分段加权函数的Nitsche条件

王 利 鑫

(西华师范大学 数学与信息学院， 四川 南充 637002)

本文是在二维圆环之间的能量最小同胚映射h:Α→Α*的基础上，研究最小的λ-Dirichlet能量曲线的Nitsche条件，在这里

Α={z∈:r<|z|

且

0

Α*={z*∈:r*<|z*|

且

0

定义λ-Dirichlet能量为

(1)

当λ=1时,记为D[h]，其中

(2)

为线性微分映射Df的算子范数，加权函数λ(z,h)为一个可测函数，写作

λ(z,h)=λ(|z|)，

且

0<λ(t)<∞，t∈(r,R).

近些年来，Nitsche现象的相关问题[1-2]以及圆环变形的相关问题[3-4]成了许多学者关注的热点,学者们开始对圆环上的Nitsche现象进行了探讨[2,5].由于圆环的旋转对称性，可知Dirichlet能量最小变形是径向映射，因此在本文中我们只讨论径向最小映射H ，

则式(1)可化简为以下的线积分，

(3)

称式(3)为H 的λ-调和能量.其中

(4)

其中H∈W1,2(r,R)⊂[r,R],这里W1,2(r,R)表示Sobolev空间.特别地， H在闭区间[a,b]内是绝对连续的，故 H有固定端点值

H(r)=r*，H(R)=R*.

(5)

在正式证明前，我们先回顾几个定义及定理.

定义1[6-7]对于任意给定的区间(a,b)⊂[r,R]，函数H∈W1,2(a,b)⊂[a,b]，若H在区间(a,b)内几乎处处满足拉格朗日-欧拉方程(简称λ调和方程)

(6)

则H称为λ调和曲线，简称λ曲线.其中W1,2(a,b)⊂[a,b]表明H在闭区间[a,b]内是连续的，因此由式(6)可知上升函数

(7)

一般来说，能量最小的函数不需要满足同胚这个条件，因为在达到能量最小化序列时，函数就已经失去了它的单叶性，在非线性弹性数学模型中，这种现象被称为物质的相互渗透[8-9].然而，能量最小的函数一般都包含在同胚性W1,2闭区间中，而同胚性W1,2闭区间恰好由几乎处处都具有非负导数的函数组成.因此我们有如下定义.

定理2[1](Nitsche定理)函数h:A(r，R)→A*(r*,R*)是调和同胚映射当且仅当

(8)

在Iwaniec等[5]关于加权Dirichlet能量的Nitsche现象的文章中，利用幂函数作为加权函数λ(t)对其结果进行证明.其中λ(t)=tp,-∞

的解.这个二阶方程有两个基本解为H+=tA,

因此，一般的λ-调和曲线的形式为

H(t)=atA+btB，a，b∈R.

(9)

本文考虑的加权函数λ(t)为不连续的分段函数，对于p1,p2∈R，

(10)

在上述加权函数为不连续的分段函数的情况下，我们有如下结论：

定理3(λ-Nitsche条件)λ最小曲线H：[r,R]→[r*,R*]是同胚映射当且仅当H满足

证明在这里λ调和曲线采取的形式是

(11)

其中任意系数a1,a2,b1,b2∈R.由式(5)知函数的两端固定，将r,ρ,R三点代入式(11)，有

(12)

可得系数a1,a2,b1,b2的结果如下：

(13)

由λ调和曲线(6)可知下式成立

(14)

对式(11)求导，则

(15)

将式(15)代入式(14)，有

tp1(Aa1ρA-1+Bb1ρB-1)=tp2(Aa2ρA-1+Bb2ρB-1).

(16)

将a1,a2,b1,b2的结果代入式(16)：

等式左右两边同时约去ρ2A+2B-1,得到下式

tp1(uA-uB)[A(r*-ρ*vB)+B(ρ*vA-r*)]-
tp2(vA-vB)[A(R*-ρ*uB)+B(ρ*uA-R*)]=0，

(17)

可得

(18)

由Nitsche条件，有

(19)

则

从而有

即

从而有

由上式和式(8)相同，可知定理3为定理2的一类情况，并且在新的分段加权函数下的调和同胚映射依然满足Nitsche条件.