（毕业论文）黄梦兰极限求解在考研数学中应用

极限求解在考研数学中的应用 摘要 极限作为高等数学的一个重要内容，自然成为考研数学的必要考点.因此，对于考研科目中有考研数学的学生而言，极限的求解问题成为复习的一个重点内容.本文主要以考研数学中的真题为例，从数列极限和函数极限两方面，分别介绍考研数学中经常出现的求解极限的九种方法，分析各种方法的适用范围，归纳总结出解决极限问题的注意点.通过统计出近十年来，极限各类题型在考研中出现的次数以及考研重点考察的题型，比较结果发现极限问题在考研中的所占比例较大，不仅会直接考察极限的求解问题，还会利用极限与函数的分析性质之间的关系间接考察了极限的计算，因此掌握好常见的计算极限的方法对于解决极限问题极为重要.最后根据分析结果，为考研学生高效复习极限问题提供一些建议. 关键词 考研数学 极限 复习建议 Application of limit solution in mathematics for postgraduate entrance examination Abstract As an important content of higher mathematics, limit naturally becomes the necessary examination point of postgraduate mathematics. Therefore, for the students who have mathematics in the postgraduate entrance examination, the problem of limit solution becomes a key content of review. This paper mainly takes the real problems in the postgraduate entrance examination mathematics as an example. From the two aspects of the limit of sequence and the limit of function, it introduces nine methods of solving the limit that often appear in the postgraduate entrance examination mathematics, analyzes the applicable scope of various methods, and sums up the points for attention in solving the limit problem. Through the statistics of the number of times of limit questions in the past ten years and the types of questions that are mainly investigated in the postgraduate entrance examination, the comparison results show that the limit question accounts for a large proportion in the postgraduate entrance examination, which not only directly investigates the solution of the limit, but also indirectly investigates the calculation of the limit by using the relationship between the limit and the analytical properties of the function, so we should master the common calculation limit It is very important to solve the limit problem. Finally, according to the analysis results, some suggestions are provided for the postgraduate entrance examination students to review the limit problems efficiently. KEY WORDS postgraduate mathematics limit review suggestions 目 录 引 言 1 1 求解数列极限的方法 2 1.1 迫敛性(夹逼准则) 2 1.2 单调有界定理 4 1.3 公式的应用 5 1.4 利用定积分的定义 5 1.5 利用级数收敛的必要条件求解函数极限 7 2 求解函数极限的方法 8 2.1 利用函数的连续性进行求解 8 2.2 利用等价无穷小公式进行求解 9 2.3 利用洛必达法则进行求解 11 2.4 利用泰勒公式求解极限 13 3 考研极限考情分析 15 3.1 考研数学中直接与间接求极限的数量分析 15 3.1.1 考研数学直接求解极限的题目 15 3.1.2 考研数学中间接求解极限和直接求解题目的数量比较 15 3.2 考研极限中的单调有界准则与夹逼准则 16 结 论 18 参考文献 19 致 谢 20 引 言 通过大一的高数学习，大多数学生都知道极限对于微积分理论的重要性.极限思想微积分的重要思想，其中函数的连续性，导数以及定积分都是借助极限来定义的. 极限的提出是为了完善微积分，许多数学家都给出了自己对于极限的解释，其中，使用最为广泛的是由魏尔斯特拉斯提出的极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。

近年来，越来越多的大学生为了丰富自己的知识，选择了考研，而数学成了大多数考生的必考科目.对于非数学专业的学生，考研数学分为数学一、数学二、数学三.尽管分为三种形式在内容中有所差别，但研读由教育部考试中心发布的考试大纲[1]会发现关于极限求解的问题是三者着重考察的内容之一.因此，对于广大需要考数学的考生而言，极限的求解问题也是复习的一个重点. 关于考研数学中出现的解决极限问题的方法，高德超[2]p20-22已经分析总结了出现频率较高的题型、方法以及相应的注意事项并给出了常用的8种方法；
柴源[3]p20也给考研的学生提出了相应的复习建议；
王聪[4]p23+39、王玉[4]p23+39、王艳[5]p18-19、燕列雅[5]p18-19、赵彦晖[5]p18-19、李顺波[5]p18-19、连坡[6]p54-56等都从一道极限题目出发，研究极限的多种解法；
王成强[7]p102-105、陈玉发[8]p7-10等分别从解决极限问题所用的一个方法技巧出发，来帮助学生学会一类题目. 本文主要将从数列极限和函数极限的求解方法出发，在掌握了相应的准则和定理的基础之上，分析近10年来出现的考研真题，并指出在解题时的注意点.对于可以用多种方法解决的问题，通过比较，给出最优解法.其次，归纳总结相应的方法在考研数学中经常出现的题型（选择题、填空题、计算题、证明题），从而分析极限出题的趋势，帮助学生把握重点，解决极限这一难题. 1 求解数列极限的方法 关于数列极限的求解方法，主要有夹逼准则（迫敛性）、单调有界定理，两个重要极限的公式、以及定积分的定义等.并且这些方法也均在考研数学大纲的要求上面，因此必须要牢牢掌握. 1.1 迫敛性(夹逼准则) 数列极限的迫敛性[9]内容：设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正整数，当时有 ， 则有数列收敛，且. 数列的迫敛性对于解决数列的极限问题有很大的作用，下面举个简单的例子. 分析：这样的数列可以用迫敛性，对数列从两边进行放缩. 解：
又；
因此由迫敛性知. 这种题型较为容易，只要进行相应的放缩，再合理应用迫敛性，即可求出解.但解决这种题型的难点也在于“放缩”，而在“放缩”的同时，则需要考生对于一些常见的不等式有相应的了解，比如均值不等式，对数不等式等.但是同学们需要注意的是考研中夹逼准则的使用多是以证明的形式出现，且在最后的计算过程中利用迫敛性. 例如2019年数学一[10] 设 (1) 证明数列单调减少，且 (2) 求 分析：由于出现了这种数列的形式，并且对于极限是否存在是未知的，因此需要使用单调有界定理，先证明极限的存在性，而后在进行极限求解. 解：（1）当时，有，所以 于是由积分的保号性知 所以数列单调递减. 由于需要得到递推关系，并且是与n相关的积分，因此对积分考虑分部积分， 于是有：
移项整理得 即得 （2）由（1）可知，由此可知，并且 由此可得 所以夹逼准则，可得. 上题的解题过程较为复杂，第一问是第二问的准备，通过第一问的证明，很容易发现数列与其他数列之间存在的关系，从而构造出夹逼准则里面的数列，使之满足夹逼准则的数列，从而求出所给极限.解这类题目的难点在于找出符合条件的数列. 1.2 单调有界定理 单调有界定[9]：在实数系中，有界的单调数列必有极限. 由于单调有界定理一般用于证明数列的极限的存在性，在数列存在的前提下，从而求出极限. 下面看2013年数学二[11]中的一题 设函数 （1）
求的最小值 （2）
设数列满足，证明存在，并求此极限. 分析：这类题目有关数列的存在性问题，所以优先考虑单调有界定理 解：首先第一小问可知的最小值为1，则对于任意的， 又由（2）中的条件，则有 由上述不等式知，即，所以数列有上界，另一方面，，故有，所以为单调递增数列，由单调有界准则知收敛. 下面可以求该数列的极限，设，又，以及极限的保号性知：，因此，解得：，所以. 利用单调有界定理求解极限的题目，由于需要判断一个数列的单调性和有界性，因此，此种题型多在证明一个数列收敛时出现.由于单调有界阐述了数列何时可以存在，若一个数列不存在，更不用谈求解极限.因此考察这种方法，更注重的是对学生数学的素养的考察以及对于数学重要定理的理解. 1.3 公式的应用 这个公式在考研数学中经常运用到，它在形式上与重要极限中的是相同的，并且可以看出它在形式上是. 例：2019年数学一[10] 分析：题目中出现了型，因此可以考虑到使用公式. 解：
注：该题在解决的时候，需要先要对进行变形，变成公式中的形式，从而利用公式的结论进行计算. 1.4 利用定积分的定义 下面研究考研数学中经常出现的一种数列求解的问题.在分析题目前，需要同学对定积分的定义有一定的了解. 定积分从本质上来说是一种积分和极限，因此定积分和极限关系紧密. 在定积分定义的基础之上，若函数在区间上可积，则有等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当区间恰好为区间时，则区间积分表达式为：
正因为以上公式，给我们提供了一个重要的求解极限的方法.下面来看几道相关的例题. 2017年数学一[10] 分析：本题可以直接应用公式.将求极限问题转化为求定积分问题. 解：
对于上述定积分再利用分部积分，即求出 2016年数学二[11] 分析：这一题先要将所给的数列极限换个形式表达，即可以写成 解：
总结：这种题型是考研数学常考的一个题型，从数学知识的之间的联系来看，它不仅考察了极限和积分之间的内在关系，还考察了计算积分的能力.本题，看似是一道求解极限的题目，实则是一道求解定积分的题目，因此这种题型在考察极限的同时还考察的学生对于定积分求解方法的掌握.由于像这种形如n个极限相加的题目，同学往往会考虑使用迫敛性来解决.此时，就会发现这类题型不可以进行很好的放缩，或者放缩后的两个数列极限存在但不相等，并不满足迫敛性的条件，故而也不能使用迫敛性来解决问题.这类题型在考研过程中经常出现，因此必须理解利用定积分的定义求解数列极限的合理性. 1.5 利用级数收敛的必要条件求解函数极限 如果级数收敛，那么它的一般项趋于零，即 [12] 2014年数学一[10] 设数列满足，，，且级数收敛. 证明：
分析：这一题中收敛，容易想到其必要条件 解：有已知条件可得 ，即，再由在内单调减少可知，于是由收敛，比由较审敛法知收敛，于是由级数收敛的必要条件知. 总结：这类证明数列极限为零的题目且题目中出现级数，则首先可以考虑利用级数收敛的必要条件，将题目的关键转化为证明正项级数的收敛，从而可以利用判别正项级数收敛的一系列的方法。

2 求解函数极限的方法 2.1 利用函数的连续性进行求解 函数的连续性是函数的一个重要的分析性质，设函数在某上有定义.若 . 则称在点连续.[9] 例1 分析：由于函数在处连续，因此可以利用函数的连续性求解.即直接将带入函数中. 以上的例子只要对式子进行简单的变形，就可以看出，那么来看一道2001年数学二[11]考研中出现的题目. 分析：由于是在一点的极限，因此与函数的连续性密切相关. 总结：这类题目可以先进行观察，看所给的式子经过怎样的变形，变成一个在所给点连续的函数，通常用到的方法，有根号时进行分母有理化或者分子有理化，或者对所给式子进行因式分解，约分等.利用函数的连续性求解的题目一般情况下不会直接考察，而是借助连续这一条件隐藏在题目中，多出现在选择题或者极限计算的一个步骤中. 2.2 利用等价无穷小公式进行求解 等价无穷小的定义[9]：若，则称 和是当时的等价无穷小量.记作 . 根据以上定义，学生在解题时需要生牢记常用的等价无穷小的公式，例如：当时，则有：
这些常用的公式对于解决极限的一般问题具有很大的作用. 例如在2015年数学一[10]种出现的这一道题目 解析：此题中由，自然会想到使用等价无穷小的方法，此时，可以观察到与上面的公式可以联系起来，因此便有了下面的解法 总结：这题是较为典型的使用等价无穷小解决的题型，在解题的过程中两次使用了等价无穷小，第一次运用了公式，第二次运用公式，从而较为容易的得到结果. 上面一题属于通过简单的观察即可发现解决方法，而在考研数学中，不是所有极限类的题目都是很快就可以观察出解决方法的. 例如在2009年数学三[13]中的一道题目 解析：此题同学们的首选方法是使用等价无穷小，因为分母，故而容易想到公式，因此有.在确定了分母的等价无穷小之后，分子应该有相应的变化，那么如何找到的等价无穷小呢，成为了解决此题的关键.由于分子上面出现了，自然会将它与公式联系到一起.那么这启示我们需要对分子进行相应的变形.此时不妨将e提出来一个，变为的形式，从而发现这个式子中，由于满足，所以可以使用等价无穷小. 因此本题解题的一般步骤为 总结：这一题相较上一题，它的分子不是容易观察出来的，需要对式子进行相应的变形.这对于考生来说，需要对等价无穷的几个常见的公式极为敏感，要做到看到即能联想到.这需要对于等价无穷小相关的题目进行多次联系，直至将公式熟练掌握. 下面关于等价无穷小还有一个易错点，这里我将使用一道例题进行说明. 解析：这一题很多同学刚看到时会很欣喜，因为一眼看下去，分母为，并且有，这让对等价无穷小公式掌握熟练但又对等价无穷小的意义理解不够深刻的同学将这题错解. 错解为 这是在使用等价无穷小时经常会出现的一种错误. 那么这一题正确的做法应该是怎样的呢，如下 总结：由此题可以得出，等价无穷小不适用每一题，因此在使用等价无穷小需要注意，等价无穷小在式子之间是乘除关系时可以使用，而在它们之间是加减关系时，注意此题的解题方法很大程度上不使用等价无穷小，需要寻找其他的方法.而关于等价无穷小在具体的计算过程中，何时可以使用加减，对此感兴趣的同学可以看看郭新红[14]p32-35关于这方面的研究.而在考研数学中出现的等价无穷小的相关问题大部分不可以在加减的情况下使用. 2.3 利用洛必达法则进行求解 洛必达法则也是解决极限求解问题的一个重要的方法.很多题目在无法使用等价无穷小时，使用洛必达法则则变成了一个很好的选择，但是使用洛必达法则时，需要对极限的条件进行验证，看所求极限是否满足使用洛必达法则的条件.主要有两种常见的类型，即型，型. 型[9] 若函数和满足：
（i）；

（ii）在点的某空心邻域上两者都可导，且；

（iii）（可为实数，也可为或），则 型的结论和型在条件上有所差别，但结论类似. 以上是常见的两种使用洛必达法则的情形，是对洛必达法则进行应用的基础.而在考研数学中不会直接考察洛必达法则的题目，大多数题目要先进行一定的变形.比如题目中会出现型，型等等，这些经过一定的变换时，即可以变回常用的两种形式. 下面以2019年数学二[11]的一道题目为例阐述这种考研常考的题型 例题 解析：首先这道题目看起来很复杂.似乎也和已知的洛必达法则的判定条件没有太大的关系，那么应该如何思考，该如何将它与洛必达法则的条件联系.我们可以发现题目的复杂之处在于一个函数的指数部分还有一个函数.这使我们想要给这个函数取一个对数.那么即可写成 即求 所以 . 总结：这道题目是一个重要题型，可以通过观察所给函数的特征总结出一般的解题方法.这个函数呈现出的形式.因此在看到这种形式时，至关重要的一步是对函数进行变形，最常用的方法就是在函数的前面取，这样使函数变为我们常见的形式，这样可以使用洛必达法则或者等价无穷小的方法进行求解. 除此，洛必达法则结合积分变上限函数求导的性质进行极限求解也非常重要.这里，简单的介绍一下积分变上限函数求导的性质[13]. 对于积分上限函数，如果函数在区间上连续，则积分变上限函数在上具有导数，并且导数为：
. 下面以2016年数学一[10]中的一题为例 解析：本道题目的分母可以利用等价无穷小，并且这道极限满足洛必达法则的使用条件，且属于的极限. 总结：这类题型属于极限与积分相结合的题目，在看到极限里面有积分变限函数时，需要熟练使用积分变上限函数的求导的性质，从而自然而然地使用洛必达法则，最终得到结果. 2.4 利用泰勒公式求解极限 泰勒公式是将一个在处具有n阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法.关于泰勒公式的余项有多种形式，其中佩亚诺余项的形式较为简洁，在求解极限多用其进行表示.和利用等价无穷小求解极限类似，利用泰勒公式进行求解时需要记住常用的几种泰勒公式，下面给出x=0时的泰勒公式，即麦克劳林公式[9] 在考研数学中，学会使用泰勒公式进行求解极限，可以解决大部分的极限题目. 下面用2020年数学一[10]的一道题目进行说明 解析：看到这道题目时，有些同学首先会想到使用等价无穷小.因为分母上的和都是我们比较熟悉的等价无穷小.这样就会出现了以下这样 的错解. 错解：
分析：这种错误和上述介绍使用等价无穷小时会出现的错误一样，因此，使用等价无穷小时，需要牢记加减时慎用.所以本题在使用时需要先对分母进行通分，然后可以由，从而借用麦克劳林公式. 法一：
法二：
总结：这类型的题目在考研数学中通常会有多种解题方法，若对于麦克劳林公式内容的掌握较为熟练，可以直接将公式带进去，但要注意取合适的阶；
若对于麦克劳林公式记忆的不牢固，在符合洛必达法则的条件下，可以使用洛必达法则进行求解. 和这一题类似的，还有2007年数学二[11]的这道题目 解析：本题与上一题类似，它的分子中，很容易会让人误用等价无穷小，但是细看可以由其中的减号知道，等价无穷小不能随意使用.因此可以使用泰勒公式来解题 总结：以上两个例题，由于它易错，是近年来考研数学中常见的题型.在处理这类题目时，仅需要观察可以进行等价无穷小的式子之间是乘除关系还是加减关系.若为乘除关系，直接使用等价无穷小进行计算即可；
否则，则需要使用泰勒公式，因此牢记上述给出的常见的泰勒公式是十分重要的.当时，也要记住上述给出的泰勒公式是在x=0时的特殊的公式，所以在使用需要对条件进行严格的验证. 3 考研极限考情分析 研究考研数学近十年来的真题，考研数学中的极限思想无论数学一、数学二还是数学三都会涉及，有的题目以选择题、填空题的形式出现，有的题目则以计算题、证明题的形式出现.从分值的角度来看，计算题和证明题的分值较大，对学生能力的考察也较为全面.另外，极限内容在考研数学中之所以如此重要，更是因为，很多题目不直接考研极限如何求解，而是在题目中暗含函数连续、可导、收敛等一系列与极限相关的条件或者要求求解斜渐近线的方程等看似与极限无关的题目，但在这些题目中都蕴含了极限的思想，并且他们一般出现在选择和填空题中.而直接求解极限的题目则出现在部分填空题、大多以计算以及证明题的形式.下面将对近十年来数学一、二、三中出现的直接计算极限的题目进行了统计. 3.1 考研数学中直接与间接求极限的数量分析 3.1.1 考研数学直接求解极限的题目 表一：2011年-2020年数学一、二、三中极限求解的情况 类别 数学一 数学二 数学三 数量 13 18 15 分析：通过表一统计可以发现，数学一、二、三中十年来出现的极限求解的数量接近，平均每年出现一道至两道左右的题目. 3.1.2 考研数学中间接求解极限和直接求解题目的数量比较 表二：2011年-2020年直接求解极限与间接求解极限在考研数学中情况比较 类别 数学一 数学二 数学三 直接求极限题目数量 13 18 15 间接求极限题目数量 14 20 32 分析：通过上述数据可以发现，考研数学中很多题目不是直接考察你的计算方法，计算技巧的掌握，更多的是通过给出一个相应的条件，然后学生利用这个条件，将其进行一定的转换，从而转变成极限的计算问题.但是，比较3种类型的数学试卷，可以发现在数学三中，更容易考察极限，并且它多数是在解题的过程中进行了相应的极限的计算；
而在数学一和数学二中直接考察极限与间接考察极限的题目数量差别不大.并且考察极限的题目总数量，呈现出数学一小于数学二小于数学三.因此，考数学三的同学，在复习高等数学的过程中，更要注重各种与极限相关的概念，以便在解题的过程中能够进行这个转化. 3.2 考研极限中的单调有界准则与夹逼准则 由于许多计算题目不止一种方法可以解决，比如2012年数学二中的一题，它就使用洛必达法则，等价无穷小，泰勒公式这三种方法进行解题.在很多题目中，这三种方法都是相通.因此，对于每种题目具体使用的方法无法做出详细的统计. 图 1 图 2 图 3 因此，在这里仅仅列出使用频率较高的方法：夹逼准则、定积分的定义、单调有界准则、等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式、重要极限公式、函数的连续性、极限的运算法则，这些计算方法需要掌握好.对于数学一、二、三中使用单调有界准则及夹逼准则解决的题目，与其他方法解决的问题做了以下分析：将单调有界准则及夹逼准则与其他方法分开来分析，主要由于，这两种方法多在证明题中出现，分值大，并且对于很多学生而言，证明题是较为困难的，学生很难把分拿好，拿全.因此对于考研同学而言，掌握这类题型，有助于在考研中获得高分.由图1、图2、图3可以发现，单调有界准则和夹逼准则在数学一中占比比较大，而在数学三中占比比较小.因此，对于考数学一的同学，在复习极限时更应该注重单调有界准则及夹逼准则的学习，注意定理的使用条件，从而在解题中能够迅速找出解题方法. 结 论 上述文章主要介绍了考研数学中常见的解决极限问题的方法，以及分析近10年来考研数学中极限问题的趋势.考研数学中常见的解题方法主要有夹逼准则、定积分的定义、单调有界准则、等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式、重要极限公式、函数的连续性、极限的运算法则这九种.除此之外，在计算极限时，还可能利用拉格朗日中值定理，数列级数的性质等.由于极限在微积分中的地位是及其特别的，它与微积分中的各项定义都有关联，所以在考研数学中，很多考察极限的题目不是单一出现的，它总是伴随着连续、可微、收敛……这些性质出现.这些题目需同学在复习极限方面的问题时，不是单纯的仅仅复习计算极限的方法，更要注重许多重要概念的理解，这些概念与极限之间的关系是解决问题的关键之处. 因此，对于考研的学生，在复习极限部分有以下方面的建议.首先学生需要理解数列极限和函数极限的相关概念，在理解了概念的基础之上，掌握一些基本的计算方法，这些基本方法是解决考研的一些基础题，比如选择题和填空题中出现的极限问题，这些题目比较基础，因此解决的方法也比较单一，在解决这类问题时，往往只需要一种方法就可以计算出结果.而另外一些出现在考研数学中的第三大题的计算极限的题目，通常解决这类题目需要同学们综合使用几种方法，从而才能得出结果.所以，在掌握方法这一方面不仅需要学生能够熟练地使用每一种方法，更需要学生能够综合运用掌握的各种方法解决一些考察学生综合能力的题目. 另外，极限类的题目多会以一些证明题的形式考察同学分析问题、解决问题的能力.这类题目的基本解决方法是上述图一、二、三统计的单调有界准则和夹逼准则.并且这种题目的特点是分值大且题目之间有相应关联，即一题中有两小问，第一问解不出来对第二问有影响.因此，学生需要充分理解单调有界准则和夹逼准则需要满足的条件.比如单调有界准则需要数列单调，那么学生应该掌握好证明一个数列单调性的技巧；
夹逼准则需要数列之间存在一些不等式的关系，因此，学生需要掌握一些放缩的技巧和常见的不等式. 总之，极限是考研数学中的重要内容，学生应该好好把握.在复习时，需要建立学习框架，理解微积分中的概念与极限的内在联系.可以由先复习数列和函数极限的概念，再复习解题的相应方法，最后在复习相应方法中复习与极限相关的相应高等数学的知识点. 参考文献 [1] 教育部考试中心.2019年全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2019. [2] 高德超.极限求解方法探索——基于近十年考研数学真题[J].赤峰.赤峰学院学报(自然版)，2019. [3] 柴源.基于考研高数的极限求解的方法分析[J].吉林.数学学习与研究，2019. [4] 王聪，王玉.一道考研极限题的五种解法[J].陕西.高等数学研究，2018. [5] 王艳，燕列雅，赵彦晖，李顺波.一道考研极限问题的多种解法[J].陕西.高等数学研究，2017. [6] 连坡.一道考研极限试题的四种解法[J].陕西.高等数学研究，2014. [7] 王成强.一例递推数列极限考研题的进一步探究[J].宁夏.宁夏师范学院学报，2019. [8] 陈玉发.考研数学中的等价无穷小替换[J].北京.北京教育学院学报(自然科学版)，2012. [9] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）.上册[M].北京:高等教育出版社，2011，6. [10] 李永乐，王式安，武忠祥.数学历年真题全精解析.数学一[M].陕西：西安交通大学出版社，2020,1. [11] 李永乐，王式安，武忠祥.数学历年真题全精解析.数学二[M].陕西：西安交通大学出版社，2020,1. [12] 同济大学数学系.高等数学（第七版）.下册[M].北京：高等数学出版社，2014,7. [13] 李永乐，王式安，武忠祥.数学历年真题全精解析.数学三[M].陕西：西安交通大学出版社，2020,1. [14] 郭欣红.等价无穷小代换在含有和差运算式中的应用[J].北京.北京工业职业技术学院学报，2018.