全平面上关联指数函数的半离散Hilbert型不等式

有名辉

（浙江机电职业技术学院 数学教研室，浙江 杭州 310053）

20世纪初，德国哥廷根大学著名数学家Hilbert在积分方程的讲座中提出了一个二重级数不等式：若am，bn>0，m，n∈ N+，且a={am} ∈l2，b={bn} ∈l2，则

其中，π是使得式（1）成立的最佳常数因子。1911年，Schur证明了式（1）的积分形式：

其中f，g≥ 0，并且f，g∈L2(R+)，π 是式（2）成立的最佳常数因子。

通常，不等式（1）和（2）被称为 Hilbert不等式［1］。最近20余年间，数学研究者们通过引进参数，利用权系数的方法，建立了式（1）和式（2）的诸多推广、加强、逆向、更精确以及高维形式［2-9］。与此同时，通过构建新的核函数，研究者们还建立了大量新的Hilbert型不等式，如文献［10］证明了

其中，μ(x)=|x|-(4n+1)。其他一些与双曲函数有关的Hilbert型不等式可参见文献［12-14］。

需要指出，Hilbert型不等式除了离散型和积分型外，有时还以半离散型出现［15-16］。通常，离散型和半离散型Hilbert型不等式建立在第一象限，而全平面上的结果甚少出现。另外，对于一些非齐次的核函数，若要建立离散型的结果，由于最佳常数的构造性证明不易实现［9］，研究者们往往考虑其对应的非齐次半离散形式。因此，本文将探究式（4）对应的半离散形式，建立如下Hilbert型不等式：

其中，Z0=Z{0}，m∈N，Em为Euler数，μ(x)=|x|-1，vn=|n|-1，(x)=|x|(2m-1)/(2m+3)，=|n|(2m-1)/(2m+3)。

通过构造一个与指数函数相关联的核函数，并设置关键条件ad=bc及γ、λ的取值范围以保证核函数的单调性，从而建立一个全平面上的半离散型Hilbert型不等式，以拓展涉及双曲函数的Hilbert型不等式的相关研究成果。全平面上半离散型Hilbert型不等式在以往的研究文献中出现甚少，本文的研究成果具有一定的理论创新，对其他一些类似的研究应有借鉴意义。