4y-15 B．x=-15+4y C．x=4y+15 D．x=-4y+15 3.将y=-2x-4代入3x-y=5可得（ B ）
A．3x-2x+4=5 B．3x+2x+4=5 C．3x+2x-4=5 D．3x-2x-4=5 4.见教材P7例1. 5.用代入法解方程组有以下过程：
（1）由①得x= ③；

（2）把③代入②得3×-5y=5；

（3）去分母得24-9y-10y=5；

（4）解之得y=1，再由③得x=2.5.其中错误的一步是（ C ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
6.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式: (1) 3x+4y－1=0；

(2)5x－2y+9=0 分析:即将方程作适当的变形, 把含有y的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把y的系数化1. 【教学说明】通过不同题型考察代入法解方程组，从而加强对所学知识点的巩固提高，加深对所学知识的理解与应用. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第12页“习题1.2”中第1题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本课按照“数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的代入消元法——典型例题——归纳代入法”的一般步骤的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，将发现知识的过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的. 1.2.2 加减消元法 第1课时 加减消元法 【知识与技能】 1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；

2.会用加减法解简单的二元一次方程组． 【过程与方法】 在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验. 【情感态度】 培养学生观察、归纳、类比、联想以及分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 学会用加减法解简单的二元一次方程组. 【教学难点】 准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组. 一、情境导入，初步认识 1.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 2.用代入法解方程组的关键是什么？ 3.你会解下面这个方程组吗？ 3x+5y=5，① 3x-4y=23.② 【教学说明】由问题导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了学生的学习热情，对学生探究新知起到很好的推动作用，让学生发表自己的见解，又培养了学生的数学语言表达的能力，发挥了学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上. 二、思考探究，获取新知 1.解方程组 我们可以用代入法来解这个方程组.你还有没有更简单的解法呢？ 我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知数，使方程组转化为一元一次方程. 分析方程①、②，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方程. 即①-②，得 2x+3y-(2x-3y)=-1-5， 解得6y=-6，y=-1. 把y=-1代入①中，得2x+3×(-1)=-1 解得x=1， 因此原方程组的解是 解上述方程组时，在消元的过程中，如果把方程①与方程②相加，可以消去一个未知数吗？试着做一做. 2.解二元一次方程组 看一看：y的系数有什么特点？ 想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 解：①+②，得7x+3y+2x-3y=1+8 解得x=1. 把x=1代入①式，得7×1+3y=1， 解得y=-2. 因此原方程组的解是x=1，y=－2. 【归纳结论】 将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法． 3.讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法？什么条件下用减法？ 【教学说明】这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础. 【归纳结论】 当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的． 4.用加减法解二元一次方程组：
问题：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？ 解：①×3，得6x+9y=-33，③ ②-③, 得-14y=42， 解得y=-3， 把y=-3代入①式，得 2x+3×(-3)=-11， 解得x=-1. 因此原方程组的解是x=-1，y=-3. 如果先消去y应如何解？会与上述的结果一样吗？试着做一做. 【教学说明】通过练习使学生掌握用加减法解二元一次方程组. 三、运用新知，深化理解 【教学说明】通过这一系列有层次、有梯度、形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地选择准确的加减法完成二元一次方程组的求解，并能在解答的过程中摸索运算技巧，培养计算能力和观察问题、分析问题与解决问题的能力. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第10页“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；
加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法.虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”． 第2课时 选择适当方法解二元一次方程组 【知识与技能】 会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 【过程与方法】 通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 【情感态度】 通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法. 【教学重点】 会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 【教学难点】 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 一、情境导入,初步认识 1.代入法解二元一次方程组的步骤是什么？ 2.加减法解二元一次方程组的步骤是什么？ 3.代入法、加减法的基本思想是什么？ 4.我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？ 【教学说明】既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知 加减消元法和代入消元法是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过消去其中一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解，只是消元的方法不同.我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择适当的消元方法. 1.解二元一次方程组：
这两个方程不能直接消去m或n，能不能使两个方程中某个未知数的系数相反或相等呢？ 解：①×10，得2m-5n=20.③ ②-③，得3n-(-5n)=4-20. 解得n=-2. 把n=-2代入②中，得2m+3×(-2)=4， 解得m=5. 因此原方程组的解是m=5，n=-2. 2.解二元一次方程组：
解：①×4，得12x+16y=32，③ ②×3, 得12x+9y=-3，④ ③ -④, 得16y-9y=32-(-3)， 解得y=5. 把y=5代入①式中， 得3x+4×5=8， 解得x=-4. 因此原方程组的解是x=-4，y=5. 3.分别用代入法、加减法解二元一次方程组 解：代入法：
由①得 x= ③, 把③代入②中，得5y-7×=5, 解得y=-6. 把y=-6代入③中，得x=-5. 所以原方程组的解为：x=-5,y=-6. 加减法: ① ×5得10x-15y=40,③ ②×3得：
15y-21x=15,④ ③+④得-11x=55. 解得：x=-5.把x=-5代入①中，得y=-6. 所以原方程组的解为：
x=-5,y=-6. 观察上面的解题过程，回答下列问题：
①代入法和加减法有什么共同点？ ②什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？ 【归纳结论】 ①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”；
②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单. 【教学说明】通过学生自学、对比、讨论以及互帮互助.既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P12例7. 【教学说明】 通过练习，使学生熟练地用代入法、加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第12页“习题1.2”中第2、3、7 题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课是让学生学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法 .在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想 .因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析并总结出在解二元一次方程组时，根据方程组的特点选择恰当的方法. 1.3 二元一次方程组的应用 第1课时 用二元一次方程组解决较为简单的实际问题 【知识与技能】 1.通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；

2.能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义. 【过程与方法】 教师引导学生的自主探索，体会把实际问题转化到数学方程问题的数学思想方法，加强知识的综合运用，培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 使学生体验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，提高学生探索的精神与能力. 【教学重点】 把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立. 【教学难点】 在实践探索中寻找解题方案. 一、情景导入，初步认知 “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？” 你知道这四句话的意思吗？你能应用所学知识解决这个问题吗？ 分析：本题涉及的等量关系有：
鸡头数+兔头数= 鸡的腿数+兔子的腿数= 解：设鸡有x只，兔子有y只，根据等量关系，得 答：笼中有23只鸡，12只兔. 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练，某次训练中，他骑自行车的平均速度为10米每秒，跑步的平均速度为103米每秒，自行车路段和长跑路程共5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度. 分析：本题涉及的等量关系有：
自行车路段长度+长跑路段长度=总路程. 骑自行车的时间+长跑时间=总时间. 解：设自行车路段的长度为xm,长跑路段长度为ym，依题意得：
答：自行车路段和长跑路段的长度分别为3000米、2000米. 2.某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100千克，现在有含蛋白质分别为20%、12%的甲、乙两种配料，用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 分析：本问题涉及的等量关系有：
甲配料质量+乙配料质量=总质量， 甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量. 解：设含蛋白质20%的配料需要xkg,含蛋白质12%的配料需要ykg，依题意，得 答：可以配制出所要的食品，其中20%的配料需要37.5千克，12%的配料需要62.5千克. 3.根据上面的两个例题，你能总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？ 【归纳结论】 用二元一次方程组解实际问题的步骤：
(1)审题，分析题目中的已知与未知；

(2)找出数量关系；

(3)设未知数列方程组；

(4)求解方程组；

(5)检验；

(6)写出答案. 【教学说明】感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性. 三、运用新知，深化理解 1.如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米依题意得 答：小长方形的长是36厘米，宽是12厘米. 2.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；
现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？ 解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得 答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天. 3.甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；
如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？ 解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，依题意得 答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒. 4.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元. (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 解：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得 答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元. (2)在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%=361.6(元). 因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买. 在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：360＋2＝362(元). 因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买. 因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱. 【教学说明】让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第18页“习题1.3”中第1、2、3、4、5题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；
反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系. 第2课时 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 【知识与技能】 1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体事例情境发现,提出数学问题的能力；

2.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题. 【过程与方法】 通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型. 【情感态度】 通过在解决实际问题的过程中同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的合作意识. 【教学重点】 1.学生积极参与讨论和探究问题；

2.抽象出数学模型. 【教学难点】 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题. 一、情景导入，初步认知 通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗?其中什么是关键? 【教学说明】采用提问的形式，让学生对列二元一次方程组解决实际问题的步骤的复习，为本节课作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m,下坡路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m,则他从家里到学校需要10min,从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ 探究：(1)你能画线段表示本题的数量关系吗？ (2)列方程组；
(在课本第16页填空) (3)解方程组；

(4)检验写出答案. 讨论：本题是否还有其它解法？ 2.某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0至3千米，超过3千米的部分按每千米另收费，甲说“我乘这种出租车走了11千米，付了17元.”乙说“我乘这种出租车走了23千米，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少？超过3千米后，每千米的车费是多少元？ 解：设出租车的起步价x元，超过3km后每千米收费y元，依题意，得 答：这种出租车的起步价是5元，超过3千米后每千米1.5元. 3.某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，其中每包书的数目相等，第一次它们领来这批书的，结果打了14个包还多35本，第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了11包，那么这批书共有多少本？ 解：设这批书共有x本，每包书有y本,依题意得 答：这批书共有1500本. 【教学说明】在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励，鼓励学生进行质问和大胆创新. 三、运用新知，深化理解 1.小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红拼成如下图所示的正方形，但中间还留有一个边长刚好为2mm的小正方形，你能解释一下吗？你能求出这些长方形的长和宽吗？ 分析：①观察小明的拼图你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗？ (根据矩形的对边相等，得3x=5y) ②再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长xmm与宽ymm之间的另一个关系式吗？ (显然有x+2=2y) 8个小矩形的面积和=8xy=8×10×6=480(mm2) 大正方形的面积=x+2y2=10+2×62=484(mm2)484-480=4=22 因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形. 2.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，依题意得 解得x=300，y=200.答：甲、乙两件服装的成本分别为300元、200元. 3.某工厂去年的总产值比总支出多500万元.由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少万元？ 分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：
题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；
(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元. 解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出是y万元，由题意，得 所以(1＋15%)x＝2300，(1－10%)y＝1350. 故今年的总产值是2300万元，总支出是1350万元. 4.要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？ 解：设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，根据题意，得 由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；
如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料. 【教学说明】让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第19页“习题1.3”中第6、7、8、9题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用二元一次方程组来解决实际问题的感受，从中体会到用二元一次方程组来解决实际问题比较方便.再通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.教学效果较好. *1.4 三元一次方程组 【知识与技能】 1.了解三元一次方程组的概念. 2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决. 3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 【过程与方法】 让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”、“加减”消元的方法. 【情感态度】 让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法. 【教学重点】 三元一次方程组的解法及“消元”思想. 【教学难点】 根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元. 一、情景导入，初步认知 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题：
小丽家三口人的年龄之和是80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的，试问这家人的年龄分别是多少？ 对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决.这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？ 【教学说明】通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题. 二、思考探究，获取新知 1.对于上面的问题，我们可以设爸爸的年龄为x,妈妈的年龄为y，小丽的年龄为z，根据题意得：
x+y+z=80, x-y=6, x+y=7z. 三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：
可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1,并且一个共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解. 2.怎样解三元一次方程组呢？ 回忆我们在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？ 对于三元一次方程组，我们能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程求解. 我们把①、②两式相加得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x+z=86.再把②、③两式相加又得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x=6+7z. 由此可得一个关于x、z的二元一次方程组 解这个方程组得 把x=38,z=10代入①式，得38+y+10=80， 解得y=32. 因此，三元一次方程组的解为 3.思考：由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？ 【归纳结论】 解三元一次方程组的步骤：
1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组；

2.解二元一次方程组；

3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数. 【教学说明】结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P22例题. 【教学说明】检查学生是否掌握三元一次方程组的求解. 四、师生互动课堂小结 1.三元一次方程组的概念. 2.三元一次方程组的解法.注意选好要消的“元”，选好要消的“法”. 3.谈谈求解多元一次方程组的思路. 1.布置作业:教材第23页“习题1.4”中第2、4、5题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过本节课的学习能让学生在本节课上了解到三元一次方程组的概念，掌握用“代入法”、“加减法”对三元一次方程组进行消元，并逐步领会如何选择适合的方法，以提高解题效率. 原来本环节的目的是让学生熟练掌握三元一次方程组的解法和调动学生学习的积极性，但因为计算结果比较复杂，学生不敢肯定自己的结果，从而影响了效果. 章末复习 【知识与技能】 1.使学生对二元一次方程、二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解有进一步理解，能熟练准确地用代入法和加减法解二元一次方程组、三元一次方程组；

2.能较熟练地列出一次方程组解简单的应用题. 【过程与方法】 在经历归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法. 【情感态度】 进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法. 【教学重点】 一元一次方程组的解法. 【教学难点】 灵活运用一元一次方程组的解法. 一、知识结构 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系 二、释疑解惑，加深理解 1.二元一次方程的定义：
含有 个未知数，并且含有未知数的 的 方程叫做二元一次方程.理解二元一次方程时特别强调注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是 ，②二元一次方程必须含有 个未知数. 2.二元一次方程组及其解：
把两个含有相同未知数的二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来，组成的方程组，叫做二元一次方程组. 在一个二元一次方程组中，使每一个方程组的左右两边都相等的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解. 3.二元一次方程组的解法：(1) 消元法；
(2) 消元法. (1)代入消元法：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入法解二元一次方程组的方法：
①将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一未知数的代数式表示. ②把这个代数式代替方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值. ③把这个未知数的值代入代数式，求另一未知数的值. ④写出方程组的解. (2)将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.这种解法叫做加减消元法，简称加减法. 4.什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？ 只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单. 5.三元一次方程组概念及其解：
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解. 6.三元一次方程组的解法：
先利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组；
最后将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数. 7.解决实际问题的过程：
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；

(2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称)；

(3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；

(4)列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；

(5)解：解所列方程组，得未知数的值；

(6)答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案(包括单位名称). 归纳为6个字：审、设、找、列、解、答. 【教学说明】从总体上把握本章主要内容及其间的联系，重在回顾整理，查缺补漏. 三、典例精析，复习新知 例6 A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，同向而行,甲车3小时可追上乙车；
相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度. 分析：这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；
有两个相等的关系：
(1)同向而行：甲车3小时的行程=乙车3小时的行程+150千米；

(2)相向而行：甲车1.5小时的行程+乙车1.5小时的行程=150千米. 解：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时. 根据题意，得 答：甲车的速度为75千米/小时，乙车的速度为25千米/小时. 四、复习训练，巩固提高 6.欣欣有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元.甲种贷款每年的利率是12%，乙种贷款每年的利率是13%，求这两种贷款的数额各是多少？ 解：设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元，则 答:甲种贷款42万元，乙种贷款26万元. 7.小花服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？ 解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子才能配套，则 答：用360米生产上衣，240米生产裤子才能配套，共能生产240套. 8.某商场以每件a元购进一种服装，如果规定以每件b元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍可获利润22500元，试求a、b的值. 分析：本题要求a、b的值，只要根据条件列出一个关于a、b的二元一次方程组，题中的相等关系为“降价前每件售价与进价的差乘以降价前售出的件数=利润”；
“降价后每件售价与进价的差乘以降价后售出的件数=利润”；
“降价后售价=降价前售价×(1－20%)”；
“降价后每天售出的件数=降价前每天售出的件数+10”.利用这些关系可表示相应量并列出关于a、b的方程组. 解：根据题意，得 【教学说明】巩固提高. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的复习，你有哪些收获？ 1.布置作业:教材第25页“复习题”中第2、7、9、10题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过课堂上的教学实践，我认为我的教学设计还是比较合理的，基本上达到了预期的目标，学生通过一节课的复习，进一步明确了二元一次方程组及其解的有关概念，二元一次方程组的解法更熟练准确了，学生对于不太复杂的应用性题目均能解决，但对于难度较大的应用性题目，学生的分析能力还有待进一步提高.通过这一节的教学，我有许多感触，事实上，学生的潜能是不可低估的，教师应进一步大胆放手，给学生充分的自由空间，让他们去探索、去研究，这样他们的求知欲望反而会更强烈，积极性和主动性自然会大大提高.第2章整式的乘法 第2章 整式的乘法 2.1 整式的乘法 2.1.1 同底数幂的乘法 【知识与技能】 理解同底数幂的乘法法则，能熟练运用该法则解决与之相关的一些数学问题. 【过程与方法】 经历探索同底数幂乘法运算法则的过程，培养学生观察、猜想、推理和归纳的能力. 【情感态度】 通过同底数幂的乘法法则的探索过程使学生感受到由特殊到一般再到特殊的数学思想，通过合作学习激发学生的探索热情，感受到成功的喜悦. 【教学重点】 同底数幂的乘法法则的探索过程和理解应用. 【教学难点】 同底数幂的乘法法则的理解. 一、情景导入，初步认知 1.乘方：
2.光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？ 【教学说明】 以有趣的天文知识为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，给出问题，启发学生进行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，结合学生现有的有关幂的意义的知识，进行推导尝试，力争独立得出结论. 二、思考探究，获取新知 1.计算下列各式：
(1)102×103 (2)105×108 你发现了什么？ 【教学说明】小组合作探究，对于有的同学可能会由上面的分析感觉到了规律的存在，可鼓励他们进行验证.请部分学生代表说出自己小组的观点，其他组同学则进行评价或发表不同的见解. 2.讨论交流. 观察上面的式子，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？ 4.引导学生剖析法则. (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)你能总结同底数幂的乘法的法则吗？ 【教学说明】猜想，交流，验证，口答. 【归纳结论】同底数幂的乘法的法则：
am·an=am+n(m,n都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P30例1、例2、例3. 5.计算：(结果可以化成以(a+b)或(a－b)为底时幂的形式). (1)(a－b)2·(a－b)3·(a－b)4= ; (2)(a+b)m+1·(a+b)+(a+b)m·(a+b)2= ; 解：(1)(a－b)9; (2)2(a+b)m+2. 6.我国自行研制的“神威”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次.如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次(结果保留3个有效数字)？ 提示：3840亿次=3.84×103×108次、24时=24×3.6×103秒. 解：(3.84×103×108)×(24×3.6×103)=(3.84×24×3.6)×(103×108×103)=331.776×1014≈3.32×1016(次)答：它能运算约3.32×1016次. 【教学说明】给学生充足的思维空间，养成思考习惯，让后进生也能在课堂上体验成功的喜悦；
且该教学活动亦能培养学生仔细观察问题的习惯. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第30页“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本课我采用探究合作教学法进行教学，充分发挥了学生的主体作用，积极为学生创设一个和谐宽松的情境，学生在自主的空间里自由的奔放地想象思维和学习取得较好的效果.在同底数幂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑和推理论证的科学发现过程，也渗透了转化和从特殊到一般的数学辩论思想，充分体现了自主探究的学习方式；
而在巩固深化环节上精心设计开放式题目.通过学生独立思考，小组合作等手段，让学生个个动手、人人参与，充分调动学生学习数学的积极性，同时也使各层次的学生有不同的收获，特别是当时学生的兴奋与激情完全出乎我的预料. 2.1.2 幂的乘方与积的乘方 第1课时 幂的乘方 【知识与技能】 学习幂的乘方的运算性质，进一步体会幂的意义，并能解决实际问题. 【过程与方法】 经历探索幂的乘方运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达能力，提高解决问题的能力. 【情感态度】 体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 会进行幂的乘方的运算. 【教学难点】 幂的乘方法则的总结及运用. 一、情景导入，初步认知 复习已学过的幂的意义及幂的运算法则.1.幂的意义是什么？2.同底数幂的乘法的法则是什么？ 【教学说明】复习同底数幂的乘法，为本节课作准备. 二、思考探究，获取新知 1.计算下列各式，并说明理由. 观察上面的式子，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？ 2.讨论交流. 【教学说明】学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太大，要让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验. 3.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式中的底数之间有什么关系?你能总结这个规律吗？ 【教学说明】培养学生从“一般”到“特殊”再到“一般”的研究问题方法和概括归纳的能力. 【归纳结论】幂的乘方的法则：
(am)n=amn(当m、n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P32例4、例5. 【教学说明】培养学生对新知识的灵活运用能力. 四、师生互动，课堂小结 1.(am)n＝amn(m、n是正整数)，这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；
这里的指数是指幂指数及乘方的指数. 2.对于同底数幂的乘法、幂的乘方，要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：am·an＝am+n，(am)n＝amn).并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯. 1.布置作业:教材第32页“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课的设计意图是让学生以“观察―归纳―概括”为主要线索，在自主探索与合作交流中获得知识，使不同层次的学生都能有所收获与发展.从本节课的教学反馈来看，创设的问题情境激发了学生浓厚的学习兴趣.在老师的引导下，学生时而轻松愉快，时而在观察、计算、思考、交流、总结，思维能力和有条理的语言表达能力得到培养.在亲身体验和探索中认识数学、解决问题，在小结中找出两者的区别，从本质上理解幂的乘方，合作精神得以培养，较好地完成了本节课的教学目标. 第2课时 积的乘方 【知识与技能】 1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义. 2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 【过程与方法】 在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力. 【情感态度】 在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 会进行积的乘方的运算. 【教学难点】 正确区别幂的乘方与积的乘方的异同. 一、情景导入，初步认知 1.复习前几节课学习的有关幂的三个知识点：
①幂的意义; ②同底数幂的乘法运算法则am·an=am+n(m、n为正整数); ③幂的乘方运算法则(am)n=amn(m、n都是正整数). 2.计算. 【教学说明】参与回顾旧知识为新课作准备. 二、思考探究，获取新知 1.计算. 3.从以上的计算中，我们发现了什么？你能自己的语言描述该性质的特点吗？ 【归纳结论】积的乘方的法则 an·bn=(a·b)n(n为正整数) 积的乘方等于每一个因式乘方的积. 4.议一议. 你能计算出(abc)n的结果吗？ 【教学说明】在实践中探索新知，进一步学会总结运算中的规律. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P34例6. 2.计算下列各式，结果是x8的是(D) 【教学说明】在练习中巩固所学知识，体现数学的具体应用. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第34页“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过本节课的学习，发现学生分不清各种运算.对此，没有什么好的方法，只能多练，这是一个熟悉的过程.培养学生把解题后的再构应用到整个数学学习过程中，养成检验、反思的习惯，是提高学习效果、培养能力的行之有效的方法.因此，在不增加学生负担的前提下，要求的作业是每节课后必须进行再构，利用作业的再构给老师提出问题，结合作业做一些合适的反思，对学生来说是培养思维能力的一项有效的活动. 2.1.3 单项式的乘法 【知识与技能】 使学生理解并掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算. 【过程与方法】 通过探究单项式与单项式相乘的法则，培养了学生归纳、概括能力，以及运算能力. 【情感态度】 通过单项式的乘法法则在生活中的应用培养学生的应用意识. 【教学重点】 掌握单项式与单项式相乘的法则. 【教学难点】 分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则. 一、情景导入，初步认知 1.同底数幂的运算法则是什么？ 2.幂的乘方的运算法则是什么？ 3.积的乘方的运算法则是什么？ 【教学说明】通过对整式乘法的3种运算的复习，为本节课单项式的乘法作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.探究：怎样计算4xy与-3xy2的乘积？ 4xy·(-3xy2)=〔4·(-3)〕(x·x)(y·y2) =-12x2y3 通过解决上述问题，如何进行单项式与单项式相乘的运算？ 【教学说明】组织学生先独立思考，再以四人为小组讨论，鼓励学生大胆发表自己的见解，全班共同交流，得出单项式乘法的法则.得出法则后，教师再提出有思维价值的问题，引导学生对探究的过程进行反思，明确算理，体会数学知识之间的联系. 【归纳结论】单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2.在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？学生回答：运用了乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质. 【教学说明】让学生独立思考自主探究，经历知识形成的过程，在探究中发现和总结出规律，获得体验.教师应鼓励学生灵活运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则，并理解算理，在探究的基础上运用自己的语言描述单项式乘法的法则. 3.计算. 三、运用新知，深化理解 1.见教材第35页例9. 2.下列运算正确的是(D) A.a4+a2=a6 B.5a-3a=2 C.2a3·3a2=6a6 D.(-2a)-2= 【教学说明】在学习了单项式乘法法则后，及时通过一组习题和练习帮助学生熟悉法则的应用及每一步的算理，教师应引导学生总结出运用单项式相乘的乘法法则时，注意以下几点：
(1)进行单项式乘法，应先确定结果的符号，再把同底数幂分别相乘，这时容易出现的错误是将系数相乘与相同字母指数相加混淆；

(2)不要遗漏只在一个单项式中出现的字母，要将其连同它的指数作为积的一个因式；

(3)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

(4)单项式乘以单项式，结果仍为单项式. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第40页“习题2.1”中第4、5、6题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 新课程标准下，数学教育的根本任务是发展学生的思维，教材中的难点往往是数学思维迅速丰富、过程大步跳跃的地方，所以在本节课难点教学中既注意了化难为易的效果，又注意了化难为易的过程，在探究法则的过程中设置循序渐进的问题，不断启迪学生思考，发展学生的思维能力，在应用法则的过程中，又引导学生进行解题后的反思，这些将促使学生知识水平和能力水平同时提高. 2.1.4 多项式的乘法 第1课时 单项式与多项式相乘 【知识与技能】 在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义，会进行单项式与多项式的乘法运算. 【过程与方法】 经历探索单项式与多项式乘法法则的过程，理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律的重要作用及转化的数学思想，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 【情感态度】 在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 会进行单项式与多项式的乘法运算. 【教学难点】 灵活运用单项式乘以多项式的运算法则. 一、情景导入，初步认知 1.如何进行单项式乘单项式的运算？你能举例说明吗？ 2.计算：
3.写一个多项式，并说明它的次数和项数. 【教学说明】首先引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则，目的是为探索单项式乘以多项式法则做好铺垫，因为最终我们要将它转化为单项式乘以单项式，所以这里通过问题1、2来进行回顾十分必要.问题3的设置为今天的新课学习奠定基础. 二、思考探究，获取新知 1.探究：怎样计算单项式2x与多项式3x2-x-5的积？ 可以利用乘法的分配律进行计算. 通过上面的计算，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？ 【教学说明】设置问题是让学生获得更充分的体验，为下面顺利归纳单项式与多项式的乘法法则铺平道路 【归纳结论】单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.计算：
【教学说明】要对学生强调注意运算符号. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P37例11. 2.计算：
【教学说明】通过不同难度的练习题，不断促进学生思考，运用所学知识解决新问题，在解决问题的过程中获得能力的提高.教学中，教师可以通过灵活的评价方式，激励学生挑战多星题，培养学生乐于钻研的精神. 四、师生互动，课堂小结 单项式与多项式相乘的步骤：
①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

②转化为单项式的乘法运算; ③把所得的积相加.解题时需要注意的问题：
①单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同；

②单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式；

③单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象；

④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项. 1.布置作业:教材第40页“习题2.1”中第7题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 这一单元的教学是以习题训练为主的，知识前后联系紧密，层层递进，教学时注意选择了有层次的例题和练习，更主要的渗透了类比、转化等重要的数学思想方法.课堂上充分利用学习小组，组织学生开展合作学习，教师通过对小组进行评价，激发学生的竞争意识，让课堂学习更高效. 第2课时 多项式与多项式相乘 【知识与技能】 在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多项式乘法运算. 【过程与方法】 经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 【情感态度】 在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心. 【教学重点】 熟悉多项式与多项式乘法法则. 【教学难点】 理解多项式与多项式相乘的算理. 一、情景导入，初步认知 1.如何进行单项式乘多项式的运算？你能举例说明吗？ 2.计算：
【教学说明】单项式乘以多项式运算是多项式乘以多项式运算的基础，所以帮助学生回忆单项式乘多项式的运算非常重要. 二、思考探究，获取新知 1.有一套居室的平面图如图所示，怎样用代数式表示它的总面积呢？ 学生独立思考后，全班交流，主要产生了3种解法：
居室的平面是一个长方形，长为m+n，宽为a+b，所以总面积为：
(a+b)·(m+n). 北边两间房的面积和为a(m+n)，南边两间房的面积和为b(m+n)，所以总面积为：
a(m+n)+b(m+n).四间房的面积分别为am、an、bm、bn，所以总面积为：am+an+bm+bn. 这三个式子之间有什么关系呢？将3种方法的过程板书到黑板上，由于求的是同一个长方形的面积，于是我们得到：
(a+b)·(m+n) =a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn. 【教学说明】引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想. 观察上面的过程，回答下列问题：
①你能说出(a+b)·(m+n)=a(m+n)+b(m+n)这一步运算的道理吗？ ②结合这个算式(a+b)·(m+n)=am+an+bm+bn你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？ ③归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则. 【归纳结论】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.计算.(1)(2x+y)(x-3y) 解：(2x+y)(x-3y) =2x·x+2x·(-3y)+y·x+y·(-3y) =2x2-6xy+yx-3y2 =2x2-5xy-3y2 (2)(2x+1)(3x2-x-5) 解：(2x+1)(3x2-x-5) =6x3-2x2-10x+3x2-x-5=6x3+x2-11x-5 (3)(x+a)(x+b) 解：(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab 【教学说明】熟悉多项式乘以多项式的运算法则. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P39例13. 2.下列说法不正确的是(D) A.两个单项式的积仍是单项式 B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和 C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同 D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和. 3.下列多项式相乘的结果是a2－a－6的是(B) A.(a－2)(a+3) B.(a+2)(a－3) C.(a－6)(a+1) D.(a+6)(a－1) 4.下列计算正确的是(C) A.a3·(－a2)=a5 B.(－ax2)3=－ax6 C.3x3－x(3x2－x+1)=x2－x D.(x+1)(x－3)=x2+x－3 5.若(x+m)(x+n)=x2－6x+5，则(A) A.m，n同时为负 B.m，n同时为正 C.m，n异号 D.m，n异号且绝对值小的为正 6.要使(x－3)·M=x2+x+N成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则(C) A.M=x－4,N=12 B.M=x－5,N=15 C.M=x+4,N=－12 D.M=x+5,N=－15 7.计算：
(1)(3x+1)(x－2)；

(2)(a2+3)(a－2)－a(a2－2a－2)；

(3)(x－5)(x+2)；

(4)(x+5)(x－2)；

(5)(x－5)(x－2)；

(6)(x+5)(x+2).答案：(1)3x2－5x－2；
(2)5a－6；
(3)x2－3x－10；
(4)x2+3x－10；
(5)x2－7x+10；
(6)x2+7x+10. 8.若(mx+y)(x－y)=2x2+nxy－y2，求m，n的值.解：m=2，n=-1. 9.对于任意自然数，试说明代数式n(n+7)－(n－3)(n－2)的值都能被6整除.解：n(n+7)－(n－3)(n－2)=n2+7n－n2+5n－6=12n－6=6(2n－1). 因为n为自然数, 所以6(2n－1)一定是6的倍数. 【教学说明】让学生通过不同形式的多项式相乘，灵活应用法则，针对解决不同问题时遇到的问题，积累解题经验.对于掌握程度比较好的学生，需要设置一些具有挑战性的题目，激发他们学习的动力. 四、师生互动，课堂小结 1.本节课学习了哪些知识？ 2.领悟到哪些解决问题的方法？感触最深的是什么？ 3.对于本节课的学习还有什么困惑？ 1.布置作业:教材第40页“习题2.1”中第8、9、10、11题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 整式的乘法共由三课时组成，这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣,因此在这三课时中都采用了先回顾，再呈现问题情境的引入方法实现“温故知新”.但是在教学过程中，我们不应仅仅让学生感受知识需要“温故知新”，更应该让他们体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化.这三课时法则的探索在难度上是逐渐深入的，在方法和思路上却又是统一的，通过这三课时的学习，应让学生体会：当他们遇到新问题时，可以效仿之前用到的数学思想方法来解决，从而真正掌握数学学习方法，提高数学学习能力. 2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式 【知识与技能】 1.使学生理解和掌握平方差公式. 2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用. 【过程与方法】 经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力. 【情感态度】 在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神. 【教学重点】 弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点. 【教学难点】 准确理解和掌握公式的结构特征. 一、情景导入，初步认知 回顾整式乘法中多项式与多项式相乘 1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba. 2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明. 【教学说明】平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备. 二、思考探究，获取新知 1.计算下列各式：
(1)(a+1)(a-1); =a2-a+a-12 =a2-1 (2)(a+2)(a-2); =a+-2a+2a-22 =a＋-4 (3)(a+3)(a-3);=a2-3a+3a-32 =a2-9 (4)(a+4)(a-4).; =a2-4a+4a-42 =a2-16 2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？你能计算(a+b)(a-b)吗？【归纳结论】 平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2，两数和与两数差的积，等于它们的平方差. 【教学说明】在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述. 3.应用平方差公式时应注意些什么呢？ (1)注意平方差公式的适用范围; (2)字母a、b可以是数，也可以是整式; (3)注意计算过程中的符号和括号. 4.如图，将边长为a的大正方形减去一个边长为b的小正方形，并将剩余的部分沿虚线剪开，得到两个长方形，在将这两个长方形拼成如图2，你能用这两个图形来解释平方差公式吗？ ①请表示图1中阴影(紫色)部分的面积. ②小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ ③比较①，②的结果，你能验证平方差公式吗? ④叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；

⑤试比较公式的两种表达式在应用上的差异. 【归纳结论】(a+b)(a-b)＝a2-b2 【教学说明】经过对两个图形的面积的计算，使学生明白可以通过几何图形对平方差公式进行验证.进一步加深对平方差公式的理解. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P43例1、例2、例3. 2.填空题. (x+6)(6-x)=, 3.下列式中能用平方差公式计算的有(D) ①(x-y)(x+y) ②(3a-bc)(-bc-3a) ③(3-x+y)(3+x+y) ④(100+1)(100-1) A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列式中,运算正确的是(C) ①(22a)2=4a2 ②(－x+1)(1+x)=1－x2 ③(m－1)2(1－m)3=(m－1)5 ④2a×4b×8=2a+2b+3 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 5.乘法等式中的字母a、b表示(D) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、多项式都可以 6.计算：
(1)(2a-3b)(2a+3b)；

解：原式=(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2 (2)(-p2+q)(-p2-q)；

解：原式=(-p2)2-(q)2 =p4-q2 (3)4a－7b4a+7b；

解：原式=(4a)2-(7b)2 =16a2-49b2 (4)－2m－n2m－n；

解：原式=-(-2m+n)(2n-(n)2) =［(2m)2-n2］ =-(4m2-n2) =n2-4m2 (6)－［(5+2x)(5－2x)］;解：原式=-［(5+2x)(5-2x)］ =-［52-(2x)2］ =-25+4x2 (7)403×397. 解：原式=(400+3)(400-3) =4002-32 =159991 7.计算(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1). 解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1) =(a4-1)(a4+1)(a8+1) =(a8-1)(a8+1) =a16-1 【教学说明】在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能. 四、师生互动，课堂小结 1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差. 2.应用平方差公式的注意事项：
(1)注意平方差公式的适用范围；

(2)字母a、b可以是数，也可以是整式；

(3)注意计算过程中的符号和括号. 1. 布置作业:教材第50页“习题2. 2”中第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习. 本课让学生经历自主探索平方差公式的推导过程，采用自学为主的导学设计，在教学方法上采用以问题的形式，引导学生独立思考、探索，再通过讨论、交流，发现平方差公式的特点，教师适当的引导，使学生理解并掌握平方差公式的推导过程，通过练习巩固，力求突出重点、突破难点，使学生运用平方差公式解决问题的能力得到进一步提高.在整个教学过程中，分层次地培养学生数学思想和方法，养成良好的思维习惯. 2.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 【知识与技能】 理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识. 【情感态度】 在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 1. 弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点 .2.会用完全平方公式进行运算. 【教学难点】 会用完全平方公式进行运算. 一、情景导入，初步认知 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+3)2= ， (x-3)2= ， 这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试:(2m+3n)2=，(2m-3n)2=.【教学说明】让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备. 二、思考探究，获取新知 1.计算下列式子，你能发现什么规律？ (1)(a+1)2；

=(a+1)(a+1)= a2+a+a+12 =a2+2×a+12 =a2+2a+12 2.观察上面的计算结果，回答下列问题：
(1)原式的特点？两数和的平方. (2)结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍. (3)三项系数的特点？(特别是符号的特点). (4)三项与原多项式中两个单项式的关系. 3.再举两例验证你的发现. 4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？ 【归纳结论】两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.即：(a+b)2=a2+2ab+b2. 5.用一个边长为a+b的正方形按下图分割成4块，你能用这个图形来解释完全平方公式吗？ 6.议一议：(a－b)2=？你是怎样做的？ 7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式.【归纳结论】两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍.即：(a-b)2=a2-2ab+b2. 上面的两个公式称为完全平方公式. 8.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式. 结构特点：左边是二项式(两数和(差))的平方；
右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍. 【教学说明】让学生观察、思考、总结，归纳，使之掌握基本的数学活动经验，让学生用文字语言表示公式，提高学生运用数学语言的能力. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P45例4. 3.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算(C) A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(－y+x) C.(ab－3x)(－3x+ab) D.(－m－n)(m+n) 4.计算：
【教学说明】让学生熟悉公式的特征，培养学生的观察、分析、归纳概括的能力；
让学生思考、得出结论，可以使学生有效避免出现易错的符号问题. 四、师生互动,课堂小结 通过本节课的学习，你在知识上有哪些收获，哪些能力得到了提高？ 引导学生自主总结，组织学生互相交流各自的收获与体会，成功与失败.明确以下几点：
1.完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称. 2.公式中的a、b可以是任意数或代数式. 3.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方. 1. 布置作业:教材第50页“习题2. 2”中第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课虽然算不上课本中的难点，但在整式一章中是个重点.它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算.学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度.授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的内容，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节.然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用.为完全平方公式第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备. 第2课时 利用完全平方公式进行计算 【知识与技能】 1.熟记完全平方公式，能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感. 2.能够运用完全平方公式进行简便运算，体会符号运算对解决问题的作用. 【过程与方法】 能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力. 【情感态度】 会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算，提高灵活应用乘法公式的能力. 【教学重点】 运用完全平方公式进行一些数的简便运算. 【教学难点】 灵活运用完全平方公式进行整式的简便运算. 一、情景导入，初步认知 复习已学过的完全平方公式. 1.完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减. 3.想一想：
(1)两个公式中的字母都能表示什么? 数或代数式 (2)根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗? (3)完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 【教学说明】本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启下的作用. 二、思考探究，获取新知 1.运用完全平方公式计算：
(1)(-x+1)2；

解：(-x+1)2=(-x)2+2(-x)·1+12=x2-2x+1 (2)(-2x-3)2. =［-(2x+3)］2 =(2x+3)2 =4x2+12x+9 2.计算：
(1)(a+b)2-(a-b)2；

解：(a+b)2-(a-b)2 =a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2) =a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 =4ab (2)(a+b+1)2. 解：(a+b+1)2 =［(a+b)+1］2 =(a+b)2+2(a+b)+1 =a2+2ab+b2+2a+2b+1 3.计算：
(1)1042 解：1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=10816 (2)1982 .解：1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40000-800+4=39204 【教学说明】能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固.需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习. 三、运用新知，深化理解 1.若(x-5)2=x2+kx+25，则k=(D) A.5 B.-5 C.10 D.-10 2.如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为(D) A.4 B.2 C.-2 D.±2 3.用完全平方差公式计算. (1)9.8×10.2；

解：原式=(10-0.2)(10+0.2) =102-0.22=100-0.04=99.96 【教学说明】使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式. 四、师生互动,课堂小结 1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号. 2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择. 1. 布置作业:教材第50页“习题2. 2”中第4题.2.完成同步练习册中本课时的练习. 在整个新课的教学中，主要是给学生“动脑想、动手写、会观察、齐讨论、得结论”的学习方法.这样做，即增加了学生的参与机会，又增强了参与意识，也教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；
这样做，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，这样做，体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势.最后，结合本节课教学内容，选择具有典型性，由浅入深的例题，让学生认知内化，形成能力.通过发展提高，培养学生迁移创新精神，有助于智力的发展. 2.2.3 运用乘法公式进行计算 【知识与技能】 1.熟练地运用乘法公式进行计算. 2.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算. 【过程与方法】 提高学生对乘法公式综合运用的能力，分析、解决问题的能力. 【情感态度】 培养学生实事求是、科学严谨的学习态度. 【教学重点】 正确选择乘法公式进行运算. 【教学难点】 综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算. 一、情景导入，初步认知 1.什么是平方差公式？ 2.什么是完全平方公式？ 3.在应用乘法公式是应注意些什么？ 【教学说明】通过对乘法公式的复习，为本节课的学习作准备. 二、思考探究，获取新知 1.同学们，我们在学习的过来中会碰到很多的“难题”，其实我们只要经过仔细的观察、认真的思考，我们会发现大部分的难题是由简单的因素构成的，下面我们一起来处理两个问题. 【教学说明】老师和学生一起探讨，发现学生学习过程存在的困难，可以引导学生讨论解决. 2.运用乘法公式计算：
【教学说明】教师引导学生正确的选择乘法运算公式. 【归纳结论】遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以到达简化运算的目的. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P49例9. 2.下列运算中，正确的是(C) A.(a+3)(a-3)=a2-3 B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4 C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2 D.(x+2)(x-3)=x2-6 【教学说明】及时巩固新知，进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中a，b的含义的广泛性. 四、师生互动,课堂小结 今天学到了什么？有何体会？试讲出来与大家交流. 1. 布置作业:教材第50页“习题2. 2”中第5、6题.2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过及时演练反馈来巩固知识，设计了探究活动，解实际应用题，达到灵活应用知识、自主建构知识之目的.通过本节课的学习，既掌握了知识，又发展了学生学数学的能力. 章末复习 【知识与技能】 梳理本章内容，构建知识网络；
重点加强对整式的概念，整式的乘法运算，幂的运算性质的复习，并能灵活运用知识解决问题. 【过程与方法】 通过梳理本章内容，发展学生的符号感以及合情说理的能力，渗透转化、类比的思想. 【情感态度】 让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 【教学重点】 整式的乘法、幂的运算. 【教学难点】 整式的乘法、幂的运算. 一、 知识结构 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 1.幂的运算性质：
(1)同底数幂的乘法：
am·an=am+n；

逆用：am+n=am·an. (2)幂的乘方：
2.整式的乘除法：
(1)单项式乘以单项式：
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式. (2)单项式乘以多项式：
m(a+b+c)=ma+mb+mc. 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. (3)多项式乘以多项式：
(a+b)·(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 3.整式乘法公式：
(1)平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式：
【教学说明】可以采用提问的形式，让学生回答，达到巩固的作用. 三、典例精析，复习新知 例1下列运算正确的是() 【教学说明】对幂的运算，乘法公式的应用加强训练. 四、复习训练，巩固提高 1.已知：a+b=m，ab=-4，化简：(a-2)(b-2)的结果是() A.6 B.2m-8 C.2m D.-2m 解析：∵a+b=m，ab=-4，∴(a-2)(b-2)=ab+4-2(a+b)=-4+4-2m=-2m.故选D. 2.某商场四月份售出某品牌衬衣b件，每件c元，营业额a元.五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣3b件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加() A.1.4a元 B.2.4a元 C.3.4a元 D.4.4a元 解析：5月份营业额为 故选A. 3.已知(x+a)(x+b)=x2-13x+36，则a+b的值是() A.13 B.-13 C.36 D.-36 解：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，又∵(x+a)(x+b)=x2-13x+36，所以a+b=-13.故选B. 【教学说明】根据本章内容特点可知运算规律与方法是学生应掌握的重点，所以本课复习以练习为主，通过大量题型训练，使学生理解掌握各类运算技巧，并力求熟练. 五、师生互动，课堂小结 同学们，今天这节课你学会了什么？还有什么疑问？ 1.布置作业:教材第52页“复习题2”中第2、4、5、11、12、15题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 复习课是对所学内容进行一个系统地复习，巩固与内化的教学活动，同时，它又是一个有针对性地诊断教学.通过一定的复习，老师应解决一些学生混淆不清的知识，弥补一定的知识漏洞，并帮助他们建构起自身的知识体系.所以，我觉得在复习课前对教学内容进行筛选和重组是必要的.我们需要总结出知识点之间的关联性，提炼出知识点的重中之重以及罗列出学生容易犯错的知识点，然后重组教学内容，经过这样的筛选之后，教学内容更有针对性，课堂教学也更为有效了. 第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；
通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻求因式分解的方法；
通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一、情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行 问题1：736×95+736×5. 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67. 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.讨论：
(1)21等于3乘哪个整数？ (2)x2-x等于x+1乘哪个多项式？ 2.议一议：
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. ［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式. ［生］a3－a=a(a2－1)=a(a－1)(a+1). 3.做一做：
(1)计算下列各式：
①(m+4)(m－4)=m2-16；

②(y-3)2==y2-6y+9; ③3x(x－1)==3x2-3x; ④m(a+b+c)=ma+mb+mc. (2)根据上面的算式填空：
①3x2－3x=(3x)(x-1) ②m2－16=(m+4)(m-4) ③ma+mb+mc=(m)(a+b+c) ④y2-6y+9=(y-3)2 ［生］把等号左右两边的式子调换一下即可. ［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？ ［生］在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；
在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是多项式乘积的形式. 一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 在(1)中我们知道从左边推右边是多项式乘法；

在(2)中由多项式推出多项式乘积的形式是因式分解. 4.想一想：
由a(a+1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a+1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ 5.因式分解与整式乘法有何联系与区别？ 因式分解与整式乘法的关系：
因式分解：a2-b2(a+b)(a-b) 整式乘法：(a+b)(a-b)a2-b2 说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；
从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式). 【归纳结论】因式分解与整式乘法具有互逆关系.因此，我们可以利用整式的乘法来检验因式分解的正确性. 【教学说明】注重数学知识间的联系，给学生提供探索与交流的空间，让学生经历数学知识的生成过程，由学生发现整式乘法与因式分解的相互关系，培养学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P56例1、例2. 2.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ (1)4a(a+2b)=4a2+8ab (2)6ax－3ax2=3ax(2－x) (3)a2－4=(a+2)(a－2) (4)x2－3x+2=x(x－3)+2 解：(2)(3)是因式分解. 3.试将下列各式化成几个整式的积的形式. (1)3x2-2x= (2)m2-4n2= 解：(1)x(3x-2); (2)(m+2n)(m-2n). 4.分解因式: 4m2-4m= 2a3+2a= y2+4y+4= 解：4m(m-1); 2a(a2+1); (y+2)2. 5.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为 . 解：210. 6.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是(D) A.0 B.2 C.5 D.8 7.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？ 解：9993-999 =999(9992-1) =999(999+1)(999-1) =999×1000×998 即：9993-999能被998整除，能被1000整除. 【教学说明】通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别. 四、师生互动,课堂小结 1.你能说说什么是分解因式吗？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 2.应该怎样认识“因式分解”？ 分解因式与整式乘法是互逆过程. 3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；
分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；
要分解到不能分解为止. 1.布置作业:教材第57页“习题3.1”中第2、3、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 根据课下学生的反馈情况来说，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识.理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(即相反变形)，并基本掌握了运用这种关系寻求因式分解的方法.但还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习. 3.2 提公因式法 第1课时 公因式为单项式的提公因式法 【知识与技能】 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法因式分解. 【过程与方法】 通过找公因式，培养学生的观察能力. 【情感态度】 在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用. 【教学重点】 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 【教学难点】 让学生识别多项式的公因式. 一、情景导入，初步认知 1.什么是因式分解？ 2.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ (1)2x2+4=2(x2+2)；

(2)2t2－4t+1=2(t2－2t)+1；

(3)x2+4xy－y2=x(x+4y)－y2；

(4)m(x+y)=mx+my. 【教学说明】通过复习，为本节课的进行作准备. 二、思考探究，获取新知 1.下列每个多项式的含字母的因式有哪些？ xy,xz,xw. 【归纳结论】几个多项式的公共的因式称为它们的公因式. 2.如何把多项式xy+xz+xw分解因式？ 把乘法分配律从右到左地使用，得：
xy+xz+xw=x(y+z+w). 3.从上面的解题过程，你能发现分解因式的一种方法吗？ 【归纳结论】如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 4.把5x2－3xy+x分解因式. 分析：①3项的公因式有哪些？ ②由于x=x×1,因此x是x的因式，进而看出，x是这个多项式的公因式. 解：原式=x(5x－3y+1). 【教学说明】1为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉. 5.把－4x2+6x因式分解 分析：①公因式的系数取各项系数的绝对值4，6的最大公因数2. ②第一项的系数为负，最好把负号也提出. ③公因式里还含有字母x. 解：原式=－2x(2x+3). 【教学说明】如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数为正，在提出“－”号后，多项式的各项要变号. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P60例3. 2.写出下列多项式各项的公因式. (1)ma+mb; 解：公因式为m. (2)4kx－8ky; 解：公因式为4k. (3)5y3+20y2; 解：公因式为5y2. (4)a2b－2ab2+ab. 解：公因式为ab. 3.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是(C). A.-6ab2c B.-ab2 C.-6ab2 D.-6a3b2c 4.把下列各式分解因式：
(1)8x－72; 解：原式=8(x－9) (2)a2b－5ab; 解：原式=ab(a－5) (3)4m3－6m2; 解：原式=2m2(2m－3) (4)a2b－5ab+9b; 解：原式=b(a2－5a+9) (5)－a2+ab－ac; 解：原式=－(a2－ab+ac) =－a(a－b+c) (6)-2x3+4x2－2x; 解：原式=－(2x3－4x2+2x) =－2x(x2－2x+1) 5.把3x2－6xy+x分解因式的过程对吗？若不对，请改正. 3x2－6xy+x=x(3x－6y) 解：不对，准确的过程是：
3x2-6xy+x=x(3x－6y+1) 6.因式分解－4m2n3+12m3n2－2mn 解：－4m2n3+12m3n2－2mn =－2mn(2mn2－6m2n+1) 7.把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式. 解：－4x2yz－12xy2z+4xyz =－(4x2yz+12xy2z－4xyz) =－4xyz(x+3y-1) 【教学说明】检测本节课学生的掌握情况.作适当强调. 四、师生互动,课堂小结 同学们，今天这节课你学会了什么？ 在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？ 1.布置作业:教材第62页“习题3.2”中第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课主要是让学生观察，找出各项的公因式，这也是本节课的重难点，应该多做强调，使学生掌握找多项式中各项的公因式.根据学生的练习情况来看，学生掌握的较好，达到了教学的目的. 第2课时 公因式为多项式的提公因式法 【知识与技能】 进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法. 【过程与方法】 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. 【情感态度】 通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 【教学重点】 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解. 【教学难点】 准确找出公因式，并能正确进行因式分解. 一、情景导入，初步认知 上节课我们学习了用提公因式法因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？ 本节课我们就来揭开这个谜. 【教学说明】提高学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.下列多项式中各项的公因式是什么？ (1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；

(2)2x(3a-b)-y(b-3a). 解：(1)公因式是2m(x+1). (2)b-3a可以看做-(3a-b)，所以2x(3a-b)与y(b-3a)的公因式是3a-b. 2.把下列多项式因式分解. (1)x(x-2)-3(x-2)；

解：x(x-2)-3(x-2) =(x-2)(x-3) (2)x(x-2)-3(2-x)；

解：x(x-2)-3(2-x) =x(x-2)-3［-(x-2)］ =x(x-2)+3(x-2) =(x-2)(x+3). 3.根据上面的例题，你能总结提公因式法分解因式的方法吗？ 【归纳结论】提取公因式的一般步骤：
①确定应提取的公因式；

②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式；

③把多项式写成这两个因式的积的形式. 4.因式分解时应注意些什么？ 【归纳结论】①当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号;②提取公因式要彻底. 【教学说明】由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P61例6. 2.将多项式a(x-y)+2bx-2by分解因式，正确的结果是(B) A.(x-y)(-a+2b) B.(x-y)(a+2b) C.(x-y)(a-2b) D.-(x-y)(a+2b) 3.下列因式分解不正确的是(C) A.-2ab2+4a2b=2ab(-b+2a) B.3m(a-b)-9n(b-a)=3(a-b)(m+3n) C.-5ab+15a2bx+25ab3y=-5a(-3ax-5b2y) D.3ay2-6ay-3a=3a(y2-2y-1) 4.把2(a-b)2-a+b分解因式. 解：2(a-b)2-a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)［2(a-b)-1］ =(a-b)(2a-2b-1) 5.因式分解3x(x－2)－(2－x). 解：3x(x－2)－(2－x) =3x(x－2)+(x－2) =(x－2)(3x+1) 6.因式分解 a(a－b)3+2a2(b－a)2－2ab(b－a)2. 解：原式=a(a－b)3+2a2(a－b)2－2ab(a－b)2 =a(a－b)2［(a－b)+2a－2b］ =a(a－b)2(3a－3b) =3a(a－b)2 7.计算：(－2)11+(－2)10的结果是(B) A.2100 B.－210 C.－2 D.－1 8.已知x、y都是正整数，且x(x－y)－y(y－x)=12，求x、y. 解：∵x(x－y)－y(y－x)=12 ∴(x－y)(x+y)=12 ∵x、y是正整数 ∴12分解成1×12，2×6，3×4 又∵x－y与x+y奇偶性相同，且x－y<x+y ∴ ,∴ . 【教学说明】让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用. 四、师生互动,课堂小结 同学们，今天这节课你学会了什么？ 在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？ 1.布置作业:教材第62页“习题3.2”中第3、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：
1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面. 2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并. 3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公因数. 4.遇到互为相反数的因式，有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：变后不变前、变偶不变奇、变少不变多. 3.3 公式法 第1课时 用平方差公式因式分解 【知识与技能】 会用平方差公式进行因式分解. 【过程与方法】 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、“换元”、 “整体”的思想，感受数学知识的完整性. 【情感态度】 在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”. 【教学重点】 掌握公式法中的平方差公式进行分解因式. 【教学难点】 灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性. 一、情景导入，初步认知 填空：(1)(x+5)(x-5)= ；

(2)(3x+y)(3x-y)= ；

(3)(3m+2n)(3m-2n)= . 它们的结果有什么共同特征？ 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x2－25= ; 9x2－y2= ; 9m2－4n2= . 【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学. 二、思考探究，获取新知 1.探究如何把x2-25因式分解？ 我们以前学过平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,把这个公式从右到左地使用，得 a2-b2=(a+b)(a-b) x2-25=x2-52=(x+5)(x-5) 【归纳结论】像那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 2.找特征：
a2-b2=(a+b)(a-b) (1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成 ( )2－( )2的形式. (2)公式右边:(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 3.下列各式能用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)分解因式吗？a、b分别表示什么？把下列各式分解因式；

(1)x2－1；

(2)m2－9；

(3)x2－4y2. 采用抢答形式. 【教学说明】学生进一步理解能用平方差公式分解多项式的特点. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P63~64例1、例2、例3、例4. 2.下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式. (1)m2－81=m2－92；

(2)1－16b2=12－(4b)2；

(3)4m2+9，不能转化为平方差形式；

(4)a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2；

(5)－x2－25y2，不能转化为平方差形式. 3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(B) A.a2＋b2 B.－a2＋b2 C.－a2－b2 D.－(－a2)＋b2 4.因式分解(x＋1)2－9(x－1)2. 解：原式=4(2x－1)(2－x) 5.将下列各式分解因式. (1)a2b2-a2c2；

解：a2b2-a2c2=a2(b2-c2)=a2(b+c)(b-c) (2)-x5y3+x3y5；

解：-x5y3+x3y5=x3y3(-x2+y2)=x3y3(x+y)(-x+y) (3)(a+b)2-9(a-b)2；

解：(a+b)2-9(a-b)2=［(a+b)+3(a-b)］［(a+b)-3(a-b)］=(a+b+3a-3b)(a+b-3a+3b) =(4a-2b)(4b-2a)=4(2a-b)(2b-a) (4)p4－1. 解：p4－1=(p2+1)(p2－1)=(p2+1)(p+1)(p-1) 6.若a＋b=2014,a－b=1,求a2－b2的值. 解：a2－b2=(a＋b)(a－b)=2014×1=2014 7.简便计算：
(1)5652－4352；

解：原式=(565+435)(565-435) =1000×130 =130000 (2)25×2652－1352×25. 解：原式=25×(2652－1352) =25×(265+135)(265－135) =25×400×130 =1300000 【教学说明】在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现错误的地方. 四、师生互动,课堂小结 1.本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：①是一个二项式(或可看成一个二项式)；
②每项可写成平方的形式；
③两项的符号相反. 2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式. 3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止. 1.布置作业:教材第66页“习题3.3”中第1题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上的比较成功. 在复习了平方差公式后，通过一组由浅入深、由易到难的题组逐题递进，落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围. 第2课时 用完全平方公式因式分解 【知识与技能】 使学生了解运用公式法分解因式的意义；
会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数)；
使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式. 【过程与方法】 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力. 【情感态度】 培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值. 【教学重点】 掌握公式法中利用完全平方公式进行分解因式. 【教学难点】 灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题. 一、情景导入，初步认知 1.把下列各式分解因式(学生上台板演)：
(1)ax4－ax2；

(2)16m4－n4. 解：（1）ax4－ax2=ax2(x+1)(x－1) （2）16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n) 2.除了平方差公式外，还有哪些公式？如何表示？ 3.怎样用语言表述？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 【教学说明】复习铺垫对学习新知识是必要的，它可以扫清学习新知识的障碍，顺利进入新的知识学习之中. 二、思考探究，获取新知 1.由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ 将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2－2ab+b2=(a－b)2. 左边的特点有：
(1)多项式是三项式；

(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和(差)的平方. 如何利用完全平方公式进行因式分解呢？ 2.把9x2-3x+分解因式. 分析：9x2=(3x)2, =()2, 3x=2·3x·，原式即可用完全平方公式进行因式分解. 解：9x2-3x+ =(3x)2-2·3x·+()2 =(3x-)2 【教学说明】在进一步引导学生掌握完全平方式的特征的同时，能让学生对公式的特征有足够的理解，并在此的基础上，让学生用自己的语言来阐述思考过程，这是符合学生的认知规律的，也体现了新课程标准下的理念. 三、运用新知，深化理解 1.判别下列各式是不是完全平方式. (1)x2+y2; (2)x2+2xy+y2; (3)x2-2xy+y2; (4)x2+2xy-y2; (5)-x2+2xy-y2. 解：(2)(3)(5)是完全平方式. 2.当m=时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式. 解：8或－2. 3.分解因式-8ax2+16axy-8ay2. 解：原式=-8a(x2-2xy+y2)=-8a(x-y)2 4.分解因式(a2+1)2-4a2. 解：原式=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2 5.分解因式(a2-4a+4)-c2. 解：原式=(a-2)2-c2=(a-2+c)(a-2-c) 6.(x+3y)2+(2x+6y)(3y-4x)+(4x-3y)2. 解：原式=(x+3y)2-2(x+3y)(4x-3y)+(4x-3y)2 =(x+3y-4x+3y)2 =(-3x+6y)2. 7.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 解：4x2+8x+11=(2x+2)2+7 ∵(2x+2)2+7≥0 ∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值. 【教学说明】在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：(1)有公因式，先提公因式；
(2)再用公式法进行因式分解. 四、师生互动,课堂小结 从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？ 1.布置作业:教材第66~67“习题3.3”中第2、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是平方差公式和完全平方公式.一旦要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些.在练习中，根据学生的个体差异，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成. 章末复习 【知识与技能】 掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的运用，及在实数范围内分解因式的方法，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力. 【过程与方法】 通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义. 【情感态度】 通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想. 【教学重点】 熟练运用各种方法来进行因式分解. 【教学难点】 因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题. 一、知识结构 分解因式 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 1.因式分解的定义 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 2.提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3.公式法 (1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2. 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式. 【教学说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 三、典例精析，复习新知 例1下列变形是否是因式分解？为什么? (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；

(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；

(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 解：(1)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等；

(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义；

(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等；

(4)不是因式分解，是整式乘法. 例2下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；

(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；

(3)x2-2x-1=(x-1)2. 解：(1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解；

(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内不能再分解；

(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解. 例3用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay；
(2)6xyz-3xz2；
(3)-x3z+x4y；

(4)36aby-12abx+6ab；
(5)3x(a-b)+2y(b-a)；

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m). 分析：(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式. 解：(1)ax-ay=a(x-y)；

(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z)；

(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy)；

(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1)；

(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)；

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y) =(m-x)(m-y)(x-m) =-(m-x)2(m-y). 例4用公式法分解因式. (1)m2+2m+1；
(2)9x2-12x+4；

(3)1-10x+25x2；
(4)(m+n)2-6(m+n)+9; (5)4x2-9. 解：(1)m2+2m+1=(m+1)2; (2)9x2-12x+4=(3x-2)2; (3)1-10x+25x2=(1-5x)2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2; (5)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 例5分解因式. (1)x3-2x2+x；

(2)(a+b)2-4a2；

(3)x4-81x2y2；

(4)x2(x-y)+y2(y-x)；

(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2. 解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2；

(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)；

(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y)；

(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2；

(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2 =［(a+b+c)+(a-b-c)］［(a+b+c)-(a-b-c)］ =2a·(2b+2c) =4a(b+c). 【教学说明】基础习题的练习，促进学生对于上面知识点的理解，也有利于学生发现自己的学习漏洞，及时弥补，同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫. 四、复习训练，巩固提高 1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= . 分析：完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). 解：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2， ∴±kxy=2·3x·6y=36xy. ∴k=±36. 2.利用因式分解计算下列各题. (1)7.6×201.4+4.3×201.4-1.9×201.4；

(2)20142-4028×2015+20152；

(3)5652×11-4352×11；

(4)(5)2-(2)2. 解：(1)原式=2014；
(2)原式=1；
(3)原式=1430000；
(4)原式=28. 3.计算：
分析：本题旨在考查因式分解的灵活运用, 4.解方程组 分析：本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出. 解：由①得(x+2y)(x-2y)=5③， 把②代入③中得x+2y=5④， ∴原方程组化为 ②+④得2x=6，∴x=3. ②-④得4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为 5.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值. 解：x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2) =xy(x-y)2. 当x-y=1，xy=2时， 原式=2×12=2. 6.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值. 解：∵x2-y2=6, ∴(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2①， ∴x+y=3②. 由①②组成方程组 解得 7.四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数. 解：设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2 ∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数. 【教学说明】这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学. 五、师生互动，课堂小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；
如果没有公因式或提取公因式后，再考虑能否用公式法，最后，直到每一个因式都不能再分解为止. 1.布置作业:教材第69页“复习题3”中第1、3、4、7、9题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. (1)对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；

(2)方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；

(3)目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；

(4)最终：把一个多项式分解到不能再分解为止. 第4章 相交线与平行线 4.1 平面上两条直线的位置关系 4.1.1 相交与平行 【知识与技能】 1.了解相交与平行的概念及表示方法，会画平行线. 2.掌握平行公理及推论的内容，并初步了解几何推理过程. 【过程与方法】 在丰富的现实情境中，进一步了解两条直线的平行关系. 【情感态度】 通过动手操作，培养学生参与活动和相互交流的意识，进而发展想象力和学习数学的兴趣，逐步培养学生的逻辑思维能力. 【教学重点】 平行线的概念、平行线的画法、平行公理及推论. 【教学难点】 平行公理的应用、平行线的画法. 一、情景导入，初步认知 向同学们展示一些生活中的图片，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系. 【教学说明】数学来源于生活，通过课前播放幻灯片，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备.通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学. 二、思考探究，获取新知 探究1：平行线的概念 1.小明家客厅的窗户由两扇窗页组成，下图表示两扇窗页开合的状态，当我们把两扇窗页近似地看成在同一平面内，并且考虑每扇窗页的四条边所在的直线时，这些直线有什么关系？ 2.在同一平面内两条直线有什么位置关系呢？ 3.我们把两根筷子看成向两方延长的直线，桌面看成一个平面，在桌面上摆一摆，两条直线的位置关系可能有几种？用自己的语言描述：
【归纳结论】有且只有一个公共点的两条直线叫做相交线. 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线. 探究2：平行线的表示方法 1.如图，直线AB与CD是平行线.记做“ ”，这里“ ”是平行符号.读做“ ”. 2.若用a、b表示这两条直线，那么直线a与直线b平行，记做“ ”，读做“ ”. 探究3：平行线的画法 1.你能用几种方法画出一组平行线？ 2.你能过直线a外一点P画直线a的平行线吗？ 画法：①把三角尺的BC边靠紧直线a，再用直尺(或另一块三角尺)靠紧三角尺的另一边AC；

②沿直尺推动三角尺，使原来和直线a重合的一边经过点P；

③沿三角尺的这条边画直线b. 则直线b就是过P点且与直线a平行的直线.如图：
3.你能过P点画几条直线与直线a平行？由此，你能得到什么结论？ 【归纳结论】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(平行公理). 4.在下图中，分别过C、D画直线AB的平行线EF、GH.那么EF与GH有怎样的位置关系？ 【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线互相平行. 几何语言：
∵a∥b，a∥c， ∴b∥c(平行于同一条直线的两条直线互相平行). 【教学说明】引导学生动手画图，从而得到平行公理及其推论. 三、运用新知，深化理解 1.在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行 . 2.两条直线l1与l2相交点A，如果l1∥l，那么l2与l相交或既不相交也不平行 . 3.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必相交 . 4.两条直线相交,交点的个数是1 ,两条直线平行,交点的个数是0个. 5.工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否互相平行，只检查了其中两条是否与第三条平行，这种做法是否正确？正确.理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 . 6.不相交的两条直线叫做平行线.() 7.如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行,那么它与另一条直线也互相平行.(√) 8.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.() 9.如图所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H. 解：如图所示. 10.一个长方体如图. (1)和AA1平行的棱有多少条？ (2)和AB平行的棱有多少条？ (3)和AD平行的棱有多少条？请分别表示出来. 解：(1)有3条，分别为：BB1,CC1,DD1. (2)有3条，分别为：A1B1,C1D1,CD. (3)有3条，分别为：A1D1,B1C1,BC. 【教学说明】通过练习，检测学生掌握情况. 四、师生互动,课堂小结 学生把自己本节课的收获写下来，然后互相交流，不同的学生会有不同的收获,有知识方面的、有能力方面的、有生活实际方面的、也有情感方面的，但只要有收获我就会予以充分的肯定. 1.布置作业:教材“习题4.1”中第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本课教学中让学生通过观察、讨论、操作、交流等活动去感知、理解、发现和认识.感知生活中的平行的现象，初步理解平行是同一平面内两条直线的位置关系.让学生由动手画平行线，逐步发展到空间想象；
在探究“同一平面内”时，制作直观教具，演示给学生看，这两条直线能不能称为平行或相交.引导学生通过观察、辨析，领会平行关系“必须在同一平面内”，直观生动，使学生的空间想象能力得到进一步的发展. 4.1.2 相交直线所成的角 【知识与技能】 1.理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念. 2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角. 【过程与方法】 经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力. 【情感态度】 培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】 同位角、内错角、同旁内角的识别. 【教学难点】 分析图形. 一、情景导入，初步认知 1.在同一平面内的两条直线有几种位置关系？ 2.经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？ 3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【教学说明】对上节课的知识进行复习，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 探究1:对顶角 1.观察思考：要求学生拿出事先准备好的纸和剪刀，观察剪刀剪开纸张的过程，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角度也相应.我们把剪刀的构成抽象为两条直线，就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题.将其简单地表示为下图：
2.图中∠1和∠3、∠2和∠4它们有什么特征？ 【归纳结论】有公共的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 3.∠1和∠3、∠2和∠4有什么关系？量一量或用其它的方法比较它们的大小.完成下面的问题. ∵∠1+∠2= ， ∠2+∠3=(邻补角定义). ∴∠1=180°－ ， ∠3=180°－ (等式性质)， ∴∠1=∠3(等量代换)；

或者∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角定义)， ∴∠1＝∠3(同角的补角相等). 由上面推理可知，对顶角的性质有什么性质？ 【归纳结论】对顶角相等. 探究2：同位角、内错角、同旁内角 如图.两条直线l1、l2被第三条直线l3所截，构成了8个角. 1.根据已有知识，你能找到对顶角吗？ 那么除了对顶角，角与角还有哪些位置关系呢？我们一起来探讨一下. 2.观察∠1与∠5的位置：
(1)它们在被截直线l1、l2的什么位置？ (2)它们在截线l3的什么位置？ 学生回答：它们在被截直线l1、l2的上方，在截线l3的右侧. 教师归纳：它们在被截直线l1、l2的同侧，在截线l3的同旁.我们把这样的一对角叫做同位角. 【归纳结论】同位角概念：在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1、l2的相同一侧，这样的一对角叫做同位角. 类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来. 3.观察∠3与∠5的位置：
(1)它们在被截直线l1、l2的什么位置？ (2)它们在截线l3的什么位置？ 【归纳结论】内错角概念：在第三条直线l3的异侧，并且分别位于直线l1、l2之间，这样的一对角叫做内错角. 类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来. 4.观察∠3与∠6的位置: (1)它们在被截直线l1、l2的什么位置？ (2)它们在截线l3的什么位置？ 【归纳结论】同旁内角概念：在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1、l2之间，这样的一对角叫做同旁内角. 类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来. 5.两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成是什么角？类似地，你还能用两只手的手指构成同位角和同旁内角吗？ 【教学说明】采用分类分步的方法，从简单开始探索.由于同位角、内错角、同旁内角的名称已经固定，所以探索的重点应放在发现位置关系和用准确词语概括这种位置关系上，按照观察—描述—归纳—再现的流程，认识同位角.在认识了同位角的概念后，自主探索同旁内角、内错角.这是一种用发展的眼光认识事物的过程. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P77例1. 2.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是(C) A. B. C. D. 3.如图，∠1与∠2是同位角的对数有(D) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.如图，直线AB、CD被DE所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角，如果∠1=∠5.那么∠1 ∠3. 答案：∠3，∠5，∠2，= 5.如图，∠1和∠4是AB、 被 所截得的 角；
∠3和∠5是 、 被 所截得的 角；
∠2和∠5是 、 被 所截得的角；
AC、BC被AB所截得的同旁内角是 . 答案：CD，BE，同位角；
AB，BC，AC，同旁内角；
AB，CD，AC，内错角；
∠4和∠5 6.如图，AB、DC被BD所截得的内错角是，AB、CD被AC所截是的内错角是 ，AD、BC被BD所截得的内错角是 ， AD、BC被AC所截得的内错角是 . 答案：∠1和∠5；
∠4和∠8；
∠6和∠2；
∠3和∠7 7.如图,图中共有几对内错角?这几对内错角分别是哪两条直线被哪一条直线所截构成的? 解：BC、BE被DF截得的两对内错角；
∠DFB和∠CDF；
∠FDB和∠DFE；
AC、AD被BE截得的两对内错角：∠AFE和∠CEF，∠AEF和∠EFD 第7题图 第8题图 8.如图,直线AB、CD被EF所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数是多少？ 解：∠3=70°，∠4=70° 9.如图请指出图中的同旁内角.(提示：请仔细读题、认真看图) 解：∠1与∠5；
∠4与∠6；
∠1与∠A；
∠5与∠A 【教学说明】学生在练习时，教师一定要强调找角时要紧抓定义. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材“习题4.1”中第4、5、6、10题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课学生对简单图形的对顶角、同位角、内错角、同旁内角判定较准确，有部分学生可能由于课上速度太快没有能完全理解这些角的关系，针对课堂反馈的信息及时对学习困难的学生进行补差补缺，及时纠正，让所有学生都有收获，激发他们学习的兴趣. 4.3 平行线的性质 【知识与技能】 经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算. 【过程与方法】 经历观察、测量、推理、交流等活动,进一步发展空间观念，有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力. 【情感态度】 在自己独立思考的基础上,积极参与小组活动.在对平行线的性质进行的讨论中,敢于发表自己的看法,并从中获益. 【教学重点】 平行线的三条性质及简单应用. 【教学难点】 平行线的三条性质及简单应用. 一、情景导入，初步认知 在前面，我们学习了两条直线被第三条直线所截，产生了同位角、内错角、同旁内角，如果这两条直线平行(如图)，那么这些角之间分别有什么关系呢？ 【教学说明】让学生带着疑问进入课堂，激发学生的学习积极性. 二、思考探究，获取新知 1.如图，AB∥CD，用量角器量出下面两个图形中标出的角. 根据上面的操作，你能得出什么？上面的两组角都是同位角.请同学们画两条平行线，然后画一条直线和平行线相交，用量角器测量一下，它们产生的几组同位角是否也符合这个结论？ 如图，AB∥CD. 将∠α沿着FE方向作平移，使M点移动到N点重合，则有CD∥AB，这时∠α成了∠β，因此∠α=∠β. 由此，你能得到什么结论？请归纳. 【归纳结论】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. 2.如图，CD∥AB，那么∠1和∠2有什么关系呢？ ∵CD∥AB， ∴∠1=∠4(两直线平行，同位角相等). ∵∠2=∠4(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换). 由此，你能得到什么结论？请归纳. 【归纳结论】两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说成：两直线平行，内错角相等. 3.如图，CD∥AB，那么∠1和∠3有什么关系呢？ ∵CD∥AB， ∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等). ∵∠2+∠3=180°， ∴∠1+∠3=180°(等量代换). 由此，你能得到什么结论？请归纳. 【归纳结论】两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说成：两直线平行，同旁内角互补. 【教学说明】通过测量、猜想、验证，让学生在动手探索的过程中感知平行线的性质. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P87例1、例2. 2.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°,则∠DBC的度数为(A) A.55° B.65° C.75° D.125° 3.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)∠1=∠2；
(2)∠1=∠3；
(3)∠3=∠2中正确的个数为(D) A.0 B.1 C.2 D.3 4.如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线(D) A.互相垂直 B.互相平行 C.互相重合 D.以上均不正确 5.如图已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论(1)AB∥CD，(2)AD∥BC，(3)∠B＝∠D，(4)∠D=∠ACB，正确的有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，如果∠1=∠2，那么∠2+∠3=180°吗？为什么？ 解：∵∠1=∠2， ∴l1∥l2. ∴∠2+∠3=180°(两条直线平行，同旁内角互补). 7.如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由. 解：∵AB∥CD， ∴∠B=∠1. ∵BF∥CE， ∴∠C=∠2. ∵∠1+∠2=180°， ∴∠B+∠C=180°. 即∠B与∠C互补. 8.如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数. 解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD=∠BCD. ∵∠ACB＝50°， ∴∠BCD=25°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠BCD=25°. ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠B=180°. ∴∠BDE=180°-∠B=110°. ∴∠BDC=85°. 9.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC之间的关系，并说明理由. 解：∠BEF=∠EFC.理由如下：
分别延长BE、DC相交于点G. ∵AB∥CD， ∴∠1=∠G(两直线平行，内错角相等). ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠G， ∴BE∥FC. ∴∠BEF=∠EFC(两直线平行，内错角相等). 【教学说明】通过做题训练强化学生掌握平行线的性质及应用，同时也便于发现学生在运用性质过程中出现的问题，教师可以加以强调，减少学生的错误. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材“习题4.3”中第3、4、6题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 在平行线的性质这一课时中，重点内容为平行线性质的探究及应用，所以在授课过程中应将重点放在学生对性质的理解上，并强化学生基于性质之上的应用，使学生掌握并进行实际应用，并在挖掘概念的过程中提炼出内容的实质并注重知识的落实. 4.4 平行线的判定 第1课时 用同位角判定平行线 【知识与技能】 理解平行线的判定方法“同位角相等两直线平行”并学会运用这一判定方法进行简单的几何推理. 【过程与方法】 经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题. 【情感态度】 进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力. 【教学重点】 同位角相等两直线平行. 【教学难点】 运用平行线的判定方法进行简单的推理. 一、情景导入，初步认知 1.在同一平面内，两条直线的位置关系是 . 2.在同一平面内， 两条直线的是平行线. 3.如何判定两条直线是否平行呢？ 【教学说明】教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.动手操作移动活动木条，改变图中∠1的大小，使∠1=90°，那么∠2为多少度时，木条a与木条b平行？若∠1分别为60°、120°时，∠2为多少度，木条a与木条b平行？ 按照上面的操作，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内交流. 你能用几何推理的方法说明这个结论吗？ 【归纳结论】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称“同位角相等，两直线平行”. 2.想一想，观察教材第91页图4-28， 如何利用三角板画平行线？小明是这样做的，你认为他做得对不对？你能说明其中的原理吗？ 3.如图，直线AB、CD被直线EF所截， ∠1+∠2=180°，AB与CD平行吗？为什么？ 解：∵∠1+∠2=180°, ∠1+∠3=180°, ∴∠2=∠3， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 【教学说明】由浅入深，充分地让学生经历了解决问题的过程.动手操作，提高了学生的学习兴趣，较好的突出了重点，突破了难点. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P91例2. 2.如图所示，∠CEF=90°，∠2＝26°，当∠1＝64° 时，AB∥CD. 3.如图，已知∠1=∠2,AB∥CD吗？为什么？ 解：AB∥CD.理由：∵∠1=∠2(已知)，∠2=∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠3(等量代换). ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 4.如图，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？ 解：∵∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD. 又∵∠1=∠4， ∴AB∥EF， ∴AB∥CD∥EF. 5.如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，CD∥BE.吗？为什么？ 解：CD∥BE.理由：
∵∠AOE＋∠BEF＝180°， ∠AOE＋∠CDE＝180°， ∴∠BEF＝∠CDE， ∴CD∥BE(同位角相等，两直线平行). 6.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，AE∥BC吗？为什么？ 解：AE∥BC.理由：
∵∠DAC＝∠B＋∠C， ∠B＝∠C， ∴∠DAC＝2∠B. ∵AE是∠DAC的平分线， ∴∠DAC＝2∠1， ∴∠B＝∠1， ∴AE∥BC. 7.已知DE平分∠BDF,AF平分∠BAC，且∠1=∠2，试说明DF//AC. 解：∵DE平分∠BDF,AF平分∠BAC， ∴∠BDF=2∠1， ∠BAC=2∠2. 又∵∠1=∠2， ∴∠BDF=∠BAC， ∴DF//AC. 【教学说明】进一步激发学生的探究兴趣，学会用所学知识解释和解决实际生活中的问题，提高能力. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材P91“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 整节课构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点.所以，合理把握问题教学，是保证学生自主、合作、探究的学习方式向纵深发展的关键，要克服以完成教学任务为主要目标、不舍得给学生探究时间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、探究的时间和空间. 第2课时 用内错角、同旁内角判定平行线 【知识与技能】 1.使学生掌握利用内错角、同旁内角判定两直线平行的判定方法. 2.能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算. 【过程与方法】 经历观察、操作、想象、推测、交流等活动，体会利用操作、归纳等方法获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理的表达能力. 【情感态度】 使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系. 【教学重点】 会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的判定方法. 【教学难点】 会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的判定方法. 一、情景导入，初步认知 小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB(如图所示).他只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？ 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.通过合作学习，提出猜想. ①若图中，直线AB与CD被直线EF所截，若∠2=∠3，则AB与CD平行吗？ 你可以从以下几个方面考虑：
(1)我们已经有怎样的判定两直线平行的方法？ (2)有∠2=∠3，能得出有一对同位角相等吗？ (3)你能证明吗？ 因为∠1与∠3是对顶角， 所以∠1=∠3， 因为∠2=∠3， 所以∠1=∠2. 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 由此你又获得怎样的判定平行线的方法？ 【归纳结论】 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行.简单的说，内错角相等，两条直线平行. 教师强调几何语言的表述方法：
∵∠2=∠3， ∴AB∥CD(内错角相等，两条直线平行). 2.若图中，直线AB与CD被直线EF所截，若∠1+∠2=180°，则AB与CD平行吗？ 你可以从以下几个方面考虑：
(1)我们已经有怎样的判定两直线平行的方法？ (2)有∠1+∠2=180°，能得出有一对同位角相等吗？ (4)你能说明理由吗？ 因为∠1+∠2=180°， 且∠3+∠2=180°， 所以∠1=∠3. 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 由此你又获得怎样的判定平行线的方法？ 【归纳结论】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行.简单的说，同旁内角互补，两条直线平行. 教师强调几何语言的表述方法：
∵∠1+∠2=180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两条直线平行). 【教学说明】在学生交流的基础上，教师再利用课件展示，进一步验证结论，从而引导学生得出结论. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P93例3、例4. 2.如图所示，下列条件中不能判定DE∥BC的是(C) A.∠1=∠C B.∠2=∠3 C.∠1=∠2 D.∠2+∠4=180° 3.如图,一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗?为什么? 解：说管道AB∥CD是对的. 理由:∵∠ABC=120°,∠BCD=60°, ∴∠ABC+∠BCD=180°, ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行). 4.如图所示，∠ABC=90°，∠BCD=90°，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？ 解：EB∥CF，理由如下：
∵∠ABC=∠BCD=90°, ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°， ∵∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∴EB∥CF(内错角相等，两直线平行). 5.已知：如图，∠ABC=90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3.BE∥DF吗？为什么？ 解:BE∥DF.理由：
∵∠1＋∠2＝90°， ∠2＝∠3， ∴∠1＋∠3＝90°， 又∵∠ABC=90°， ∴∠3＋∠4＝90°， ∴∠1＝∠4, ∴BE∥DF(同位角相等，两直线平行). 6.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由. 解：AB∥CD.理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线， ∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2. 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 【教学说明】通过练习及时巩固所学知识，并学会灵活应用. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材“习题4.4”中第5、7、8题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过上这节课我感觉讲解基本到位，练习难度适中，基本达到练习的目的.但仍然存在很多不足的地方，如：课堂气氛不理想，没有完全体现学生的主体地位；
探究学习引导不够，导致占用时间过多，从而使后面的环节有些仓促.如果在这几个方面处理得更好一些的话，效果会更好. 4.5 垂线 第1课时 垂线 【知识与技能】 了解垂线的概念及垂线的有关性质. 【过程与方法】 经历观察、操作、交流、归纳、概括等活动，进一步发展空间概念，提高动手操作技能. 【情感态度】 培养学生合作交流的方法和意识，以及在实际生活中应用数学的意识. 【教学重点】 垂线的概念及垂线的有关性质. 【教学难点】 垂线的应用. 一、情景导入，初步认知 如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？ 【教学说明】通过动手操作，使学生初步感知垂直的定义. 二、思考探究，获取新知 1.观察下图，直线AB与直线CD有什么位置关系？∠AOD有多少度？ 【归纳结论】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂直用“⊥”表示，如上图，直线AB垂直于直线CD，记作“AB⊥CD”,读作“AB垂直于CD”，垂足为O.生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,你能再举一些其他的例子吗？ 两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足，如下图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足. 2.如图，在同一平面内，直线a⊥l,b⊥l,那么a∥b吗？ 因为a⊥l， 所以∠1=90°(垂直定义). 因为b⊥l， 所以∠2=90°(垂直定义)， 所以∠1=∠2， 所以a∥b(同位角相等，两直线平行). 由此，你可以知道什么？ 【归纳结论】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 3.如图，在同一平面内，a∥b，如果a⊥l，那么b⊥l吗？ 因为a⊥l， 所以∠1=90°(垂直定义). 因为a∥b， 所以∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)， 所以∠2=90°， 所以b⊥l(垂直定义). 由此，你可以知道什么？ 【归纳结论】在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线. 【教学说明】通过学生亲自证明、推理，这样学生掌握得更牢固. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P97~98例1、例2. 2.两条直线相交形成四个角，如果其中一个角为70°，则另外三个角的度数分别是 . 答案：110°、70°、110° 3.下面所叙述的两条直线是否垂直？ ①两条直线相交所成的四个角相等; ②两条直线相交,有一组邻补角相等; ③两条直线相交,对顶角互补. 解：①②③都是垂直的. 4.如图所示，AB⊥CD，垂足为O，OE是一条射线，且∠AOE=35°求∠BOE、∠COE的度数. 解：因为AB⊥CD, 所以∠AOC=90°. 因为∠AOE=35°, 所以∠COE=55°. 因为AB⊥CD, 所以∠COB=90°, 所以∠BOE=145°. 5.如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF的度数. 解：因为OE⊥CD, 所以∠DOE=90°,∠COE=90°. 因为∠1=50°, 所以∠AOD=40°, 所以∠COB=40°. 所以∠EOB=130°. 因为OD平分∠AOF, 所以∠DOF=∠AOD=40°. 所以∠BOF=180°-∠COB-∠DOF=100°. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材P98“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 课堂时间分配不妥(前松后紧)导致部分学生对知识的实际运用不够灵活，部分题目在教师的点拨下才能完成.针对课堂出现的这些问题，只能在课后对部分特殊的学生进行辅导、纠正，激发他们的学习兴趣，让他们喜欢学习数学. 第2课时 垂线段与点到直线的距离 【知识与技能】 1.掌握点到直线的距离的有关概念. 2.会作出直线外一点到一条直线的垂线. 3.理解垂线段最短的性质. 【过程与方法】 经过观察、分析、抽象、概括、画图等数学活动过程，进一步发展思维能力. 【情感态度】 体会数学的应用价值. 【教学重点】 点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质. 【教学难点】 垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法. 一、情景导入，初步认知 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗? 【教学说明】通过实际问题的引入，让学生感受到生活中处处可以遇到垂直问题，体会数学在生活中的应用价值. 二、思考探究，获取新知 1.学生用三角尺画已知直线l的垂线. (1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，过点P画已知直线l的垂线(用三角尺画，语言叙述步骤),这样的垂线能画几条? (3)经过直线l外的一点P画l的垂线,这样的垂线能画几条? 由画图可知：(1)可以画无数条；
(2)可以画一条；
(3)可以画一条. 由此你能得到什么结论？ 【归纳结论】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2.如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段，经过点P的其它直线交l于A,B,C……,线段PA,PB,PC……都不是垂线段，称为斜线段. (1)垂线与垂线段有何区别和联系？ 区别：垂线是直线，垂线段是线段. 联系：垂线和垂线段都有垂直关系. (2)用刻度尺量一量PA,PB,PC，PO的长度，你发现了什么？ 【归纳结论】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短. 我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离. 注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离. 3.完成P100“做一做”. 【教学说明】教师分析讲解，引出相关概念，并进行补充. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P100例3. 2.如图， ①过点Q作QD⊥AB，垂足为D， ②过点P作PE⊥AB，垂足为E， ③过点Q作QF⊥AC，垂足为F， ④连P、Q两点， ⑤P、Q两点间的距离是线段 的长度， ⑥点Q到直线AB的距离是线段 的长度， ⑦点Q到直线AC的距离是线段 的长度， ⑧点P到直线AB的距离是线段 的长度. 解：①②③④作图如图所示：
⑤PQ ⑥QD ⑦QF ⑧PE 3.如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A到直线BC的距离为 ，点B到直线AC的距离为 ，A、B间的距离为 . 答案：4，3，5 4.如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流. (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由. 解：如图所示: (1)沿AB走，两点之间线段最短；

(2)沿BD走，垂线段最短；

(3)沿AC走，垂线段最短. 5.如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°， (1)若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；

(2)若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；

(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理. 解：(1)∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°， ∠BOD=∠COD-∠BOC=45°. (2)∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=65°， ∠BOD=∠COD-∠BOC=65°. (3)∠AOC=∠BOD，等角的余角相等. 6.如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数. 解：∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°， ∴∠AOC=130°. ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOF=∠FOC=65°. ∵OE⊥OF， ∴∠EOF=90°. ∴∠BOE=180°-∠AOF-∠EOF =180°-65°-90°=25°. 【教学说明】学生自己独立完成.使所学知识得到巩固提高. 四、师生互动,课堂小结 1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识? 2.通过本节课的学习，你最大的体验是什么? 3.通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？ 1.布置作业:教材“习题4.5”中第6、7、8题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 一节课下来还是会发现自己的教学有很多不如意、有待改进的地方，比如课堂整体氛围的调控，教学内容的突破，对学生个体差异的忽略等等.还需要不断学习、取经、完善课堂. 4.6 两条平行线间的距离 【知识与技能】 1.理解公垂线段及其相关定理、平行线之间的距离的概念. 2.能够测量两条平行线之间的距离，会画已知直线已知距离的平行线. 【过程与方法】 通过将平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体会转化的数学思想. 【情感态度】 体会数学的应用价值. 【教学重点】 理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系. 【教学难点】 平行线之间的距离的应用. 一、情景导入，初步认知 1.什么是点到直线的距离？ 2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？ 【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 1.做一做. 我们知道数学课本的对边是互相平行的，请你测量自己的数学课本的宽度.要注意什么问题？(刻度尺要与课本两边互相垂直) 2.公垂线、公垂线段的概念. 如下图：
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的 .如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的 .图中的线段AB和CD就叫做平行线m与n的 . 两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条直线的 . 通过上面的操作，我们可以得到什么？ 【归纳结论】公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等. 我们把两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线间的距离. 3.如图设直线a、b、c是三条平行直线.已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离. 解：在直线a上任取一点A，过A作AC⊥a，分别交b、c于B、C两点，则AB、BC、AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段. 所以AC＝AB+BC＝5＋2＝7(厘米)， 因此a与c的距离为7厘米. 三、运用新知，深化理解 1.利用平移画一条直线和已知直线a平行且两条平行线间的距离为2cm(思考可以画几条). 解：可以画2条，画图略. 2.如图：按要求完成以下作图：
(1)过P点作一条直线CD平行于AB,像CD这样平行于AB的直线有且 一条. (2)过P点作线段PQ⊥CD交AB于Q，那么PQ就叫做平行线AB、CD间的 ；
说一说PQ与AB的关系 ：. (3)过AB上的E点，作EF⊥AB交CD于F，说一说EF与CD的关系：
.同理，EF也是平行线AB、CD间的 ；

(4)在AB、CD间，像PQ这样的垂线段有 条. 答案：(1)只有；
(2)公垂线段；
垂直；
(3)垂直；
公垂线段；
(4)无数条.作图略. 3.如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？ 解：分别过P、Q两点作PC⊥AB,QD⊥AB,垂足为C、D. 因为MN//AB，PC⊥AB,QD⊥AB， 所以PC=QD. 因为三角形PAB的面积=(AB·PC)， 三角形QAB的面积= (AB·QD)， 所以三角形PAB和三角形QAB的面积相等. 4.如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的距离. 解：∵AF⊥DE，DE∥BC， ∴AF⊥BC， ∵DH⊥BC， ∴DH∥GF， ∵DE∥BC， 且DH⊥BC，GF⊥BC， ∴DH=GF=4cm， ∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm. 即点A到BC的距离是8cm. 【教学说明】通过练习，检测学生的掌握情况，教师再作适当的强调. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材“习题4.6”中第1、3、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 根据知识的建构原理，知识是由学习者通过学习活动，经过了解、理解、掌握等过程建构起来的.学生是教学活动的主体，老师作为教学活动的组织者、引导者、合作者，所以本节课，应首先为学生创设积极的学习氛围，激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会“做中学”.学习基本的知识技能、数学思想方法和解决实际问题的能力，并培养学生的合作意识和创新探究的能力，在过程中体会成功，树立自信心. 章末复习 【知识与技能】 在复习本章知识的基础上，理清知识脉络，建立起完善的知识结构. 【过程与方法】 经历利用相交线、平行线的有关性质解决、解释实际问题的过程.从中体会分析问题、解决问题的一些思想(分类、转换、建模)和方法(分析、综合)，发展空间观念和推理能力. 【情感态度】 在观察、想象、推理、交流的数学活动中，初步养成言之有据的习惯，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，积累活动经验(学习或思维的方法、策略等). 【教学重点】 平行线的判定和性质. 【教学难点】 平行线的判定和性质的综合应用. 一、知识结构 【教学说明】揭示知识点之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用. 二、释疑解惑，加深理解 1.平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线. 2.对顶角的概念：有公共的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线.这样的两个角叫做对顶角.对顶角相等. 3.同位角概念：在截线的同旁，并且分别位于被截线的相同一侧，这样的一对角叫做同位角. 4.内错角概念：在截线的异侧，并且分别位于被截线之间，这样的一对角叫做内错角. 5.同旁内角的概念：
在截线的同旁，并且分别位于被截线之间，这样的一对角叫做同旁内角. 6.平行线的性质：
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单的说，两直线平行，同位角相等. ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说，两直线平行，内错角相等. ③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说，两直线平行，同旁内角互补. 7.平行线的判定：
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说：同位角相等，两直线平行. ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. ③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行.简单的说，内错角相等，两条直线平行. ④两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行.简单的说，同旁内角互补，两条直线平行. 8.平移的概念：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫做平移. 原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像. 9.平移的特点：平移不改变图形的形状和大小.平移还不改变直线的方向. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 10.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另外一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足. 11.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线. 12.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 13.设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段. 14.垂线与垂线段有何区别和联系？ 区别：垂线是直线，垂线段是线段. 联系：垂线和垂线段都有垂直关系. 15.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短. 16.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 17.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等. 18.我们把两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线间的距离. 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 三、典例精析，复习新知 例1下列说法错误的是(B) A.同位角不一定相等 B.内错角都相等 C.同旁内角可能相等 D.同旁内角互补则两直线平行 例2同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；
②两直线不平行，则一定相交；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数是(D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3如图， (1)∵∠ABD=∠BDC(已知)，∴ ∥ ，( )；

(2)∵∠DBC=∠ADB(已知)，∴ ∥ ，( )；

(3)∵∠CBE=∠DCB(已知)，∴ ∥ ，( )；

(4)∵∠CBE=∠A，(已知)，∴ ∥ ，( )；

(5)∵∠A+∠ADC=180°(已知)，∴ ∥ ，( )；

(6)∵∠A+∠ABC=180°(已知)，∴ ∥ ，( ). 答案：(1)CD，AB；
内错角相等，两直线平行；
(2)AD；
BC；
内错角相等，两直线平行；
(3)CD；
BE，内错角相等；
两直线平行；
(4)AD；
BC；
同位角相等，两直线平行；
(5)AB；
CD；
同旁内角互补，两直线平行；
(6)AD；
BC；
同旁内角互补，两直线平行. 例4如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明：DC∥AB. 解:由AC平分∠DAB，故∠1=∠CAB，又∠1=∠2，所以∠2=∠CAB.因而AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 例5如图，平移三角形ABC，使点C移动到C′的位置. 解：略 【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力. 四、复习训练，巩固提高 1.若a⊥b,b⊥c，则a与c的位置关系平行. 2.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是(B) 3.如图，直线l1∥l2,则∠α为(D). A.150° B.140° C.130° D.120° 4.如图，有一条河，C是河边AB外一点：
(1)过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图. (2)现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多长？(本图比例尺为1∶2000) 解：如图：
(1)过点C画一平行线平行于AB. (2)过点C作CD垂直于AB交AB于点D. 然后用尺子量CD的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可. 5.如图，已知三角形ABC，AD⊥BC于D，E为AB上一点，EF⊥BC于F，DG∥BA交CA于G.∠1=∠2相等吗？为什么？ 解：：∠1=∠2.理由：
∵AD⊥BC,EF⊥BC， ∴∠EFB=∠ADB=90°， ∴EF//AD， ∴∠2=∠3. ∵DG//BA,∴∠3=∠1， ∴∠1=∠2. 6.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由. 解：∠A＝∠F.理由如下：
∵∠1＝∠DGF， 又∠1＝∠2， ∴∠DGF＝∠2， ∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行). ∴∠DBA＝∠C(两直线平行，同位角相等). 又∵∠C＝∠D， ∴∠DBA＝∠D， ∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行). ∴∠A＝∠F(两直线平行,内错角相等). 7.如图，已知∠ABC.请你再画一个∠DEF，使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC边与点P. 探究：∠ABC与∠DEF的数量关系?并说明理由. 解：∠ABC与∠DEF的数量关系是 相等或互补.理由：
如图①，因为DE∥AB, 所以∠ABC=∠DPC，又因为EF∥BC, 所以∠DEF=∠DPC. 于是有∠ABC=∠DEF. 如图②， 因为DE∥AB, 所以∠ABC＋∠DPB=180°， 又因为EF∥BC, 所以∠DEF=∠DPB. 于是有∠ABC＋∠DEF=180°. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1.布置作业:教材“复习题4”中第3、7、8、9、12、15、17题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 在数学课堂中、开展探究式学习是接受性学习的补充，它有效地促进了学生学习方式的改变，学生从被动的接受性学习变为主动的探究性学习. 第5章 轴对称与旋转 5.1 轴对称 5.1.1 轴对称图形 【知识与技能】 通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称图形，会找出简单的对称图形的对称轴. 【过程与方法】 通过大量的实例初步认识轴对称图形，能识别简单的轴对称图形. 【情感态度】 通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体验轴对称在现实生活中的广泛应用，体会数学来源于生活. 【教学重点】 正确理解轴对称图形的概念. 【教学难点】 正确理解轴对称图形的概念. 一、情景导入，初步认知 从各小组收集的图片中选择一些有代表性的，用投影仪演示.使学生能够形象直观地感受图形的对称. 看完图片以后教师总结：自远古以来，对称形式被认为是和谐、美丽并且是真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.请学生自己讨论，在生活中你见过那些对称图形？ 【教学说明】通过观察图片，使学生能够形象直观地感受图形的对称，使学生明白对称在美学和自然界中的作用. 二、思考探究，获取新知 1.观察教材第113页图5-1，你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述. 【归纳结论】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴. 理解轴对称图形应注意三点：(1)轴对称图形是一个图形；
(2)对折；
(3)重合. 2.哪些图形是轴对称图形？ 教师可以启发学生：
(1)用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形；

(2)被折叠的那条直线就是它的对称轴. 3.动脑筋：下列图像各有几条对称轴？ 【教学说明】通过感官加深对轴对称图形和对称轴的理解. 三、运用新知，深化理解 1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是(A) 2.如图所示，下面的5个英文字母中是轴对称图形的有(B) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图所示的图案中，是轴对称图形的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由. 解：(3)比较独特，它有无数条对称轴，其他图形只有两条对称轴. 5.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴. 解：(1)2条 (2)4条 (3)5条 (4)3条；
画图略. 6.你认识世界上各国的国旗吗？如图所示，观察下面的一些国家的国旗，是轴对称图形的有(甲、乙、丙、戊) 7.如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由. 解：②；
不是轴对称图形. 【教学说明】进行适当的由浅入深，由感性到理性的一些练习，老师进行一些必要的讲解，打好学生的知识技能和运算能力的基础. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第117页“习题5.1”中第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节通过大量生动的生活中的实例引领学生进入图形中的对称世界，深刻体会对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.同时通过本节的学习与探索，使同学们对对称的认识由感性到理性，由浅到深，为后面抽象的对称图形的学习做好铺垫工作. 5.1.2 轴对称变换 【知识与技能】 1.学生通过观赏多媒体课件，掌握轴对称变换的有关概念. 2.通过本课学习，学生能用变换的思想来理解生活中的相关现象，并能用变换的思想来加以解释. 【过程与方法】 通过学生操作轴对称变换，师生共同总结其性质并应用. 【情感态度】 培养学生的作图能力及知识的应用能力. 【教学重点】 轴反射和两个图形成轴对称的理解. 【教学难点】 轴反射和两个图形成轴对称的理解. 一、情景导入，初步认知 观察：在一张纸上盖上一个印，趁油墨未干之时，将纸张对折得到一个图形，随后打开纸张展平，观察两图形会有怎样的现象？ 我们上面探讨的是一个图形具有的特点.这里是两个图形关于直线l对折后重合，我们又把它叫做什么呢？ 【教学说明】通过情景导入，提高学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.两图形沿着某直线对折后能互相重合，就叫做该图形关于直线作了轴对称变换，也称轴反射.如上图，(a)叫做原像，图形(b)叫做图形(a)在这个轴反射下的像. 2.如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.原像与像中能够互相重合的两个点，其中一个叫做另外一个关于这条直线的对应点.如上图，点A′是A的对应点. 3.观察上面的两个图形，它们的大小、形状发生变化了吗？ 【归纳结论】轴对称变换不改变图形的形状和大小.轴反射后，长度、角度和面积等都不改变. 4.探究 如图，三角形ABC和三角形A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对应点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ (1)设AA′交对称轴MN于点P，将三角形ABC和三角形A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？于是有PA＝___，∠MPA＝____＝____度. (2)对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？ (3)那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？ 【归纳结论】成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 5.如图，已知三角形ABC和直线l，请你作出三角形ABC关于直线l对称的图形. 作法：1.过点A作直线l的垂线，垂足为点O，延长AO至点A′，使AO=A′O,点A′就是点A关于直线l的对称点；

2.类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B′、C′. 3.连接A′B′、B′C′、C′A′. 总结：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点(确定图形中的一些特殊点)；

2.画点(画出特殊点关于已知直线的对称点)；

3.连线(连接对称点). 【教学说明】通过例题讲解，引导学生思考，加深印象. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P117例2. 2.下列说法错误的是(C) A.等边三角形是轴对称图形 B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等 C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 3.设A、B两点关于直线MN轴对称,则直线MN 垂直平分线段AB . 4.将一张矩形纸对折，用圆规针尖扎出一个“∑”符号，然后将纸打开后铺平. (1)图中两个“∑”关于折痕l____. (2)在扎出∑的过程中，点A与____重合，点B与____重合，点C与C′重合；
线段AB与____重合，线段BC与____重合，∠OAB与____重合，∠ABC与____重合. ∴线段AB___线段A′B′，线段BC___线段B′C′，∠OAB___∠O′A′B′，∠ABC___∠A′B′C′.(以上四空填“=”或“≠”) 答案：(1)对称 (2)A′ B′ A′B′ B′C′ ∠O′A′B′ ∠A′B′C′ = = = = 5.在下列方格纸上画出关于直线l对称的图形. 6.如图，已知三角形ABC和直线MN.求作：三角形A′B′C′，使三角形A′B′C′和三角形ABC关于直线MN对称. 解：
7.如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，求三角形PMN的周长. 解：∵点P1是点P关于OA的对称点，∴OA垂直平分PP1，则P1M=PM，同样道理P2N=PN，这样三角形PMN的周长PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=5cm. 8.如图，三角形ABC和三角形A′B′C′关于直线m对称. (1)结合图形指出对应点. (2)连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？ (3)延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流. 解：(1)A和A′，B和B′，C和C′是对应点；

(2)m垂直平分线段AA′；

(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 【教学说明】通过练习，检测学生的掌握情况. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第118页“习题5.1”中第3、5题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课应采用小组学习模式，在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成. 5.2旋转 【知识与技能】 通过具体实例认识旋转，了解旋转的定义,能说出旋转中心、旋转角.掌握旋转的性质. 【过程与方法】 经历探索图形的旋转过程，发展几何直觉，领悟变换的数学思想方法. 【情感态度】 经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，感知数学美，体会数学学习的乐趣. 【教学重点】 旋转的性质. 【教学难点】 旋转的性质及其应用. 一、情景导入，初步认知 1.向学生展示有关的图片：
(1)时钟上的秒针在不停的转动；
(并介绍顺时针方向和逆时针方向) (2)飞速转动的电风扇叶片；

(3)汽车上的雨刮器. 2.演示俄罗斯方块游戏 【教学说明】观察图片、演示俄罗斯方块游戏——构成游戏的模块均是由一个小正方形通过平移变换而来.学生通过玩游戏，发现除了平移运动之外还有旋转运动.引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例，引出课题：“生活中的旋转”. 二、思考探究，获取新知 1.我们观察了上面的三幅图片，你能说出它们在转动过程中有什么共同特征吗？ (1)钟表上的秒针是怎样走动的呢？ (2)电风扇启动后，它的叶片是怎样运动的呢？ (3)汽车上的雨刮器是怎样运动的呢？ 像前面三个例子那样，将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点O旋转同一个角a，得到图形F′，图形的这种变换就叫做旋转.这个定点O叫做旋转中心.角a叫做旋转角.原位置的图形F叫做原像，新位置的图形F′叫做原图形F在旋转下的像.图形F上的每一个点P与它在旋转下的像点P′叫做在旋转下的对应点. 显然前面的三种图像的变换都是旋转，可让学生分别找出它们的旋转中心.促进学生理解旋转的相关概念. 2.将三角形ABC以O为旋转中心旋转60°得到三角形A′B′C′.P点在这个旋转下的像是P′点.那么OA′与OA相等吗？∠POP′和∠AOA′相等吗？度数是多少？ 【归纳结论】一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等. 3.在上面的旋转中，三角形ABC与三角形A′B′C′的大小，形状发生了变化没有？ 【归纳结论】旋转不改变图形的形状和大小. 【教学说明】引导学生观察图形，总结旋转的相关性质. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P121例题. 2.如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是什么? (2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？ (3)旋转角是什么？ (4)AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ (5)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？ 解：(1)O (2)D、E (3)∠BOE和∠AOD (4)相等；
相等 (5)相等 3.下列关于旋转和平移的说法正确的是(D) A.旋转使图形的形状发生改变 B.由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C.平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小 D.对应点到旋转中心距离相等 4.如图把正方形绕着点O旋转，至少要旋转90° 度后才能与原来的图形重合. 5.如图所示，三角形ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，三角形AEC按顺时针方向转动一个角后成三角形AFB. (1)图所示中哪一点是旋转中心？ (2)旋转了多少度？ (3)指出图中的对应点、对应线段和对应角. 解：(1)A;(2)90°;(3)A的对应点是A,E的对应点为F,C的对应点是B;AC的对应线段AB,AE的对应线段是AF,EC的对应线段是FB;∠1的对应角为∠2,∠3的对应角为∠F,∠C的对应角为∠4. 6.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，∠BAF=70°，且AE=2，三角形ABF是三角形ADE的旋转图形. (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？ 解：(1)旋转中心是A点. (2)∵三角形ABF是由三角形ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，∴∠DAB=90°就是旋转角. (3)AF=AE=2. 7.如图：P是等边三角形ABC内的一点，将三角形ABP旋转分别得到三角形BQC和三角形ACR， (1)分别指出旋转中心、旋转方向和旋转角度. (2)三角形ACR是否可以直接通过旋转三角形BQC得到？ 解：略. 【教学说明】让学生通过观察图形的特点，发现图形的旋转关系，巩固旋转的性质. 四、师生互动,课堂小结 引导学生从以下几个方面进行小结：
(1)这节课你学到了什么? (2)对自己的学习情况进行评价. 1.布置作业:教材第121页“习题5.2”中第3、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 在教学的全过程中，我始终以提问、指导学生操作等方式来引导学生发现规律；
所有的特征都是通过学生自己观察图形，体会、归纳得出.这样可以有效地培养学生的合作交流、独立思考、解决问题的能力. 在练习的设计上，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征，解决生活与实际问题，从而体现数学的价值；
同时，不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”. 5.3图形变换的简单应用 【知识与技能】 1.会识别图案中的基础图形,通过对图形的识别与欣赏,进一步加深图形的平移、旋转和轴反射概念与性质的理解. 2.能将一些基础图形经过平移、旋转和轴反射等变换设计一些美丽的图案. 【过程与方法】 通过图形的三种变换提高学生的应用意识. 【情感态度】 欣赏轴对称、平移、旋转等变换在现实生活中的应用. 【教学重点】 运用图形变换设计图案. 【教学难点】 运用图形变换设计图案. 一、情景导入，初步认知 1.旋转具有哪些性质? 2.图形旋转和图形平移有哪些相同性质? 【教学说明】复习相关知识，为本节课的教学作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.请观察下图. (1)说说它们由哪些基本图形组成. (2)图中运用了哪些图形变换？为什么？在图中用虚线把基础图形圈起来. (学生可能回答：平移变换、旋转变换、轴对称变换等等，教师重点提示抓住平移变换这一要点进行分析) 如果将上面三个图案的变换方式互换,看看能不能变成美丽的图案,为什么? 2.做一做.请利用简单图形的图形变换，设计一幅图案，并与同伴交流. 【教学说明】观察与动手操作是学习数学的基本能力. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P124例题. 2.下图的4个图案中，是由基本图形经过旋转得到的是___(只写出图案序号即可). 解析：图案①、图案②是由基本图形经过平移得到的；
图案③、图案④是由基本图形经过旋转得到的. 答案：③④. 3.在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是(D) 解析：分清旋转和轴对称的区别. 4.起重机将重物垂直提起，这可以看作是数学上的(B) A.轴对称 B.平移 C.旋转 D.变形 5.在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是(C) 6.下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程. 这个图形可以按照以下步骤形成: ①以一个三角形的一条边为对称轴作与它对称的图形; ②将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180°; ③分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形. 7.观察下图，分别说出它们由哪些基本图形组成，运用了哪些图形变换？ 8.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BE=DE.已知AC=10cm，BD=8cm，求阴影部分的面积. 解：阴影部分的面积是20平方厘米. 【教学说明】对本节知识进行巩固练习，使学生在发展空间概念的同时能够灵活运用平移、旋转轴对称的组合进行一定的图案设计. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第125页“习题5.3”中第1、4、5题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 学生经过学习，对轴对称、平移、旋转等图形变换的特点有了全面的认识，通过练习，对合理选择变换方式有了把握，这是将这一章的学习由理论上的探求转为实际应用的第一步.通过问题的解答，利用图形不同的变化，让学生了解生活中丰富多彩、千变万化的图形世界，形成初步思路，对本节课的内容有一个整体的感受.通过图形间的变换关系，使学生认识到一切事物的变化可以通过一系列基本变化的组合得到，体会事物从量变到质变的过程，培养学生的创新思维能力. 章末复习 【知识与技能】 梳理全章内容，建立知识体系；
掌握轴对称图形、轴对称、旋转的性质并灵活应用. 【过程与方法】 经历复习，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称、旋转的直观体验和理解，培养学生有条理的思考和语言表达能力. 【情感态度】 让学生进一步了解轴对称、旋转在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 会找出简单的轴对称图形，轴对称、旋转的图形，掌握它们的性质并应用. 【教学难点】 轴对称图形、轴对称、旋转的有关性质及其在现实生活中的应用. 一、知识结构 【教学说明】引导学生自主发现各知识点之间的联系，形成较完整的认知结构. 二、释疑解惑，加深理解 1.轴对称图形：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴. 两图形沿着某直线对折后能重合，就叫做图形关于该直线做了轴对称变换，也叫轴反射. 2.轴对称：
如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也叫两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴. 原像与像中能够互相重合的两个点，其中一个叫做另外一个关于这条直线的对应点. 3.轴对称的性质：
①轴对称变换不改变图形的形状和大小. ②轴反射后，长度、角度和面积等都不改变. ③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. ④如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 4.作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚：
①找点(确定图形中的一些特殊点)；

②画点(画出特殊点关于已知直线的对称点)；

③连线(连接对称点). 5.旋转：
将一个平面图形上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角，得到新图形，图形的这种变换就叫做旋转.这个定点叫做旋转中心.这个角叫做旋转角.原位置的图形叫做原像，新位置的图形F叫做原图形在旋转下的像.原像上的每一个点P与它在旋转下的像点P′叫做在旋转下的对应点. 6.旋转的性质：
①旋转不改变图形的形状和大小. ②一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等. 【教学说明】学生通过梳理知识体系，不仅能提高分析问题的能力，而且能够发现自身的不足，通过查漏补缺，完善知识结构. 三、典例精析，复习新知 例1如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是(B) 例2如图，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到三角形A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是____. 答案：55° 例3下列图案中，含有旋转变换的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：A 例4下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有() ①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角⑥平行四边形 A.5个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 例5下列的说法中,正确的是(C) A.能重合的图形一定是轴对称图形 B.中心对称图形一定是能重合的图形 C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心 D.两个能重合的三角形一定关于某一点成中心对称 例6如图，已知三角形ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°,B为AE上一点，三角形ABC经过旋转到达三角形EDC的位置，问：
(1)旋转中心是哪个点？旋转了多少度？ (2)若已知∠ACB=20°，求∠CDE、∠DEB的度数. 解：(1)旋转中心是点C，旋转了90°. (2)∵三角形ACE是等腰直角三角形， ∴∠CAB=∠CEA=45°， ∵三角形ABC经过旋转到达三角形EDC的位置， ∴三角形EDC与三角形ABC全等， ∴∠ECD=∠ACB=20°, ∠CED=∠CAB=45°， ∴∠DEB=∠CED+∠CEA=90°， 在三角形EDC中，∠ECD=20°，∠CED=45°， ∴∠CDE=180°-20°-45°=115°. 【教学说明】让学生在思考问题的过程中体会轴对称与旋转的特点和性质，这有助于加深对旧知识的理解，使掌握的知识与熟练的技能有机结合. 四、复习训练，巩固提高 1.下列标志中，是轴对称的有(B) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕点B顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么这个角度等于(A) A.120° B.90° C.60° D.30° 3.如图所示,三角形ABC平移后得到三角形DEF,已知∠B=35°,∠A=85°,则∠DFE=(A) A.60° B.35° C.120° D.85° 4.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将三角形BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到三角形DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为(B) A.10° B.15° C.20° D.25° 5.三角形ABC和三角形A′B′C′关于点O对称，下列结论不正确的是(C) A.OA=A′O B.AB=A′B′ C.CO=BO D.∠BAC=∠B′A′C′ 6.如图，已知P是正方形ABCD内一点，以B为旋转中心，把三角形PBC沿逆时针方向旋转90°得到三角形P′BA，连结PP′，求∠P′PB的度数. 答案：∠P′PB=45° 7.如图，在正方形网格上有一个三角形ABC. (1)画出三角形ABC关于直线MN的对称图形(不写画法)；

(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求三角形ABC的面积. 解：(1)如下图所示.我们利用图中格点，可以直接确定出三角形ABC中各顶点的对称点的位置，从而得到三角形ABC关于直线MN的对称图形三角形A′B′C′. (2)S三角形ABC=9. 点拨：利用和差法. 【教学说明】这些问题比较有挑战性、趣味性，可以让学生综合、灵活运用所学的知识解决问题.及时的反馈不仅仅检验了学生的掌握程度，而且易于发现学生的易错点，便于教师及时调整教学策略，对知识进行强调巩固. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的复习，你有什么收获？还存在什么疑惑？ 1.布置作业:教材第129页“复习题5”中第1、5、7、10、11题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过本节课的复习，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；
鼓励学生畅谈自己学习的心得和体会，激发学生对数学学习的兴趣与信心，培养学生独立梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力.锻炼学生语言组织及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程. 第6章 数据的分析 6.1 平均数、中位数、众数 6.1.1 平均数 第1课时 平均数 【知识与技能】 在现实的情景中理解平均数的意义，认识平均数的优、缺点. 【过程与方法】 通过探究，使学生掌握平均数的概念，利用平均数解决一些实际问题. 【情感态度】 培养学生对数学的感悟能力. 【教学重点】 平均数的意义及平均数的计算. 【教学难点】 正确运用平均数处理一些实际问题. 一、情景导入，初步认知 在小学我们已经学过平均数，你能用平均数的知识解决下面的问题吗？ 某校有24人参加了“希望杯”数学课外活动小组，分成三组进行竞争，在一次“希望杯”初赛前进行了摸底考试，成绩如下：
甲：80、79、81、82、90、85、94、98 乙：90、83、78、84、82、96、97、80 丙：93、82、97、80、88、83、85、83 怎样比较这次考试三个小组的数学成绩呢？ 解决这个问题我们只需要用到平均数，在小学我们学过平均数，但非常浅显，现在我们继续学习平均数，希望通过这节课的学习，同学们能加深对平均数概念的理解. 【教学说明】通过实际问题的导入，使学生初步感知平均数. 二、思考探究，获取新知 1.一个小组10名同学的身高(单位：cm)如下表所示：
(1)计算10名同学身高的平均数. (2)在数轴上标出表示这些同学的身高及其平均数. (3)观察表示平均数的点与其他的点的位置关系，你能得出什么结论？ 解：(1)平均数为：
=(151+156+153+158+154+161+155+157+154+157)÷10=155.6(cm). (2)在数轴上为：
(3)这些点都位于两侧，不会都在平均数的一侧；
可以作为这组同学的身高的代表值，它反映了这组同学的身高的平均水平. 【归纳结论】平均数是一组数据的数值的代表值，它刻画了这组数据整体的平均水平. 2.某农业技术员试种了三个品种的棉花各10株，秋收时他清点了这30株棉花的结桃数并记录在下表，哪个品种更好？ 分析：平均数可以作为一组数据的数值的代表值，要比较哪个品种较好，只要确定这三种棉花的平均结桃数就可以了. 解：设甲、乙、丙三个品种的平均结桃数为，则：
甲==83.5(个) 乙==83.0(个) 丙==82.0(个) 因为甲种棉花的平均结桃数高于其他两个品种棉花的平均结桃数.所以甲种棉花较好. 3.计算平均数时，有的数据比较大且多，所以我们可以用计算器来帮助我们计算，但不同型号的计算器其操作步骤可能不同，操作时需要参阅计算器的说明书. 4.在一次全校歌咏比赛中，7位评委给一个班级的打分分别是：9.00,8.00,9.10,9.10,9.15,9.00,9.58.怎样评分比较公正？ 我们可以计算这7位评委所打的分数的平均数，平均数为8.99. 想一想：这种计算方法对吗？若不对，应怎样计算？ 实际上评委的评判受主观因素的影响较大，评分也存在较大悬殊，为了消除极端数对平均数的影响，一般去掉一个最高分和一个最低分，最后得分取：
x==9.07 这个分数才比较合理地反映了这个班级的最后得分. 【教学说明】通过实际问题的应用，把学生的思维引向深处，使学生对平均数意义的理解更加深刻. 三、运用新知，深化理解 1.第一组6个数，平均数为6，第二组9个数平均数为1；
这两组数合成一组数据后，此时的平均数为___. 答案：3. 2.有100个数，它们的平均数为78.5，现在将其中的两个数82和26去掉，则现在余下来的数的平均数是___. 答案：79. 3.若3、4、5、6、a、b、c的平均数是12，则a＋b＋c＝___. 答案：66. 4.计算下列数据的平均数：35，35，35，47，47，84，84，84，84，125. 解：这10个数的平均数是：
(35+35+35+47+47+84+84+84+84+125)÷10=66 5.甲、乙两组各有8名同学，测量他们的身高，得到下面两组数据(单位：米)：
甲组：1.60，1.55，1.71，1.56，1.63，1.53，1.68，1.62. 乙组：1.60，1.64，1.60，1.60，1.64，1.68，1.68，1.68. 分别计算甲、乙两组同学的平均身高. 解：甲组同学的平均身高为：(1.60+1.55+1.71+1.56+1.63+1.53+1.68+1.62)÷8=1.61(米)乙组同学的平均身高为：(1.60+1.64+1.60+1.60+1.64+1.68+1.68+1.68)÷8=1.64(米) 6.小明班上同学的平均身高是1.4米，小强班上的平均身高是1.45米，小明一定比小强矮吗？ 解：不一定，因为这两个平均数只能反映他们各自班上所有学生的平均水平，而不一定代表小明身高是1.4米，小强的身高是1.45米. 7.个体户张某经营一家餐馆，下面是该餐馆所有工作人员2014年10月份的工资. 张某：4000元；
会计：700元；
厨师甲：1000元；
厨师乙：900元；
杂工甲：580元；
杂工乙：560元；
服务员甲：620元；
服务员乙：600元；
服务员丙：580元. (1)计算他们的平均工资. (2)不计张某的工资，再求餐馆员工的月平均工资. (3)哪个平均数能反映餐馆员工在这个月收入的一般水平?为什么？ 解：(1)餐馆全体员工的平均工资：
＝1060(元). (2)8位员工的平均工资：
＝692.5(元). (3)1060元不能代表餐馆员工在这个月的月收入的一般水平，因为员工中工资最高的厨师甲的月收入1000元也小于这个平均数，692.5元能代表员工在这个月的月收入的一般水平. 【教学说明】通过应用，把学生的思维引向深处，使学生对平均数意义的理解更加深刻.既巩固了求平均数的算法，又进一步拓展了平均数的意义. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第147页“习题6.1”中第2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课围绕平均数的实际意义而设计，环环相扣，不仅能有效地帮助学生加深对平均数的意义的理解，而且激发了学生学习数学的兴趣，充分调动了学生的积极性和主动性，产生了学习的动力,使其智力活动达到最佳激活状态，促进师生有效互动，提高信息交流效益，大大增强了课堂教学的实效性. 第2课时 加权平均数 【知识与技能】 体会“权”的差异对平均数的影响，算术平均数和加权平均数的联系与区别，能应用加权平均数解释现实生活中的一些简单现象，并能用它解决一些实际问题. 【过程与方法】 通过独立思考和小组讨论获得基本数学活动经验和交流合作的能力. 【情感态度】 进一步增强统计意识和数学应用能力，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，加深对数学的理解和学好数学的信心. 【教学重点】 “权”的意义和加权平均数的计算. 【教学难点】 “权”的意义和加权平均数的计算. 一、情景导入，初步认知 1.数据2、3、4、1.5的平均数是______. 2.一次数学测验中，3名同学的数学成绩分别是60，80和100分，则他们的平均成绩是多少？ 3.平均数有什么意义？ 【教学说明】通过回顾旧知让学生对将要学习的知识在心理上产生亲近感，并做好接受新知识的准备. 二、思考探究，获取新知 1.学校举行运动会，入场式中有七年级的一个队列，已知这个队共有100人，每行10人，其中前面两行同学的平均身高都是160厘米，接着3行同学的平均身高都是155厘米，最后5行同学的平均身高都是150厘米.怎样求这个队列的平均身高？ 解：(1)我们可以把这100名同学的身高加起来再除以100，就是平均身高. 你还有其它的计算办法吗？ (2)这组数据中有许多相同的数，相同的数求和可以用乘法来计算. 所以可以这样来计算他们的平均身高：
=(160×20+155×30+150×50)÷100 =160×+155×+150× =160×0.2+155×0.3+150×0.5 =153.5(cm). 【教学说明】通过此问题让学生意识到以前学的简单的算术平均数已经解决不了现在的问题，从而需要学习新的知识来解决此类问题. 2.在上面的算式中，0.2,0.3,0.5分别是160,155,150这三个数在数据组中所占的比例，分别称它们为这三个数的权数. 160的权数是0.2；

155的权数是0.3；

150的权数是0.5. 153.5是160、155、150分别以0.2、0.3、0.5为权的加权平均数. 思考：一组数据中所有的权的和是多少？“权”可以是百分数或者分数吗？ 3.有一组数据如下：
1.60、1.60、1.60、1.64、1.64、1.68、1.68、1.68 (1)计算这组数据的平均数. (2)这组数据中1.60、1.64、1.68的权分别是多少？求出这组数据的加权平均数. (3)这组数据的平均数和加权平均数有什么关系？ 解：(1)这组数据的平均数为 =1.64. (2)1.60的权数为，1.64的权数是，1.68的权为.这组数据的加权平均数为:=1.64. (3)这组数据的平均数和加权平均数相等，意义也恰好完全相同，但我们不能把求加权平均数看成是求平均数的简便运算，在许多实际问题中，权数及相应的加权平均数都有特殊的含义，平均数可看作是权数相同的加权平均数. 【教学说明】通过此例题，加深学生对每个数据相对应的“权”的理解.并且应用加权平均数来解决实际问题，在学生解答之后出示解题过程，可以让学生养成规范的解题习惯. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P141例1. 2.如果一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是，那么另一组数据x1，x2+1，x3+2，x4+3的平均数是(C) A. B.+1 C.+1.5 D.+6 3.某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电(C) A.41度 B.42度 C.45.5度 D.46度 4.甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克(B) A.6.7元 B.6.8元 C.7.5元 D.8.6元 5.为了增强市民的环保意识，某初中八年级(二)班的50名学生在今年6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况.统计数据如下表：
请根据以上数据回答：
(1)50户居民每天丢弃废旧塑料袋的平均个数是___个. (2)该校所在的居民区有1万户，则该居民区每天丢弃的废旧塑料袋约____万个. 解：3.7;3.7. 6.某班进行个人投篮比赛,下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,同时,已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球,问投进3个球和4个球的各有多少人？ 解：设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b，根据已知有 答：投进3个球的人数为9人，投进4个球的人数为3人. 7.某单位欲从内部招聘管理员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序组织200名职工利用投票推荐的方式对三人进行民主评议，三人得票(没有弃权票，每位职工只能推荐1人)如下图所示，每得一票记作1分. (1)请算出三人的民主评议得分；

(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用(精确到0.01)？ (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人的成绩，那么谁将被录用？ 解：(1)甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50分，80分，70分. (2)甲的平均成绩为：
(分)， 乙的平均成绩为：
≈76.67(分)， 丙的平均成绩为：
≈76.00(分). 由于76.67>76>72.67，所以候选人乙将被录用. (3)如果将理论考试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩， 那么甲的个人成绩为：
=72.9(分)， 乙的个人成绩为：
=77(分)， 丙的个人成绩为：
=77.4(分). 由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用. 【教学说明】考查学生的综合学习能力和灵活运用新知的能力. 四、师生互动,课堂小结 1.本节课你收获了什么？ 2.“权”的意义是什么？如何计算加权平均数？ 3.它与我们的生活息息相关. 1.布置作业:教材第147页“习题6.1”中第1、3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课问题设置层层递进让学生感到本节课内容易于理解和掌握，先独立思考而后再小组合作突破难点. 反思这一堂课，发现我在平均数教学过程中对概念忽略了，认为这一节内容只需要掌握计算方法即可，其实这不对，概念的学习是一个长效性的过程，概念虽然简单，但不留给学生充分的时间去消化理解，一些稍变化一些的题型都会让学生无所适从.所以，这部分教材处理仍然要注意不能过于“一带而过”，学习平均数概念不是目的，关键在于让学生学会学习概念的方法，一个数学概念的形成是需要时间的. 6.1.2中位数 【知识与技能】 1.在现实情景中认识中位数的统计意义及优、缺点. 2.能在具体情景中运用中位数处理一些实际问题. 【过程与方法】 在探索知识的过程中，培养学生分析数据的能力，在数学的学习中发现规律，培养学生用数据说话的习惯. 【情感态度】 关注学生的情感体验，让学生感受到数学的魅力，从而认识到数学的价值. 【教学重点】 理解中位数的意义并会求一组数据的中位数. 【教学难点】 理解一组数据的平均数、中位数的区别. 一、情景导入，初步认知 1.什么是平均数？什么是加权平均数？ 2.它们分别如何来求？ 【教学说明】对前面的知识进行复习，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 1.张某管理一家餐厅，下面是该餐馆所有工作人员的月工资情况：
张某：15000元；
会计：1800元；

厨师甲：2500元；
厨师乙：2000元；
杂工甲：1000元；
杂工乙：1000元；

服务员甲：1500元；
服务员乙：1200元；
服务员丙：1000元. 计算他们的平均工资，这个平均工资能反映该餐馆员工在这个月收入的一般水平吗？ 该餐馆全体员工的平均工资为：
=(15000+1800+2500+2000+1000+1000+1500+1200+1000)÷9=3000(元). 实际上，3000元不能代表该餐馆员工在这个月的收入一般水平，因为除了张某外员工中工资最高的厨师甲的月收入2500元都小于这个平均数. 若不计张某的工资，剩下员工的工资平均数为：
=(1800+2500+2000+1000+1000+1500+1200+1000)÷8=1500(元) 不计张某的工资，1500元能代表餐馆工作人员在这个月收入的一般水平. 2.还有没有别的方法呢？ 【教学说明】引导学生分析：我们可以把餐馆中人员的月收入按从小到大(或从大到小)排列，位于中间的数据，也能比较合理地反映该餐馆员工的月收入水平. 3.我们可以把餐馆工作人员的月收入按从小到大的顺序排列：
1000、1000、1000、1200、1500、1800、2000、2500、15000 位于中间的数据即第5个数据1500就比较合理地反映了该餐馆员工的月收入水平. 像上述例子那样，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.中位数代表了一组数据的数值大小的“中点”，当一组数据的个数较小时，中位数容易求出，这是中位数的优点，但中位数没有利用数据中的所有信息，因此，有时它可能不是很有效的. 4.求下列两组数据的中位数：
(1)14、11、13、10、17、16、28；

(2)453、442、450、445、446、457、448、449、451、450；

解：(1)把组数据从小到大排列：
10、11、13、14、16、17、28 位于中间的数是14，因此这组数据的中位数是14. (2)把组数据从小到大排列：
442、445、446、448、449、450、450、451、453、457 位于中间的两个数是449和450，这两个数的平均数是449.5，因此这组数据的中位数是449.5. 根据上面的例题，你能总结求一组数据的中位数的方法吗？ 【归纳结论】将这组数据按从小到大的顺序排列，如果这组数据有奇数个，则中间的这个数就是这组数据的中位数；
如果这组数据有偶数个，则中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数. 中位数有什么作用呢？ 【归纳结论】中位数把一组数据分成相同数目的两部分，其中一部分都小于或等于中位数，而另一部分都大于或等于中位数.因此中位数常常用来描述“中间位置”或“中等水平”，但中位数没有利用数据组中的所有信息. 【教学说明】在自主解决问题的过程中，要充分体现以学生为主体，教师为主导的教学意识.当学生迷惑时教师适时地提出问题，充分体现教师的主导作用，使学生在比较中自己发现什么数是中位数，以及找中位数应先排列大小. 三、运用新知，深化理解 1.某班8名学生完成作业所需时间分别为：75，70，90，70，70，58，80，55(单位：分)，则这组数据的中位数为____，平均数为____. 答案：70分，71分. 2.已知一组数据1,0,-3,2,-6,5，这组数据的中位数为____. 答案：0.5. 3.数据10，10，x，8的中位数与平均数相等，这组数据的中位数是___. 答案：9或10. 4.把9个数按从小到大的顺序排列,其平均数是9,如果这组数中前5个数的平均数是8,后5个数的平均数是10,则这9个数的中位数是___. 答案：9. 5.一组数据是23，27，20，18，12，x，它的中位数是21，则数据x是(D) A.23 B.21 C.不小于23数 D.以上都不是 6.我市部分学生参加了2014年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩.已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？ (2)经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上(含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；

(3)决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？ (4)上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等.请你再写出两条此表提供的信息. 解：(1)全市共有300名学生参加本次竞赛决赛，最低分在20~39之间，最高分在120~140之间；

(2)本次决赛共有195人获奖，获奖率为65%；

(3)决赛成绩的中位数落在60~79分数段内; (4)如“120分以上有12人；
60至79分数段的人数最多”等. 7.某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九(1)，九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示. (1)根据图填写下表：
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好？ (3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强? 解：(1)85，80. (2)两个班平均数相同，九(1)班中位数高，所以九(1)班成绩好些. (3)九(2)班实力更强一些. 【教学说明】通过练习巩固本节课数学内容.四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第147页“习题6.1”中第4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 教师应该把学生放在中心地位，努力创设适合学生学习的情境，让学生投入到自主学习中去，在自主活动中投入智力参与，获得对新知识的个人体验，达到把课本知识转化为学生自己知识的目的，做一个学生学习的帮助者. 6.1.3众数 【知识与技能】 1.在现实情景中认识众数的意义及优、缺点. 2.在具体情景中运用众数处理一些实际问题. 【过程与方法】 让学生经历运用众数描述数量信息的过程，调动学生学习的积极性，发展学生的数据统计概念. 【情感态度】 体验众数与日常生活的密切联系，体会统计在生活中的广泛应用，从而明确学习目的，培养学习的兴趣. 【教学重点】 理解众数的意义并会求一组数据的众数. 【教学难点】 区别一组数据的平均数、众数、中位数. 一、情景导入，初步认知 1.什么是一组数据的平均数、加权平均数、中位数？ 2.它们各有什么优缺点？ 【教学说明】复习前面所学知识，为本节课的学习作准备. 二、思考探究，获取新知 1.下面是一家鞋店在一段时间内各种尺码男鞋的销售量统计表：
请思考下列问题：
(1)这段时间内共销售了多少双男鞋? (2)销售量最多的是哪种尺码的鞋? (3)这个统计表能给鞋店店主提供什么信息? (4)在这些问题中，店主最关心的问题是什么? 【归纳结论】在一组数据中，把出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 当一组数据中某数据多次重复出现时，常可以用众数作为这组数据的数值的一个代表值.一组数据的众数可能不止一个. 2.某公司全体职工的月工资如下：
试求出该公司月工资数据中的众数、中位数、平均数. 解：在上述80个数据中，2000出现了22次，出现次数最多，所以这组数据的众数是2000；
把这80个数据按从小到大的顺序排列后，可以发现位于中间的数是2000、2500，因此这组数据的中位数是2250. 这组数据的平均数是：
=(18000+12000×2+8000×3+6000×4+4000×10+2500×20+1500×12+1200×6)÷80 =2565 在上面的例题中，你认为用平均数、中位数、众数中哪个数据更能反映该公司的工资水平？ 平均数、中位数、众数各有什么优缺点？ 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一组代表数据的总体“平均水平”. 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”. 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”.这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表. 平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动.主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低. 中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；
它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响. 众数：与数据出现的次数有关，着重对各数据出现的次数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有众数. 【教学说明】引导学生根据具体的问题情境，分析总结出它们的优缺点. 三、运用新知，深化理解 1.用中位数去估计总体时,其优越性是(D) A.运算简便 B.不受较大数据的影响 C.不受较小数据的影响 D.不受个别数据较大或较小的影响 2.对于数据3,3,2,6,3,10,3,6,3,2. (1)众数是3;(2)众数与中位数的数值不等;(3)中位数与平均数的数值相等;(4)平均数与众数相等,其中正确的结论是(A) A.(1) B.(1)(3) C.(2) D.(2)(4) 3.已知一组数据从小到大依次排列为-1,0,4,x,6,15,其中位数为5,则其众数为(D) A.4 B.5 C.5.5 D.6 4.某班10名学生体育测试的成绩分别为(单位:分)58,60,59,52,58,55,57,58,49,57(规定这次体育测试满分为60分),则这组数据的众数,中位数分别是(C) A.58,57.5 B.57,57.5 C.58,58 D.58,57 5.某校在一次学生演讲比赛中，共有7个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分后的平均分，某学生所得分数为：9.7，9.6，9.5，9.6，9.7，9.5，9.6，那么这组数据的众数及该学生最后得分分别为(A) A.9.6，9.6 B.9.5，9.6 C.9.6，9.58 D.9.6，9.7 6.某商店有220L,215L,185L,182L四种型号的某种名牌电冰箱,在一周内分别销售了6台,30台,14台,8台.在研究电冰箱销售情况时,商店经理关心的应是哪些数据?哪些数据对于进货最有参考价值? 解：根据题意知:商店经理关心的是哪种型号的冰箱销售最多，从题可以知道215L型号的电冰箱共销售了30台，是销售量最大的，它是这组数据的众数，所以进货最有参考价值的数据是众数. 7.三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为12个月.工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命(单位：月)如下：
试问：(1)这三个厂家的广告，分别利用了统计中的哪一个特征数(平均数、中位数、众数)进行宣传？ (2)如果三种产品的售价一样，作为顾客的你选购哪个厂家的产品？请说明理由. 解：(1)甲厂的广告利用了统计中的平均数；
乙厂的广告利用了统计中的众数；
丙厂的广告利用了统计中的中位数. (2)选用甲厂的产品,因为它的平均数较真实地反映灯管的使用寿命;或选用丙厂的产品,因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命超过12个月. 8.某品牌的生产厂家对其下属10个专卖店某月的销售额进行统计，列表如下：
(1)求这10个专卖店该月销售额的平均数、众数、中位数；

(2)为了调动各专卖店经营的积极性，该厂决定实行目标管理，即确定月销售额，并以此对超额销售的专卖店进行奖励.如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？并说明理由. 解：(1)这组数据的平均数：
=39(万元)；

这组数据的中位数：=36(万元)；

这组数据的众数是：34(万元). (2)这个目标可以定为每月39万元(平均数).因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大，可以认为，月销售额定为每月39万元是一个较高目标. 【教学说明】通过练习，使学生掌握在具体的问题中该如何来选用统计数据. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第148页“习题6.1”中第5、6、7题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 平均数、中位数和众数的联系与区别:平均数应用比较广泛，它作为一组数据的代表，比较稳定、可靠.但平均数与一组数据中的所有数据都有关系，容易受极端数据的影响；
中位数在一组数据的数值大小排序中处于中间的位置，人们由中位数可以对事物的大体进行判断和掌控，它虽然不受极端数据的影响，但可靠性比较差，所以中位数只是表示这组数据的一般情况；
众数注重对一组数据出现的频数的考察，作为一组数据的代表，它不受极端数据的影响，其大小与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中，如果个别数据有很大的变化，且某个数据出现的次数较多，此时用众数表示这组数据的集中趋势，比较合适，体现了整个数据的集中情况. 6.2方差 【知识与技能】 1.了解方差的定义和计算公式. 2.理解方差概念的产生和形成的过程. 3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小. 【过程与方法】 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法以及区别，积累统计经验. 【情感态度】 培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义. 【教学重点】 方差产生的必然性和应用方差公式解决实际问题，掌握其求法. 【教学难点】 理解方差公式，应用方差对数据波动情况进行比较、判断. 一、情景导入，初步认知 我们在前面学习了平均数、中位数、众数，它们各有什么优缺点？ 【教学说明】通过复习，为本节课的学习作铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.刘亮和李飞参加射击训练，成绩如下：
刘亮：7、8、8、9、7、8、8、9、7、9 李飞：6、8、7、7、8、9、10、7、9、9 (1)两人的平均成绩分别是多少？ (2)如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？ (3)谁的成绩更稳定？ 解：刘亮的成绩的平均数是：=8.0；

李飞的成绩的平均数是：=8.0. 即两人的平均成绩相同. 为了直观地看出这两组数据与其平均数的偏离程度，我们用下图来表示数据的分布情况. 由上面两幅图，可以发现刘亮的射击成绩多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩偏差较大.一组数据中的数与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 2.那么如何找到一个特征值来反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 【归纳结论】为了反映一组数据的离散程度，可以采用很多方法，统计中常用以下做法：设一组数据为x1,x2,……,xn,各数据与平均数x之差的平方的平均值，叫做这组数据的方差，记作：s2. 方差公式：
【教学说明】学生理解和记忆这个公式都会有一定困难，以致应用时常常出现计算的错误，为突破这一难点，教师可以直接对方差公式作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到. 3.利用公式分别计算出刘亮与李飞的射击成绩的方差. 如何从方差上来看一组数据的波动情况呢？ 【归纳结论】一组数据的方差越小，说明这组数据离散程度或波动的程度就越小，这组数据也就越稳定. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P150例题. 2.甲、乙两位同学在几次数学测验中，各自的平均成绩都是88分，甲的方差为0.62，乙的方差为0.73，则(A) A.甲成绩比乙成绩稳定 B.乙成绩比甲成绩好 C.甲、乙成绩一样 D.甲、乙成绩无法比较 3.在一次射击练习中，甲、乙两人前5次射击成绩分别为(单位：环)：
甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10 则这次练习中，甲、乙两人方差s甲2与s乙2的大小关系是(A) A.s甲2>s乙2 B.s甲2<s乙2 C.s甲2=s乙2 D.无法确定 4.已知一个样本的方差，其平均数为. 答案：30. 5.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？ 解：(1)x甲=(25+41+40+37+…+42)=30(cm) x乙=(27+16+44+27+…+40)=31(cm) 因为，所以乙种玉米的苗长得高. (2)s甲2=(25-30)2+(41-30)2+…+(42-30)2］=×1042=104.2(cm2). s乙2=(27-31)2+(16-31)2+…+(40-31)2］=×1288=128.8(cm2). 因为s甲2<s乙2，所以甲种玉米的苗长得齐. 6.两台机床同时生产直径为10个单位的零件，为了检验产品的质量，质检员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：
如果你是质检员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识来判断这两台机床生产的零件的质量优劣. 解：(1)由于x甲=x乙=10，因此平均直径反映不出两台机床生产出的零件的质量优劣. (2)s2甲=2，s2乙=3.6，由于s2甲<s2乙，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，甲机床生产的零件质量更符合要求；

(3)甲机床只有一个零件的直径是10，而乙机床有3个零件的直径是10，从众数角度看，乙机床生产出的零件符合要求. 7.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如折线图所示：
(1)请填写下表：
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析. ①从平均数和方差相结合看；

②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；

③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；

④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力). 解：(1)如下表：
(2)①∵平均数相同，s2甲<s2乙，∴甲成绩比乙稳定; ②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些; ③∵平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些; ④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力. 【教学说明】学生独立完成，教师适当提示. 四、师生互动,课堂小结 (1)知识小结：
其中，x1，x2…xn等代表一组数据，x代表数据的平均值，n代表数据的个数. (2)方法小结：
求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用方差公式求方差，也可以用计算器求方差. 1.布置作业:教材第152页“习题6.2”中第3、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过这节课的教学，让我深刻地体会到我们要充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对所学知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维. 章末复习 【知识与技能】 进一步掌握平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的计算方法，理解它们的统计意义及它们在实际问题中的具体涵义. 【过程与方法】 通过复习，使学生熟练掌握平均数、加权平均数、中位数、众数、方差及其计算，能够在具体问题中，理解其统计意义. 【情感态度】 通过接触生活中的数据信息，使学生获得情感体验，从而激发学生学习数学的热情. 【教学重点】 梳理、整合本章所学内容，构建知识网络体系. 【教学难点】 加强对各统计量意义的理解. 一、知识结构 【教学说明】通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解. 二、释疑解惑，加深理解 1.平均数：
平均数是一组数据的数值的代表值，它刻画了这组数据整体的平均水平. 2.中位数：
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 将这组数据从小到大的顺序排列，如果这组数据有奇数个，则中间的这个数就是这组数据的中位数；
如果这组数据有偶数个，则中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数. 3.众数：
在一组数据中，把出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 一组数据的众数可以不止一个. 4.方差：
设一组数据为x1,x2,……,xn,各数据与平均数x之差的平方的平均值，叫做这组数据的方差，记作：s2. 方差公式：
一组数据的方差越小，说明这组数据离散程度或波动的程度就越小，这组数据也就越稳定. 5.平均数、中位数、众数、方差的特点：
平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动.主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低. 中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；
它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响. 众数：与数据出现的次数有关，着重于对各数据出现的次数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有众数. 方差：方差从不同的方面反映了数据的分散程度，反映的是数据相对于其平均数的平均偏离程度. 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 三、典例精析，复习新知 例1 某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8.已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是(C) A.8 B.9 C.10 D.12 例2甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
(1)甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；
(3)甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是(A) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 例3若1，2，3，a的平均数是3；
4，5，a，b的平均数是5. 求：0，1，2，3，4，a，b的方差是多少？ 解：由(1+2+3+a)÷4＝3，得a＝6；
由(4+5+a+b)÷4＝5，得b＝5. 0，1，2，3，4，6，5的平均数为3， ∴s2=17［(0-3)2+(1-3)2+……+(5-3)2］＝4. 例4有七个数由小到大依次排列，其平均数是38，如果这组数的前四位数的平均数是33，后四个数的平均数是42.求它们的中位数. 解：设七个数为a，b，c，d，e，f，g，a＜b＜c＜d＜e＜f＜g. 依题意得(a+b+c+d+e+f+g)÷7＝38①，(a+b+c)÷4＝33②，(d+e+f+g)÷4＝42③， 由①、②得e＋f＋g＝7×38－33×4④，将④代入③得d＝34. 所以中位数是34. 例5甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示：
(1)你根据图中的数据填写下表：
(2)从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些. 姓名 平均数(环) 众数(环) 方差 甲 乙 解：(1)甲：6，6，0.4 乙：6，6，2.8 (2)甲、乙成绩的平均数都是6，且s2甲＜s2乙，所以，甲的成绩较为稳定，甲成绩比乙成绩要好些. 四、复习训练，巩固提高 1.如果一组数据a1，a2，a3，…，an的方差是2，那么一组新数据2a1，2a2，…，2an的方差是(C) A.2 B.4 C.8 D.16 2.如果将一组数据中的每一个数都乘以一个非零常数，那么该组数据的(B) A.平均数改变，方差不变 B.平均数改变，方差改变 C.平均数不变，方差改变 D.平均数不变，方差不变 3.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩(满分为100分)如下表所示：
(1)请你填写下表：
(2)请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：
①从平均数和众数相结合看(分析哪个年级成绩好些)；

②从平均数和中位数相结合看(分析哪个年级成绩好些)；

③如果在每个年级分别选出3人参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？并说明理由. 解：(1)七年级众数是80；
八年级中位数是86；
九年级的平均数为85.5，众数为78.(2)①从平均数和众数相结合看，八年级的成绩好些；
②从平均数和中位数相结合看，七年级成绩好些；
③九年级.因为九年级有两人超过90分，更有获奖可能. 4.某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩(百分制)如下表：
(1)若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照5∶5∶4∶6的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？ (2)若公司根据经营性质和岗位要求认为：面试成绩中形体占5%，口才占30%，笔试成绩中专业水平占35%，创新能力占30%，那么你认为该公司应该录取谁？ 解：(1)甲、乙各自成绩分别为90.8分，91.9分，录取乙；

(2)甲、乙各自成绩分别为92.5分，92.15分，录取甲. 【教学说明】学生先独立完成，教师再作讲解强调. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？请与同学相互交流. 1.布置作业:教材第156页“复习题6”中第2、5、8、10题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节复习课，在课堂的主要环节上侧重于训练，在训练中提高.给学生充足的时间思考解答，然后采用“兵教兵”的形式展开交流讨论，既活跃了课堂气氛，教师也能找到问题的焦点.授之以渔，要求学生找到解题的突破口和关键信息，提高学生的审题能力、分析能力和灵活应用知识的能力.2.完成同步练习册中本课时的练习.