指数函数知识点总结教案

班级：一对一 所授年级+科目：
高一数学 授课教师：
课次：第 次 学生：
上课时间：
教学目标 教学重难点 指数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*． u 负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：
， u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）· ；

（2）
；

（3）． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 图象都过定点（0,1）
图象都过定点（0,1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；
取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

　1．比较大小
例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．
分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．
解：∵，∴函数的对称轴是．
故，又，∴．∴函数在上递减，在上递增．
若，则，∴；
若，则，∴．
综上可得，即． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等． ②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 　2．求解有关指数不等式
例2　已知，则x的取值范围是___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
解：∵，∴函数在上是增函数，
∴，解得．∴x的取值范围是．
评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
3．求定义域及值域问题
例3　求函数的定义域和值域．
解：由题意可得，即，∴，故,∴函数的定义域是．
令，则，又∵，∴． ∴，即．
∴，即,∴函数的值域是．
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
4．最值问题
例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．
分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．
解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
当时，∵，∴，即．
∴当时，, 解得或（舍去）；

　　当时，∵，∴，即， ∴ 时，，解得或（舍去）；

∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程
例5　解方程．
解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
6．图象变换及应用问题
例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）．
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．
评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 综合练习 1 比较下列各组数的大小：
　　（1）若 ，比较 与 ；
（2）若 ，比较 与 ；

　　（3）若 ，且 ，比较a与b；

　　（4）若 ，且 ，比较a与b． 　解：

（1）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
（2）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
（3）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2 曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (  ).
 


(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 3 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12；
当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

4 已知函数 （ 且 ）
（1）求 的最小值；
  （2）若 ，求 的取值范围． 解：（1）
， 当 即 时， 有最小值为
（2）
，解得
当 时， ；
当 时， ． 5（1）已知是奇函数，求常数m的值；

（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无解？有一解？有两解？ 解：
（1）常数m=1 （2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

6 已知 ，求函数 的值域． 解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数的值域为 7 求函数y＝的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数 ∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减， 当x∈(-∞，)时，u为减函数，y关于x为增函数；

当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数. 8 已知函数， （1）求证：对任何为增函数；
（2）若为奇函数时，求a的值。

（1）
故对任何a∈R，f（x）为增函数． （2），又为奇函数， 得到。即 9 定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时， （1）求在[－1，1]上的解析式；
（2）判断在（0，1）上的单调性；

（3）当为何值时，方程=在上有实数解. 解（1）∵上的奇函数,∴,又∵2为最小正周期,∴ 设，则， ∴ （2）= ∴在（0，1）上为减函数。

（3）∵在（0，1）上为减函数, ∴ 即 同理在（－1，0）时，,又, ∴当或时,在[－1，1]内有实数解。

10 函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)：
去绝对值，可得y＝ 又a>1，由指数函数图像易知，应选B. 解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；
x＜0时，y＝a-x是减函数. 一、选择题 1．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、a< D、1< 2.下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是( ) A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x 3.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 4．函数y=是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 5．函数y=的值域是（ ）
A、（-）
B、（-0）（0，+）
C、（-1，+）
D、（-，-1）（0，+）
6．下列函数中，值域为R+的是（ ）
A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y= 7．已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 二、填空题 8．函数y=的定义域是 9．函数y=()(-3)的值域是 10．直线x=a(a>0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是 11．函数y=3的单调递减区间是 12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)= 答案 1、D；
2、D；
3、B；
4、A；
5、D；
6、B；
7、A 8.(-,0)(0,1) (1,+ ) 9．[（）9，39] 10．D、C、B、A 11．（0，+）
12．0 三、解答题 13、已知关于x的方程2a－7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根. 解: 2a－7a+3=0, a=或a=3. a=时, 方程为: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3 a=2时, 方程为: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2 14、设a是实数，,试证明对于任意a,为增函数. 证明：设∈R,且则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即<0， 又由>0得+1>0, +1>0,所以<0即, 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数. 15、已知函数f(x)=(a－a)(a>0且a1)在(－, +)上是增函数, 求实数a的取值范围. 解: 由于f(x)递增， 若设x<x,则 f(x)－f(x)=[(a－a)－(a－a)] =(a －a)(1+a·a)<0, 故(a－9)( (a －a)<0. (1), 解得a>3; (2) , 解得0<a<1. 综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。

16 求下列函数的定义域与值域. (1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1. 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝. 又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝. (2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1, ∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝. 17 已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值. 解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0 得（3x-9）（3x-1）≤0 ∴1≤3x≤9 故0≤x≤2 而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2 令t=（）x（），则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1 当t=即x=1时，ymin=1 ；

当t=1即x=0时，ymax=2. 18 已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性. 解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝. 设y＝,解得ax＝-① ∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0得-1<y<1. ∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1. (2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数. (3)f(x)＝＝1-. 1°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0. ∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数. 2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝为减函数. 教案审核：